मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x^2$ है।$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$। इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ केवल तभी होगा यदि $x_1, x_2$ का

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(A) फलन $f(x) = x^2$ है।$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 = x_2^2$। इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ केवल तभी होगा यदि $x_1, x_2$ का चिह्न समान हो।$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $B$ के बराबर होना चाहिए। $x \in A$ के लिए $f(x) = x^2$ का परिसर ${x^2 : x \in A}$ है।विश्लेषण:$(A)$ $A = B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं को धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर मैप करता है। यह एकैकी है (क्योंकि $x_1^2 = x_2^2$ और $x_1, x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$) और आच्छादक है (क्योंकि किसी भी $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ मौजूद है)। अतः,$A \rightarrow 4$।$(B)$ $A = R^{+}, B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी है (क्योंकि $x > 0$),लेकिन आच्छादक नहीं है क्योंकि $B$ में मौजूद ऋणात्मक मान परिसर $(R^{+})$ द्वारा कवर नहीं होते हैं। अतः,$B \rightarrow 1$।$(C)$ $A = R, B = R^{+}$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$) लेकिन आच्छादक है (क्योंकि प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए पूर्व-प्रतिबिंब $x = \pm \sqrt{y} \in R$ मौजूद है)। अतः,$C \rightarrow 3$।$(D)$ $A = B = R$: $f(x) = x^2$ एकैकी नहीं है (क्योंकि $f(1) = f(-1)$) और आच्छादक भी नहीं है (क्योंकि $B$ में ऋणात्मक मान कवर नहीं होते हैं)। अतः,$D \rightarrow 2$।सही मिलान $A-4, B-1, C-3, D-2$ है।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि	$4$. $A = B = R^{+}$

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