Increasing and Decreasing function Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
વિધેય ઘટતું (non-increasing) હોવા માટે,$f'(x) \le 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{x^2 - 1}{x^2} \le 0$.
કારણ કે $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ છે,તેથી શરત $x^2 - 1 \le 0$ માં પરિણમે છે.
$x^2 \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [-1, 1]$.
જોકે,$x = 0$ આગળ વિધેય વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,વિધેય $[-1, 0)$ અને $(0, 1]$ અંતરાલોમાં ઘટતું છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$[-1, 1]$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = -\frac{1}{(1 + x^2)^2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.
વિધેય ત્યારે ઘટતું હોય જ્યારે $f'(x) < 0$ હોય.
તેથી,$-\frac{2x}{(1 + x^2)^2} < 0$.
કારણ કે $(1 + x^2)^2$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની ફક્ત $-2x$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$-2x < 0$ નો અર્થ છે કે $x > 0$.
આમ,વિધેય $(0, \infty )$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x)$ અંતરાલ પર ઘટતું હોય જો $f'(x) \leq 0$ હોય.
$(A)$ $f(x) = \cos x$ માટે,$f'(x) = -\sin x$. અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$\sin x > 0$ હોવાથી $f'(x) < 0$ થાય. તેથી,$\cos x$ ઘટતું વિધેય છે.
$(B)$ $f(x) = \cos 2x$ માટે,$f'(x) = -2\sin 2x$. અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$2x \in (0, \pi)$ હોવાથી $\sin 2x > 0$ થાય,તેથી $f'(x) < 0$ થાય. તેથી,$\cos 2x$ ઘટતું વિધેય છે.
$(C)$ $f(x) = \cos 3x$ માટે,$f'(x) = -3\sin 3x$. અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$3x$ ની કિંમત $0$ થી $\frac{3\pi}{2}$ સુધી બદલાય છે. અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$3x$ એ $\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં હોય છે,જ્યાં $\sin 3x < 0$ થાય. તેથી,$f'(x) = -3\sin 3x > 0$ થાય. આમ,$\cos 3x$ આખા અંતરાલ પર ઘટતું વિધેય નથી.
$(D)$ $f(x) = \cot x$ માટે,$f'(x) = -\csc^2 x$. અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં $\csc^2 x > 0$ હોવાથી $f'(x) < 0$ થાય. તેથી,$\cot x$ ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.
અહીં,દરેક $x \neq -1$ માટે $(x + 1)^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય તેના સમગ્ર પ્રદેશ $( - \infty , -1) \cup (-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - x + 1$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 2x - 1$.
આપણે અંતરાલ $[0, 1]$ માં $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$x = 0$ આગળ,$f'(0) = 2(0) - 1 = -1 < 0$.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = 2(1) - 1 = 1 > 0$.
અહીં વિકલિત $f'(x)$ અંતરાલ $[0, 1]$ માં ઋણથી ધન તરફ બદલાય છે (ખાસ કરીને,$x = 1/2$ આગળ તે શૂન્ય થાય છે),તેથી આ વિધેય સમગ્ર અંતરાલ $[0, 1]$ પર ન તો વધતું કે ન તો ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = {x^2}{e^{ - x}}$.
વિધેય અ-ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીશું અને $f'(x) \ge 0$ લઈશું.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = \frac{d}{dx}({x^2}) \cdot {e^{ - x}} + {x^2} \cdot \frac{d}{dx}({e^{ - x}})$.
$f'(x) = 2x{e^{ - x}} - {x^2}{e^{ - x}} = {e^{ - x}}(2x - {x^2}) = x{e^{ - x}}(2 - x)$.
વિધેય અ-ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે ${e^{ - x}} > 0$ છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $x(2 - x)$ પર આધાર રાખે છે.
$x(2 - x) \ge 0 \implies x(x - 2) \le 0$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય (સહિત).
આમ,અંતરાલ $[0, 2]$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \log(\sin x)$.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$\cot x$ ની કિંમત હંમેશા ધન હોય છે (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $\sin x$ અને $\cos x$ બંને ધન છે).
