Increasing and Decreasing function Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 6x^2 + px + 2$ છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3x^2 + 12x + p$.
$f(x)$ એ અંતરાલ $(-3, -1)$ માં ઘટતું વિધેય હોવાથી,તમામ $x \in (-3, -1)$ માટે $f'(x) \leq 0$ થવું જોઈએ.
દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 + 12x + p$ એ તેના બીજ $-3$ અને $-1$ ની વચ્ચે $0$ કે તેથી ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,સમીકરણ $3x^2 + 12x + p = 0$ ના બીજ $x = -3$ અને $x = -1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
તેથી,$(-3) \times (-1) = \frac{p}{3}$.
$3 = \frac{p}{3} \implies p = 9$.

(A) અહીં $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sin 3x$ મળે.
વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલન $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$.
વિધેય વધતું હોવા માટે $3 \cos 3x > 0$,એટલે કે $\cos 3x > 0$ હોવું જોઈએ.
આ શરત $-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$ માટે સાચી છે.
$3$ વડે ભાગતા,$-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ મળે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ છે.
વિધેય ક્યારે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીશું અને $f'(x) > 0$ લઈશું.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + x^{-1}) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
ચુસ્ત વધતા વિધેય માટે $f'(x) > 0$,તેથી $1 - \frac{1}{x^2} > 0$.
$\frac{x^2 - 1}{x^2} > 0$.
અહીં $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $x^2 - 1 > 0$ હોય.
$x^2 > 1$,જેનો અર્થ છે કે $|x| > 1$.

(B) આપેલ વિધેય $y = 8x^3 - 60x^2 + 144x + 27$ છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ.
$\frac{dy}{dx} = 24x^2 - 120x + 144$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$\frac{dy}{dx} < 0$ હોવું જોઈએ.
$24x^2 - 120x + 144 < 0$.
$24$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 5x + 6 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(x - 3)(x - 2) < 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,અંતરાલ $(2, 3)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$,જ્યાં $x > 0$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{d}{dx} (\log(1 + x))$
$f'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{1 + x}$
$f'(x) = -\left( \frac{1 + (x + 1)}{(x + 1)^2} \right) = -\frac{x + 2}{(x + 1)^2}$
અહીં $x > 0$ હોવાથી,$x + 2 > 0$ અને $(x + 1)^2 > 0$ થાય.
તેથી,તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) = -\frac{x + 2}{(x + 1)^2} < 0$ મળે છે.
આમ,વિકલન $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ ઘટતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ છે.
વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલન $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{(a \cos x - b \sin x)(c \sin x + d \cos x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.
અંશનું સાદુરૂપ આપતા,આપણને $ad - bc > 0$ મળે છે.
આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1 \sin x + b \cos x}{1 \sin x + 4 \cos x}$ માં,$a=1, b=b, c=1, d=4$ છે.
શરત $ad - bc > 0$ લાગુ પાડતા:
$(1)(4) - (b)(1) > 0$
$4 - b > 0$
$4 > b$ અથવા $b < 4$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x - 1)^2 (x - 2)$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x - 1)^2] \cdot (x - 2) + (x - 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}[(x - 2)]$
$f'(x) = 2(x - 1)(x - 2) + (x - 1)^2$
$f'(x) = (x - 1) [2(x - 2) + (x - 1)]$
$f'(x) = (x - 1) (2x - 4 + x - 1)$
$f'(x) = (x - 1) (3x - 5)$
વિધેય એકસૂત્રીય ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ:
$(x - 1)(3x - 5) < 0$
અહીં નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = 5/3$ છે.
અંતરાલો $(-\infty, 1)$,$(1, 5/3)$,અને $(5/3, \infty)$ ની ચકાસણી કરતા:
$x \in (1, 5/3)$ માટે,ગુણાકાર $(x - 1)(3x - 5)$ ઋણ મળે છે.
આમ,વિધેય $x \in (1, 5/3)$ અંતરાલ પર ઘટે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એકસૂત્રીય વધતું વિધેય હોય જો તેનું વિકલન $f'(x) \ge 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \lambda x - \sin x$.
તેથી,$f'(x) = \lambda - \cos x$.
વિધેય $f(x)$ એકસૂત્રીય વધતું હોવા માટે,$f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lambda - \cos x \ge 0$ અથવા $\lambda \ge \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,તમામ $x$ માટે $\lambda \ge \cos x$ સાચું ઠરે તે માટે $\lambda \ge 1$ હોવું જરૂરી છે.
આમ,જ્યારે $\lambda \ge 1$ હોય ત્યારે વિધેય $f(x)$ એકસૂત્રીય વધતું વિધેય બને છે.

