Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(A) माना $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
फलन के ह्रासमान (non-increasing) होने के लिए,$f'(x) \le 0$ होना चाहिए।
$\frac{x^2 - 1}{x^2} \le 0$.
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए शर्त $x^2 - 1 \le 0$ में बदल जाती है।
$x^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $x \in [-1, 1]$.
हालाँकि,$x = 0$ पर फलन अपरिभाषित है। अतः,फलन $[-1, 0)$ और $(0, 1]$ अंतरालों में ह्रासमान है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$[-1, 1]$ सही उत्तर है।

(D) माना कि $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f'(x) = -\frac{1}{(1 + x^2)^2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$ प्राप्त होता है।
एक फलन ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
अतः,$-\frac{2x}{(1 + x^2)^2} < 0$ होना चाहिए।
चूँकि $(1 + x^2)^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $-2x$ पर निर्भर करता है।
इसलिए,$-2x < 0$ का अर्थ है $x > 0$।
अतः,फलन अंतराल $(0, \infty )$ में ह्रासमान है।

(C) एक फलन $f(x)$ किसी अंतराल पर ह्रासमान होता है यदि उस अंतराल में $f'(x) \leq 0$ हो।
$(A)$ $f(x) = \cos x$ के लिए,$f'(x) = -\sin x$। अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$\sin x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ है। अतः,$\cos x$ ह्रासमान है।
$(B)$ $f(x) = \cos 2x$ के लिए,$f'(x) = -2\sin 2x$। अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$2x \in (0, \pi)$ होता है,जहाँ $\sin 2x > 0$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ है। अतः,$\cos 2x$ ह्रासमान है।
$(C)$ $f(x) = \cos 3x$ के लिए,$f'(x) = -3\sin 3x$। अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$3x$ का मान $0$ से $\frac{3\pi}{2}$ तक होता है। अंतराल $\left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$3x$ का मान $\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$ के बीच होता है,जहाँ $\sin 3x < 0$ होता है। अतः,$f'(x) = -3\sin 3x > 0$ होता है। इसलिए,$\cos 3x$ पूरे अंतराल पर ह्रासमान नहीं है।
$(D)$ $f(x) = \cot x$ के लिए,$f'(x) = -\csc^2 x$। चूँकि अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में $\csc^2 x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ है। अतः,$\cot x$ ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.
चूंकि सभी $x \neq -1$ के लिए $(x + 1)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन अपने पूरे प्रांत $( - \infty , -1) \cup (-1, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) माना $f(x) = x^2 - x + 1$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2x - 1$।
हम अंतराल $[0, 1]$ में $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
$x = 0$ पर,$f'(0) = 2(0) - 1 = -1 < 0$।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 2(1) - 1 = 1 > 0$।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (विशेष रूप से,$x = 1/2$ पर यह शून्य होता है),इसलिए फलन पूरे अंतराल $[0, 1]$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $f(x) = {x^2}{e^{ - x}}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और $f'(x) \ge 0$ रखते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = \frac{d}{dx}({x^2}) \cdot {e^{ - x}} + {x^2} \cdot \frac{d}{dx}({e^{ - x}})$.
$f'(x) = 2x{e^{ - x}} - {x^2}{e^{ - x}} = {e^{ - x}}(2x - {x^2}) = x{e^{ - x}}(2 - x)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^{ - x}} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।
$x(2 - x) \ge 0 \implies x(x - 2) \le 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$,$0$ और $2$ के बीच (सहित) स्थित हो।
अतः,अंतराल $[0, 2]$ है।

