आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है,तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
$1$. यदि $A$ एक $5 \times 5$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $A$ की कोटि (rank) $5$ से कम है।
$2$. यदि $P$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ की कोटि $1$ है।
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ की कोटि $2$ है।
$4$. यदि रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ भिन्न हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि $3$ है।

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $a, b$ और $c$ क्रमशः $A, B$ और $C$ की कोटि (Rank) को दर्शाते हैं,तो इन संख्याओं का सही क्रम क्या है?

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} x^3-x & 2e^{2x} & \sin x^2 \\ \cos(2x) & x+x^2 & e^{-x} \\ \tan 3x & \ln(1-2x) & x^2+x+1 \end{vmatrix}$ है,तो $f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ की कोटि (rank) है