(B) વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ ચકાસીએ છીએ. જો પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોય,તો વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
$1$. $f(x) = e^{x^2}$ માટે,$f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x$. આ $x > 0$ માટે ધન અને $x < 0$ માટે ઋણ છે. તેથી,તે સમગ્ર વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર વધતું વિધેય નથી.
$2$. $f(x) = e^{x^3}$ માટે,$f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2$. કારણ કે $e^{x^3} > 0$ અને તમામ $x$ માટે $3x^2 \ge 0$ છે,તેથી $f'(x) \ge 0$ થાય. આ વિધેય $\mathbb{R}$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
$3$. $f(x) = e^0 = 1$ માટે,$f'(x) = 0$. આ એક અચળ વિધેય છે,જે વધતું વિધેય નથી.
તેથી,$e^{x^3}$ એ સાચો વિકલ્પ છે કારણ કે તે વધતું વિધેય છે.

(A) આપણે તે અંતરાલ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) < g'(x)$.
ધારો કે $h(x) = g(x) - f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 6$.
$f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે તે માટે આપણે $h'(x) > 0$ જોઈએ છીએ.
$h'(x) = -6x^2 + 18x - 12 = -6(x^2 - 3x + 2) = -6(x - 1)(x - 2)$.
$h'(x) > 0$ માટે,આપણે $(x - 1)(x - 2) < 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા ત્યારે સાચી પડે છે જ્યારે $x \in (1, 2)$ હોય.
આમ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં,$f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે છે.

(C) વિધેય $f(x)$ અંતરાલ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલિત $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ $f(x) = x^2 + kx + 1$ માટે,તેનું વિકલિત:
$f'(x) = 2x + k$
અંતરાલ $[1, 2]$ માં $f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,તમામ $x \in [1, 2]$ માટે $f'(x) \geq 0$ થવું જોઈએ.
$2x + k \geq 0$
$k \geq -2x$
આ શરત તમામ $x \in [1, 2]$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $k$ એ આ અંતરાલ પર $-2x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $g(x) = -2x$. અંતરાલ $[1, 2]$ પર,વિધેય $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત ડાબી બાજુના અંતિમ બિંદુ $x = 1$ પર મળે છે.
$g(1) = -2(1) = -2$.
આમ,$k \geq -2$.
તેથી,$k$ નું ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $-2$ છે.

(D) ચાલો દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A) f(x) = x + |x| = \begin{cases} 2x, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$. આ ચુસ્ત વધતું વિધેય નથી કારણ કે તે $x < 0$ માટે અચળ છે.
$B) f(x) = x - |x| = \begin{cases} 0, & x \ge 0 \\ 2x, & x < 0 \end{cases}$. આ ચુસ્ત વધતું વિધેય નથી કારણ કે તે $x \ge 0$ માટે અચળ છે.
$C) f(x) = [x]$ (મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય). આ એક સ્ટેપ વિધેય છે અને તે ચુસ્ત વધતું નથી કારણ કે તે પૂર્ણાંકો વચ્ચે અચળ રહે છે.
$D) f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$.
જો $x_1 < x_2$ હોય,તો જો બંને ધન હોય તો $x_1^2 < x_2^2$. જો બંને ઋણ હોય તો $-x_1^2 < -x_2^2$. જો $x_1 < 0$ અને $x_2 \ge 0$ હોય,તો $f(x_1) < 0$ અને $f(x_2) \ge 0$,તેથી $f(x_1) < f(x_2)$. આમ,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \cos |x| - 2ax + b$.
કારણ કે $\cos |x| = \cos x$,તેથી $f(x) = \cos x - 2ax + b$.
વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = -\sin x - 2a$.
$f'(x) \ge 0$ માટે,$-\sin x - 2a \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2a \le -\sin x$,અથવા $a \le -\frac{1}{2} \sin x$.
આ શરત તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $a$ એ $-\frac{1}{2} \sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કરતા નાનું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$\sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે,તેથી $-\sin x - 2a \ge 0$ તમામ $x$ માટે સાચું રહે તે માટે,આપણે $2a \le \min(-\sin x) = -1$ ની જરૂર છે.
આમ,$a \le -1/2$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{100} + \sin x - 1) = 100x^{99} + \cos x$.
$x \in (0, 1)$ માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $x^{99} > 0$,તેથી $100x^{99} > 0$.
વળી,$x \in (0, 1)$ માટે,$\cos x > 0$ કારણ કે $x$ પ્રથમ ચરણમાં છે.
આમ,$100x^{99}$ અને $\cos x$ બંને પદો $x \in (0, 1)$ માટે ધન હોવાથી,તેમનો સરવાળો $f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$ થાય.
$f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $(0, 1)$ પર એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.

