AP EAMCET 2004 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $d(n)$,$n$ के धनात्मक भाजकों की संख्या को दर्शाता है।
एक अभाज्य संख्या $P$ के लिए,$P^7$ के भाजक $P^0, P^1, P^2, P^3, P^4, P^5, P^6, P^7$ हैं। अतः,$d(P^7) = 8$.
अब,हम $d(8)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $8 = 2^3$,भाजकों की संख्या $3 + 1 = 4$ है। अतः,$d(8) = 4$.
अंत में,हम $d(4)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $4 = 2^2$,भाजकों की संख्या $2 + 1 = 3$ है। अतः,$d(4) = 3$.
इसलिए,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(D) दिया गया है,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
लघुगणक की परिभाषा $\log _a b = c \Rightarrow b = a^c$ का उपयोग करने पर:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
चूंकि $27 = 3^3$,इसलिए $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
अतः,$\log _3 x = 3$.
पुनः,लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$x = 3^3$.
इसलिए,$x = 27$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3 - 10x^2 + 7x + 8 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8$
अब,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
आगे,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
अंत में,$\frac{\alpha}{\beta\gamma} + \frac{\beta}{\gamma\alpha} + \frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
अतः,सही मिलान $A-5, B-3, C-2, D-1$ है।

(D) चूंकि $(x-2)$,व्यंजकों $x^2+ax+b$ और $x^2+cx+d$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,इसलिए $x=2$ पर इन व्यंजकों का मान $0$ होना चाहिए।
$x^2+ax+b$ के लिए: $(2)^2+a(2)+b=0 \Rightarrow 4+2a+b=0 \dots(i)$
$x^2+cx+d$ के लिए: $(2)^2+c(2)+d=0 \Rightarrow 4+2c+d=0 \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4+2a+b) - (4+2c+d) = 0 - 0$
$2a+b-2c-d = 0$
$b-d = 2c-2a$
$b-d = 2(c-a)$
दोनों पक्षों को $(c-a)$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $c \neq a$):
$\frac{b-d}{c-a} = 2$

(A) माना $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$
$\Rightarrow y = \sqrt{42+y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 = 42 + y$
$\Rightarrow y^2 - y - 42 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(y - 7)(y + 6) = 0$
$\Rightarrow y = 7$ या $y = -6$
चूंकि वर्गमूल का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $y = -6$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,अभीष्ट हल $y = 7$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला एक बहुपद है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या $a+bi$ मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-bi$ भी मूल होगा। अतः,$1+2i$ और $1-2i$ मूल हैं।
यदि $a+\sqrt{b}$ के रूप की एक अपरिमेय संख्या मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ भी मूल होगा। अतः,$2-\sqrt{3}$ और $2+\sqrt{3}$ मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,$5$ भी एक मूल दिया गया है।
अतः,मूल $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ और $5$ हैं।
इस प्रकार,बहुपद की न्यूनतम घात $n$ का मान $5$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ का आवर्तकाल $g(x)$ और $h(x)$ के आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
यहाँ $g(x) = \cos(nx)$ है,जिसका आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ है।
यहाँ $h(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$ है,जिसका आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ है।
भागफल का आवर्तकाल $T_1$ और $T_2$ का $LCM$ है।
चूंकि $T_2$,$T_1$ का एक गुणज है $(2n\pi = n^2 \cdot \frac{2\pi}{n})$,इसलिए फलन का आवर्तकाल $T_2 = 2n\pi$ है।
दिया गया है कि $2n\pi = 4\pi$,अतः $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
हमें गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ ज्ञात करना है।
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.
घातांक में योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.
अतः,$P = e^{i \pi}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2 i}{3}$ है।
चूंकि $|r| = |\frac{2 i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$,योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1-\frac{2 i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2 i}{3}} = \frac{3}{3-2 i}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(3+2 i)$ से गुणा करें:
$S = \frac{3(3+2 i)}{(3-2 i)(3+2 i)} = \frac{9+6 i}{3^2 - (2 i)^2} = \frac{9+6 i}{9 - (-4)} = \frac{9+6 i}{13}$.

(D) कुल $10$ वक्ता हैं। $10$ वक्ताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1$ और $S_2$ के सापेक्ष क्रम के लिए दो संभावनाएं हैं: या तो $S_1$,$S_2$ से पहले बोलता है,या $S_2$,$S_1$ से पहले बोलता है।
चूंकि शर्त यह है कि $S_1$ केवल $S_2$ के बाद संबोधित करता है,हम केवल उन मामलों पर विचार करते हैं जहां $S_2$,$S_1$ से पहले आता है।
समरूपता द्वारा,कुल व्यवस्थाओं में से आधी व्यवस्थाएं इस शर्त को पूरा करती हैं।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{10!}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $k$ घनों का योग $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ है और प्रथम $k$ विषम संख्याओं का योग $k^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$
$k=1$ से $5$ तक योग करने पर:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$

