Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(D) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या $2$ एक शून्यक है,हम $p(2)$ की गणना करते हैं:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) - 15 = 4 - 4 - 15 = -15$.
चूंकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $2$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
यह जांचने के लिए कि क्या $5$ एक शून्यक है,हम $p(5)$ की गणना करते हैं:
$p(5) = (5)^{2} - 2(5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$.
चूंकि $p(5) = 0$,इसलिए $5$ बहुपद का शून्यक है।

(C) यह जांचने के लिए कि कोई मान बहुपद $p(x) = x^{2} - 5x - 14$ का शून्यक है या नहीं,हम उस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि परिणाम $0$ आता है या नहीं।
$x = 3$ के लिए:
$p(3) = (3)^{2} - 5(3) - 14$
$p(3) = 9 - 15 - 14$
$p(3) = -20$
चूंकि $p(3) \neq 0$,इसलिए $3$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
$x = 7$ के लिए:
$p(7) = (7)^{2} - 5(7) - 14$
$p(7) = 49 - 35 - 14$
$p(7) = 49 - 49$
$p(7) = 0$
चूंकि $p(7) = 0$,इसलिए $7$ बहुपद का शून्यक है।

(A) बहुपद $p(x) = 3x - 4$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x - 4 = 0$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x = 4$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{4}{3}$
अतः,बहुपद का शून्यक $\frac{4}{3}$ है।

(D) बहुपद $p(t)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(t) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(t) = 7t - 21$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$7t - 21 = 0$
दोनों पक्षों में $21$ जोड़ने पर:
$7t = 21$
दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर:
$t = \frac{21}{7}$
$t = 3$
अतः,बहुपद का शून्यक $3$ है।

(N/A) बहुपद $q(y)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $q(y) = 0$ रखते हैं।
अतः,$\pi y + 3.14 = 0$।
दोनों पक्षों से $3.14$ घटाने पर,हमें $\pi y = -3.14$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $y = -\frac{3.14}{\pi}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,बहुपद का शून्यक $-\frac{3.14}{\pi}$ है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\frac{2}{3}x + \frac{5}{4} = 0$
दोनों पक्षों से $\frac{5}{4}$ घटाने पर:
$\frac{2}{3}x = -\frac{5}{4}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को $\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर:
$x = -\frac{5}{4} \times \frac{3}{2}$
$x = -\frac{15}{8}$

(C) बहुपद $q(m)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $q(m) = 0$ रखते हैं।
$0.3m - 0.15 = 0$
$0.3m = 0.15$
$m = \frac{0.15}{0.3}$
$m = \frac{15}{30}$
$m = 0.5$
अतः,बहुपद का शून्यक $0.5$ है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - 4x + 3$ है।
सबसे पहले,$p(2)$ की गणना करें:
$p(2) = (2)^{2} - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
इसके बाद,$p(-1)$ की गणना करें:
$p(-1) = (-1)^{2} - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
फिर,$p(1/2)$ की गणना करें:
$p(1/2) = (1/2)^{2} - 4(1/2) + 3 = 1/4 - 2 + 3 = 1/4 + 1 = 5/4$.
अंत में,इन मानों को व्यंजक $p(2) - p(-1) + p(1/2)$ में प्रतिस्थापित करें:
$-1 - 8 + 5/4 = -9 + 5/4 = (-36 + 5) / 4 = -31/4$.

