यदि x 0 और x^y = e^{x-y} है,तो frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x-y}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$$y \ln x = x - y$$y$ को अ

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$\frac{\log x}{(1+\log x)^2}$

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(B) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x-y}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$$y \ln x = x - y$$y$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:$y \ln x + y = x$$y(1 + \ln x) = x$$y = \frac{x}{1 + \ln x}$अब,भागफल नियम (quotient rule) $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:माना $u = x$ और $v = 1 + \ln x$,तो $u' = 1$ और $v' = \frac{1}{x}$ होगा।$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$अतः,सही विकल्प $B$ है।

यदि $x > 0$ और $x^y = e^{x-y}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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