(B) અહીં વિધેય $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$ આપેલ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 2x^{-1}) = 3 - 2x^{-2} = 3 - \frac{2}{x^2}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $f'(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^2}$ મળે છે.
અંતરાલ $x \in (1, 3)$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x^2 > 1$,જેનો અર્થ છે કે $3x^2 > 3$.
તેથી,$3x^2 - 2 > 3 - 2 = 1$,જે હંમેશા ધન છે.
આમ,દરેક $x \in (1, 3)$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 3)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો.
$x > 0$ માટે $f(x) \leq g(x)$ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $h(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
તેનું વિકલન $h'(x) = 1 - \cos x$ છે.
બધા $x$ માટે $\cos x \leq 1$ હોવાથી,$h'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x \geq 0$ માટે $h(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ હોવાથી,બધા $x \geq 0$ માટે $h(x) \geq 0$ થાય.
આમ,$x - \sin x \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in (0, \infty)$ માટે $x \geq \sin x$ અથવા $g(x) \geq f(x)$.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
હવે વિધાન-$2$ ધ્યાનમાં લો: $x \in (0, \infty)$ માટે,$f(x) = \sin x \leq 1$ સાચું છે.
વળી,જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $g(x) = x \rightarrow \infty$ પણ સાચું છે.
જોકે,$f(x) \leq 1$ અને $g(x) \rightarrow \infty$ હોવાની હકીકત,વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કર્યા વિના સીધી રીતે $f(x) \leq g(x)$ સાબિત કરતી નથી.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે,પરંતુ તે વિધાન-$1$ માટેનું સીધું તાર્કિક સ્પષ્ટીકરણ નથી.

(B) ધારો કે $f(x) = \tan x - x$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.
આમ,$f'(x) = \tan^2 x$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f'(x) \geq 0$ થાય.
ચોક્કસપણે,તમામ $x \neq n\pi$ (જ્યાં $n \in Z$) માટે $f'(x) > 0$ છે.
વિકલિત અઋણ હોવાથી અને કોઈ પણ અંતરાલ પર શૂન્ય ન હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,આ વિધેય હંમેશા વધતું વિધેય છે.

