Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $pv = 81$ છે.
આપણે $p$ ને $v$ ના સ્વરૂપમાં $p = \frac{81}{v} = 81v^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે,$p$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dp}{dv} = \frac{d}{dv}(81v^{-1}) = 81(-1)v^{-2} = -\frac{81}{v^2}$.
$v = 9$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,વિકલનમાં $v = 9$ મૂકતા:
$\frac{dp}{dv} = -\frac{81}{(9)^2} = -\frac{81}{81} = -1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v^2 = 2 - 3x$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(2 - 3x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -3 \frac{dx}{dt}$
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$2v \cdot a = -3v$
જો $v \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા:
$a = -\frac{3}{2} \text{ m/s}^2$
અહીં પ્રવેગ $a$ એ અચળ કિંમત $(-1.5 \text{ m/s}^2)$ હોવાથી,પ્રવેગ અચળ (Uniform) છે.

(A) આપેલ અંતરનું સમીકરણ: $s = \frac{1}{2}g{t^2}$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}g{t^2}) = \frac{1}{2}g(2t) = gt$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(gt) = g$.
અહીં $g$ (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ) એક અચળાંક હોવાથી,પથ્થરનો પ્રવેગ અચળ છે.

(C) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S$ એ ત્રિજ્યા $r$ સાથે $S = 4\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ભૂલ શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dS}{dr} = 8\pi r$.
વિકલન અંદાજનો ઉપયોગ કરીને,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ભૂલ $\delta S$ એ $\delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \delta r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20 \, cm$ અને $\delta r = 0.02 \, cm$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\delta S = 8\pi \times 20 \times 0.02$.
$\delta S = 8\pi \times 0.4 = 3.2\pi$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,આપણને $\delta S \approx 3.2 \times 3.14159 = 10.053 \, sq \, cm$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ભૂલ $10.05 \, sq \, cm$ થાય છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય $s = 2t^2 - 3t + 1$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 - 3t + 1) = 4t - 3$.
પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t - 3) = 4$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $4$ એકમ છે.

(C) કણનો વેગ એ સ્થાનાંતર $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t^2 + 12t + 1) = 6t^2 - 18t + 12$.
કણ ક્ષણવાર માટે અટકે તે માટે,તેનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$6t^2 - 18t + 12 = 0$.
સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 1)(t - 2) = 0$.
આમ,કણ $t = 1 \, sec$ અને $t = 2 \, sec$ સમયે અટકે છે.

(D) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = t^2 - 2t$ $(i)$
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે,તેથી $v = \frac{ds}{dt} = 2t - 2$ $(ii)$
આપેલ છે કે કાપેલું અંતર $s = 15 \, km$ છે,તેથી તેને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$15 = t^2 - 2t$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 5)(t + 3) = 0$
સમય $t$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $t = 5 \, \text{કલાક}$.
હવે,વેગ શોધવા માટે $t = 5$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$v = 2(5) - 2 = 10 - 2 = 8 \, km/h$.
તેથી,કારનો વેગ $8 \, km/h$ છે.

(B) ધારો કે સમઘનની ધાર $a$ છે અને તેનું ઘનફળ $V$ છે.
આપેલ છે કે ધારના બદલાવાનો દર $\frac{da}{dt} = 5 \, cm/\sec$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $a = 12 \, cm$ અને $\frac{da}{dt} = 5 \, cm/\sec$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (12)^2 \times 5$
$\frac{dV}{dt} = 3 \times 144 \times 5$
$\frac{dV}{dt} = 432 \times 5 = 2160 \, cm^3/\sec$.
આમ,સમઘનનું ઘનફળ $2160 \, cm^3/\sec$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = \frac{1}{2}vt$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $2s = vt$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \frac{ds}{dt} = v + t \frac{dv}{dt}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2v = v + t \frac{dv}{dt} \implies v = t \frac{dv}{dt}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,આપણી પાસે $v = ta$ છે.
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dt} = a + t \frac{da}{dt}$.
$a = \frac{dv}{dt}$ મૂકતા:
$a = a + t \frac{da}{dt} \implies t \frac{da}{dt} = 0$.
ગતિ માટે $t \neq 0$ હોવાથી,$\frac{da}{dt} = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ $a$ અચળ છે.