(A) माना $f(x) = \log(\sin x)$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ है।
अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$\cot x$ का मान हमेशा धनात्मक होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $\sin x$ और $\cos x$ दोनों धनात्मक होते हैं)।
चूंकि $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \log(\sin x)$ इस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $f(x) = \sin x - \cos x$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
फलन $f(x)$ वर्धमान है यदि $f'(x) > 0$ हो।
$f'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$.
हमें $\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0$.
यह तब सत्य होता है जब $-\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$ हो।
सभी भागों में $\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
मानक अंतराल $[0, 2\pi]$ को ध्यान में रखते हुए,फलन $[0, \frac{3\pi}{4})$ में वर्धमान है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) माना $f(x) = \sin x - bx + c$.
फलन के $(-\infty, \infty)$ पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \cos x - b$ प्राप्त होता है।
$f'(x) \ge 0$ रखने पर,हमें $\cos x - b \ge 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos x \ge b$।
चूंकि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए असमिका $\cos x \ge b$ सभी $x$ के लिए तभी सत्य होगी यदि $\cos x$ का न्यूनतम मान $b$ से बड़ा या उसके बराबर हो।
$\cos x$ का न्यूनतम मान $-1$ है।
अतः,हमें $-1 \ge b$ या $b \le -1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^4 - 4x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 4x^3 - 4$।
फलन ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
$4x^3 - 4 < 0$
$4(x^3 - 1) < 0$
$x^3 < 1$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन अंतराल $( - \infty, 1)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया फलन: $f(x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1$
अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 - 12x + 1) = -6x^2 - 18x - 12$
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए:
$-6x^2 - 18x - 12 < 0$
$-6$ से भाग देने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$x^2 + 3x + 2 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x + 2)(x + 1) > 0$
साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,असमिका $(x + 2)(x + 1) > 0$ तब सत्य होती है जब $x < -2$ या $x > -1$ हो।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

(B) एक फलन $f(x)$ वर्धमान होता है यदि $f'(x) > 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = x^3 - 27x + 5$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 - 27$ प्राप्त होता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,हम $f'(x) > 0$ रखते हैं:
$3x^2 - 27 > 0$
$3(x^2 - 9) > 0$
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| > 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $|x| > 3$ के लिए वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$।
एक फलन $f(x)$ वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
अतः,$2x > 0$,जिसका अर्थ है कि $x > 0$।
इसलिए,फलन $f(x) = x^2$ अंतराल $(0, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^4 - \frac{x^3}{3}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - \frac{x^3}{3}) = 4x^3 - x^2$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$x^2(4x - 1) = 0$,जिससे हमें $x = 0$ और $x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$x^2(4x - 1) > 0$.
चूंकि $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$ तब होता है जब $4x - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x > \frac{1}{4}$।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए:
$x^2(4x - 1) < 0$,जो तब होता है जब $4x - 1 < 0$ (जहाँ $x \neq 0$),अर्थात $x < \frac{1}{4}$ ($x=0$ को छोड़कर)।
अतः,फलन $x > \frac{1}{4}$ के लिए वर्धमान है और $x < \frac{1}{4}$ के लिए ह्रासमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = e^x$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$।
चूंकि चरघातांकी फलन $e^x$ $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए हमेशा धनात्मक होता है (अर्थात,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^x > 0$),इसलिए सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ सभी $x$ के लिए $0$ से बड़ा है,इसलिए फलन $f(x) = e^x$ $x$ के सभी मानों के लिए एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{5^x} = 5^{-x}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(5^{-x}) = 5^{-x} \cdot \ln(5) \cdot (-1) = -\frac{\ln(5)}{5^x}$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $5^x > 0$ और $\ln(5) \approx 1.609 > 0$ है,इसलिए पद $\frac{\ln(5)}{5^x}$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$f'(x) = -\frac{\ln(5)}{5^x} < 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ सभी $x$ के लिए ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ प्रत्येक $x$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7$
चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x + 7) = 6x^2 - 6x - 36$
चरण $2$: फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 6x - 36 < 0$
चरण $3$: $6$ से भाग दें और द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें।
$x^2 - x - 6 < 0$
$(x - 3)(x + 2) < 0$
चरण $4$: वह अंतराल निर्धारित करें जहाँ गुणनफल ऋणात्मक है।
मूल $x = 3$ और $x = -2$ हैं। व्यंजक $(x - 3)(x + 2)$ मूलों के बीच ऋणात्मक है।
अतः,$-2 < x < 3$.
इसलिए,अभीष्ट अंतराल $(-2, 3)$ है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,उसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ रखने पर:
$\cos x - \frac{1}{2} > 0$
$\cos x > \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $x = \pm \frac{\pi}{3}$ पर $\cos x = \frac{1}{2}$ होता है।
चूंकि कोसाइन फलन अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में धनात्मक और ह्रासमान है और यह सममित है,इसलिए असमिका $\cos x > \frac{1}{2}$,$x \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x \sin x + \cos x + \cos^2 x$
चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \sin x) + \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$
$f'(x) = (\sin x + x \cos x) - \sin x - 2 \cos x \sin x$
$f'(x) = x \cos x - 2 \sin x \cos x$
$f'(x) = \cos x (x - 2 \sin x)$
चरण $2$: अंतराल $(0, \pi/2)$ में $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करें।
अंतराल $(0, \pi/2)$ में,$\cos x > 0$ होता है।
हम जानते हैं कि $x \in (0, \pi/2)$ के लिए,$x < 2 \sin x$ होता है।
अतः,$(x - 2 \sin x) < 0$ होगा।
चरण $3$: निष्कर्ष।
चूंकि $\cos x > 0$ और $(x - 2 \sin x) < 0$,इसलिए उनका गुणनफल $f'(x) < 0$ होगा।
अतः,$f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।

