माना परवलय P: y^{2}=4x की नाभीय जीवा रेखा L: | vedclass

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Question

(B) परवलय $P: y^{2}=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $(1, 0)$ है। चूँकि $L: y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(1) + c$,जिससे $c = -m

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$2\sqrt{14}$

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(B) परवलय $P: y^{2}=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $(1, 0)$ है। चूँकि $L: y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(1) + c$,जिससे $c = -m$ प्राप्त होता है।अतः,रेखा $y = m(x-1)$ है।अतिपरवलय $H: x^{2}-y^{2}=4$ है,अर्थात $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$। यहाँ $a^{2}=4, b^{2}=4$ है।रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है।$c = -m$ प्रतिस्थापित करने पर,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,इसलिए $m^{2} = 4m^{2} - 4$,जिसका अर्थ है $3m^{2} = 4$,या $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ होने के कारण)।तब $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$। रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु $M(x_{1}, y_{1})$ और $N(x_{2}, y_{2})$ प्राप्त करने के लिए $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ को $y^{2}=4x$ में रखने पर:$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$।मूल $x_{1}, x_{2}$ हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2}=5$ और $x_{1}x_{2}=1$ है।$y$-निर्देशांक $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ हैं।चतुर्भुज $OMFN$ का क्षेत्रफल $	riangle OMF$ और $	riangle ONF$ के क्षेत्रफलों का योग है।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$।यहाँ $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ की नाभि $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ है)।$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$।

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