AP EAMCET 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दी गई श्रेणी $\log _4 2 - \log _8 2 + \log _{16} 2 - \ldots$ है।
गुणधर्म $\log _b a = \frac{1}{\log _a b}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\log _2 4} - \frac{1}{\log _2 8} + \frac{1}{\log _2 16} - \ldots$
$= \frac{1}{\log _2 2^2} - \frac{1}{\log _2 2^3} + \frac{1}{\log _2 2^4} - \ldots$
$= \frac{1}{2 \log _2 2} - \frac{1}{3 \log _2 2} + \frac{1}{4 \log _2 2} - \ldots$
चूँकि $\log _2 2 = 1$,श्रेणी इस प्रकार होगी:
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \ldots$
हम जानते हैं कि $\log _e(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
$x = 1$ रखने पर,$\log _e(1 + 1) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots$
$\Rightarrow \log _e 2 = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \ldots)$
$\Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \ldots = 1 - \log _e 2$

(D) दी गई असमिका: $\frac{14 x}{x+1}-\frac{9 x-30}{x-4} < 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{14 x(x-4)-(9 x-30)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2+9 x-30 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2-21 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5 x^2-35 x+30}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x^2-7 x+6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x-1)(x-6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $-1, 1, 4, 6$ हैं:
यह व्यंजक $(-1, 1)$ और $(4, 6)$ अंतराल में ऋणात्मक है।
अतः,$x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$।

(B) माना $x-1 = t$,इसलिए $x = t+1$। अंश में यह मान रखने पर:
$3(t+1)^2 + (t+1) + 1 = 3(t^2+2t+1) + t + 2 = 3t^2 + 6t + 3 + t + 2 = 3t^2 + 7t + 5$।
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{3t^2+7t+5}{t^4} = \frac{3}{t^2} + \frac{7}{t^3} + \frac{5}{t^4}$।
इसकी तुलना $\frac{a}{t} + \frac{b}{t^2} + \frac{c}{t^3} + \frac{d}{t^4}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 0, b = 3, c = 7, d = 5$।
अतः,$\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 7 & 5\end{array}\right]$।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
$a, b, c$ का मान ज्ञात करने पर:
$b = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 6^2 - 2(11) = 36 - 22 = 14$
$c = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (6-\gamma)(6-\alpha)(6-\beta)$
चूंकि $x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)$,इसलिए मूल $1, 2, 3$ हैं।
$c = (6-1)(6-2)(6-3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$
मानों की तुलना करने पर: $b=11, a=14, c=60$।
अतः,$b < a < c$।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-b x^2+c x-d=0$.
माना गुणोत्तर श्रेणी में मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1$. मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$
$2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + r + 1) = c$ ... (ii)
$3$. मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii)
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$.
$a = \frac{c}{b}$ को (iii) में रखने पर: $(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3-a x^2+a x-1=0$ है।
हम समीकरण का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$(x^3-1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1-a x) = 0$
$(x-1)(x^2+(1-a)x+1) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 1$ एक मूल है,इसलिए $\alpha$ द्विघात समीकरण $x^2+(1-a)x+1=0$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$\alpha^2+(1-a)\alpha+1=0$।
$\alpha$ से भाग देने पर (चूंकि $\alpha \neq 0$),हमें $\alpha + (1-a) + \frac{1}{\alpha} = 0$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $x$ एक मूल है,तो $\frac{1}{x}$ भी एक मूल है क्योंकि समीकरण व्युत्क्रम (reciprocal) है।
इसलिए,यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\frac{1}{\alpha}$ भी एक मूल है।

(D) $z=1+i \sqrt{3}$
चूंकि $z$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$ है।
इसके संयुग्मी $\bar{z} = 1-i \sqrt{3}$ के लिए,जो चतुर्थ चतुर्थांश में है,$\operatorname{Arg} \bar{z} = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$|\operatorname{Arg} z| + |\operatorname{Arg} \bar{z}| = |\frac{\pi}{3}| + |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) $a_n = \frac{10^n}{n!}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ की जाँच करते हैं।
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ के बढ़ते क्रम के लिए,हमें $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{10}{n} > 1$,अर्थात $n < 10$.
इसका अर्थ है $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ के लिए,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,जिसका अर्थ है $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ के लिए,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,जिसका अर्थ है $a_n < a_{n-1}$.
अतः,अनुक्रम $a_n$ अपना अधिकतम मान $n = 9$ और $n = 10$ दोनों पर प्राप्त करता है।
इसलिए,$n$ का अधिकतम मान $10$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos (x-y), \cos x, \cos (x+y)$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
अतः,$\cos x = \frac{2 \cos (x-y) \cos (x+y)}{\cos (x+y) + \cos (x-y)}$.
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{\cos 2x + \cos 2y}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{2 \cos^2 x + 2 \cos^2 y - 2}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos^2 x \cos y = \cos^2 x + \cos^2 y - 1$.
$\cos^2 x (\cos y - 1) = \cos^2 y - 1$.
$\cos^2 x (1 - \cos y) = 1 - \cos^2 y$.
$\cos^2 x (1 - \cos y) = (1 - \cos y)(1 + \cos y)$.
चूंकि $\cos x \neq \cos y$,इसलिए $1 - \cos y \neq 0$,अतः:
$\cos^2 x = 1 + \cos y$.