(N/A) $p(x)=21+10 x+x^{2}$
$\therefore p(x)=x^{2}+10 x+21$ और $g(x)=2+x$
$\therefore g(x)=x+2$
$\therefore$ भागफल $=x+8$ और शेषफल $=5$
विभाजन प्रक्रिया के चरण:
चरण $1:$ हम भाज्य $21+10 x+x^{2}$ और भाजक $2+x$ को मानक रूप में लिखते हैं,अर्थात,पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद। इसलिए,भाज्य $x^{2}+10 x+21$ है और भाजक $x+2$ है।
चरण $2:$ हम भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करते हैं,अर्थात,हम $x^{2}$ को $x$ से विभाजित करते हैं और $x$ प्राप्त करते हैं। यह हमें भागफल का पहला पद देता है।
$\frac{x^{2}}{x}=x=$ भागफल का पहला पद।
चरण $3:$ हम भाजक को भागफल के पहले पद से गुणा करते हैं और इस गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं,अर्थात,हम $x+2$ को $x$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $x^{2}+2 x$ को भाज्य $x^{2}+10 x+21$ से घटाते हैं। यह हमें शेषफल के रूप में $8 x+21$ देता है।
चरण $4:$ हम शेषफल $8 x+21$ को नए भाज्य के रूप में मानते हैं। भाजक वही रहता है। हम भागफल का अगला पद प्राप्त करने के लिए चरण $2$ को दोहराते हैं,अर्थात,हम (नए) भाज्य के पहले पद $8 x$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करते हैं और $8$ प्राप्त करते हैं।
इस प्रकार,$8$ भागफल का दूसरा पद है।
$\frac{8 x}{x}=8=$ भागफल का दूसरा पद।
नया भागफल $=x+8$
चरण $5:$ हम भाजक को भागफल के दूसरे पद से गुणा करते हैं और गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं। अर्थात,हम $x+2$ को $8$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $8 x+16$ को भाज्य $8 x+21$ से घटाते हैं। यह हमें शेषफल के रूप में $5$ देता है।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक शेषफल $0$ न हो जाए या नए भाज्य की घात भाजक की घात से कम न हो जाए। इस चरण पर,यह नया भाज्य शेषफल बन जाता है और भागफलों का योग हमें पूर्ण भागफल देता है।
चरण $6:$ इस प्रकार,पूर्ण भागफल $x+8$ है और शेषफल $5$ है।

(N/A) $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 14x + 1$ को $x + 3$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $x^{3} + 3x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $4x^{2} + 14x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $4x$ प्राप्त होता है। $4x$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $4x^{2} + 12x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $2x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $2x$ को $x$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है। $2$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $2x + 6$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $-5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2} + 4x + 2$ है और शेषफल $-5$ है।

(C) माना बहुपद $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 25$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,भाजक $x + 4$ है,जिसे $x - (-4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,हम $x + 4 = 0$ रखते हैं,जिससे $x = -4$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-4)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-4) = (-4)^{3} + 7(-4)^{2} + 17(-4) + 25$
$p(-4) = -64 + 7(16) - 68 + 25$
$p(-4) = -64 + 112 - 68 + 25$
$p(-4) = 137 - 132$
$p(-4) = 5$
अतः,शेषफल $5$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ दिया गया बहुपद है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+2)$ एक गुणनखंड है,हम रैखिक बहुपद $x+2$ का शून्यक ज्ञात करते हैं,$x+2 = 0$ रखने पर $x = -2$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(-2) = 0$ है,तो $(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = 60 - 60 = 0$
चूँकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$,$x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ का एक गुणनखंड है।

(A) बहुपद $p(x)$,$x + 2$ का गुणज तभी होगा यदि $x + 2$ से $p(x)$ को विभाजित करने पर शेषफल $0$ प्राप्त हो।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$x + 2 = 0$ रखने पर,हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(x + 2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$p(x)$,$x + 2$ का एक गुणज है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2x^2 - 7x - 15$ को $x + 1$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे।
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / x = 2x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(x + 1)$ को $2x$ से गुणा करें: $2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 2x) = -9x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-9x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करें: $-9x / x = -9$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(x + 1)$ को $-9$ से गुणा करें: $-9(x + 1) = -9x - 9$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-9x - 15) - (-9x - 9) = -9x - 15 + 9x + 9 = -6$.
अतः,भागफल $2x - 9$ है और शेषफल $-6$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का विभाजन करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x+1)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x+1) = 2x^2 + x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + x) = -8x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-8x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-8x / 2x = -4$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x+1)$ को $-4$ से गुणा करें: $-4(2x+1) = -8x - 4$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-8x - 15) - (-8x - 4) = -8x - 15 + 8x + 4 = -11$.
अतः,भागफल $x-4$ है और शेषफल $-11$ है।