જેથી $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \log(\sin x)$ આ અંતરાલ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \sin x - \cos x$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય છે જો $f'(x) > 0$ હોય.
$f'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$.
આપણે $\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0$.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $-\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$ હોય.
બધા ભાગોમાં $\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,આપણને $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ મળે છે.
પ્રમાણિત અંતરાલ $[0, 2\pi]$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વિધેય $[0, \frac{3\pi}{4})$ માં વધે છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x - bx + c$.
વિધેય $(-\infty, \infty)$ પર વધતું હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \cos x - b$ મળે છે.
$f'(x) \ge 0$ લેતા,આપણને $\cos x - b \ge 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos x \ge b$.
$\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,અસમતા $\cos x \ge b$ તમામ $x$ માટે ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $\cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $b$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
$\cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.
તેથી,આપણે $-1 \ge b$ અથવા $b \le -1$ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $f(x) = x^4 - 4x$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ: $f'(x) = 4x^3 - 4$.
વિધેય ઘટતું હોય ત્યારે $f'(x) < 0$ થાય.
$4x^3 - 4 < 0$
$4(x^3 - 1) < 0$
$x^3 < 1$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x < 1$ મળે છે.
આમ,વિધેય $( - \infty, 1)$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય: $f(x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1$
વિકલિત મેળવતા: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 - 12x + 1) = -6x^2 - 18x - 12$
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ:
$-6x^2 - 18x - 12 < 0$
$-6$ વડે ભાગતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$x^2 + 3x + 2 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x + 2)(x + 1) > 0$
સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતા $(x + 2)(x + 1) > 0$ ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $x < -2$ અથવા $x > -1$ હોય.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય હોય જો $f'(x) > 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 27x + 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 - 27$ મળે છે.
વિધેય વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ લઈએ છીએ:
$3x^2 - 27 > 0$
$3(x^2 - 9) > 0$
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|x| > 3$ મળે છે.
આમ,વિધેય $|x| > 3$ માટે વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે $f'(x) > 0$ હોય.
તેથી,$2x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x > 0$.
આમ,વિધેય $f(x) = x^2$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^4 - \frac{x^3}{3}$ છે.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - \frac{x^3}{3}) = 4x^3 - x^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$x^2(4x - 1) = 0$,જે આપણને $x = 0$ અને $x = \frac{1}{4}$ આપે છે.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$x^2(4x - 1) > 0$.
કારણ કે $x^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે,તેથી $f'(x) > 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $4x - 1 > 0$,એટલે કે $x > \frac{1}{4}$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ:
$x^2(4x - 1) < 0$,જે $4x - 1 < 0$ (જ્યારે $x \neq 0$) હોય ત્યારે થાય,એટલે કે $x < \frac{1}{4}$ ($x=0$ સિવાય).
આમ,વિધેય $x > \frac{1}{4}$ માટે વધતું અને $x < \frac{1}{4}$ માટે ઘટતું છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = e^x$ છે.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હંમેશા ધન હોય છે (એટલે કે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^x > 0$),તેથી તમામ $x$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
જેથી વિકલિત $f'(x)$ એ તમામ $x$ માટે $0$ કરતા મોટું હોવાથી,વિધેય $f(x) = e^x$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{5^x} = 5^{-x}$ છે.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(5^{-x}) = 5^{-x} \cdot \ln(5) \cdot (-1) = -\frac{\ln(5)}{5^x}$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $5^x > 0$ અને $\ln(5) \approx 1.609 > 0$ હોવાથી,પદ $\frac{\ln(5)}{5^x}$ હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,$f'(x) = -\frac{\ln(5)}{5^x} < 0$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે.
આમ,વિકલિત $f'(x)$ બધા $x$ માટે ઋણ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ દરેક $x$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7$
પગલું $1$: વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x + 7) = 6x^2 - 6x - 36$
પગલું $2$: વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 6x - 36 < 0$
પગલું $3$: $6$ વડે ભાગાકાર કરો અને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો.
$x^2 - x - 6 < 0$
$(x - 3)(x + 2) < 0$
પગલું $4$: તે અંતરાલ નક્કી કરો જ્યાં ગુણાકાર ઋણ હોય.