(B) माना कि अभीष्ट बिंदु $P$ है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,और $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(A) $y$-अक्ष में रेखा $x+y-2=0$ का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x+y-2=0$ में $x = -x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-x)+y-2=0$
$-x+y-2=0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x-y+2=0$
वैकल्पिक रूप से,रेखा $x+y=2$ बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
$y$-अक्ष में $A(2, 0)$ का प्रतिबिंब $A'(-2, 0)$ है,और $B(0, 2)$ का प्रतिबिंब $B(0, 2)$ स्वयं है।
$A'(-2, 0)$ और $B(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$y-0 = \frac{2-0}{0-(-2)}(x-(-2))$
$y = \frac{2}{2}(x+2)$
$y = x+2$
$x-y+2=0$

(B) धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर समान अंतःखंड $a$ बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि इस रेखा की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $1$ इकाई है,इसलिए:
$\left| \frac{0 + 0 - a}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 1$
$\left| \frac{-a}{\sqrt{2}} \right| = 1 \implies a = \sqrt{2}$ (क्योंकि अंतःखंड धनात्मक अक्षों पर हैं)।
अतः,रेखा का समीकरण $x + y = \sqrt{2}$ है।
दूसरी रेखा $y = 2x + 3 + \sqrt{2}$ दी गई है,जिसे $2x - y = -3 - \sqrt{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करें:
$x + y = \sqrt{2}$
$2x - y = -3 - \sqrt{2}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$3x = -3 \implies x_0 = -1$.
$x_0 = -1$ को $x + y = \sqrt{2}$ में रखने पर:
$-1 + y_0 = \sqrt{2} \implies y_0 = \sqrt{2} + 1$.
अब,$2x_0 + y_0$ का मान:
$2(-1) + (\sqrt{2} + 1) = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$.

(C) दी गई रेखा $4x - 2y = 1$ है,जिसे $y = 2x - 1/2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए। अतः,$2 \times m_2 = -1$,यानी $m_2 = -1/2$ है।
$-1/2$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण $x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $x=0$ और $y=0$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं:
$x=0$ के लिए,$2y = -\lambda \implies y = -\lambda/2$ है।
$y=0$ के लिए,$x = -\lambda$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} |-\lambda| \times |-\lambda/2| = 4$ है।
$\frac{\lambda^2}{4} = 4 \implies \lambda^2 = 16 \implies \lambda = \pm 4$ है।
$\lambda = 4$ को $x + 2y + \lambda = 0$ में रखने पर $x + 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x + 4y + 8 = 0$ के समतुल्य है।

(A) माना बिंदु $P(4, -13)$ का प्रतिबिंब $P^{\prime}(x_1, y_1)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $5x + y + 6 = 0$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ का सूत्र है:
$\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$
मान $x_0 = 4, y_0 = -13, a = 5, b = 1, c = 6$ रखने पर:
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 - (-13)}{1} = -2 \frac{5(4) + 1(-13) + 6}{5^2 + 1^2}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{20 - 13 + 6}{25 + 1}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{13}{26}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -1$
अब,$x_1$ और $y_1$ के लिए हल करने पर:
$\frac{x_1 - 4}{5} = -1$ $\Rightarrow x_1 - 4 = -5$ $\Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{y_1 + 13}{1} = -1$ $\Rightarrow y_1 + 13 = -1$ $\Rightarrow y_1 = -14$
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(-1, -14)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $8x^2 - 24xy + 18y^2 - 6x + 9y - 5 = 0$ है।
द्विघात भाग को $2(2x - 3y)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाएं $(2x - 3y + c_1)(2x - 3y + c_2) = 0$ के रूप में हैं।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,$4x^2 - 12xy + 9y^2 - 3x + 4.5y - 2.5 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $c_1 + c_2 = -1.5$ और $c_1c_2 = -2.5$ है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$(c_1 - c_2)^2 = (c_1 + c_2)^2 - 4c_1c_2 = 2.25 + 10 = 12.25$।
अतः $|c_1 - c_2| = 3.5 = 7/2$।
दूरी $= \frac{7/2}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $x^2+y^2=4$ तथा $x+y=a$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण,वृत्त के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$x^2+y^2=4(\frac{x+y}{a})^2$
$a^2(x^2+y^2)=4(x^2+y^2+2xy)$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2(a^2-4)=0$
$a^2=4$
चूँकि $a>0$ है,इसलिए $a=2$ प्राप्त होता है।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
सबसे पहले,हर (denominator) की गणना करें: $ab-h^2 = (3)(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = \frac{120-121}{4} = -\frac{1}{4}$.
अब,$x$ के लिए अंश (numerator) की गणना करें: $hf-bg = (-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2}) = -\frac{143}{4} + 35 = \frac{-143+140}{4} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$x = \frac{-3/4}{-1/4} = 3$.
अब,$y$ के लिए अंश की गणना करें: $gh-af = (-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2}) = \frac{77}{4} - \frac{39}{2} = \frac{77-78}{4} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$y = \frac{-1/4}{-1/4} = 1$.
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।