(C) माना $y = x \log _e a$ है। दी गई श्रेणी $y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ है।
हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक साइन फलन का टेलर श्रेणी विस्तार $\sinh(y) = y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ होता है।
$y = x \log _e a$ को वापस श्रेणी में रखने पर,हमें $\sinh(x \log _e a)$ प्राप्त होता है।
अतः,श्रेणी का मान $\sinh(x \log _e a)$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2-4xy+y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2-3xy-xy+y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(x-y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3x-y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: 2x-y=6$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x-y=0$ और $2x-y=6$. घटाने पर $x=-6$,अतः $y=-18$. बिंदु $(-6, -18)$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $2x-y=6$. घटाने पर $x=6$,अतः $y=6$. बिंदु $(6, 6)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(-18-6) + (-6)(6-0) + 6(0-(-18))| = \frac{1}{2} |0 - 36 + 108| = \frac{1}{2} |72| = 36 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वृत्त $x^2+y^2=61$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{61}$ है।
चूंकि $PA=PB=10$,$P$ जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। केंद्र $O$ भी जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,रेखा $OP$ रेखा $l$ पर लंब है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ है।
चूंकि $l \perp OP$,रेखा $l$ की ढाल $m_l = \frac{5}{6}$ है।
रेखा $l$ का समीकरण $5x-6y+k=0$ मानिए।
केंद्र $O(0,0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $d = \frac{|k|}{\sqrt{61}}$ है।
गणना करने पर $d = \frac{11}{\sqrt{61}}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|k|=11$। विकल्प $(c)$ $5x-6y+11=0$ सही है।

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
बिंदुओं $(1, a)$ और $(b, 2)$ को शर्त में रखने पर:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $b + 2a = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
अतः,$4a + 2b = 50$.

(B) हमारे पास है,\\ $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$ \\ $= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$ \\ $= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ \\ कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,\\ अतः,यह व्यंजक $c^2$ के बराबर है।

(C) कथन $I$: हम जानते हैं कि $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$। यह त्रिभुज के लिए एक मानक सर्वसमिका है। अतः,$I$ सही है।
कथन $II$: हम जानते हैं कि $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$। दिया गया सूत्र $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ गलत है। अतः,$II$ गलत है।
कथन $III$: हम जानते हैं कि $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$। यह बाह्य त्रिज्या $r_3$ के लिए एक मानक सूत्र है। अतः,$III$ सही है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(C) दिया गया है कि,$\frac{x+1}{(2 x-1)(3 x+1)}=\frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B}{(3 x+1)}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(3x+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+1) = A(3x+1) + B(2x-1)$
$(x+1) = x(3A+2B) + (A-B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3A + 2B = 1$ ... $(i)$
$A - B = 1$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$A = B + 1$. इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B + 3 + 2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
अब,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
हमें $16A + 9B$ का मान ज्ञात करना है:
$16A + 9B = 16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right)$
$= \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(A) माना समीकरण $4x^3 - 12x^2 + 11x + k = 0$ के मूल $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ हैं।
मूलों का योग $= (\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha$ है।
समीकरण से,मूलों का योग $-\frac{-12}{4} = 3$ है।
अतः,$3\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = 1$।
चूंकि $\alpha = 1$ एक मूल है,यह समीकरण $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + k = 0$ को संतुष्ट करेगा।
$4 - 12 + 11 + k = 0$।
$3 + k = 0 \Rightarrow k = -3$।

(C) $\cos(nx)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ है।
$\sin(x/n)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ है।
भागफल $\frac{\cos(nx)}{\sin(x/n)}$ का आवर्तकाल अंश और हर के आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $4\pi$ है,इसलिए $2n\pi = 4\pi$ है।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\left|\frac{z_1-3 z_2}{3-z_1 \bar{z}_2}\right|=1$ और $\left|z_1\right| \neq 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|z_1-3 z_2\right|^2 = \left|3-z_1 \bar{z}_2\right|^2$।
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(z_1-3 z_2)(\bar{z}_1-3 \bar{z}_2) = (3-z_1 \bar{z}_2)(3-\bar{z}_1 z_2)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $|z_1|^2 - 3z_1 \bar{z}_2 - 3z_2 \bar{z}_1 + 9|z_2|^2 = 9 - 3\bar{z}_1 z_2 - 3z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$।
समान पदों $-3z_1 \bar{z}_2$ और $-3z_2 \bar{z}_1$ को हटाने पर: $|z_1|^2 + 9|z_2|^2 = 9 + |z_1|^2 |z_2|^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z_1|^2 - 9 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 9|z_2|^2 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(|z_1|^2 - 9)(1 - |z_2|^2) = 0$।
चूंकि $|z_1| \neq 3$,इसलिए $|z_2|^2 = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $|z_2| = 1$।