શૂન્યો $x = 3$ અને $x = -2$ છે. પદાવલિ $(x - 3)(x + 2)$ શૂન્યોની વચ્ચે ઋણ છે.
આમ,$-2 < x < 3$.
તેથી,જરૂરી અંતરાલ $(-2, 3)$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે તેનું વિકલિત $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$ મળે.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ લેતા:
$\cos x - \frac{1}{2} > 0$
$\cos x > \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x = \pm \frac{\pi}{3}$ માટે $\cos x = \frac{1}{2}$ થાય છે.
કોસાઈન વિધેય અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં ધન અને ઘટતું હોવાથી અને તે સંમિત હોવાથી,અસમતા $\cos x > \frac{1}{2}$ એ $x \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x \sin x + \cos x + \cos^2 x$
પગલું $1$: વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \sin x) + \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$
$f'(x) = (\sin x + x \cos x) - \sin x - 2 \cos x \sin x$
$f'(x) = x \cos x - 2 \sin x \cos x$
$f'(x) = \cos x (x - 2 \sin x)$
પગલું $2$: અંતરાલ $(0, \pi/2)$ માં $f'(x)$ ની નિશાની તપાસો.
અંતરાલ $(0, \pi/2)$ માં,$\cos x > 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in (0, \pi/2)$ માટે,$x < 2 \sin x$ થાય છે.
તેથી,$(x - 2 \sin x) < 0$ થાય.
પગલું $3$: નિષ્કર્ષ.
કારણ કે $\cos x > 0$ અને $(x - 2 \sin x) < 0$,તેથી તેમનો ગુણાકાર $f'(x) < 0$ થાય.
આમ,$f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = x^2 e^{-x}$ છે.
$y$ વધતું વિધેય હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = x e^{-x} (2 - x)$
વિધેય વધતું હોય તે માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $e^{-x}$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $\frac{dy}{dx}$ ની નિશાની $x(2 - x)$ પર આધાર રાખે છે.
આપણે $x(2 - x) > 0$ જોઈએ છે,જે $x(x - 2) < 0$ ને સમાન છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,અંતરાલ $x \in (0, 2)$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 6) = 6x^2 - 18x + 12$.
વિધેય ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
અસમતાને $6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x^2 - 3x + 2 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x - 1)(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,વિધેય $1 < x < 2$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 2x$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$2x - 2 < 0$
$2x < 2$
$x < 1$.
આમ,વિધેય $x < 1$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એકવિધ ઘટતું વિધેય હોય જો તેનું વિકલિત $f'(x) \le 0$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = \cos x - 2px$.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો: $f'(x) = -\sin x - 2p$.
$f(x)$ એકવિધ ઘટતું વિધેય હોવા માટે,આપણે $f'(x) \le 0$ ની જરૂર છે.
$-\sin x - 2p \le 0$
$\sin x + 2p \ge 0$
$2p \ge -\sin x$
$p \ge -\frac{1}{2} \sin x$.
કારણ કે $-\frac{1}{2} \sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે (જ્યારે $\sin x = -1$ હોય),તેથી અસમતા તમામ $x$ માટે સાચી રહે તે માટે,આપણી પાસે $p \ge \frac{1}{2}$ હોવું જોઈએ.
આમ,વિધેય $p \ge \frac{1}{2}$ માટે એકવિધ ઘટતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x)$ દરેક $x \in R$ માટે એકવિધ વધતું હોય તે માટે $f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = 3kx^2 - 18x + 9$.
$3kx^2 - 18x + 9 \ge 0$ દરેક $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે $x^2$ નો સહગુણક ધન $(k > 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો $(\Delta \le 0)$ હોવો જોઈએ.
$\Delta = (-18)^2 - 4(3k)(9) = 324 - 108k$.
$\Delta \le 0$ લેતા,$324 - 108k \le 0$,જેનો અર્થ છે $108k \ge 324$,તેથી $k \ge 3$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $k > 3$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$.
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 1) = 6x^2 - 30x + 36$.
વિકલનના અવયવ પાડતા: $f'(x) = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$6(x - 2)(x - 3) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $(x - 2)(x - 3) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,અંતરાલ $(2, 3)$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \tan x - x$ છે.