(C) અહીં વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ આપેલ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં છેદ $1 + (\sin x + \cos x)^2$ હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની અંશ $(\cos x - \sin x)$ પર આધાર રાખે છે.
આપણે $\cos x - \sin x > 0$ જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos x > \sin x$.
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ભાગતા (પ્રથમ ચરણમાં $\cos x > 0$ હોવાથી),આપણને $1 > \tan x$ અથવા $\tan x < 1$ મળે છે.
આ શરત $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ માટે સાચી છે.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{4})$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેનું વિકલિત $f'(x) < 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,તેનું વિકલિત $f'(x) = e^x (x - 1)(x - 2)$ થાય.
અહીં $e^x$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $(x - 1)(x - 2)$ ના ગુણાકાર પર આધાર રાખે છે.
આપણે $f'(x) < 0$ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(x - 1)(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $x$ એ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3/2}(3x - 10) = 3x^{5/2} - 10x^{3/2}$ છે.
વિધેય વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{5/2} - 10x^{3/2}) = 3 \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} - 10 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{15}{2} x^{3/2} - 15 x^{1/2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{15}{2} x^{1/2} (x - 2) = 0$.
$x \geq 0$ હોવાથી,ક્રાંતિક બિંદુ $x = 2$ મળે છે.
$x > 2$ માટે,$f'(x) > 0$ થાય છે,તેથી વિધેય $[2, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.
$0 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$ થાય છે,તેથી વિધેય $(0, 2)$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે વિધેય $f(x) = e^{ax}$ છે.
વિધેય ક્યારે એકસૂત્રી ઘટતું છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું પ્રથમ વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{ax}) = a \cdot e^{ax}$.
વિધેય એકસૂત્રી ઘટતું હોય જો $f'(x) < 0$ હોય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય $e^{ax}$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન હોય છે $(e^{ax} > 0)$,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની સંપૂર્ણપણે અચળાંક $a$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$f'(x) < 0$ ત્યારે જ થાય જો $a < 0$ હોય.
આમ,વિધેય $f(x) = e^{ax}$ એ $a < 0$ હોય ત્યારે એકસૂત્રી ઘટતું વિધેય છે.

(D) વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 29$ કયા અંતરાલમાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x + 29) = 6x^2 - 18x + 12$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 3x + 2 < 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x - 2) < 0$ મળે છે.
અસમતા $(x - 1)(x - 2) < 0$ ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $x$ એ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,વિધેય $1 < x < 2$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - e^{-\frac{x^2}{2}}) = 0 - e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(-\frac{x^2}{2}) = -e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની માત્ર $x$ ની નિશાની પર આધાર રાખે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x > 0$ હોય,તો $f'(x) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $f'(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,વિધેય $x < 0$ માટે ઘટતું વિધેય છે અને $x > 0$ માટે વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = xe^{x(1 - x)}$.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} (1 + x)(1 - 2x)$
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $e^{x(1 - x)} > 0$ હોવાથી,$(1 + x)(1 - 2x) \geq 0$ થવું જોઈએ.
આ અસમતા ઉકેલતા,$x \in [-1, 1/2]$ મળે છે.
આમ,$f(x)$ એ $[-1/2, 1/2]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે,જે $[-1/2, 1]$ નો ભાગ છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos |x| - 2ax + b$ છે.
કારણ કે $\cos |x| = \cos x$,તેથી $f(x) = \cos x - 2ax + b$ થાય.
વિધેય આખી વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર વધતું હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
વિકલન કરતા: $f'(x) = -\sin x - 2a$.
શરત $f'(x) \geq 0$ મૂકતા,$-\sin x - 2a \geq 0$,જેનું સાદું રૂપ $\sin x + 2a \leq 0$ થાય.
આ અસમતા તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચી રહે તે માટે,$\sin x + 2a$ ની મહત્તમ કિંમત $0$ કે તેથી ઓછી હોવી જોઈએ.
$\sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $1 + 2a \leq 0$ મળે.
$a$ માટે ઉકેલતા,$2a \leq -1$,જેનો અર્થ છે કે $a \leq -1/2$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = [x(x - 3)]^2 = (x^2 - 3x)^2$ છે.
વિધેય વધતું વિધેય ક્યારે હોય તે જાણવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીશું અને $f'(x) > 0$ લઈશું.
$f'(x) = 2(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) = 2x(x - 3)(2x - 3)$.
$f'(x) > 0$ લેતા,$2x(x - 3)(2x - 3) > 0$,જેનું સાદું રૂપ $x(x - 3)(2x - 3) > 0$ થાય છે.
અહીં નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 0$,$x = 3/2$ અને $x = 3$ છે.
સંખ્યા રેખા પર ચિહ્ન પદ્ધતિ (wavy curve method) નો ઉપયોગ કરતા:
$x \in (0, 3/2)$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x \in (3/2, 3)$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x \in (3, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $x \in (0, 3/2) \cup (3, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\log(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{[\log(e + x)]^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x)[\log(e + x)]^2}$.
અહીં $e < \pi$ હોવાથી,$x > 0$ માટે $e + x < \pi + x$ અને $\log(e + x) < \log(\pi + x)$ થાય.
તેથી,$(e + x)\log(e + x) < (\pi + x)\log(\pi + x)$,જે દર્શાવે છે કે $f'(x) < 0$ દરેક $x \in (0, \infty)$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$.
ન્યૂટન-લેબનીઝના વિકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x \left( e^{-(x^4+2x^2+1)} - e^{-x^4} \right)$
$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2+1)} - 1 \right)$
અહીં $e^{-x^4} > 0$ દરેક $x$ માટે છે,અને $e^{-(2x^2+1)} < 1$ દરેક $x$ માટે છે (કારણ કે $2x^2+1 > 0$),તેથી $(e^{-(2x^2+1)} - 1)$ હંમેશા ઋણ છે.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$2x \cdot (\text{ઋણ કિંમત}) \geq 0 \implies x \leq 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(-\infty, 0]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \log(e + x) - \frac{1}{e + x} \cdot \log(\pi + x)}{(\log(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x)(\log(e + x))^2}$.
ધારો કે $g(t) = t \log t$. તો $g'(t) = 1 + \log t$. $t > 0$ માટે,$g(t)$ એ $t > 1/e$ માટે વધતું વિધેય છે.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,$e + x > e > 1/e$ અને $\pi + x > \pi > 1/e$ થાય.
વળી $\pi > e$ હોવાથી,$\pi + x > e + x$ થાય.
$g(t)$ એ $t > 1/e$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,$g(\pi + x) > g(e + x)$ મળે.
તેથી,$(\pi + x)\log(\pi + x) > (e + x)\log(e + x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x) < 0$.
આમ,દરેક $x \in (0, \infty)$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(0, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$ છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$.
વિકલનના અવયવ પાડતા:
$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 3)(x - 1)$.
વિધેય ત્યારે જ ઘટે જ્યારે $f'(x) < 0$ હોય.
તેથી,$3(x - 3)(x - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી પડે જ્યારે $x$ એ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$x \in (1, 3)$.