(A) सबसे पहले,$216$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$216 = 2^3 \times 3^3$.
एक विषम भाजक में $2$ का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
इसलिए,विषम भाजक केवल $3$ की घातों से बनते हैं।
$3^3$ के गुणनखंड $3^0, 3^1, 3^2, 3^3$ हैं।
ऐसे भाजकों की संख्या $3$ की घात में $1$ जोड़ने पर प्राप्त होती है,जो $3 + 1 = 4$ है।
विषम भाजक $1, 3, 9, 27$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि $e^{-x}$ का विस्तार $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^n x^n}{n!} + \dots$ होता है।
अब,व्यंजक $(2+3x)e^{-x}$ पर विचार करें:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$2e^{-x}$ में $x^{10}$ वाला पद $2 \times \frac{(-x)^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ है।
$3xe^{-x}$ में $x^{10}$ वाला पद $3x \times \frac{(-x)^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = -\frac{3}{9!} x^{10}$ है।
इन्हें जोड़ने के लिए,दूसरे पद को $10!$ हर के साथ लिखते हैं:
$-\frac{3}{9!} = -\frac{3 \times 10}{10!} = -\frac{30}{10!}$.
अतः,$x^{10}$ का गुणांक $\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$ है।

(A) सबसे पहले,आंशिक भिन्नों का उपयोग करके भिन्न को व्यक्त करें: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
द्विपद विस्तार की सुविधा के लिए पदों को फिर से लिखें: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $-(1-\frac{x}{2})^{-1} + \frac{1}{3}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए:
$-(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots) + \frac{1}{3}(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \frac{x^3}{27} + \dots)$.
$x^3$ का गुणांक $-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{81}$ है।
योग करने पर: $\frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(D) $n=15$ के लिए द्विपद गुणांक ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $0$ से $7$ तक बढ़ने पर ${ }^{15} C_r$ बढ़ता है और $8$ से $15$ तक बढ़ने पर घटता है,हम मानों का अवलोकन करते हैं।
विकल्प $D$ के लिए,अनुक्रम ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ है। चूंकि $7 > 6 > 5$ है और ये मान द्विपद गुणांक वितरण के घटते भाग में हैं,इसलिए यह अनुक्रम घटते क्रम में है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $\theta \in \mathbb{R}$ के लिए,$\cos \theta$ का मान $[-1, 1]$ के बीच होता है।
अतः,$-1 \leq \cos (4x - 5) \leq 1$.
असमिका को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3 \leq 3 \cos (4x - 5) \leq 3$.
असमिका के सभी भागों में $4$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3 + 4 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
$1 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 7$.
अतः,यह व्यंजक $[1, 7]$ अंतराल में स्थित है।

(D) हमारे पास है,$\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= (\cos 132^{\circ} + \cos 12^{\circ}) + (\cos 156^{\circ} + \cos 84^{\circ})$
$= 2 \cos 72^{\circ} \cos 60^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$= 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$= \frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ और $\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \cot 27^{\circ} + \cot 9^{\circ} = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
चूंकि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है:
$= \frac{2}{(\sqrt{5}-1)/4} - \frac{2}{(\sqrt{5}+1)/4} = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1}$
$= 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - (\sqrt{5}-1)}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(A) मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। चूंकि $PA = PB$,त्रिभुज $PAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,और रेखाखंड $PM$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।
दी गई रेखा $L: 2x - y + 3 = 0$ की ढाल $m_L = 2$ है।
चूंकि $PM \perp AB$,$PM$ की ढाल $m_{PM} = -\frac{1}{m_L} = -\frac{1}{2}$ है।
रेखा $PM$,$P(1, 2)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $-\frac{1}{2}$ है। इसका समीकरण है:
$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2y - 4 = -x + 1$
$x + 2y = 5$ (समीकरण $ii$)
मध्य-बिंदु $M$,रेखा $2x - y = -3$ (समीकरण $i$) और $x + 2y = 5$ (समीकरण $ii$) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$(i)$ से,$y = 2x + 3$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2(2x + 3) = 5$
$x + 4x + 6 = 5$
$5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$
$y = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$
अतः,$AB$ का मध्य-बिंदु $M\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ है।

(A) माना बिंदु $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ और $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ हैं।
दी गई दूरी $AB = 2a$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(2 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2 - 2 \cos(\theta - \phi) = 4$
$-2 \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
चूंकि $\cos(\theta - \phi) = -1$,इसलिए $\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,जहाँ $n \in Z$ है।
अतः,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$.

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2 - 4xy + y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x - y)(x - y) = 0$,अतः $L_1: 3x - y = 0$ और $L_2: x - y = 0$।
तीसरी रेखा $L_3: 2x - y = 6$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0, 0)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(-6, -18)$।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(6, 6)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + (-6)(6) + 6(18)| = \frac{1}{2} |-36 + 108| = 36 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+8x-6y=0$ के लिए,$g=4, f=-3, c=0$. अतः,$r_1 = \sqrt{4^2+(-3)^2-0} = 5$. परिधि $P_1 = 10\pi$.
दूसरे वृत्त $4x^2+4y^2-4x-12y-186=0$ के लिए,$4$ से भाग देने पर: $x^2+y^2-x-3y-46.5=0$. यहाँ $g=-0.5, f=-1.5, c=-46.5$. अतः,$r_2 = \sqrt{0.25+2.25+46.5} = \sqrt{49} = 7$. परिधि $P_2 = 14\pi$.
तीसरे वृत्त $x^2+y^2-6x+6y-9=0$ के लिए,$g=-3, f=3, c=-9$. अतः,$r_3 = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$. परिधि $P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$.
परिधियों की तुलना करने पर: $10\pi < 10.39\pi < 14\pi$,जिसका अर्थ है $P_1 < P_3 < P_2$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
ध्रुवीय से कार्तीय रूपांतरण $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ तथा $r^2 = x^2 + y^2$ का उपयोग करने पर,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 + y^2 = x + \sqrt{3} y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$.
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = -1 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$ और $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,जहाँ $c = 0$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 0}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) दिया गया वृत्त का ध्रुवीय समीकरण $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ है।
हम जानते हैं कि $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,और $r^2=x^2+y^2$ होता है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
इसे वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ और $2f=-4 \Rightarrow f=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 2)$ है।