(C) माना $P(x_1, y_1)$ वह बिंदु है जहाँ से वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-5x+16=0$ ($5$ से भाग देने पर)
$S_3 \equiv x^2+y^2-8x+16y+160=0$
चूँकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,$\sqrt{S_1} = \sqrt{S_2} = \sqrt{S_3}$,जिसका अर्थ है $S_1 = S_2 = S_3$.
$S_1 = S_3$ की तुलना करने पर:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-8x_1+16y_1+160$
$40 = 16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$.
$S_1 = S_2$ की तुलना करने पर:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-5x_1+16$
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ हैं।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और आधार $P$ है। दो बिंदु $C$ और $B$ इस प्रकार हैं कि $PC = a$ और $PB = b$ है। उन्नयन कोण $\angle ACP = \theta$ और $\angle ABP = \phi$ हैं। दिया गया है कि $\theta + \phi = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ACP$ में,$\tan \theta = \frac{h}{a}$ है।
$\triangle ABP$ में,$\tan \phi = \frac{h}{b}$ है।
चूँकि $\theta + \phi = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\phi = 90^{\circ} - \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \phi = \tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ है।
मान रखने पर,$\frac{h}{b} = \frac{1}{h/a} = \frac{a}{h}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2 = ab$,जिससे $h = \sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+(\sqrt{3}+2)x+(\sqrt{3}-1)=0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$m_1+m_2 = -(\sqrt{3}+2)$
$m_1m_2 = \sqrt{3}-1$
मूलों का अंतर:
$|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2} = \sqrt{11}$.
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(c/m_1, c)$ और $(c/m_2, c)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{c^2}{2} |\frac{m_2-m_1}{m_1m_2}| = \frac{c^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}-1} = \left(\frac{\sqrt{33}+\sqrt{11}}{4}\right)c^2$.

(C) माना $z = \sqrt{3}+i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ और $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ और $\bar{z} = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$z^7 + \bar{z}^7 = 2^7(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) + 2^7(\cos \frac{7\pi}{6} - i \sin \frac{7\pi}{6})$.
$= 2^7(2 \cos \frac{7\pi}{6}) = 2^8 \cos(\pi + \frac{\pi}{6})$.
$= -2^8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -256 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -128 \sqrt{3}$.

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
व्यंजक $(x+1)(x+\omega)(x-\omega-1)$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $-\omega-1 = \omega^2$ क्योंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
अतः,व्यंजक $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$ होता है।
यहाँ,मूल $-1, -\omega, -\omega^2$ हैं।
इसलिए,$(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = x^3 - (-1-\omega-\omega^2)x^2 + (\omega+\omega^2+\omega^3)x - (1)(\omega)(\omega^2)$ है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $-1-\omega-\omega^2=0$ है।
साथ ही,$\omega+\omega^2+\omega^3 = -1 + 1 = 0$ है।
और $\omega^3 = 1$ है।
इसलिए,व्यंजक $x^3 - (0)x^2 + (0)x - 1 = x^3 - 1$ में सरल हो जाता है।

(C) $a_n$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ पर विचार करते हैं।
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ के बढ़ते क्रम के लिए,हमें $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{10}{n} > 1$,इसलिए $n < 10$.
इसका अर्थ है $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ के लिए,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,जो दर्शाता है कि $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ के लिए,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,जो दर्शाता है कि $a_n < a_{n-1}$.
अतः,अनुक्रम $a_n$ अपना अधिकतम मान $n = 9$ और $n = 10$ दोनों पर प्राप्त करता है।

(D) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
इससे $n = -9$ या $n = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(B) दिया गया है,$n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$।
हम फैक्टोरियल के मानों की गणना करते हैं:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
किसी भी $k \ge 10$ के लिए,$k!$ के अंतिम दो अंक $00$ होते हैं।
अतः,$n$ के अंतिम दो अंक $1! + 4! + 7! + 10! + \ldots$ के अंतिम दो अंकों के समान हैं।
$1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$।
चूंकि बाद के सभी पद $10!, 13!, \ldots$ का अंत $00$ से होता है,इसलिए योग $n$ का अंत $65$ से होता है।
अतः,$n$ का दहाई का अंक $6$ है।

(D) दिया गया है,$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = 6^n - 5n$
हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots + {^nC_n}(5^n)$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots + {^nC_n}(5^{n-2}))$
अब,दोनों पक्षों से $5n$ घटाने पर:
$a_n = 6^n - 5n = 1 + 25({^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n})$
मान लीजिए $k = {^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n}$,जहाँ $n \geq 2$ के लिए $k$ एक पूर्णांक है।
अतः,$a_n = 1 + 25k$
$n = 1$ के लिए,$a_1 = 6^1 - 5(1) = 1$
दोनों ही स्थितियों में,$a_n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{(1-5x)(1-4x)}$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{5}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
इन दोनों श्रेणियों का गुणा करने पर:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1 \cdot (64) + (5) \cdot (16) + (25) \cdot (4) + (125) \cdot 1$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(A) दिया गया है $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$।
द्विपद प्रसार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^n {}^{n}C_k y^k$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = 2x+3x^2$ है।
$(1+2x+3x^2)^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = 20$ और $a_2 = 210$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$।

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ से भाग देने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\sin \frac{\pi}{12} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{12} \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{4}$.
व्यापक हल: $\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,जहाँ $n \in Z$.