વિધેયનો સ્વભાવ નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f'(x) = \tan^2 x$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$\tan x$ ના પ્રદેશમાં તમામ $x$ માટે $\tan^2 x \ge 0$ થાય છે.
તમામ $x$ માટે $f'(x) \ge 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ એક વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ક્યારેય ઘટતું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{K\sin x + 2\cos x}{\sin x + \cos x}$.
વિકલિત $f'(x)$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = K\sin x + 2\cos x$ અને $v = \sin x + \cos x$.
તેથી $u' = K\cos x - 2\sin x$ અને $v' = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = \frac{(K\cos x - 2\sin x)(\sin x + \cos x) - (K\sin x + 2\cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (K\sin x \cos x + K\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\sin x \cos x) - (K\sin x \cos x - K\sin^2 x + 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x)$.
$= K\cos^2 x - 2\sin^2 x + K\sin^2 x - 2\cos^2 x$.
$= K(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = K - 2$.
આમ,$f'(x) = \frac{K - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$.
વિધેય તમામ $x$ માટે વધતું હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય.
કારણ કે $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $K - 2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $K > 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$.
વિધેય $f(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે ઘટતું હોવાથી,$f'(x) \le 0$ થવું જોઈએ.
$f'(x) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a \le 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$(a + 2)x^2 - 2ax + 3a \le 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C \le 0$ માટે $A < 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC \le 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં,$A = a + 2 < 0 \implies a < -2$.
વિવેચક $D = (-2a)^2 - 4(a + 2)(3a) = 4a^2 - 12a^2 - 24a = -8a^2 - 24a$.
$D \le 0 \implies -8a(a + 3) \le 0 \implies a(a + 3) \ge 0$.
આ અસમતા $a \le -3$ અથવા $a \ge 0$ માટે સાચી છે.
$a < -2$ અને $(a \le -3 \text{ અથવા } a \ge 0)$ ને જોડતા,આપણને $a \le -3$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ $(-\infty, -3]$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - 1 \right)$
ત્રીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
તેથી,$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
$f'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2} = \frac{2x^2 + 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$
કારણ કે $x \neq 0$ માટે $\sqrt{1 + x^2} > 1$ અને તમામ $x$ માટે $2x^2 + 1 > \sqrt{1 + x^2}$ છે,તેથી $f'(x) > 0$.
આમ,$f(x)$ એ $[0, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય કહેવાય જો તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોય.
$(A)$ $f(x) = x^{-1}$ માટે,$f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$,જે $x \neq 0$ માટે હંમેશા ઋણ છે.
$(B)$ $f(x) = x^2$ માટે,$f'(x) = 2x$,જે $x < 0$ માટે ઋણ અને $x > 0$ માટે ધન છે.
$(C)$ $f(x) = x^3$ માટે,$f'(x) = 3x^2$. તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$f'(x) \geq 0$ થાય. આમ,$f(x) = x^3$ એ વધતું વિધેય છે.
$(D)$ $f(x) = x^4$ માટે,$f'(x) = 4x^3$,જે $x < 0$ માટે ઋણ અને $x > 0$ માટે ધન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = {x^2} + kx + 1$.
વિધેય અંતરાલ $[1, 2]$ માં વધતું હોય તે માટે,તેનું વિકલન $f'(x) \geq 0$ થવું જોઈએ,જ્યાં $x \in [1, 2]$.
વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 2x + k$ મળે છે.
શરત $f'(x) \geq 0$ મૂકતા,$2x + k \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $k \geq -2x$.
આ શરત અંતરાલ $[1, 2]$ ના તમામ $x$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $k$ એ આ અંતરાલ પર $-2x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટું અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
$x \in [1, 2]$ માટે,વિધેય $g(x) = -2x$ એ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત તેના નીચલા સીમાબિંદુ $x = 1$ પર મળે છે.
$g(1) = -2(1) = -2$.
આમ,$k \geq -2$.
તેથી $k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - x^2 - x - 4$.