(B) रेखा का समीकरण $3x - 2y + 6 = 0$ है।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेद $(A)$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. अतः,$A = (-2, 0)$।
$Y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. अतः,$B = (0, 3)$।
त्रिज्या $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।
केंद्र $(h, k) = (-2, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{13}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{13})^2$
$(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$।

(C) वृत्त $x^2+y^2=61$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{61}$ है।
चूँकि $PA=PB=10$,$P$ जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। केंद्र $O$ भी $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,$OP \perp AB$ है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ है।
$AB \perp OP$ होने के कारण,रेखा $l$ (अर्थात $AB$) की ढाल $m_l = \frac{5}{6}$ है।
रेखा $l$ का समीकरण $5x-6y+k=0$ के रूप में लेने पर,विकल्प $(c)$ $5x-6y+11=0$ सही है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-1=0$,$L_2: x-y-1=0$ और $L_3: y+1=0$ हैं।
ये तीनों रेखाएँ समांतर नहीं हैं और एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,इसलिए ये एक त्रिभुज बनाती हैं।
किसी भी त्रिभुज के लिए,एक अंतःवृत्त (incircle) होता है जो तीनों भुजाओं को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
इसके अतिरिक्त,तीन बहिर्वृत्त (excircles) होते हैं,जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा को बाहरी रूप से और अन्य दो भुजाओं के विस्तार को स्पर्श करता है।
अतः,तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्तों की कुल संख्या $1 + 3 = 4$ है।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $2y^2 = x + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{4y}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -4y$ है।
अब,हम प्रत्येक दिए गए बिंदु पर अभिलंब की ढाल की गणना करते हैं:
$A. (7, 2): m_n = -4(2) = -8$ ($2$ से मेल खाता है)।
$B. (0, 1/\sqrt{2}): m_n = -4(1/\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$ ($5$ से मेल खाता है)।
$C. (1, -1): m_n = -4(-1) = 4$ ($3$ से मेल खाता है)।
$D. (3, \sqrt{2}): m_n = -4(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$ ($1$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $A-2, B-5, C-3, D-1$ है।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
मानक रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करने पर,समीकरण $x + 7y = 1$ हो जाता है।
यह $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(A) दिया गया समीकरण $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ प्राप्त होता है।
यह $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ में सरल हो जाता है।
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) हमारे पास है,$(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
चूंकि $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,इसलिए $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$
अतः,व्यंजक का मान $c^2$ है।

(B) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = \pi$.
व्यंजक पर विचार करें:
$\cos \left(\frac{B+2C+3A}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$A+B+C = \pi$ का उपयोग करके पहले पद को फिर से लिखें:
$\frac{B+2C+3A}{2} = \frac{2(A+B+C) + A-B}{2} = \frac{2\pi + (A-B)}{2} = \pi + \frac{A-B}{2}$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(\pi + \frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
सर्वसमिका $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$-\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$

(D) $I$. हम जानते हैं कि $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ त्रिभुज की अंतःत्रिज्या (inradius) के लिए एक मानक सूत्र है।
$II$. हम जानते हैं कि $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ शीर्ष $A$ के सम्मुख बाह्यत्रिज्या (exradius) $r_1$ के लिए एक मानक सूत्र है।
$III$. हम जानते हैं कि $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ शीर्ष $C$ के सम्मुख बाह्यत्रिज्या (exradius) $r_3$ के लिए एक मानक सूत्र है।
अतः,तीनों कथन सही हैं।