(A) વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 6x^2 + 7x - 19) = 6x^2 + 12x + 7$.
આપણે તેને $f'(x) = 6(x^2 + 2x) + 7$ તરીકે લખી શકીએ.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$f'(x) = 6(x^2 + 2x + 1 - 1) + 7 = 6(x + 1)^2 - 6 + 7 = 6(x + 1)^2 + 1$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $(x + 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$6(x + 1)^2 + 1 \geq 1$ થાય.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
વિકલન તમામ $x$ માટે ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.

(A) વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = -\frac{1}{2} + \cos x$
અંતરાલ $x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,$\frac{1}{2} < \cos x \le 1$.
બધા પદોમાંથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} < \cos x - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$
$0 < f'(x) \le \frac{1}{2}$
અહીં $f'(x) > 0$ હોવાથી,આપેલ અંતરાલમાં વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ મેળવવું પડશે અને તેને $0$ કરતા મોટું લેવું પડશે.
આપેલ છે: $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \times (\cos x - \sin x)$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $1 + (\sin x + \cos x)^2$ હંમેશા ધન છે,તેથી આપણે નીચેની શરત મેળવીએ છીએ:
$\cos x - \sin x > 0$
$\cos x > \sin x$
$cos x$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે સંબંધિત પ્રદેશમાં $\cos x > 0$ છે),આપણને મળે છે:
$1 > \tan x$
$\tan x < 1$.
$x = \pi/4$ પર $\tan x = 1$ હોવાથી,$\tan x < 1$ ની શરત $x < \pi/4$ માટે સાચી છે.
ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના પ્રમાણિત પ્રદેશને ધ્યાનમાં લેતા,અંતરાલ $(-\pi/2, \pi/4)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = x^2 e^{-x}$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$f'(x) = x e^{-x} (2 - x)$
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,અસમતા $x e^{-x} (2 - x) > 0$ નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$x(2 - x) > 0$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાય છે:
$x(x - 2) < 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના શૂન્યો $x = 0$ અને $x = 2$ છે. આ પદાવલિ શૂન્યોની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
તેથી,વિધેય $0 < x < 2$ માટે ચુસ્ત રીતે વધે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \cos x$.
વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ થવું જોઈએ.
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
$f'(x) < 0 \implies \cos x + \sin x < 0$.
$\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) < 0$.
$\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0$.
$\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta < 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$.
બધી બાજુ $\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$.
$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ અંતરાલમાં સંપૂર્ણપણે સમાવિષ્ટ નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી એક પણ નહીં' છે.