(D) दिया गया फलन $y = x^2 e^{-x}$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $y$ बढ़ता है,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = x e^{-x} (2 - x)$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $\frac{dy}{dx} > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि $e^{-x}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।
हमें $x(2 - x) > 0$ चाहिए,जो $x(x - 2) < 0$ के बराबर है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$,$0$ और $2$ के बीच स्थित हो।
अतः,अंतराल $x \in (0, 2)$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 6) = 6x^2 - 18x + 12$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
असमिका को $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 - 3x + 2 < 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $1$ और $2$ के बीच हो।
अतः,फलन $1 < x < 2$ के लिए ह्रासमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 2x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$2x - 2 < 0$
$2x < 2$
$x < 1$.
अतः,फलन $x < 1$ के लिए ह्रासमान है।

(B) एक फलन $f(x)$ एकदिष्ट ह्रासमान होता है यदि उसका अवकलज $f'(x) \le 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \cos x - 2px$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -\sin x - 2p$.
$f(x)$ के एकदिष्ट ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) \le 0$ की आवश्यकता है।
$-\sin x - 2p \le 0$
$\sin x + 2p \ge 0$
$2p \ge -\sin x$
$p \ge -\frac{1}{2} \sin x$.
चूंकि $-\frac{1}{2} \sin x$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है (जब $\sin x = -1$ हो),इसलिए असमिका के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,हमारे पास $p \ge \frac{1}{2}$ होना चाहिए।
अतः,फलन $p \ge \frac{1}{2}$ के लिए एकदिष्ट ह्रासमान है।

(C) फलन $f(x)$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए एकदिष्ट वर्धमान होने हेतु,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 3kx^2 - 18x + 9$.
$3kx^2 - 18x + 9 \ge 0$ को सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$x^2$ का गुणांक धनात्मक $(k > 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर शून्य या शून्य से कम $(\Delta \le 0)$ होना चाहिए।
$\Delta = (-18)^2 - 4(3k)(9) = 324 - 108k$.
$\Delta \le 0$ रखने पर,$324 - 108k \le 0$,जिसका अर्थ है $108k \ge 324$,अतः $k \ge 3$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $k > 3$ है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$.
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 1) = 6x^2 - 30x + 36$.
अवकलन का गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अतः,$6(x - 2)(x - 3) < 0$,जिसका अर्थ है कि $(x - 2)(x - 3) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $2$ और $3$ के बीच हो।
इसलिए,अंतराल $(2, 3)$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \tan x - x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \tan^2 x$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $\tan x$ के प्रांत में सभी $x$ के लिए $\tan^2 x \ge 0$ होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,जिसका अर्थ है कि यह कभी नहीं घटता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{K\sin x + 2\cos x}{\sin x + \cos x}$.
अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हैं।
माना $u = K\sin x + 2\cos x$ और $v = \sin x + \cos x$.
तब $u' = K\cos x - 2\sin x$ और $v' = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = \frac{(K\cos x - 2\sin x)(\sin x + \cos x) - (K\sin x + 2\cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$= (K\sin x \cos x + K\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\sin x \cos x) - (K\sin x \cos x - K\sin^2 x + 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x)$.
$= K\cos^2 x - 2\sin^2 x + K\sin^2 x - 2\cos^2 x$.
$= K(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = K - 2$.
अतः,$f'(x) = \frac{K - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$.
चूंकि फलन सभी $x$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > 0$ होगा।
चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $K - 2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $K > 2$।

