यदि $a, b, c$ सभी शून्येतर हैं और $a+b+c=0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{a^{2}}{b c}+\frac{b^{2}}{c a}+\frac{c^{2}}{a b}=3$.

(N/A) दिया गया है कि $a, b, c$ शून्येतर हैं और $a+b+c=0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए दाईं ओर का मान $0$ हो जाता है,जिससे $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$,जिसका अर्थ है कि $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$.
अब,व्यंजक $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ पर विचार करें।
हर $bc, ca, ab$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $abc$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a^{2}(a) + b^{2}(b) + c^{2}(c)}{abc} = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}$.
$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$\frac{3abc}{abc} = 3$.
अतः,व्यंजक का मान $3$ है।