(B) दिया गया है: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ को अलग करने पर:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$ है।
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{3(1 - 3 \tan^2 \theta)} \times 3 = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = \tan 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ होता है। इसलिए,$\tan 3\theta$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) माना कि अभीष्ट बिंदु $P(x, y, z)$ है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,और $n = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=6, c=15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$ है।
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ है।
माना संकेंद्रित वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ है।
प्रश्न के अनुसार,नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = 2A_1 = 60\pi$ है।
अतः,$\pi r_2^2 = 60\pi$,जिसका अर्थ है $r_2^2 = 60$।
$r_2^2 = 45-k$ रखने पर,$45-k = 60$,जिससे $k = -15$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ है।

(C) माना $P(x_1, y_1)$ वह बिंदु है। वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
दिए गए वृत्तों को मानक रूप में बदलने पर:
$S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
चूंकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,$S_1 = S_2 = S_3$:
$S_1 = S_3$ लेने पर:
$-8x_1+40 = -8x_1+16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$
$S_1 = S_2$ लेने पर:
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$
अतः,बिंदु $P$ का मान $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ है।

(C) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 15$ और $r_2 = 20$ हैं। उनके केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = 25$ है।
यहाँ $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = d^2$ है।
चूँकि त्रिज्याओं के वर्गों का योग केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\triangle AC_1C_2$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C_1AC_2 = 90^\circ$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1C_2$ पर लंब है। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ है।
$\triangle AC_1C_2$ में,कर्ण $C_1C_2$ पर डाला गया शीर्षलंब $AD$ उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई का आधा है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल से: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times AD$.
$15 \times 20 = 25 \times AD$.
$AD = \frac{300}{25} = 12$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ इकाई।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
चूंकि वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ होगा।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$।
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्तों के समीकरण $7x^2+7y^2-7x+14y+18=0$ और $4x^2+4y^2-7x+8y+20=0$ हैं।
पहले समीकरण को $7$ से विभाजित करने पर: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$ $(S_1=0)$।
दूसरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$ $(S_2=0)$।
मूलाक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$।
$(-x + \frac{7}{4}x) + (\frac{18}{7} - 5) = 0$।
$\frac{3}{4}x + (\frac{18-35}{7}) = 0$।
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$।
$21x - 68 = 0$।

(C) $y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है ...$(i)$
चूँकि परवलय $(0,4)$ से गुजरता है,$4 = A(0)^2 + B(0) + C$,जिससे $C = 4$ प्राप्त होता है ...(ii)
चूँकि यह $(1,9)$ से गुजरता है,$9 = A(1)^2 + B(1) + 4$,जिससे $A + B = 5$ प्राप्त होता है ...(iii)
चूँकि यह $(4,5)$ से गुजरता है,$5 = A(4)^2 + B(4) + 4$,जिससे $16A + 4B = 1$ या $4A + B = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है ...(iv)
समीकरण (iv) से (iii) घटाने पर: $3A = \frac{-19}{4}$,जिससे $A = \frac{-19}{12}$
$A$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
अतः,परवलय का समीकरण $y = \frac{-19}{12} x^2 + \frac{79}{12} x + 4$ है।

(C) दिया गया है कि $\triangle SPM$ समबाहु है।
परवलय $y^2=8(x-3)$ के लिए,$4a=8$,अतः $a=2$ है।
शीर्ष $(3, 0)$ है और नाभि $S(5, 0)$ है।
नियता $x=1$ है।
$P(x, y)$ के लिए,$PS = PM = |x-1|$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए $PS=SM$ होना चाहिए।
$SM^2 = (5-1)^2 + y^2 = 16 + y^2$ है।
$PS^2 = (x-1)^2 = 16 + y^2$ है।
$y^2 = 8(x-3)$ रखने पर,$(x-1)^2 = 16 + 8(x-3) = 8x - 8$ प्राप्त होता है।
$x^2 - 2x + 1 = 8x - 8 \Rightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$ है।
$(x-9)(x-1) = 0$। अतः $x=9$ है।
$y^2 = 8(9-3) = 48 \Rightarrow y = \pm 4\sqrt{3}$ है।
अतः $P = (9, 4\sqrt{3})$ है।

(C) दी गई संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।
दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
माना परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।
$(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय (polar) समीकरण $yy_1 = 4(x + x_1)$ है,जो $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ के रूप में है।
इसे $2x + 3y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3}$ से $y_1 = -6$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{2} = \frac{4x_1}{12}$ से $x_1 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(6, -6)$ है।
चूंकि रेखाएँ संयुग्मी हैं,इसलिए ध्रुव $(6, -6)$ दूसरी रेखा $x - y + k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
मान रखने पर: $6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(C) दिया गया वक्र $2x^2+y^2=2x$ है।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने पर,$2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) है।
बिंदु $P(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta, \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)$ और $Q(a, 0)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने पर,अधिकतम दूरी $\sqrt{1-2a+2a^2}$ प्राप्त होती है।

(B) माना $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर कोई बिंदु है।
दिए गए अतिपरवलय की अनंतस्पर्शी रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ हैं।
माना $P_1$,बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
$P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
माना $P_2$,बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
$P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
अतः $P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) दिए गए अनंतस्पर्शी $L_1=0$ और $L_2=0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 \times L_2 + k = 0$ के रूप में होता है।
दिए गए अनंतस्पर्शी $(4x+3y-7)=0$ और $(x-2y-1)=0$ हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ ...$(i)$ है।
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(2,3)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x=2$ और $y=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(C) हम सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ का मूल्यांकन करते हैं।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम $L$'Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{3x^2}$.
यह अभी भी $\frac{0}{0}$ रूप है। पुनः $L$'Hospital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sec^2 x \tan x + \sin x}{6x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{2 \sec^2 x \cdot \tan x}{6x} + \frac{\sin x}{6x} \right) = \frac{2(1)(1)}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C = k \sin 90^{\circ} = k$.
तब,$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B} = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B}$.
चूंकि $B = 90^{\circ} - A$,इसलिए $\sin B = \cos A$ और $\cos B = \sin A$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos 2A$.
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\sin(A+B)\sin(A-B)}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \sin(90^{\circ})\sin(A-B) = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$.

