यदि अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y-2}{x- | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ है।माना $X = x-1$ और $Y = y-1$,तब $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$।अंश और

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$2 	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \log_{e}(k^{2}+1)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ है।माना $X = x-1$ और $Y = y-1$,तब $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$।अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$।माना $Y = VX$,तब $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$।इसे प्रतिस्थापित करने पर,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,अतः $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$।$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$।$	an^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$।$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ रखने पर,$	an^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}ight) = \ln|x-1| + C$।चूंकि यह $(2,1)$ से गुजरता है,$X=1, Y=0$: $	an^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$।बिंदु $(k+1, 2)$ के लिए,$X=k, Y=1$: $	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}ight) = \ln(k)$।$	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}ight) = \ln(k)$।$	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}ight) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}ight) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}ight) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$।दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \ln(k^{2}+1)$।

यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$ का हल वक्र बिंदुओं $(2,1)$ और $(k+1, 2)$ से होकर गुजरता है,जहाँ $k > 0$,तो:

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