(N/A) $2x^2 - 7x - 15$ को $2x + 3$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x + 3)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 3x) = -10x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-10x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-10x / 2x = -5$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x + 3)$ को $-5$ से गुणा करें: $-5(2x + 3) = -10x - 15$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-10x - 15) - (-10x - 15) = 0$.
अतः,भागफल $x - 5$ है और शेषफल $0$ है।

(A) $2x^2 - 7x - 15$ को $2x - 3$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x - 3)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 - 3x) = -4x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-4x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-4x / 2x = -2$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x - 3)$ को $-2$ से गुणा करें: $-2(2x - 3) = -4x + 6$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-4x - 15) - (-4x + 6) = -4x - 15 + 4x - 6 = -21$.
अतः,भागफल $x - 2$ है और शेषफल $-21$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2x^2 - 7x - 15$ को $x - 2$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $2x$ को $(x - 2)$ से गुणा करने पर $2x^2 - 4x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(2x^2 - 7x)$ में से $(2x^2 - 4x)$ को घटाने पर $-3x$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अगले पद $-15$ को नीचे लाने पर $-3x - 15$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: नए व्यंजक के पहले पद $(-3x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $-3$ को $(x - 2)$ से गुणा करने पर $-3x + 6$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $(-3x - 15)$ में से $(-3x + 6)$ को घटाने पर $-15 - 6 = -21$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= 2x - 3$ और शेषफल $= -21$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x-1)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $x^3$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x^2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(x^3-x^2)$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3-x^2) = 2x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: नए बहुपद के पहले पद $2x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $2x$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(2x^2-2x)$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x^2-10x+8) - (2x^2-2x) = -8x+8$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: पहले पद $-8x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-8$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $-8$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(-8x+8)$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-8x+8) - (-8x+8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+2x-8$ है और शेषफल $0$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x-2)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ में से $(x^{3}-2x^{2})$ घटाने पर $3x^{2}-10x+8$ प्राप्त होता है।
$4$. $3x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x$ प्राप्त होता है। $3x$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $3x^{2}-6x$ प्राप्त होता है।
$5$. $(3x^{2}-10x+8)$ में से $(3x^{2}-6x)$ घटाने पर $-4x+8$ प्राप्त होता है।
$6$. $-4x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है। $-4$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $-4x+8$ प्राप्त होता है।
$7$. $(-4x+8)$ में से $(-4x+8)$ घटाने पर $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}+3x-4$ और शेषफल $= 0$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x+3)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $x^3+3x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+3x^2) = -2x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. नए पहले पद $(-2x^2)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-2x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-2x$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $-2x^2-6x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-2x^2-10x+8) - (-2x^2-6x) = -4x+8$ प्राप्त होता है।
$5$. नए पहले पद $(-4x)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है।
$6$. $-4$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $-4x-12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-4x+8) - (-4x-12) = 20$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}-2x-4$ और शेषफल $= 20$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x+4)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $x^3+4x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+4x^2) = -3x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. नए पहले पद $(-3x^2)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-3x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-3x$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $-3x^2-12x$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(-3x^2-10x+8) - (-3x^2-12x) = 2x+8$ प्राप्त होता है।
$5$. नए पहले पद $(2x)$ को $x$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है।
$6$. $2$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $2x+8$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x+8) - (2x+8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}-3x+2$ और शेषफल $= 0$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,हमें $p(-1)$ ज्ञात करना है।
दिया गया है $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$.
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 26(-1) + 24$
$p(-1) = -1 + 1 + 26 + 24$
$p(-1) = 0 + 50$
$p(-1) = 50$.
अतः,शेषफल $50$ है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ होगा।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(1)$ का मान निकालते हैं:
$p(1) = (1)^{3} + (1)^{2} - 26(1) + 24$
$p(1) = 1 + 1 - 26 + 24$
$p(1) = 2 - 26 + 24$
$p(1) = -24 + 24 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 4$ है,जिसे $x - (-4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -4$ है।
अब,बहुपद $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$ में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-4) = (-4)^3 + (-4)^2 - 26(-4) + 24$
$p(-4) = -64 + 16 + 104 + 24$
$p(-4) = -64 + 144$
$p(-4) = 80$.
अतः,शेषफल $80$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $x - 4$ है,इसलिए $a = 4$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(4)$ की गणना करेंगे:
$p(4) = (4)^{3} + (4)^{2} - 26(4) + 24$
$p(4) = 64 + 16 - 104 + 24$
$p(4) = 80 - 104 + 24$
$p(4) = -24 + 24 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 6$ है,जिसे $x - (-6)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,हमें $p(-6)$ का मान ज्ञात करना होगा।
दिया गया है कि $p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ है।
बहुपद में $x = -6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-6) = (-6)^{3} + (-6)^{2} - 26(-6) + 24$
$p(-6) = -216 + 36 + 156 + 24$
$p(-6) = -216 + 216$
$p(-6) = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $x - 6$ है,इसलिए $a = 6$ होगा।
अब,बहुपद में $x = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(6) = (6)^{3} + (6)^{2} - 26(6) + 24$
$p(6) = 216 + 36 - 156 + 24$
$p(6) = 252 - 156 + 24$
$p(6) = 96 + 24$
$p(6) = 120$
अतः,शेषफल $120$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3} + 13x^{2} + ax + 35$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $x+5$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-5) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -5$ रखने पर:
$(-5)^{3} + 13(-5)^{2} + a(-5) + 35 = 0$
$-125 + 13(25) - 5a + 35 = 0$
$-125 + 325 - 5a + 35 = 0$
$235 - 5a = 0$
$5a = 235$
$a = 47$.