(B) दिया गया है $\Delta = a^2 - (b - c)^2$।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$।
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b - c = 2s - 2c$ और $a - b + c = 2s - 2b$।
अतः,$\Delta = 4(s - b)(s - c)$।
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$।
इससे हमें $\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$।
सूत्र $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{8}{15}$।

(C) हमें समीकरण $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ दिया गया है,जहाँ $|x| < 1$ ...$(i)$
हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) फलन की मानक लघुगणकीय परिभाषा $\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है ...(ii)
समीकरण $(i)$ और समीकरण (ii) की तुलना करने पर,हम लघुगणकीय पद के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं।
अतः,$a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,जहाँ $x \in R$ है।
$y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$ रखने पर,
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2-6y+5) \geq 0$.
$y^2+6y+9 - y^2+6y-5 \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
अतः,दिए गए व्यंजक का न्यूनतम मान $-\frac{1}{3}$ है।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और बिंदु $C$ और $B$ आधार $P$ से क्रमशः $a$ और $b$ दूरी पर हैं।
$\triangle ACP$ में,$\tan \theta = \frac{h}{a} \implies \theta = \arctan(\frac{h}{a})$.
$\triangle ABP$ में,$\tan \phi = \frac{h}{b} \implies \phi = \arctan(\frac{h}{b})$.
दिया गया है कि $\theta + \phi = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 90^{\circ} - \phi$.
दोनों तरफ टैन लेने पर,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} - \phi) = \cot \phi = \frac{1}{\tan \phi}$.
मान रखने पर,$\frac{h}{a} = \frac{1}{h/b} = \frac{b}{h}$.
अतः,$h^2 = ab$,जिससे $h = \sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई असमिका: $\frac{14x}{x+1} - \frac{9x-30}{x-4} < 0$
समान हर लेकर व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{14x(x-4) - (9x-30)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14x^2 - 56x - (9x^2 - 21x - 30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5x^2 - 35x + 30}{(x+1)(x-4)} < 0$
$5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2 - 7x + 6}{(x+1)(x-4)} < 0$
अंश का गुणनखंड करने पर:
$\frac{(x-1)(x-6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $-1, 1, 4, 6$ हैं।
यह व्यंजक $(-1, 1)$ और $(4, 6)$ अंतराल में ऋणात्मक है।
अतः,$x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$.

(B) दिया गया समीकरण निकाय है:
$(k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3$
$(k+1) x + (k+2) y = (k+3)$
$x + y = 1$
निकाय के संगत होने के लिए,संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 & (k+3)^3 \\ (k+1) & (k+2) & (k+3) \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ को लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 - (k+1)^3 & (k+3)^3 - (k+1)^3 \\ (k+1) & (k+2) - (k+1) & (k+3) - (k+1) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$
$D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & 3k^2 + 9k + 7 & 6k^2 + 24k + 26 \\ (k+1) & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot [2(3k^2 + 9k + 7) - 1(6k^2 + 24k + 26)] = 0$
$6k^2 + 18k + 14 - 6k^2 - 24k - 26 = 0$
$-6k - 12 = 0$
$-6k = 12 \Rightarrow k = -2$.

(A) फलन $f(x) = x^2$ है।
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$। इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ केवल तभी होगा यदि $x_1, x_2$ का चिह्न समान हो।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $B$ के बराबर होना चाहिए। $x \in A$ के लिए $f(x) = x^2$ का परिसर ${x^2 : x \in A}$ है।
विश्लेषण:
$(A)$ $A = B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं को धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर मैप करता है। यह एकैकी है (क्योंकि $x_1^2 = x_2^2$ और $x_1, x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$) और आच्छादक है (क्योंकि किसी भी $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ मौजूद है)। अतः,$A \rightarrow 4$।
$(B)$ $A = R^{+}, B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी है (क्योंकि $x > 0$),लेकिन आच्छादक नहीं है क्योंकि $B$ में मौजूद ऋणात्मक मान परिसर $(R^{+})$ द्वारा कवर नहीं होते हैं। अतः,$B \rightarrow 1$।
$(C)$ $A = R, B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$) लेकिन आच्छादक है (क्योंकि प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए पूर्व-प्रतिबिंब $x = \pm \sqrt{y} \in R$ मौजूद है)। अतः,$C \rightarrow 3$।
$(D)$ $A = B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1)$) और आच्छादक भी नहीं है (क्योंकि $B$ में ऋणात्मक मान कवर नहीं होते हैं)। अतः,$D \rightarrow 2$।
सही मिलान $A-4, B-1, C-3, D-2$ है।

