ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2+1) y^{prime | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે. $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos

Vedclass · Accepted Answer

$24$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે. $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ છે. ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે. $y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$. તેથી,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$. હવે,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$. $x^2 \sin x$ અને $\sin x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-3, 3]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે. તેથી,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) y^{\prime}-2 x y=(x^4+2 x^2+1) \cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $\int_{-3}^3 y(x) d x$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે. $(x \neq 0)$

જો $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

સમીકરણ $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$,જ્યાં $y(0) = 1$ હોય,તેનો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $y(1)$ નું મૂલ્ય શોધો:

વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \rightarrow \infty$ ત્યારે $y \rightarrow -1$ થાય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module