(B) બિંદુનું સ્થાન $s(t) = 15t - 2t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળા $[t_1, t_2]$ દરમિયાન સરેરાશ વેગ એ સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારને સમયના ફેરફાર વડે ભાગવાથી મળે છે: $v_{avg} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$.
અહીં $t_1 = 0$ અને $t_2 = 3$ આપેલ છે:
$s(0) = 15(0) - 2(0)^2 = 0$.
$s(3) = 15(3) - 2(3)^2 = 45 - 18 = 27$.
તેથી,સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{27 - 0}{3 - 0} = \frac{27}{3} = 9$ થાય.

(C) આપેલ અંતરનું વિધેય: $s = ae^t + \frac{b}{e^t}$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ae^t + be^{-t}) = ae^t - be^{-t}$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(ae^t - be^{-t}) = ae^t - b(-e^{-t}) = ae^t + be^{-t}$.
આ પરિણામની સરખામણી મૂળ $s$ ના સમીકરણ સાથે કરતા,આપણને મળે છે કે $a_{acc} = s$.
તેથી,પ્રવેગ એ અંતર $s$ જેટલો છે.

(B) વેગ માટેનું સમીકરણ આપેલ છે: ${v^2} = a + bx$.
પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dt}({v^2}) = \frac{d}{dt}(a + bx)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $2v \frac{dv}{dt} = b \frac{dx}{dt}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$2v \frac{dv}{dt} = b v$.
ધારો કે $v \neq 0$,તો બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા:
$\frac{dv}{dt} = \frac{b}{2}$.
અહીં $b$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $\frac{dv}{dt} = \frac{b}{2}$ પણ અચળ છે.
તેથી,પ્રવેગ અચળ (Uniform) છે.

(D) આપેલ સંબંધ $V = 5x - \frac{x^2}{6}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(5x - \frac{x^2}{6}) = 5\frac{dx}{dt} - \frac{2x}{6}\frac{dx}{dt} = (5 - \frac{x}{3})\frac{dx}{dt}$.
અહીં $\frac{dV}{dt} = 5 \, cm^3/sec$ આપેલ છે અને આપણે $x = 2 \, cm$ હોય ત્યારે $\frac{dx}{dt}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા:
$5 = (5 - \frac{2}{3})\frac{dx}{dt}$
$5 = (\frac{15 - 2}{3})\frac{dx}{dt}$
$5 = \frac{13}{3}\frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dx}{dt} = 5 \times \frac{3}{13} = \frac{15}{13} \, cm/sec$.
આમ,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(A) ગતિનું સમીકરણ $s = 10t - 3t^2$ છે.
પથ્થર સપાટી પર ક્યારે પાછો આવશે તે શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $s = 0$ લઈએ છીએ.
$10t - 3t^2 = 0$
$t(10 - 3t) = 0$
અહીં $t=0$ એ ફેંકવાનો સમય છે,તેથી પથ્થર ત્યારે સપાટી પર પાછો આવશે જ્યારે $10 - 3t = 0$ થાય.
$3t = 10$
$t = \frac{10}{3} \text{ sec}$.
આમ,પથ્થર $\frac{10}{3} \text{ sec}$ પછી સપાટી પર પાછો આવશે.

(C) પદાર્થનો વેગ $v = 1 + t^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$v = 1 + t^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{d}{dt}(1 + t^2) = 0 + 2t = 2t$.
$3 \text{ s}$ પછીનો પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 3$ મૂકીશું:
$a = 2(3) = 6 \text{ cm/s}^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\frac{da}{dt} = 4 \, cm/sec$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(a^2) = 2a \frac{da}{dt}$.
જ્યારે $a = 2 \, cm$ હોય ત્યારે આપણે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર શોધવાનો છે.
સમીકરણમાં $a = 2$ અને $\frac{da}{dt} = 4$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 2 \times 4 = 16 \, cm^2/sec$.
આમ,શીટનું ક્ષેત્રફળ $16 \, cm^2/sec$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $10s = 10ut - 49t^2$.
$10$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $s = ut - 4.9t^2$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ut - 4.9t^2) = u - 9.8t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v$ શૂન્ય થાય છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ $t = 5$ સેકન્ડ પર પ્રાપ્ત થાય છે,તેથી $v = 0$ અને $t = 5$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = u - 9.8(5)$.
$u = 9.8 \times 5 = 49$.
તેથી,$u$ નું મૂલ્ય $49 \, m/sec$ છે.

