माना अवकल समीकरण x dy = (sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.दोनों पक्षों को $x^

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$\frac{3}{2}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.यह सरल होकर प्राप्त होता है: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.मानक समाकलन $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ का उपयोग करने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,जहाँ $k = e^{C}$.अतः,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x=1, y=0$ रखने पर: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.वक्र का समीकरण $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ है।$x = 2, y = \alpha$ के लिए: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

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