(A) माना बहुपद $p(x) = x^{3} + ax^{2} - x + 30$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + a(-2)^{2} - (-2) + 30 = 0$
$-8 + 4a + 2 + 30 = 0$
$4a + 24 = 0$
$4a = -24$
$a = -6$.

(B) माना $p(x) = x^{3} + ax^{2} + 19x + 20$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब $p(x)$ को $(x + 3)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-3)$ होता है।
दिया गया है कि शेषफल $a$ है,इसलिए $p(-3) = a$।
बहुपद में $x = -3$ रखने पर:
$(-3)^{3} + a(-3)^{2} + 19(-3) + 20 = a$
$-27 + 9a - 57 + 20 = a$
$9a - 64 = a$
$8a = 64$
$a = 8$.

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1)$ होता है।
दिया गया है कि $p(-1) = 16$,इसलिए:
$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + a(-1) - 3a + 9 = 16$
$-2 - 3 - a - 3a + 9 = 16$
$4 - 4a = 16$
$-4a = 12$
$a = -3$.
अब,$a = -3$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x - 3(-3) + 9 = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 18$.
$p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(-2)$ की गणना करेंगे:
$p(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 3(-2) + 18$
$p(-2) = 2(-8) - 3(4) + 6 + 18$
$p(-2) = -16 - 12 + 6 + 18 = -4$.
अतः,$a = -3$ और शेषफल $-4$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $f(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
$p(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5ax - 7$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर,$R_{1} = p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} - 5a(-1) - 7 = -1 + 2 + 5a - 7 = 5a - 6$.
$q(x) = x^{3} + ax^{2} - 12x + 6$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर,$R_{2} = q(2) = (2)^{3} + a(2)^{2} - 12(2) + 6 = 8 + 4a - 24 + 6 = 4a - 10$.
दिया गया है कि $2R_{1} + R_{2} = 6$,अतः $R_{1}$ और $R_{2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2(5a - 6) + (4a - 10) = 6$
$10a - 12 + 4a - 10 = 6$
$14a - 22 = 6$
$14a = 28$
$a = 2$.