(D) दिया गया है: $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ और पुनरावृत्ति संबंध $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ जहाँ $x \ge 3$ है।
हम चरण-दर-चरण मानों की गणना करते हैं:
$f(3) = f(1) + f(0) = 1 + 0 = 1$
$f(4) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3$
$f(5) = f(3) + f(2) = 1 + 2 = 3$
$f(6) = f(4) + f(3) = 3 + 1 = 4$
$f(7) = f(5) + f(4) = 3 + 3 = 6$
$f(8) = f(6) + f(5) = 4 + 3 = 7$
$f(9) = f(7) + f(6) = 6 + 4 = 10$
अतः,$f(9) = 10$।

(B) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।
हम $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-\cos 2x}{x^2}$ की गणना करते हैं।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-(1-2\sin^2 x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-1+2\sin^2 x}{x^2}$.
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x^2+2\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 + 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \right)$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$= 3 + 2(1)^2 = 3 + 2 = 5$.
अतः,सांतत्य के लिए $k = 5$ होगा।

(D) दिया गया है $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^4+y^4}{x+y}\right)$.
माना $v=\sin u=\frac{x^4+y^4}{x+y}$.
यहाँ,$v$ एक $x$ और $y$ का $n = 4 - 1 = 3$ घात वाला समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial v}{\partial y} = n v$.
$v = \sin u$ और $n = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 3 \sin u$.
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \frac{\sin u}{\cos u}$.
अतः,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \tan u$.

(C) दिया गया है $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{2 a x}{a^2+x^2}\right)$।
माना $x=a \tan \theta$,तो $\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$।
व्यंजक में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-a^2 \tan ^2 \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 a^2 \tan \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right)$
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$ और $\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$y=\cos ^{-1}(\cos 2 \theta) + \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
$y=2 \theta + 2 \theta = 4 \theta$।
अब $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ वापस रखने पर:
$y=4 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$।
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a}$
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{a^2}{a^2+x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4 a}{a^2+x^2}$।

(A) हमें समाकलन $I = \int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (2 \sin^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c = \tan \frac{x}{2} + c$.
इसे $f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \tan \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$.
$I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} \tan^{r+2} x \, dx$ पर विचार करें।
$I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x (1 + \tan^2 x) \, dx$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^r x \sec^2 x \, dx$.
मान लीजिए $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$.
$I_r + I_{r+2} = \int_0^1 t^r \, dt = \left[ \frac{t^{r+1}}{r+1} \right]_0^1 = \frac{1}{r+1}$.
अतः,$I_2+I_4 = \frac{1}{3}$,$I_3+I_5 = \frac{1}{4}$,$I_4+I_6 = \frac{1}{5}$,इत्यादि।
ये पद $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ हैं,जो हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं क्योंकि इनके व्युत्क्रम $3, 4, 5, \ldots$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) दी गई शर्त है: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ ...$(i)$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ है।
माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समीकरण $(i)$ से,हम लिख सकते हैं: $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a}+\vec{b})^2 = (-\vec{c})^2$।
विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।
मान रखने पर: $1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta = 1^2$।
$1 + 1 + 2 \cos \theta = 1$।
$2 + 2 \cos \theta = 1$।
$2 \cos \theta = -1$।
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$।
$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$= \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,तथा $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
$= 0 + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 0 = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
परिमाण लेने पर: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$
सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2$ का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$
दिया है $|\overrightarrow{a}| = 2$ और $|\overrightarrow{b}| = 2$,इसलिए $|\overrightarrow{a}|^2 = 4$ और $|\overrightarrow{b}|^2 = 4$:
$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{(4)(4) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} = 2 \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$

(A) दिया गया है,$\overrightarrow{a}=2 x^2 \hat{i}+4 x \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$.
हमें दिया गया है कि $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$.
चूंकि $|\overrightarrow{a}|$ और $|\overrightarrow{b}|$ परिमाण हैं,वे हमेशा धनात्मक होते हैं। इसलिए,$\cos \theta < 0$ का अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2 x^2)(7) + (4 x)(-2) + (1)(x) = 14 x^2 - 8 x + x = 14 x^2 - 7 x$.
असमिका को शून्य से कम रखने पर:
$14 x^2 - 7 x < 0$
$7 x(2 x - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{1}{2}$ ज्ञात करते हैं।
अंतरालों की जाँच:
$x < 0$ के लिए,$7 x(2 x - 1) > 0$.
$0 < x < \frac{1}{2}$ के लिए,$7 x(2 x - 1) < 0$.
$x > \frac{1}{2}$ के लिए,$7 x(2 x - 1) > 0$.
अतः,वह अंतराल जिसके लिए व्यंजक ऋणात्मक है,$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ है।

(B) निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर मिलने वाले समतल का अंतःखंड रूप है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ $\ldots$ $(i)$
शीर्षों $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ वाले त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक का सूत्र है:
$\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$
यह दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 4)$ है,इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \Rightarrow c = 12$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर:
$4x + 2y + z = 12$