(C) हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या और बहिःत्रिज्याएं इस प्रकार हैं:
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
दिया गया है $r_3 = r_1 + r_2 + r$,अतः:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
सरल करने पर:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$ रखने पर:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow C = 90^{\circ}$
अतः,$A+B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) दी गई असमिका $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ है।
हम व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 1)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ होगा।
अतः,व्यंजक $(x - 1)^2 + 4$ हमेशा धनात्मक है और यह कभी भी $0$ या उससे कम नहीं हो सकता।
इस प्रकार,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो दी गई असमिका को संतुष्ट करे।
अतः,सभी हलों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) मान लीजिए प्रेक्षक का स्थान $A$ है। हवाई जहाज की ऊंचाई $h = 1 \ km$ है। प्रारंभिक स्थिति $D$ और अंतिम स्थिति $E$ है।
$\Delta DAP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ} = \frac{1}{AP + PQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ}$.
$PQ$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
विमान द्वारा तय की गई दूरी $PQ = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$ है,जो $10 \ s$ में तय की गई है।
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{10} \ km/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $\text{गति} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 \ km/h = \frac{7200}{10\sqrt{3}} = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) दिया गया है कि,$x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
इसका अर्थ है $e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$ और $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh x = \frac{\cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) - \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)}{2}$
सर्वसमिका $\cot A - \tan A = 2 \cot 2A$ का उपयोग करते हुए:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left[ 2 \cot \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) \right]$
$\sinh x = \cot \left( \frac{\pi}{2} + 2\theta \right)$
चूंकि $\cot \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\tan \alpha$,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh x = -\tan 2\theta$.

(A) पासे के फलक $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ हैं।
यहाँ $1$ सम संख्या $(2)$ और $5$ विषम संख्याएँ $(3, 5, 7, 11, 13)$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
माना $E$ सम संख्या प्राप्त करने की घटना है और $O$ विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$P(E) = \frac{1}{6}$ और $P(O) = \frac{5}{6}$.
योग विषम होने की दो स्थितियाँ हैं: (पहला पासा सम,दूसरा विषम) या (पहला पासा विषम,दूसरा सम)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(E) \times P(O) + P(O) \times P(E)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ है।
हम इसे $x \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
रीमैन योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = \int_0^1 f(t) dt$ होता है।
यहाँ,$f(t) = t^2$,इसलिए अभिव्यक्ति $x \int_0^1 t^2 dt$ हो जाती है।
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $x [\frac{t^3}{3}]_0^1 = x (\frac{1}{3} - 0) = \frac{x}{3}$।

(A) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूँकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसका स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
इसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$।
अब,सदिशों $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ का योग है:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$.

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$.
आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम इसका सारणिक $|A|$ निकालते हैं।
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
चूंकि $|A| = 4 \neq 0$,इसलिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।

(A) हम फलन $f(x)$ का तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-3 < x \leq -1$ के लिए,$f(x) = [x]$ है। चूँकि $x \leq -1$,इसलिए $[x] \leq -1$,अतः $f(x) < 0$ है।
$2$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) = |x|$ है। चूँकि निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
$3$. $1 \leq x < 3$ के लिए,$f(x) = |[x]|$ है। चूँकि किसी भी पूर्णांक का निरपेक्ष मान $\geq 0$ होता है,इसलिए सभी $x \in [1, 3)$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
उन अंतरालों को मिलाने पर जहाँ $f(x) \geq 0$ है,हमें $(-1, 1) \cup [1, 3) = (-1, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $(-1, 3)$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ है।
सबसे पहले,$x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$f_x = 4(x-y) - 4x^3$
$f_y = -4(x-y) - 4y^3$
अब,द्वितीय क्रम के आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(4x - 4y - 4x^3) = 4 - 12x^2$
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-4x + 4y - 4y^3) = 4 - 12y^2$
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(4x - 4y - 4x^3) = -4$
बिंदु $(0,0)$ पर इनका मान ज्ञात करने पर:
$(f_{xx})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{yy})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{xy})_{(0,0)} = -4$
अंत में,$(0,0)$ पर $(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)$ के मान की गणना करें:
$(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)_{(0,0)} = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1} x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{1}{1-x^2}$
$(1-x^2) \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = 1$
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(1-x^2) \cdot 2 \left(\frac{d y}{d x}\right) \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \cdot (-2x) = 0$
$2 \frac{d y}{d x}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{d y}{d x} \neq 0$):
$(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} = 0$
अतः,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} = x \frac{d y}{d x}$।