(A) माना $p(x) = 2x^3 + 21x^2 + 67x + 60$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $2x + 3$ एक गुणनखंड है,हम इसका शून्य ज्ञात करते हैं,$2x + 3 = 0$ रखने पर $x = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(-\frac{3}{2}) = 0$ है,तो $2x + 3$ एक गुणनखंड है।
$p(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + 21(-\frac{3}{2})^2 + 67(-\frac{3}{2}) + 60$
$= 2(-\frac{27}{8}) + 21(\frac{9}{4}) - \frac{201}{2} + 60$
$= -\frac{27}{4} + \frac{189}{4} - \frac{402}{4} + \frac{240}{4}$
$= \frac{-27 + 189 - 402 + 240}{4}$
$= \frac{429 - 429}{4} = 0$.
चूँकि $p(-\frac{3}{2}) = 0$ है,इसलिए $2x + 3$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(N/A) माना $p(x) = x^{2}-7x+12$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
हम अचर पद $12$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं। संभावित गुणनखंड $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ हैं।
$x = 3$ के लिए जाँच करने पर:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$।
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए $(x-3)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$x = 4$ के लिए जाँच करने पर:
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$।
चूँकि $p(4) = 0$ है,इसलिए $(x-4)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$x^{2}-7x+12$ के गुणनखंड $(x-3)(x-4)$ हैं।

(A) मध्य पद को विभाजित करके $10 x^{2}-x-24$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $p+q = -1$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $p \times q = 10 \times (-24) = -240$ ($x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
हम $-240$ के ऐसे गुणनखंड ढूँढते हैं जिनका योग $-1$ हो। ये संख्याएँ $15$ और $-16$ हैं,क्योंकि $15 + (-16) = -1$ और $15 \times (-16) = -240$ होता है।
अब,मध्य पद $-x$ को $15x - 16x$ के रूप में लिखें:
$10 x^{2} - x - 24 = 10 x^{2} + 15 x - 16 x - 24$
पदों को समूह में व्यवस्थित करें ताकि उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकाला जा सके:
$= (10 x^{2} + 15 x) - (16 x + 24)$
$= 5 x(2 x + 3) - 8(2 x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x + 3)$ को बाहर निकालें:
$= (2 x + 3)(5 x - 8)$

(A) माना $p(x) = x^{3}+x^{2}-26 x+24$ है।
बहुपद के सभी गुणांकों का योग $1+1-26+24 = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,बहुपद का गुणनखंड करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$x^{3}+x^{2}-26 x+24 = x^{3}-x^{2}+2x^{2}-2x-24x+24$
$= x^{2}(x-1)+2x(x-1)-24(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}+2x-24)$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(x^{2}+2x-24)$ का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}+6x-4x-24 = x(x+6)-4(x+6) = (x-4)(x+6)$
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x-4)(x+6)$ हैं।