(B) આપેલ વિધેય $y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000$ છે.
$y$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવા માટે,તેનું વિકલન $y'$ એ તમામ $x$ માટે $0$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
$y' = 3ax^2 + 6x + (2a + 1) > 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C > 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $A > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = 3a$,$B = 6$,અને $C = 2a + 1$.
શરત $1$: $3a > 0 \implies a > 0$.
શરત $2$: $D = B^2 - 4AC < 0$.
$6^2 - 4(3a)(2a + 1) < 0$.
$36 - 12a(2a + 1) < 0$.
$12$ વડે ભાગતા: $3 - a(2a + 1) < 0$.
$3 - 2a^2 - a < 0$.
$2a^2 + a - 3 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(2a + 3)(a - 1) > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $a > 1$ અથવા $a < -3/2$ હોય.
શરત $1$ $(a > 0)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a > 1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ હંમેશા ધન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ અને $a > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$.
આપેલ છે કે $0 < b^2 < c$,તેથી $b^2 - 3c < 0$ થાય (કારણ કે $b^2 < c < 3c$).
આમ,$D < 0$ અને $x^2$ નો સહગુણક $3 > 0$ છે.
તેથી,દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
આમ,$f'(x) > 0$ હોવાથી $f(x)$ એ $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) કોઈ વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \lambda x + \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$f'(x) = \lambda - \sin x$ મળે.
વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda - \sin x > 0$,અથવા તમામ $x$ માટે $\lambda > \sin x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી તમામ $x$ માટે $\lambda > \sin x$ શરતનું પાલન કરવા માટે,$\lambda > 1$ હોવું જરૂરી છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 22$ છે.
વિધેય એકસૂત્રી ઘટતું હોય તે માટે આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીશું.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 22) = 3x^2 - 6x - 9$.
વિધેય એકસૂત્રી ઘટતું હોવા માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$3x^2 - 6x - 9 < 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 2x - 3 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 1) < 0$.
સમીકરણ $(x - 3)(x + 1) = 0$ ના બીજ $x = 3$ અને $x = -1$ છે.
અંતરાલ $(-\infty, -1)$,$(-1, 3)$,અને $(3, \infty)$ ચકાસતા,આપણને જણાય છે કે પદાવલિ $(-1, 3)$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી,વિધેય $-1 < x < 3$ માટે એકસૂત્રી ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
વિધેય ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $2 + \sin 2x > 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $\cos x - \sin x > 0$ હોવું જોઈએ.
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos x > 0$),આપણને $1 > \tan x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x < \frac{\pi}{4}$.
વિધેયના પ્રદેશને ધ્યાનમાં લેતા,જે અંતરાલમાં $f'(x) > 0$ છે તે $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^5 - 20x^3 + 240x$ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 20x^3 + 240x) = 5x^4 - 60x^2 + 240$.
આપણે $5$ સામાન્ય કાઢી શકીએ:
$f'(x) = 5(x^4 - 12x^2 + 48)$.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$x^4 - 12x^2 + 48 = (x^2 - 6)^2 - 36 + 48 = (x^2 - 6)^2 + 12$.
આમ,$f'(x) = 5[(x^2 - 6)^2 + 12]$.
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $(x^2 - 6)^2 \ge 0$ હોવાથી,$(x^2 - 6)^2 + 12 \ge 12$ થાય.
તેથી,દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \ge 5 \times 12 = 60 > 0$ થાય.
દરેક $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ દરેક જગ્યાએ વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{d}{dx} \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx = {e^x}(x - 1)(x - 2)$.
વિધેય $f$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,${e^x}(x - 1)(x - 2) < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ${e^x} > 0$ હોય છે,તેથી અસમતા $(x - 1)(x - 2) < 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $(x - 1)(x - 2)$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર તેના બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
આમ,$f$ એ $(1, 2)$ અંતરાલમાં ઘટે છે.

