यदि रेखाएँ 2x + 3y + 12 = 0 और x - y + k = 0 | vedclass

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Question

(C) दी गई संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रु

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$-12$

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(C) दी गई संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।माना परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।$(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय (polar) समीकरण $yy_1 = 4(x + x_1)$ है,जो $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ के रूप में है।इसे $2x + 3y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$ प्राप्त होता है।$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3}$ से $y_1 = -6$ प्राप्त होता है।$\frac{4}{2} = \frac{4x_1}{12}$ से $x_1 = 6$ प्राप्त होता है।अतः,ध्रुव $(6, -6)$ है।चूंकि रेखाएँ संयुग्मी हैं,इसलिए ध्रुव $(6, -6)$ दूसरी रेखा $x - y + k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।मान रखने पर: $6 - (-6) + k = 0$.$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

यदि रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + k = 0$ परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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