(D) माना $p(x) = x^{3}-x^{2}-17 x-15$.
गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके मानों की जाँच करते हैं। आइए $x = -1$ के लिए जाँच करें:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 17(-1) - 15 = -1 - 1 + 17 - 15 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,हम $p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करते हैं या पदों को विभाजित करते हैं:
$x^{3}-x^{2}-17 x-15 = x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x-15x-15$
$= x^{2}(x+1) - 2x(x+1) - 15(x+1)$
$= (x+1)(x^{2}-2x-15)$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(x^{2}-2x-15)$ का गुणनखंड करें:
$x^{2}-5x+3x-15 = x(x-5)+3(x-5) = (x-5)(x+3)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x-5)(x+3)$ हैं।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8$
$p(1) = 1 - 7 + 14 - 8$
$p(1) = 15 - 15 = 0$
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $(x-1)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+4x^{2}+x-6$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} + 4(1)^{2} + (1) - 6$
$p(1) = 1 + 4(1) + 1 - 6$
$p(1) = 1 + 4 + 1 - 6$
$p(1) = 6 - 6 = 0$
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x-1)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+6x^{2}-9x-14$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(c) = 0$ है,तो $(x-c)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
यहाँ,$c = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} + 6(1)^{2} - 9(1) - 14$
$p(1) = 1 + 6 - 9 - 14$
$p(1) = 7 - 23$
$p(1) = -16$
चूँकि $p(1) \neq 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $(x-1)$ बहुपद $p(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 - (1) - 6$
$p(1) = 2(1) + 5(1) - 1 - 6$
$p(1) = 2 + 5 - 1 - 6$
$p(1) = 7 - 7 = 0$.
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^{3} + 10x^{2} + 23x + 14$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} + 10(-1)^{2} + 23(-1) + 14$
$p(-1) = -1 + 10(1) - 23 + 14$
$p(-1) = -1 + 10 - 23 + 14$
$p(-1) = 9 - 23 + 14$
$p(-1) = -14 + 14 = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह जाँचने के लिए कि $(x+1)$,$p(x) = x^{3} - 5x^{2} + 2x + 8$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 5(-1)^{2} + 2(-1) + 8$
$p(-1) = -1 - 5(1) - 2 + 8$
$p(-1) = -1 - 5 - 2 + 8$
$p(-1) = -8 + 8 = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 5(-1) + 6$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 5 + 6$
$p(-1) = -1 - 2 + 5 + 6$
$p(-1) = 8$
चूँकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$,$P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 5x - 12$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि $P(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 5(-1) - 12$
$P(-1) = 6(-1) + 11(1) + 5 - 12$
$P(-1) = -6 + 11 + 5 - 12$
$P(-1) = 5 + 5 - 12$
$P(-1) = 10 - 12$
$P(-1) = -2$
चूंकि $P(-1) \neq 0$,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}+10x+16$ का मध्यम पद को विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका योग $10$ ($x$ का गुणांक) हो और जिनका गुणनफल $16$ (अचर पद) हो।
$1$. $16$ के गुणनखंड ज्ञात कीजिए: $(1, 16), (2, 8), (4, 4)$।
$2$. इनमें से,$(2, 8)$ जोड़ी का योग $10$ होता है।
$3$. मध्यम पद $10x$ को $2x + 8x$ के रूप में फिर से लिखें:
$x^{2} + 2x + 8x + 16$
$4$. पदों के समूह बनाएं और उभयनिष्ठ तत्वों को बाहर निकालें:
$x(x + 2) + 8(x + 2)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 2)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 2)(x + 8)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-12x+20$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $20$ हो और जिनका योग $-12$ हो।
ये दो संख्याएँ $-2$ और $-10$ हैं,क्योंकि $(-2) \times (-10) = 20$ और $(-2) + (-10) = -12$ होता है।
अब,मध्य पद $-12x$ को $-2x - 10x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} - 2x - 10x + 20$
पदों के समूह बनाएँ:
$(x^{2} - 2x) - (10x - 20)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$x(x - 2) - 10(x - 2)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 2)$ को बाहर निकालें:
$(x - 2)(x - 10)$

(A) $6x^2 + 19x + 10$ का मध्यम पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $6 \times 10 = 60$ हो और जिनका योग $19$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $4$ हैं,क्योंकि $15 \times 4 = 60$ और $15 + 4 = 19$ होता है।
अब,मध्यम पद $19x$ को $15x + 4x$ के रूप में लिखें:
$6x^2 + 15x + 4x + 10$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने के लिए पदों के समूह बनाएँ:
$(6x^2 + 15x) + (4x + 10)$
$3x(2x + 5) + 2(2x + 5)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(2x + 5)(3x + 2)$

(N/A) मध्य पद को विभाजित करके द्विघात बहुपद $x^{2}+14x+33$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $14$ हो और गुणनफल $33$ हो।
$1$. गुणांकों की पहचान करें: $a=1, b=14, c=33$.
$2$. ऐसी दो संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करें कि $p+q=14$ और $p \times q=33$ हो।
$3$. $33$ के गुणनखंड $(1, 33)$ और $(3, 11)$ हैं।
$4$. चूँकि $3+11=14$ होता है,इसलिए वे संख्याएँ $3$ और $11$ हैं।
$5$. मध्य पद को पुन: लिखें: $x^{2}+3x+11x+33$.
$6$. समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करें: $x(x+3)+11(x+3)$.
$7$. अंतिम गुणनखंडित रूप: $(x+3)(x+11)$.