(D) दिया गया है $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$.
फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \le 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a \le 0$.
$3$ से भाग देने पर,$(a + 2)x^2 - 2ax + 3a \le 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C \le 0$ के लिए $A < 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \le 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ,$A = a + 2 < 0 \implies a < -2$.
विविक्तकर $D = (-2a)^2 - 4(a + 2)(3a) = 4a^2 - 12a^2 - 24a = -8a^2 - 24a$.
$D \le 0 \implies -8a(a + 3) \le 0 \implies a(a + 3) \ge 0$.
यह असमिका $a \le -3$ या $a \ge 0$ के लिए सत्य है।
$a < -2$ और $(a \le -3 \text{ या } a \ge 0)$ को मिलाने पर,हमें $a \le -3$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(-\infty, -3]$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - 1 \right)$
तीसरे पद को सरल करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
अतः,$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
$f'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2} = \frac{2x^2 + 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $\sqrt{1 + x^2} > 1$ और सभी $x$ के लिए $2x^2 + 1 > \sqrt{1 + x^2}$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर एक वर्धमान फलन है।

(C) एक फलन $f(x)$ वर्धमान फलन कहलाता है यदि उसके प्रांत के सभी $x$ के लिए $f'(x) \geq 0$ हो।
$(A)$ $f(x) = x^{-1}$ के लिए,$f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$,जो $x \neq 0$ के लिए हमेशा ऋणात्मक है।
$(B)$ $f(x) = x^2$ के लिए,$f'(x) = 2x$,जो $x < 0$ के लिए ऋणात्मक और $x > 0$ के लिए धनात्मक है।
$(C)$ $f(x) = x^3$ के लिए,$f'(x) = 3x^2$। चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होगा। अतः,$f(x) = x^3$ एक वर्धमान फलन है।
$(D)$ $f(x) = x^4$ के लिए,$f'(x) = 4x^3$,जो $x < 0$ के लिए ऋणात्मक और $x > 0$ के लिए धनात्मक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $f(x) = {x^2} + kx + 1$ है।
फलन के अंतराल $[1, 2]$ में वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जहाँ $x \in [1, 2]$ है।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 2x + k$ प्राप्त होता है।
शर्त $f'(x) \geq 0$ को लागू करने पर,$2x + k \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $k \geq -2x$ है।
चूँकि यह अंतराल $[1, 2]$ के सभी $x$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $k$ को इस अंतराल पर $-2x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$x \in [1, 2]$ के लिए,फलन $g(x) = -2x$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,$g(x)$ का अधिकतम मान इसके निचले सीमा बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$g(1) = -2(1) = -2$ है।
अतः,$k \geq -2$ है।
इसलिए $k$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 - x^2 - x - 4$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे शून्य से कम रखते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$:
$3x^2 - 2x - 1 < 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 3x + x - 1 < 0$
$3x(x - 1) + 1(x - 1) < 0$
$(3x + 1)(x - 1) < 0$.
गुणनफल के ऋणात्मक होने के लिए,गुणनखंडों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
स्थिति $1$: $3x + 1 > 0$ और $x - 1 < 0$
$x > -\frac{1}{3}$ और $x < 1$.
अतः,अंतराल $x \in \left( -\frac{1}{3}, 1 \right)$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 24x + 5) = 3x^2 - 6x - 24$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$3x^2 - 6x - 24 > 0$.
असमिका को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 - 2x - 8 > 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 4x + 2x - 8 > 0$
$(x - 4)(x + 2) > 0$.
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,गुणनफल $(x - 4)(x + 2)$ तब धनात्मक होता है जब $x < -2$ या $x > 4$ हो।
अतः,फलन अंतराल $( - \infty, -2) \cup (4, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin 2x$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0 \Rightarrow 2 \cos 2x > 0 \Rightarrow \cos 2x > 0$.
अंतराल $(0, \pi/2)$ में,$2x$ का मान $(0, \pi)$ में है। $\cos 2x > 0$ तब होता है जब $2x \in (0, \pi/2)$,जिसका अर्थ है $x \in (0, \pi/4)$.
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0 \Rightarrow 2 \cos 2x < 0 \Rightarrow \cos 2x < 0$.
अंतराल $(0, \pi/2)$ में,$\cos 2x < 0$ तब होता है जब $2x \in (\pi/2, \pi)$,जिसका अर्थ है $x \in (\pi/4, \pi/2)$.
अतः,$f(x)$,$(0, \pi/4)$ में वर्धमान है और $(\pi/4, \pi/2)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x + 2)e^{-x}$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = (1)e^{-x} + (x + 2)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x + 1)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$:
$-e^{-x}(x + 1) > 0$
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x + 1 < 0$,अर्थात $x < -1$.
अतः,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$:
$-e^{-x}(x + 1) < 0$
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x + 1 > 0$,अर्थात $x > -1$.
अतः,फलन $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान और $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