(C) $f(x)$ ની વધતી કે ઘટતી પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \int {\left( {2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)} \,dx$,તેથી કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = 2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
આપણે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$f'(x) = \frac{2(1 + {x^2}) - 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}} = \frac{2{x^2} + 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}}$.
ધારો કે $u = \sqrt{1 + {x^2}}$. કારણ કે ${x^2} \ge 0$,તેથી $u \ge 1$. આથી ${x^2} = {u^2} - 1$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $2({u^2} - 1) + 1 - u = 2{u^2} - u - 1 = (2u + 1)(u - 1)$.
કારણ કે $u \ge 1$,તેથી $(u - 1) \ge 0$ અને $(2u + 1) > 0$,એટલે કે અંશ $\ge 0$ છે.
ખાસ કરીને,તમામ $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$ અને $f'(0) = 0$ છે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \ge 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_1^x {\left( {t\ln(t) - \frac{{\ln(t)}}{t}} \right)dt}$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = x\ln(x) - \frac{{\ln(x)}}{x}$.
પદને અવયવ પાડતા,$f'(x) = \ln(x) \left( x - \frac{1}{x} \right) = \ln(x) \left( \frac{x^2 - 1}{x} \right) = \frac{{\ln(x)(x - 1)(x + 1)}}{x}$.
$x > 1$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\ln(x) > 0$,$(x - 1) > 0$,$(x + 1) > 0$,અને $x > 0$.
તેથી,તમામ $x > 1$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
કારણ કે વિકલિત $f'(x)$ એ પ્રદેશ $(1, \infty)$ માં તમામ $x$ માટે ધન છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
આમ,$f(x)$ મોનોટોનિક છે.