(C) माना $I = \int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}}$.
हम हर को $(x+99) + 1 = (\sqrt{x+99})^2 + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{d x}{((\sqrt{x+99})^2 + 1) \sqrt{x+99}}$.
माना $t = \sqrt{x+99}$. तब $t^2 = x+99$,जिसका अर्थ है $2t \, dt = dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = \sqrt{x+99}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99}) + c$.
इसकी तुलना $f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99})$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\tan x} \sec^2 x d x$.
चूँकि $\frac{1}{\tan x} = \cot x$,इसलिए $I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$.
वैकल्पिक रूप से,हर को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\cot x \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\cot x}} d x$.
माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x d x$,इसलिए $d x = -\sin^2 x du$.
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} \cdot (-\sin^2 x du) = -\int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{u}} du = -\int \frac{1}{u \sqrt{u}} du = -\int u^{-3/2} du$.
$I = -\left( \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right) + c = 2 \sqrt{u} + c = 2 \sqrt{\cot x} + c$.
दिया गया है कि $\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$,अतः $-f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$,जिससे $f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ है।
चूँकि $1-2x+x^2 = (1-x)^2$,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x d x$
अंश को $f(x) + f'(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{2 + 1 - x^2}{(1-x)^2} e^x d x = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1-x^2}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1+x}{1-x} \right) e^x d x$
माना $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। तब $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\int (f(x) + f'(x)) e^x d x = e^x f(x) + c$,अतः:
$I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
दिए गए व्यंजक $e^x f(x) + c$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$ है।
यहाँ फलन $f(x) = \frac{2x-2}{2x-x^2} = \frac{-(2-2x)}{x(2-x)}$ है।
यह समाकलन अनुचित (improper) है क्योंकि हर $2x-x^2 = x(2-x)$ का मान $x=0$ और $x=2$ पर $0$ हो जाता है।
अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने पर: $\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \int \frac{-(2-2x)}{2x-x^2} dx$।
माना $u = 2x-x^2$,तो $du = (2-2x) dx$,अतः $-(2-2x) dx = -du$।
इस प्रकार,$\int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|2x-x^2| + C$।
सीमा का उपयोग करके निश्चित समाकलन ज्ञात करने पर: $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon}$।
$= \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|]$।
$= \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2\epsilon-\epsilon^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$।
अतः,कॉची प्रिंसिपल वैल्यू $0$ प्राप्त होती है।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$.
$f(\theta) = \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)$ लें।
अब,$f(-\theta)$ की गणना करके फलन की समता की जाँच करें:
$f(-\theta) = \log \left(\frac{2-\sin(-\theta)}{2+\sin(-\theta)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin \theta}{2-\sin \theta}\right)$.
गुणधर्म $\log(x^{-1}) = -\log(x)$ का उपयोग करने पर:
$f(-\theta) = \log \left(\left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)^{-1}\right) = -\log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) = -f(\theta)$.
चूँकि $f(-\theta) = -f(\theta)$,इसलिए $f(\theta)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(A) दिया गया है,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x} \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x} \quad \dots(ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x} \quad \dots(iii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y''' = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x} \quad \dots(iv)$
वैकल्पिक रूप से,चूंकि सहायक समीकरण के मूल $m = 1, 2, 3$ हैं,इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ होगा।
$(m^2 - 3m + 2)(m-3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ को $y^{(k)}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ है।
समीकरण को $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$y^2 \frac{d x}{d y} = x + 2y^3$
$\frac{d x}{d y} - \frac{1}{y^2} x = 2y$.
यहाँ,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{1/y}$.
अतः,समाकलन गुणक $e^{(1/y)}$ है।

(A) मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ द्वारा दर्शाई गई हैं।
समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण आसन्न भुजाओं के योग द्वारा दिया जाता है,$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इस विकर्ण के समानांतर इकाई सदिश $\hat{d_1} = \frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|}$ है।
$|\vec{d_1}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
इसलिए,$\hat{d_1} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
अदिश गुणनफल करने पर:
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$।

(A) माना कि $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$ है।
चूंकि ये सदिश समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$।
यह घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$

(A) माना कि समतल का समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, -1, 3)$ है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश होगा,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z = D$ के रूप में होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -1, 3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $3x - 2y - z = 18$ है।
दोनों पक्षों को $18$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = 6, b = -9, c = -18$ हैं।
अतः,वे बिंदु जहाँ समतल अक्षों से मिलता है,$A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ और $C(0, 0, -18)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
$G = \left(\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}\right)$
$G = (2, -3, -6)$.

(C) $m$ प्राचल (parameter) वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=0) = 0.8$ है।
सूत्र में $x=0$ रखने पर,हमें $P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^{-m} = 0.8$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,$-m = \log_e(0.8) = \log_e(8/10) = \log_e(4/5)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m = -\log_e(4/5) = \log_e(5/4)$ है।
पॉइसन वितरण में,प्रसरण (variance) प्राचल $m$ के बराबर होता है।
अतः,प्रसरण $\log_e(5/4)$ है।

(A) माना शीर्षों $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश (position vectors) क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं।
चूँकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$।
अब,सदिशों के योग $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ को स्थिति सदिशों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = 0$.