વિધેય ઘટતું હોય તેવો અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીશું અને તેને શૂન્ય કરતા નાનું લઈશું:
$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$:
$3x^2 - 2x - 1 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 3x + x - 1 < 0$
$3x(x - 1) + 1(x - 1) < 0$
$(3x + 1)(x - 1) < 0$.
ગુણાકાર ઋણ હોવા માટે,અવયવો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $3x + 1 > 0$ અને $x - 1 < 0$
$x > -\frac{1}{3}$ અને $x < 1$.
આમ,અંતરાલ $x \in \left( -\frac{1}{3}, 1 \right)$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5$ છે.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તેવા અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 24x + 5) = 3x^2 - 6x - 24$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$3x^2 - 6x - 24 > 0$.
અસમતાને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$x^2 - 2x - 8 > 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 4x + 2x - 8 > 0$
$(x - 4)(x + 2) > 0$.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર $(x - 4)(x + 2)$ ત્યારે જ ધન થાય જ્યારે $x < -2$ અથવા $x > 4$ હોય.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $( - \infty, -2) \cup (4, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin 2x$ છે.
વધતા કે ઘટતા વિધેયના અંતરાલ નક્કી કરવા માટે,આપણે વિકલિત મેળવીએ: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0 \Rightarrow 2 \cos 2x > 0 \Rightarrow \cos 2x > 0$.
અંતરાલ $(0, \pi/2)$ માં,$2x$ એ $(0, \pi)$ માં છે. $\cos 2x > 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $2x \in (0, \pi/2)$,જેનો અર્થ છે કે $x \in (0, \pi/4)$.
વિધેય $f(x)$ ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0 \Rightarrow 2 \cos 2x < 0 \Rightarrow \cos 2x < 0$.
અંતરાલ $(0, \pi/2)$ માં,$\cos 2x < 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $2x \in (\pi/2, \pi)$,જેનો અર્થ છે કે $x \in (\pi/4, \pi/2)$.
આમ,$f(x)$ એ $(0, \pi/4)$ માં વધતું અને $(\pi/4, \pi/2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (x + 2)e^{-x}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (1)e^{-x} + (x + 2)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x + 1)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$:
$-e^{-x}(x + 1) > 0$
કારણ કે $e^{-x} > 0$ બધા $x$ માટે,તેથી $-(x + 1) > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x + 1 < 0$,એટલે કે $x < -1$.
આમ,વિધેય $(-\infty, -1)$ માં વધતું વિધેય છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$:
$-e^{-x}(x + 1) < 0$
કારણ કે $e^{-x} > 0$ બધા $x$ માટે,તેથી $-(x + 1) < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x + 1 > 0$,એટલે કે $x > -1$.
આમ,વિધેય $(-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,વિધેય $(-\infty, -1)$ માં વધતું અને $(-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(C) $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ માટે,$f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x(\tan x - x)}{\sin^2 x}$ મળે છે.
$0 < x \le 1$ (રેડિયનમાં) હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x > x$ અને $\cos x > 0$. તેથી,$f'(x) > 0$,જે દર્શાવે છે કે $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$g(x) = \frac{x}{\tan x} = x \cot x$ માટે,$g'(x) = \cot x - x \csc^2 x = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x} = \frac{\sin 2x - 2x}{2 \sin^2 x}$ મળે છે.
ધારો કે $h(x) = \sin 2x - 2x$. તો $h'(x) = 2 \cos 2x - 2 = 2(\cos 2x - 1)$. $x \in (0, 1]$ માટે $\cos 2x < 1$ હોવાથી,$h'(x) < 0$ થાય.
$h(0) = 0$ અને $h(x)$ ઘટતું હોવાથી,$x > 0$ માટે $h(x) < 0$ થાય. તેથી,$g'(x) < 0$,જે દર્શાવે છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.

(D) વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેનું વિકલન $f'(x) < 0$ હોય.
આપેલ છે $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 29$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x + 29) = 6x^2 - 18x + 12$.
$f'(x) < 0$ લેતા:
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 3x + 2 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x - 1)(x - 2) < 0$.