(A) $f(x)$ નો પ્રદેશ $x > 0$ છે કારણ કે લઘુગણકીય વિધેય $\ln t$ માત્ર $t > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ છે કે $f(x) = 1 + x + \int_{1}^{x} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$
$f'(x) = 0 + 1 + (\ln^2 x + 2 \ln x)$
$f'(x) = \ln^2 x + 2 \ln x + 1$
$f'(x) = (\ln x + 1)^2$
કારણ કે $(\ln x + 1)^2 \ge 0$ એ તમામ $x > 0$ માટે સત્ય છે,અને $f'(x) = 0$ માત્ર $x = e^{-1}$ આગળ થાય છે,તેથી વિધેય $f(x)$ તેના સમગ્ર પ્રદેશ $(0, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \ln(e + x) - \frac{1}{e + x} \cdot \ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x)$ ની નિશાની અંશ $g(x) = \frac{\ln(e + x)}{\pi + x} - \frac{\ln(\pi + x)}{e + x}$ પર આધાર રાખે છે.
વિધેય $h(t) = \frac{\ln(t)}{t}$ ધ્યાનમાં લો. તેનું વિકલિત $h'(t) = \frac{1 - \ln(t)}{t^2}$ છે.
$t < e$ માટે $h'(t) > 0$ અને $t > e$ માટે $h'(t) < 0$ છે.
કારણ કે $\pi > e$,વિધેય $h(t)$ એ $t \ge e$ માટે ઘટતું વિધેય છે.
$h(e+x)$ અને $h(\pi+x)$ ની સરખામણી કરતા,કારણ કે $\pi+x > e+x > e$,તેથી $h(\pi+x) < h(e+x)$ મળે.
આમ,$\frac{\ln(\pi + x)}{\pi + x} < \frac{\ln(e + x)}{e + x}$,જે સૂચવે છે કે $f'(x) > 0$.
તેથી,વિધેય $[0, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $g'(x) = 2f'(x/2) \cdot (1/2) + f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(x/2) - f'(1 - x)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f''(x) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
$g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$g'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$f'(x/2) - f'(1 - x) > 0 \implies f'(x/2) > f'(1 - x)$.
કારણ કે $f'(x)$ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી $f'(a) > f'(b) \implies a < b$.
તેથી,$x/2 < 1 - x \implies 3x/2 < 1 \implies x < 2/3$.
આમ,$g(x)$ એ $[0, 2/3)$ માં વધે છે.
$g(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$g'(x) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
$f'(x/2) - f'(1 - x) < 0 \implies f'(x/2) < f'(1 - x)$.
કારણ કે $f'(x)$ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી $f'(a) < f'(b) \implies a > b$.
તેથી,$x/2 > 1 - x \implies 3x/2 > 1 \implies x > 2/3$.
આમ,$g(x)$ એ $(2/3, 1]$ માં ઘટે છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) વિધેય $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ ક્યાં ચુસ્ત રીતે વધે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 100x^{99} + \cos x$
અંતરાલ $(0, 1)$ માટે:
જ્યારે $x \in (0, 1)$,ત્યારે $x^{99} > 0$ અને $\cos x > 0$ થાય. તેથી,$f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$.
અંતરાલ $(0, \pi / 2)$ માટે:
જ્યારે $x \in (0, \pi / 2)$,ત્યારે $x^{99} > 0$ અને $\cos x > 0$ થાય. તેથી,$f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$.
અંતરાલ $(\pi / 2, \pi )$ માટે:
અહીં,$x > \pi / 2 \approx 1.57$,તેથી $x^{99}$ ખૂબ જ મોટી કિંમત છે. $100x^{99} > 100(1.57)^{99}$,જ્યારે $\cos x$ ની કિંમત $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે હોય છે. તેથી,$100x^{99} + \cos x > 0$.
આમ,આપેલા તમામ અંતરાલોમાં વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $h(x) = f(x) - \{f(x)\}^2 + \{f(x)\}^3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3\{f(x)\}^2f'(x)$
$f'(x)$ સામાન્ય લેતા:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3\{f(x)\}^2]$
ધારો કે $y = f(x)$. તો પદાવલિ આ મુજબ થશે:
$h'(x) = f'(x) (3y^2 - 2y + 1)$
દ્વિઘાત પદાવલિ $Q(y) = 3y^2 - 2y + 1$ ને ધ્યાનમાં લો. તેનો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$ છે.
અહીં $D < 0$ અને $y^2$ નો સહગુણક $3 > 0$ હોવાથી,$3y^2 - 2y + 1$ હંમેશા ધન રહે છે.
આમ,$h'(x) = f'(x) \times (\text{ધન સંખ્યા})$.
આનો અર્થ એ છે કે $h'(x)$ ની નિશાની $f'(x)$ ની નિશાની જેવી જ રહેશે.
તેથી,જ્યારે $f(x)$ વધતું હોય ત્યારે $h(x)$ વધે છે $(f'(x) > 0 \implies h'(x) > 0)$ અને જ્યારે $f(x)$ ઘટતું હોય ત્યારે $h(x)$ ઘટે છે $(f'(x) < 0 \implies h'(x) < 0)$.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) વિધેયને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $f(x) = \begin{cases} 2\ln(x) - x^2 & \text{જો } x > 0 \\ 2\ln(-x) + x^2 & \text{જો } x < 0 \end{cases}$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$x > 0$ માટે,$f'(x) = \frac{2}{x} - 2x = \frac{2(1 - x^2)}{x}$.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = \frac{2}{-x}(-1) + 2x = \frac{2}{x} + 2x = \frac{2(1 + x^2)}{x}$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: $x > 0$. આપણે $\frac{2(1 - x^2)}{x} > 0$ ની જરૂર છે. $x > 0$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $1 - x^2 > 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 < 1$,તેથી $0 < x < 1$.
કિસ્સો $2$: $x < 0$. આપણે $\frac{2(1 + x^2)}{x} > 0$ ની જરૂર છે. $x < 0$ અને $(1 + x^2) > 0$ હોવાથી,પદ $\frac{2(1 + x^2)}{x}$ એ $x < 0$ માટે હંમેશા ઋણ છે.
આમ,વિધેય ફક્ત $(0, 1)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.