(A) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 2t^3 - 9t^2 + 12t$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t^2 + 12t) = 6t^2 - 18t + 12$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 18t + 12) = 12t - 18$.
પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટે,આપણે $a = 0$ લઈએ છીએ: $12t - 18 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $12t = 18$,જે આપણને $t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \text{ } sec$ આપે છે.
આમ,કણનો પ્રવેગ $3/2 \text{ } sec$ પછી શૂન્ય થશે.

(B) ત્રીજી સેકન્ડમાં સરેરાશ વેગ એ $t = 2$ સેકન્ડથી $t = 3$ સેકન્ડના અંતરાલ દરમિયાન થયેલ સ્થાનાંતરને સમયના અંતરાલ $\Delta t = 1$ સેકન્ડ વડે ભાગવાથી મળે છે.
પ્રથમ,$t = 3$ સેકન્ડ પર સ્થાનની ગણતરી કરો:
$s(3) = (3)^2 + 8(3) + 12 = 9 + 24 + 12 = 45 \, m$.
ત્યારબાદ,$t = 2$ સેકન્ડ પર સ્થાનની ગણતરી કરો:
$s(2) = (2)^2 + 8(2) + 12 = 4 + 16 + 12 = 32 \, m$.
ત્રીજી સેકન્ડમાં થયેલ સ્થાનાંતર:
$\Delta s = s(3) - s(2) = 45 - 32 = 13 \, m$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{13 \, m}{1 \, s} = 13 \, m/s$.

(A) ધારો કે $OA = x$ અને $OB = y$. સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $10 \, cm$ અચળ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/sec$ અને જ્યારે $x = 8 \, cm$ હોય ત્યારે $y$ નું મૂલ્ય $x^2 + y^2 = 100$ પરથી મેળવતા: $8^2 + y^2 = 100 \Rightarrow 64 + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 36 \Rightarrow y = 6 \, cm$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $8(2) + 6 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 16 + 6 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 6 \frac{dy}{dt} = -16 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \, cm/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતર $y$ ઘટી રહ્યું છે,એટલે કે છેડો $B$,$O$ ની તરફ $\frac{8}{3} \, cm/sec$ ના દરે ગતિ કરે છે.

(B) આપેલ સ્થાન વિધેય $s(t) = at^2 + bt + 6$ છે.
વેગ $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
$t = 4 \, s$ સમયે કણ સ્થિર થાય છે,તેથી $v(4) = 0$.
$2a(4) + b = 0 \implies 8a + b = 0 \implies b = -8a$.
$t = 0$ સમયે,સ્થાન $s(0) = 6 \, m$ છે.
$t = 4 \, s$ સમયે,શરૂઆતના સ્થાનથી અંતર $16 \, m$ છે,તેથી $s(4) = 16 + 6 = 22 \, m$.
$s(4) = a(4)^2 + b(4) + 6 = 22 \implies 16a + 4b = 16 \implies 4a + b = 4$.
$b = -8a$ મૂકતા: $4a - 8a = 4 \implies -4a = 4 \implies a = -1$.
પ્રવેગ $2a = -2 \, m/s^2$.
જો $s(4) = 16$ લેવામાં આવે તો $a = -5/8$ મળે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $5/4 \, m/s^2$ થાય.

(C) કણનું સ્થાન $s = 45t + 11t^2 - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(45t + 11t^2 - t^3) = 45 + 22t - 3t^2$.
જ્યારે કણ સ્થિર થાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v = 0$ હોવો જોઈએ:
$45 + 22t - 3t^2 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $3t^2 - 22t - 45 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3t^2 - 27t + 5t - 45 = 0$
$3t(t - 9) + 5(t - 9) = 0$
$(3t + 5)(t - 9) = 0$.
આથી $t = 9$ અથવા $t = -\frac{5}{3}$ મળે છે.
સમય $t$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી કણ $t = 9 \text{ sec}$ સમયે સ્થિર થશે.