બે અવયવોનો ગુણાકાર ઋણ હોવા માટે,$x$ ની કિંમત $1$ અને $2$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
તેથી,વિધેય $1 < x < 2$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(A) વિધેય $f(x) = 2{x^3} + 18{x^2} - 96x + 45$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2{x^3} + 18{x^2} - 96x + 45) = 6{x^2} + 36x - 96$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$6{x^2} + 36x - 96 \ge 0$.
અસમતાને $6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
${x^2} + 6x - 16 \ge 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x + 8)(x - 2) \ge 0$.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$(x + 8)(x - 2)$ ની કિંમત $0$ અથવા તેનાથી મોટી ત્યારે જ હોય જ્યારે $x \le - 8$ અથવા $x \ge 2$ હોય.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, -8] \cup [2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}$.
વિધેય ઘટતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે $\frac{dy}{dx} < 0$ હોય.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{(c\sin x + d\cos x)(a\cos x - b\sin x) - (a\sin x + b\cos x)(c\cos x - d\sin x)}{(c\sin x + d\cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (ac\sin x \cos x - bc\sin^2 x + ad\cos^2 x - bd\sin x \cos x) - (ac\sin x \cos x - ad\sin^2 x + bc\cos^2 x - bd\sin x \cos x)$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= ad(\cos^2 x + \sin^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x) = ad - bc$.
છેદ $(c\sin x + d\cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$\frac{dy}{dx} < 0$ ની શરત મુજબ $ad - bc < 0$ મળે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - e^{-x^2/2}$ છે.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - e^{-x^2/2}) = 0 - e^{-x^2/2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2/2) = -e^{-x^2/2} \cdot (-x) = x e^{-x^2/2}$.
કારણ કે $e^{-x^2/2}$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની ફક્ત $x$ પર આધાર રાખે છે.
$1$. $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $x e^{-x^2/2} > 0$. $e^{-x^2/2} > 0$ હોવાથી,આ સ્થિતિ $x > 0$ માટે સાચી છે.
$2$. $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) < 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $x e^{-x^2/2} < 0$. $e^{-x^2/2} > 0$ હોવાથી,આ સ્થિતિ $x < 0$ માટે સાચી છે.
તેથી,વિધેય $x < 0$ માટે ઘટતું અને $x > 0$ માટે વધતું વિધેય છે.

(D) વિધાન $S$: અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં,$\sin x$ એ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,અને $\cos x$ એ $0$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે. તેથી,બંને વિધેયો આ અંતરાલમાં ઘટતા વિધેયો છે. આમ,વિધાન $S$ સાચું છે.
વિધાન $R$: જો વિધેય $f(x)$ એ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય,તો તેનો અર્થ એ થાય કે $f'(x) \le 0$. તેનો અર્થ એવો નથી કે $f'(x)$ પોતે ઘટતું વિધેય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$(-1, 1)$ પર $f(x) = -x^3$ લો. અહીં $f'(x) = -3x^2$,જે $(-1, 1)$ પર ઘટતું વિધેય નથી. આપેલી આકૃતિ પણ એક કિસ્સો દર્શાવે છે જ્યાં વિધેય ઘટે છે,પરંતુ તેનો ઢાળ (વિકલિત) વધે છે. તેથી,વિધાન $R$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: $S$ સાચું છે અને $R$ ખોટું છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) અંતરાલ $I = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં કયું વિધેય ન તો ચુસ્ત વધતું છે કે ન તો ચુસ્ત ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $f(x) = \csc x$ માટે: આ વિધેય $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં ઘટે છે અને $\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં વધે છે. તેથી,તે સમગ્ર અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં એકવિધ (monotonic) નથી.
$2$. $f(x) = \tan x$ માટે: $f'(x) = \sec^2 x > 0$ હોવાથી તે વધતું વિધેય છે.
$3$. $f(x) = x^2$ માટે: આ અંતરાલમાં $x > 0$ હોવાથી $f'(x) = 2x > 0$,તેથી તે વધતું વિધેય છે.
$4$. $f(x) = |x - 1|$ માટે: આ વિધેય $x=1$ આગળ પોતાનો સ્વભાવ બદલે છે,પરંતુ આપેલ અંતરાલમાં તે મુખ્યત્વે વધતું વિધેય છે.
