वास्तविक विभाजन किए बिना,सिद्ध कीजिए कि $2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$,$x^2 - 3x + 2$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ और $g(x) = x^2 - 3x + 2$ है।
सबसे पहले,भाजक $g(x)$ का गुणनखंड कीजिए:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$,$g(x)$ से विभाज्य है,तो इसे $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$(x - 1)$ के लिए जाँच करें:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$(x - 2)$ के लिए जाँच करें:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $(x - 2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चूँकि $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों $p(x)$ के गुणनखंड हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ भी $p(x)$ का एक गुणनखंड होगा।
अतः,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$,$x^2 - 3x + 2$ से विभाज्य है।