(C) ગતિનું સમીકરણ $s = ut - 4.9t^2$ આપેલ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે,તેથી $v = \frac{ds}{dt} = u - 9.8t$.
દડો $6 \, s$ પછી જમીન પર પાછો આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $t = \frac{6}{2} = 3 \, s$ સમયે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v = 0$ હોય છે.
વેગના સમીકરણમાં $v = 0$ અને $t = 3$ મૂકતા:
$0 = u - 9.8(3)$
$u = 29.4 \, m/s$.
આમ,પ્રારંભિક વેગ $29.4 \, m/s$ છે.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 3 \, cm/s$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10 \, cm$ અને $\frac{dr}{dt} = 3 \, cm/s$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10) (3) = 60 \pi \, cm^2/s$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $60 \pi \, cm^2/s$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $s = 13.8t - 4.9t^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(13.8t - 4.9t^2) = 13.8 - 9.8t$.
$t = 1$ સેકન્ડ પર વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v = 13.8 - 9.8(1) = 4.0 \, m/s$.
આમ,$t = 1$ સેકન્ડ પર વેગ $4 \, m/s$ છે.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $s(t) = -4t^2 + 2t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-4t^2 + 2t) = -8t + 2$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-8t + 2) = -8$.
સમય $t = \frac{1}{2} \text{ s}$ પર:
વેગ $v = -8(\frac{1}{2}) + 2 = -4 + 2 = -2$.
પ્રવેગ $a = -8$.
આમ,વેગ અને પ્રવેગ અનુક્રમે $-2$ અને $-8$ છે.

(C) આપેલ અંતર $s = 180t - 16t^2$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(180t - 16t^2) = 180 - 32t$.
વેગમાં થતો ફેરફારનો દર એ પ્રવેગ $a$ છે,જે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(180 - 32t) = -32$.
આમ,વેગમાં થતો ફેરફારનો દર $-32 \, unit$ છે.

(B) ધારો કે માણસનું લેમ્પ પોસ્ટથી અંતર $y$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે.
આપેલ છે કે માણસ $5 \, m/h$ ની ઝડપે લેમ્પ પોસ્ટથી દૂર જાય છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 5 \, m/h$.
આકૃતિમાં આપેલા સમરૂપ ત્રિકોણો પરથી,આપણને સંબંધ મળે છે:
$\frac{x}{2} = \frac{x + y}{6}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x = x + y$
$2x = y$
$x = \frac{1}{2}y$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = 5 \, m/h$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \, m/h$.
આમ,તેના પડછાયાની લંબાઈ વધવાનો દર $\frac{5}{2} \, m/h$ છે.

(A) ધારો કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર $x$ છે અને નિસરણીના ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ $y$ છે.
આપેલ છે કે નિસરણીની લંબાઈ $5 \ m$ છે,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ .....$(i)$
સમીકરણ $(i)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ .....$(ii)$
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 1.5 \ m/sec$ અને જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય ત્યારે:
$(i)$ પરથી,$4^2 + y^2 = 25 \Rightarrow 16 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = 3 \ m$.
આ કિંમતો $(ii)$ માં મૂકતા:
$4(1.5) + 3 \frac{dy}{dt} = 0$
$6 + 3 \frac{dy}{dt} = 0$
$3 \frac{dy}{dt} = -6$
$\frac{dy}{dt} = -2 \ m/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે. આમ,નિસરણીના ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ $2 \ m/sec$ ના દરે ઘટે છે.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો વધારો $\frac{dr}{dt} = 3.5 \, cm/sec$ અને ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે.
વર્તુળાકાર પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \left( \frac{22}{7} \right) \times 10 \times 3.5$.
કારણ કે $3.5 = \frac{7}{2}$,તેથી $\frac{dA}{dt} = 2 \times \left( \frac{22}{7} \right) \times 10 \times \left( \frac{7}{2} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{dA}{dt} = 22 \times 10 = 220 \, cm^2/sec$.

(B) ધારો કે નિસરણી એક રેખાખંડ છે. માણસ $v = 3 \, ft/sec$ ની ઝડપે નિસરણી પર ગતિ કરી રહ્યો છે.
નિસરણી અને દીવાલ વચ્ચેનો ખૂણો $30^\circ$ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં (દીવાલ તરફ) વેગનો ઘટક $v \times \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ દીવાલ સાથેનો ખૂણો છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે જમીન સાથેનો ખૂણો ધ્યાનમાં લઈએ,તો તે $60^\circ$ છે. ક્ષૈતિજ વેગ $v \times \cos(60^\circ)$ છે.
દીવાલ તરફ પહોંચવાનો દર $= 3 \times \cos(60^\circ) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \, ft/sec$.

(B) ધારો કે સમઘનની ધાર $a$ છે અને તેનું ઘનફળ $V$ છે.
આપેલ છે કે ધારના બદલાવનો દર $\frac{da}{dt} = 60 \, cm/s$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $a = 90 \, cm$ અને $\frac{da}{dt} = 60 \, cm/s$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (90)^2 \times 60$
$\frac{dV}{dt} = 3 \times 8100 \times 60$
$\frac{dV}{dt} = 180 \times 8100 = 1458000 \, cm^3/s$.
આમ,ઘનફળ $1458000 \, cm^3/s$ ના દરે વધે છે.