આપેલ આલેખ $f(x) = \csc x$ દર્શાવે છે,જે સમગ્ર અંતરાલમાં એકવિધ નથી. તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} > 0$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x) > 0$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x > 0$.
$3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) > 0$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$3\lambda - 12 > 0$.
$3\lambda > 12$.
$\lambda > 4$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 2x^{-1}) = 3 - 2x^{-2} = 3 - \frac{2}{x^2}$.
અંતરાલ $(1, 3)$ માટે,આપણે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
કારણ કે $1 < x < 3$,તેથી $1 < x^2 < 9$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{9} < \frac{1}{x^2} < 1$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2}{9} < \frac{2}{x^2} < 2$ મળે.
હવે,$f'(x) = 3 - \frac{2}{x^2}$.
કારણ કે $\frac{2}{x^2} < 2$,તેથી $3 - \frac{2}{x^2} > 3 - 2 = 1$.
આમ,તમામ $x \in (1, 3)$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
અંતરાલ પર વિકલિત ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \cos x.$
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4).$
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) < 0$ ની જરૂર છે:
$\sqrt{2} \sin(x + \pi/4) < 0$
$\sin(x + \pi/4) < 0.$
$0 \le x \le 2\pi$ અંતરાલમાં,ખૂણો $\theta = x + \pi/4$ એ $\pi/4$ થી $9\pi/4$ સુધી બદલાય છે.
સાઇન વિધેય $(\pi, 2\pi)$ અંતરાલમાં ઋણ હોય છે.
તેથી,$\pi < x + \pi/4 < 2\pi$.
બધી બાજુઓમાંથી $\pi/4$ બાદ કરતા:
$3\pi/4 < x < 7\pi/4$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આપેલ કોઈ પણ અંતરાલ $(3\pi/4, 7\pi/4)$ નો ઉપગણ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$f'(x) = \frac{x \cdot (\frac{1}{x}) - \log x \cdot (1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
બધા $x > 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $1 - \log x > 0$.
$1 > \log x \implies \log_e x < 1 \implies x < e^1$.
$\log x$ નો પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,વિધેય $(0, e)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x e^{x(1 - x)}$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \{1 + x(1 - 2x)\}$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 + x - 2x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 - x)(1 + 2x)$
કારણ કે $e^{x(1 - x)}$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની દ્વિઘાત પદાવલિ $(1 - x)(1 + 2x)$ પર આધાર રાખે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x = 1$ અને $x = -\frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલોની ચકાસણી કરતા:
$x \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ માટે,$f'(x) \ge 0$ થાય છે.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,તેનું વિકલન શૂન્ય કરતા ઓછું હોવું જોઈએ,એટલે કે $f'(x) < 0$.
પ્રથમ,વિકલન શોધો: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$.
અસમતા મૂકો: $3x^2 - 12x + 9 < 0$.
આખી અસમતાને $3$ વડે ભાગતા: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
આ અસમતાનું સમાધાન કરવા માટે,$x$ એ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$x \in (1, 3)$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{d}{dx} (\log(1 + x))$
$f'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{1 + x}$.
આપણે ઋણ ચિહ્નને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$f'(x) = - \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} \right]$.
કારણ કે $x > 0$,તેથી $(x + 1)$ અને $(x + 1)^2$ બંને ધન છે.
તેથી,તમામ $x > 0$ માટે $\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} > 0$ થાય.
આ સૂચવે છે કે તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) < 0$ છે.
જેથી,વિકલન $f'(x)$ આપેલ પ્રદેશમાં તમામ $x$ માટે ઋણ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \cos x$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \cos x) = 1 - \sin x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $1 - \sin x \ge 0$ થાય.
ખાસ કરીને,$f'(x) = 0$ ફક્ત ત્યાં જ થાય છે જ્યાં $\sin x = 1$ હોય (એટલે કે $x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$),અને બાકીના તમામ બિંદુઓ માટે $f'(x) > 0$ છે.
આમ,$f'(x) \ge 0$ હોવાથી અને તે કોઈ પણ અંતરાલ પર શૂન્ય ન રહેતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર હંમેશા વધતું વિધેય છે.