(C) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निश्चित समाकलन $\int_a^b y \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = x^2 + 2$,$a = 1$,और $b = 2$ है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का सारणिक (determinant) निकालते हैं:
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $3$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{array}\right]$ है।
अवयव $a_{ij}$ का सह-खंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
$1$. अवयव $-1$ के लिए जो $(1, 2)$ स्थान पर है: $C_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right| = -1(0 - 6) = 6$। अतः,$A-4$।
$2$. अवयव $1$ के लिए जो $(1, 1)$ स्थान पर है: $C_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{array}\right| = 1(24 - (-8)) = 32$। अतः,$B-2$।
$3$. अवयव $3$ के लिए जो $(3, 1)$ स्थान पर है: $C_{31} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right| = 1(-2 - 0) = -2$। अतः,$C-1$।
$4$. अवयव $6$ के लिए जो $(3, 3)$ स्थान पर है: $C_{33} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = 1(4 - 0) = 4$। अतः,$D-3$।
इस प्रकार,सही मिलान $A-4, B-2, C-1, D-3$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) माना $A = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
चूँकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$
चूंकि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$,इसलिए:
$\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x - \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x$
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$1-x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x) = \cos(2 \sin ^{-1} x)$
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \sin ^{-1} x$:
$1-x = 1 - 2(\sin(\sin ^{-1} x))^2$
$1-x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$।
दोनों मान प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,$x \in \{0, \frac{1}{2}\}$।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $f(-x) = f(x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$.
अतः,प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ एक विषम फलन है।
अब,पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f^{\prime}(-x)] = \frac{d}{dx}[-f^{\prime}(x)]$
$-f^{\prime \prime}(-x) = -f^{\prime \prime}(x)$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime \prime}(-x) = f^{\prime \prime}(x)$.
अतः,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ एक सम फलन है।
इसी प्रकार,तृतीय अवकलज $f^{\prime \prime \prime}(x)$ एक विषम फलन होगा।
इसलिए,$f^{\prime}(x)$ एक विषम फलन है। विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया फलन $f: N \rightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2 & \text{यदि } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{यदि } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{यदि } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$
हमें समुच्चय $\{n \in N: f(n) > 2\}$ ज्ञात करना है।
परिभाषा को देखने पर,$f(n) > 2$ केवल तब होता है जब $f(n) = 10$ हो।
यह तब होता है जब $n = 3k + 1$ हो,जहाँ $k \in Z$ है।
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),हम $k \geq 0$ लेते हैं:
$k=0$ के लिए,$n = 3(0) + 1 = 1$ है।
$k=1$ के लिए,$n = 3(1) + 1 = 4$ है।
$k=2$ के लिए,$n = 3(2) + 1 = 7$ है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1, 4, 7, \dots\}$ है।

(C) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है जहाँ $f(x)=3^{-x}$ है।
$I$. एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$3^{-x_1} = 3^{-x_2} \Rightarrow -x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$,इसलिए फलन एकैकी है।
$II$. आच्छादक के लिए: $f(x) = 3^{-x}$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है। चूँकि परिसर $\neq$ सह-प्रांत,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
$III$. ह्रासमान फलन के लिए: $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = -3^{-x} \ln 3$ प्राप्त होता है। चूँकि $3^{-x} > 0$ और $\ln 3 > 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) < 0$ है। अतः,फलन एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सत्य हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x-y}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$
$y \ln x = x - y$
$y$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \ln x + y = x$
$y(1 + \ln x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \ln x}$
अब,भागफल नियम (quotient rule) $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
माना $u = x$ और $v = 1 + \ln x$,तो $u' = 1$ और $v' = \frac{1}{x}$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $y = 4 - 2x^2$ है।
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $x$-निर्देशांक $5 \text{ units/s}$ की दर से घट रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर,$x = 1$ है।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$।
अतः,$y$-निर्देशांक $20 \text{ units/s}$ की दर से बदल रहा है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $y = x^2 + 2x$ है।
चूंकि कण के $x$ और $y$ निर्देशांक समान दर से बदलते हैं,इसलिए $\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ है।
वक्र के समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dx}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
यदि $\frac{dx}{dt} \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2x + 2$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -\frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)$
$y = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ है।

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\tan x} \sec^2 x d x$.
चूंकि $\frac{1}{\tan x} = \cot x$,इसलिए $I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$.
वैकल्पिक रूप से,$t = \cot x$ लेने पर,$dt = -\csc^2 x d x$,इसलिए $dx = -\sin^2 x dt$.
$I = \int \frac{\sqrt{t}}{\sin x \cos x} (- \sin^2 x) dt = \int \frac{\sqrt{t}}{\cot^{-1} t} (-dt) = \int \frac{\sqrt{t}}{t} (-dt) = -\int t^{-1/2} dt$.
$I = -[2 t^{1/2}] + c = -2 \sqrt{\cot x} + c$.
$-f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$-f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$,अतः $f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}}$.
हम हर को $(x+99)+1$ के रूप में लिख सकते हैं,इसलिए $I = \int \frac{d x}{((\sqrt{x+99})^2+1) \sqrt{x+99}}$.
$t = \sqrt{x+99}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x+99$,जिसका अर्थ है $2t \, dt = dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2+1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2+1}$.
समाकलन करने पर,हमें $I = 2 \tan^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x+99}$ वापस रखने पर,हमें $I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99}) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99})$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2x+x^2} e^x dx$ है।
हर को $(1-x)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x dx$.
अंश को $f(x) + f'(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{-(x^2-1) + 2}{(1-x)^2} e^x dx = \int \frac{-(x-1)(x+1) + 2}{(x-1)^2} e^x dx$
$I = \int \left( \frac{-(x+1)}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} \right) e^x dx = \int \left( \frac{x+1}{1-x} + \frac{2}{(1-x)^2} \right) e^x dx$.
माना $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। तब $f'(x) = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$ होगा।
चूंकि $\int (f(x) + f'(x)) e^x dx = e^x f(x) + c$,इसलिए $I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$ होगा।
इसकी तुलना $e^x f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि,$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 f(x) = \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाईं ओर गुणन नियम और दाईं ओर कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए):
$x^2 f'(x) + 2x f(x) = 2x - 3f'(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $f'(x)(x^2 + 3) = 2x - 2x f(x)$.
$x = 3$ पर,ध्यान दें कि $f(3) = \frac{1}{3^2} \int_3^3 (2t - 3f'(t)) dt = 0$.
अवकलित समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
$f'(3)(3^2 + 3) = 2(3) - 2(3) f(3)$.
$f'(3)(9 + 3) = 6 - 6(0)$.
$12 f'(3) = 6$.
$f'(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