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2-6x-12y-2z+20=0$ है।
इसे गोले के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,हमें $2u=-6, 2v=-12, 2w=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$u=-3, v=-6, w=-1$ है।
गोले का केंद्र $(-u,-v,-w) = (3,6,1)$ है।
माना व्यास का दिया गया सिरा $A = (2,3,-3)$ है और दूसरा सिरा $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
चूँकि केंद्र $O(3,6,1)$ व्यास $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$O = \left( \frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+3}{2}, \frac{\gamma-3}{2} \right) = (3,6,1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha+2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha+2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$।
$\frac{\beta+3}{2} = 6 \Rightarrow \beta+3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$।
$\frac{\gamma-3}{2} = 1 \Rightarrow \gamma-3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$।
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(4,9,5)$ है।

(D) घटना $A_i$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}_i) = 1 - P(A_i)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P(A_i) = \frac{1}{1+i}$,इसलिए $P(\bar{A}_i) = 1 - \frac{1}{1+i} = \frac{1+i-1}{1+i} = \frac{i}{1+i}$।
चूंकि $A_i$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी $A_i$ घटित न हो,उनके पूरक की प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P(\text{कोई भी } A_i \text{ घटित न हो}) = P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n)$।
मान रखने पर:
$= \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है जहाँ प्रत्येक पद का अंश पिछले पद के हर के साथ कट जाता है:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$।

(C) यहाँ $h = 1$ ($x$ के क्रमागत मानों के बीच का अंतर)।
मान लीजिए $f(x)$ के मान $y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$ हैं।
यहाँ,$y_0 = 2, y_1 = 3, y_2 = 6, y_3 = 11, y_4 = 18, y_5 = 27$ है।
ट्रेपेज़ॉइडल नियम के अनुसार,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{h}{2} [ (y_0 + y_5) + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) ]$
मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
$A = \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$
अतः,अनुमानित क्षेत्रफल $52.5$ वर्ग इकाई है।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$-2x+2=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times$ (प्रथम चतुर्थांश में $x=0, x=\frac{1}{2}, x=1$ और वृत्तों के चाप द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल) होगा।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + \int_{1/2}^1 \sqrt{1-x^2} dx \right]$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \left( \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right)_0^{1/2} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_{1/2}^1 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{-1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right) + \left( (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\det(I+A) \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
हमें $A^3 = O$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
$x = A$ और $y = I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^3 = O$ और $I^3 = I$,समीकरण $O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$ बन जाता है।
यह सरल होकर $I = (A+I)(A^2 - A + I)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $(A+I)^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(A+I)^{-1}(A+I) = I$,इसलिए $(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I) = A^2 - A + I$ है।
अतः,$(I+A)^{-1} = I - A + A^2$।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right| = 0$.
दूसरे सारणिक से $xyz$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$.
स्तंभों की अदला-बदली ($C_1 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_3$) करने पर,दूसरा सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ बन जाता है।
अतः,$(1+xyz) \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = 0$.
चूंकि $x \neq y \neq z$,सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
इसलिए,$1+xyz = 0$।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का एक-एक करके अवकलन किया जाता है:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ 1 & -2 \sin x & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 0 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
अब,$x = \pi$ रखने पर (जहाँ $\sin \pi = 0$ और $\cos \pi = -1$):
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$.
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि इसकी पहली पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं।
दूसरा सारणिक $-2(0 - 0) - 1(-2 - 0) + 0 = 2$ है।
तीसरा सारणिक $0$ है क्योंकि इसकी तीसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं।
अतः,$f^{\prime}(\pi) = 0 + 2 + 0 = 2$.

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $
$ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $
$ x + y = 1 $
प्रणाली के सुसंगत होने के लिए,संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) का सारणिक शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $ D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 & (k+3)^3 \\ k+1 & k+2 & k+3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $.
स्तंभ संक्रियाओं $ C_2 \rightarrow C_2 - C_1 $ और $ C_3 \rightarrow C_3 - C_1 $ को लागू करने पर:
$ D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & (k+2)^3 - (k+1)^3 & (k+3)^3 - (k+1)^3 \\ k+1 & (k+2) - (k+1) & (k+3) - (k+1) \\ 1 & 1 - 1 & 1 - 1 \end{vmatrix} = 0 $
$ D = \begin{vmatrix} (k+1)^3 & 3k^2 + 9k + 7 & 6k^2 + 24k + 26 \\ k+1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 $
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$ 1 \cdot [2(3k^2 + 9k + 7) - 1(6k^2 + 24k + 26)] = 0 $
$ 6k^2 + 18k + 14 - 6k^2 - 24k - 26 = 0 $
$ -6k - 12 = 0 $
$ -6k = 12 $
$ k = -2 $.