(D) આપેલ અંતર વિધેય $s = a \sin t + b \cos 2t$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin t + b \cos 2t) = a \cos t - 2b \sin 2t$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે:
$a_{acc} = \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d}{dt}(a \cos t - 2b \sin 2t) = -a \sin t - 4b \cos 2t$.
$t = 0$ સમયે,પ્રવેગ:
$a_{acc} = -a \sin(0) - 4b \cos(0) = -a(0) - 4b(1) = -4b$.
આમ,$t = 0$ સમયે પ્રવેગ $-4b$ છે.

(C) આપેલ સ્થાન વિધેય $S = 6 + 48t - t^3$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે $v = \frac{dS}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{d}{dt}(6 + 48t - t^3) = 48 - 3t^2$.
જ્યારે વેગ $v$ શૂન્ય થાય ત્યારે ગતિની દિશા બદલાય છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને $48 - 3t^2 = 0$ મળે છે.
$3t^2 = 48 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4$ (કારણ કે સમય $t$ ઋણ હોઈ શકે નહીં).
દિશા બદલાય ત્યારે કાપેલું અંતર શોધવા માટે,$t = 4$ ને સ્થાનના સમીકરણ $S$ માં મૂકો:
$S(4) = 6 + 48(4) - (4)^3$.
$S(4) = 6 + 192 - 64 = 134$.
આમ,કણ $134$ એકમ અંતર કાપ્યા પછી તેની ગતિની દિશા બદલે છે.

(C) ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V$ એ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 900 \ cm^3/sec$ અને $r = 15 \ cm$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$900 = 4\pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$900 = 4\pi (225) \frac{dr}{dt}$.
$900 = 900\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{900\pi} = \frac{1}{\pi} \ cm/sec$.
કારણ કે $\pi \approx \frac{22}{7}$,તેથી કિંમત $\frac{7}{22} \ cm/sec$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે ગતિ કરતા બિંદુના યામ $x = at$ અને $y = b \sin(at)$ છે.
પ્રથમ,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગના ઘટકો મેળવીએ:
$v_x = \frac{dx}{dt} = a$
$v_y = \frac{dy}{dt} = ab \cos(at)$
હવે,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો મેળવીએ:
$a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = 0$
$a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = -ab^2 \sin(at)$
કારણ કે $y = b \sin(at)$,આપણે તેને $a_y$ ના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$a_y = -a^2(b \sin(at)) = -a^2y$
આમ,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = (0, -a^2y)$ છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ $y$-અક્ષની દિશામાં છે અને તેનું મૂલ્ય $x$-અક્ષથી અંતર (જે $y$ નું મૂલ્ય છે) મુજબ બદલાય છે.

(C) ધારો કે $P$ એ પરિમિતિ છે અને $A$ એ $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
$P = 2\pi r$ અને $A = \pi r^2$.
બંનેનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ અને $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi} \frac{dP}{dt}$.
આ કિંમત $\frac{dA}{dt}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \left( \frac{1}{2\pi} \frac{dP}{dt} \right) = r \frac{dP}{dt}$.
અહીં પરિમિતિમાં થતો વધારાનો દર $\frac{dP}{dt}$ અચળ છે,તેથી ધારો કે $\frac{dP}{dt} = k$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
તેથી $\frac{dA}{dt} = k \cdot r$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર ત્રિજ્યા $r$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(B) પથ્થરનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $s = 80t - 16t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(80t - 16t^2)$
$v = 80 - 32t$
હવે,$t = 2$ સેકન્ડ પર વેગની ગણતરી કરીએ:
$v(2) = 80 - 32(2)$
$v(2) = 80 - 64$
$v(2) = 16 \, m/s$.
તેથી,$2$ સેકન્ડ પછી વેગ $16 \, m/s$ છે.

(A) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = t + 6t^2 - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 6t^2 - t^3) = 1 + 12t - 3t^2$.
પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 12t - 3t^2) = 12 - 6t$.
પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a = 0$ લેતા:
$12 - 6t = 0$
$6t = 12$
$t = 2 \text{ સેકન્ડ}$.
આમ,$2$ સેકન્ડ પછી પ્રવેગ શૂન્ય થશે.