(C) कथन $A$ के लिए:
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ है।
इसकी तुलना मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ से करने पर,हमें $P(x) = 1$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कथन $A$ सही है।
कथन $R$ के लिए:
रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है।
समाकलन गुणक को $e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,कथन $R$ सही है।
चूंकि कथन $A$ सीधे कथन $R$ में दिए गए सूत्र से प्राप्त होता है,इसलिए $R \Rightarrow A$ सही है।
अतः,दोनों कथन सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ है।
समीकरण को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{x+2y^3}{y^2} = \frac{x}{y^2} + 2y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2}x = 2y$
यहाँ,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(y) dy}$ है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{\frac{1}{y}}$.

(A) हमें व्यंजक $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$
अब,$c$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b)$
$= c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x \ y \ z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,जहाँ यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो गुणनफल शून्य होता है:
$= [c \ b \ a] + [c \ b \ c] + [c \ c \ a] + [c \ c \ b]$
$= [c \ b \ a] + 0 + 0 + 0$
$= c \cdot (b \times a)$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$l = -(m+n)$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ से भाग देने पर,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है। मान लें कि मूल $\frac{n_1}{m_1}$ और $\frac{n_2}{m_2}$ हैं।
अतः $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
इसी प्रकार,$(i)$ से,$m = -(l+n)$। $(ii)$ में रखने पर:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ से भाग देने पर,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ प्राप्त होता है। मान लें कि मूल $\frac{l_1}{n_1}$ और $\frac{l_2}{n_2}$ हैं।
अतः $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ से,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) मान लीजिए $H$ चित को और $T$ पट को दर्शाता है। प्रत्येक $H$ के लिए,$+2$ अंक मिलते हैं और प्रत्येक $T$ के लिए,$-1$ अंक का नुकसान होता है।
जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो चित $(n_H)$ और पट $(n_T)$ की संख्या के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. तीन पट $(0H, 3T)$: स्कोर $X = 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. दो पट और एक चित $(1H, 2T)$: स्कोर $X = 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. एक पट और दो चित $(2H, 1T)$: स्कोर $X = 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. तीन चित $(3H, 0T)$: स्कोर $X = 3(2) + 0(-1) = 6$.
अतः,कुल स्कोर $X$ के संभावित मान $\{-3, 0, 3, 6\}$ हैं।
इसलिए,$X$ का परिसर $\{-3, 0, 3, 6\}$ है।

(C) दिया गया है कि,$P(E) = 1/5$ और $P(F|E) = 1/10$.
हम जानते हैं कि दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(E \cap F) = (1/5) \cdot (1/10) = 1/50$ प्राप्त होता है।
घटनाओं $E$ और $F$ में से कम से कम एक के घटित न होने की प्रायिकता,उस घटना की पूरक घटना है जिसमें $E$ और $F$ दोनों घटित होते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - P(E \cap F)$ है।
इसकी गणना करने पर,हमें $1 - 1/50 = 49/50$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $H$ चित को और $T$ पट को दर्शाता है। प्राप्त अंक $H$ के लिए $2$ और $T$ के लिए $1$ हैं।
जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो मान लीजिए $n_H$ चितों की संख्या है और $n_T$ पटों की संख्या है।
कुल अंक $S = 2n_H + 1n_T$ हैं।
चूंकि $n_H + n_T = 3$,इसलिए $n_T = 3 - n_H$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$ प्राप्त होता है।
$S$ के विषम होने के लिए $n_H + 3$ का विषम होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि $n_H$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$n_H$ के संभावित मान $0$ और $2$ हैं।
स्थिति $1$: $n_H = 0$ (सभी पट)। प्रायिकता $\binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।
स्थिति $2$: $n_H = 2$ (दो चित,एक पट)। प्रायिकता $\binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ प्राचल (माध्य और प्रसरण) है।
दिया गया है $P(X=0) = 0.8$।
सूत्र में $x=0$ रखने पर:
$P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m} = 0.8$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-m = \ln(0.8) = \ln(\frac{8}{10}) = \ln(\frac{4}{5})$।
अतः,$m = -\ln(\frac{4}{5}) = \ln((\frac{4}{5})^{-1}) = \ln(\frac{5}{4}) = \ln(1.25)$।
चूँकि पॉइसन वितरण का प्रसरण उसके प्राचल $m$ के बराबर होता है,इसलिए प्रसरण $\ln(1.25)$ या $\log _e 1.25$ है।