(B) दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
अतः,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
माना $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ और $B = \tan ^{-1} z$.
तब $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
$\tan(A+B)$ का मान $\infty$ होने के लिए,हर (denominator) $0$ होना चाहिए।
अतः,$1 - \tan A \tan B = 0$.
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{xz + yz}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - xz - yz = 0$.
इसलिए,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(D) फलन $f(x) = x^2$ के रूप में परिभाषित है।
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि $A = B = R^{+}$.
$A = R^{+}$ के लिए,$f(x) = x^2$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए यह एकैकी है। चूँकि $B = R^{+}$ है,प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$A \rightarrow 4$.
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि $A = R^{+}, B = R$.
$A = R^{+}$ के लिए,$f(x) = x^2$ एकैकी है। चूँकि $B = R$ है,परिसर $R^{+}$ है,जो $B$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$B \rightarrow 1$.
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि $A = R, B = R^{+}$.
$A = R$ के लिए,$f(1) = 1$ और $f(-1) = 1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। चूँकि $B = R^{+}$ है,प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \pm \sqrt{y} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$C \rightarrow 3$.
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि $A = B = R$.
$A = R$ के लिए,$f(1) = f(-1) = 1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। चूँकि $B = R$ है,परिसर $R^{+}$ है,जो $B$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$D \rightarrow 2$.
अतः,सही मिलान $A \rightarrow 4, B \rightarrow 1, C \rightarrow 3, D \rightarrow 2$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$।
प्रथम अवकलज: $f'(x) = \cos x - \sin x$।
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = -\sin x - \cos x$।
तृतीय अवकलज: $f'''(x) = -\cos x + \sin x$।
चतुर्थ अवकलज: $f^{(iv)}(x) = \sin x + \cos x$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
इसी प्रकार,$f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

(B) दिया गया है $y = \sin(m \sin^{-1} x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y_1 \sqrt{1-x^2} = m \cos(m \sin^{-1} x)$.
अब गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$y_2 \sqrt{1-x^2} + y_1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = m \cdot (-\sin(m \sin^{-1} x)) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}$.
$y_2 \sqrt{1-x^2} - \frac{x y_1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{m^2 \sin(m \sin^{-1} x)}{\sqrt{1-x^2}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y_2(1-x^2) - x y_1 = -m^2 \sin(m \sin^{-1} x)$.
चूंकि $y = \sin(m \sin^{-1} x)$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = -m^2 y$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r) = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $f(x)$ से गुणा करने पर,$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan rx) f(x) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है।
$\triangle OPB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$\Rightarrow r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
शंकु का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

(A) दिया गया है $f_n(x) = \log \log \ldots \log x$ ($n$ बार)।
माना $I = \int \frac{dx}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x)}$।
माना $t = f_n(x) = \log(f_{n-1}(x))$।
तब,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{f_{n-1}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(f_{n-1}(x)) = \frac{1}{f_{n-1}(x) f_{n-2}(x) \ldots f_1(x) \cdot x}$।
अतः,$dx = (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x) f_n(x)} = \int \frac{dt}{f_n(x)} = \int \frac{dt}{t}$।
$I = \log(t) + c = \log(f_n(x)) + c$।
चूंकि $f_{n+1}(x) = \log(f_n(x))$,इसलिए $I = f_{n+1}(x) + c$।

(A) $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों का अवकलन करेंगे ताकि यह देख सकें कि कौन सा विकल्प समाकल्य $\frac{7 x^8+8 x^7}{\left(1+x+x^8\right)^2}$ देता है।
माना $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ है।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(1+x+x^8)(8x^7) - x^8(1+8x^7)}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{8x^7 + 8x^8 + 8x^{15} - x^8 - 8x^{15}}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{7x^8 + 8x^7}{(1+x+x^8)^2}$
चूँकि अवकलज समाकल्य से मेल खाता है,इसलिए $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
$\frac{\sin y}{\cos y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
माना $t = \cos y$,तब $dt = -\sin y dy$,अतः $-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{t} = -2 \cos x + c$
$t = \cos y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec y = -2 \cos x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर: $y \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^2}{x} - x$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{d y}{d x} - \frac{2 y^2}{x} = -x$ $\ldots$ $(i)$।
माना $v = y^2$ है। तब $\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d y}{d x}$,जिसका अर्थ है $y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = -x$।
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{d v}{d x} - \frac{4 v}{x} = -2 x$।
यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{4}{x}$ और $Q(x) = -2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{4}{x} d x} = e^{-4 \ln |x|} = x^{-4}$ है।
हल $v \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + c$ है।
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = \int -2 x^{-3} d x + c$।
$\frac{v}{x^4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = \frac{1}{x^2} + c$।
$v = x^2 + c x^4$।
चूंकि $v = y^2$ है,इसलिए वक्रों का परिवार $y^2 = x^2 + c x^4$ है।

(A) दिया गया है कि,$\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ इस समतल के लंबवत है।
दिया गया है कि सदिश $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{c}$ को लंबवत सदिश $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ और $\overrightarrow{c}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{c}$ के साथ अदिश गुणनफल करें:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda - 1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 0$.

(D) स्थिति $I$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_1) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $7$ सफेद और $8$ काली गेंदें हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_2|W_1) = \frac{7}{7+8} = \frac{7}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $= P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ है।
स्थिति $II$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से काली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ सफेद और $9$ काली गेंदें हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_2|B_1) = \frac{6}{6+9} = \frac{6}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $= P(B_1) \times P(W_2|B_1) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ है।
कुल प्रायिकता $= \frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ है।

(B) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^4 = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ है।
हमें $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(C) मान लीजिए कि $\lambda$ पॉइसन वितरण का माध्य है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया है कि $P(X=1) = P(X=2)$,इसलिए:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
चूँकि $\lambda > 0$,$\lambda$ से भाग देने पर $1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$।
अब,$P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \frac{2^5 e^{-2}}{5!} = \frac{32 e^{-2}}{120}$।
भिन्न $\frac{32}{120}$ को $8$ से विभाजित करने पर $\frac{4}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X=5) = \frac{4}{15} e^{-2}$।