(C) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 3t^2 - 8t + 5$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે અટકી જાય છે,એટલે કે $v = 0$.
$6t - 8 = 0$ લેતા,આપણને $6t = 8$ મળે છે.
$t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \text{સેકન્ડ}$.
આમ,પદાર્થ $4/3 \, \text{સેકન્ડ}$ પછી અટકી જશે.

(C) ધારો કે $y = \sqrt{x^2 + 16}$ અને $z = \frac{x}{x - 1}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે $z$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dz}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
હવે,$z$ ની સાપેક્ષે $y$ ના ફેરફારનો દર:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (-(x - 1)^2) = -\frac{x(x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
$x = 3$ કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{dy}{dz}\right)_{x=3} = -\frac{3(3 - 1)^2}{\sqrt{3^2 + 16}} = -\frac{3(4)}{\sqrt{9 + 16}} = -\frac{12}{\sqrt{25}} = -\frac{12}{5}$.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $a + b{v^2} = {x^2}$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(a + b{v^2}) = \frac{d}{dt}({x^2})$
$a$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય છે. ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$0 + b(2v \cdot \frac{dv}{dt}) = 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $A = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$2bv \cdot A = 2xv$
જો $v \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા:
$b \cdot A = x$
તેથી,પ્રવેગ $A = \frac{x}{b}$ મળે છે.

(C) કણનું સ્થાન $x = at^2 + bt + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 + bt + c) = 2at + b$.
પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at + b) = 2a$.
અહીં પ્રવેગ $a_{acc} = 2a$ એ અચળ મૂલ્ય છે (જે સમય $t$ પર આધારિત નથી),તેથી કણ અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/sec$ અને $x = 10 \, cm$.
આ કિંમતોને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \sqrt{3} \, cm^2/sec$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $10 \sqrt{3} \, cm^2/sec$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સપાટીના ક્ષેત્રફળનું વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4\pi r^2) = 4\pi \times 2r \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \times 2 = 16\pi r$.
અહીં $16\pi$ એ અચળાંક હોવાથી,$\frac{dS}{dt} \propto r$ મળે છે.
તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) જ્યારે બિંદુઓ એકબીજાને મળે છે ત્યારે તેમના સ્થાન સમાન હોય છે:
$10 + 6t = 3 + t^2$
પદોને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$t^2 - 6t - 7 = 0$
$(t - 7)(t + 1) = 0$
સમય $t$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 7 \, sec$ મળે છે.
હવે,સમય $t$ ની સાપેક્ષે સ્થાનના સમીકરણોનું વિકલન કરીને બંને બિંદુઓનો વેગ શોધીએ:
$v_1 = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt}(10 + 6t) = 6 \, cm/sec$
$v_2 = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + t^2) = 2t$
$t = 7 \, sec$ સમયે,બીજા બિંદુનો વેગ:
$v_2 = 2 \times 7 = 14 \, cm/sec$
તેઓ એકબીજાથી દૂર જવાની સાપેક્ષ ઝડપ તેમના વેગનો તફાવત છે:
$|v_2 - v_1| = |14 - 6| = 8 \, cm/sec$.

(A) આપેલ છે કે ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 30 \, ft^3/min$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 15 \, ft$ છે.
ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $30 = 4 \times \pi \times (15)^2 \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \times \pi \times 225} = \frac{30}{900\pi} = \frac{1}{30\pi} \, ft/min$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય $s = t^3 - 3t^2$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય $t$ શોધવા માટે: $6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,તે ક્ષણે વેગ શોધવા માટે વેગના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \text{ m/s}$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર $s = \sqrt{t} = t^{1/2}$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$.
આના પરથી,આપણે $\sqrt{t}$ ને $v$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\sqrt{t} = \frac{1}{2v}$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{1}{4v^2}$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} t^{-1/2}) = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) t^{-3/2} = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$.
હવે $t = \frac{1}{4v^2}$ ને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = -\frac{1}{4} (\frac{1}{4v^2})^{-3/2} = -\frac{1}{4} (4v^2)^{3/2} = -\frac{1}{4} (8v^3) = -2v^3$.
તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય વેગના ઘન (cube) ના પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $a \propto v^3$.

(D) ધારો કે બરફના પડની જાડાઈ $x$ છે. બરફ સહિત ગોળાની ત્રિજ્યા $r = (10 + x) \, cm$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે બરફ $50 \, cm^3/min$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ (કારણ કે ઘનફળ ઘટે છે).
$x = 5$ અને $\frac{dV}{dt} = -50$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ છે.