प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$सर्वसमिका $\sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हुए,हम

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(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$सर्वसमिका $\sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिस्थापित करते हैं:$\cos ^{-1}(x) - 2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)) = \cos ^{-1}(2x)$व्यंजक को सरल करने पर:$\cos ^{-1}(x) - \pi + 2 \cos ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$$3 \cos ^{-1}(x) = \pi + \cos ^{-1}(2x)$दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:$\cos(3 \cos ^{-1}(x)) = \cos(\pi + \cos ^{-1}(2x))$सर्वसमिका $\cos(3	heta) = 4\cos^3(	heta) - 3\cos(	heta)$ और $\cos(\pi + 	heta) = -\cos(	heta)$ का उपयोग करते हुए:$4x^3 - 3x = -2x$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$4x^3 - x = 0$$x(4x^2 - 1) = 0$अतः,हल $x = 0$,$x = \frac{1}{2}$,और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।मूल समीकरण में हलों की जाँच करने पर:$x = 0$ के लिए: $\cos^{-1}(0) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ और $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. (मान्य)$x = \frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\pi}{6}) = 0$ और $\cos^{-1}(1) = 0$. (मान्य)$x = -\frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} - 2(-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$ और $\cos^{-1}(-1) = \pi$. (मान्य)हलों का योग $0 + \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0$ है।

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