निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:A. frac{dy}{d | vedclass

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Question

(C) कथन $A$ के लिए:दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ है।इसकी तुलना मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ से करने पर,हमें $P(x) =

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$A$ सही है,$R$ सही है,$R \Rightarrow A$

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(C) कथन $A$ के लिए:दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ है।इसकी तुलना मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ से करने पर,हमें $P(x) = 1$ प्राप्त होता है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा दिया जाता है।अतः,कथन $A$ सही है।कथन $R$ के लिए:रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है।समाकलन गुणक को $e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।अतः,कथन $R$ सही है।चूंकि कथन $A$ सीधे कथन $R$ में दिए गए सूत्र से प्राप्त होता है,इसलिए $R \Rightarrow A$ सही है।अतः,दोनों कथन सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

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मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \geq 3$ है। तो $12f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$ का हल वक्र है,जहाँ $y(1) = 0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए:

$x \in R, x \ne 0$ के लिए,यदि $y(x)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$,तो $y(x)$ का मान क्या होगा? (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)

अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ और $f(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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