(C) $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ के लिए,$f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x(\tan x - x)}{\sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 < x \le 1$ (रेडियन में),हम जानते हैं कि $\tan x > x$ और $\cos x > 0$ है। अतः,$f'(x) > 0$,जो दर्शाता है कि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$g(x) = \frac{x}{\tan x} = x \cot x$ के लिए,$g'(x) = \cot x - x \csc^2 x = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x} = \frac{\sin 2x - 2x}{2 \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
माना $h(x) = \sin 2x - 2x$ है। तब $h'(x) = 2 \cos 2x - 2 = 2(\cos 2x - 1)$ है। $x \in (0, 1]$ के लिए $\cos 2x < 1$ होने के कारण,$h'(x) < 0$ है।
चूंकि $h(0) = 0$ और $h(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $x > 0$ के लिए $h(x) < 0$ होगा। अतः,$g'(x) < 0$,जो दर्शाता है कि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
इस प्रकार,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(D) एक फलन $f(x)$ एकदिष्ट ह्रासमान होता है जब उसका अवकलज $f'(x) < 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 29$।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x + 29) = 6x^2 - 18x + 12$।
$f'(x) < 0$ रखने पर:
$6x^2 - 18x + 12 < 0$।
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 3x + 2 < 0$।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x - 2) < 0$।
दो गुणनखंडों का गुणनफल ऋणात्मक होने के लिए,$x$ का मान $1$ और $2$ के बीच होना चाहिए।
अतः,फलन $1 < x < 2$ के लिए एकदिष्ट ह्रासमान है।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2{x^3} + 18{x^2} - 96x + 45$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2{x^3} + 18{x^2} - 96x + 45) = 6{x^2} + 36x - 96$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
$6{x^2} + 36x - 96 \ge 0$.
असमिका को $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^2} + 6x - 16 \ge 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x + 8)(x - 2) \ge 0$.
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,$(x + 8)(x - 2)$ का मान $0$ या उससे अधिक तब होता है जब $x \le - 8$ या $x \ge 2$ हो।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, -8] \cup [2, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) माना $y = \frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}$ है।
फलन ह्रासमान (decreasing) तब होता है जब $\frac{dy}{dx} < 0$ हो।
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{(c\sin x + d\cos x)(a\cos x - b\sin x) - (a\sin x + b\cos x)(c\cos x - d\sin x)}{(c\sin x + d\cos x)^2}$ प्राप्त होता है।
अंश का विस्तार करने पर:
$= (ac\sin x \cos x - bc\sin^2 x + ad\cos^2 x - bd\sin x \cos x) - (ac\sin x \cos x - ad\sin^2 x + bc\cos^2 x - bd\sin x \cos x)$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$= ad(\cos^2 x + \sin^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x) = ad - bc$।
चूंकि हर $(c\sin x + d\cos x)^2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ की शर्त का अर्थ है कि $ad - bc < 0$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 1 - e^{-x^2/2}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - e^{-x^2/2}) = 0 - e^{-x^2/2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2/2) = -e^{-x^2/2} \cdot (-x) = x e^{-x^2/2}$.
चूंकि $e^{-x^2/2}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $x$ पर निर्भर करता है।
$1$. $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x e^{-x^2/2} > 0$। चूंकि $e^{-x^2/2} > 0$,यह स्थिति $x > 0$ के लिए सत्य है।
$2$. $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x e^{-x^2/2} < 0$। चूंकि $e^{-x^2/2} > 0$,यह स्थिति $x < 0$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन $x < 0$ के लिए ह्रासमान और $x > 0$ के लिए वर्धमान है।

(D) कथन $S$: अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में,$\sin x$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है,और $\cos x$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। अतः,दोनों फलन इस अंतराल में ह्रासमान हैं। इसलिए,कथन $S$ सही है।
कथन $R$: यदि कोई फलन $f(x)$,$(a, b)$ में घट रहा है,तो इसका अर्थ है $f'(x) \le 0$। इसका मतलब यह नहीं है कि $f'(x)$ स्वयं एक ह्रासमान फलन है। उदाहरण के लिए,$(-1, 1)$ पर $f(x) = -x^3$ लें। यहाँ $f'(x) = -3x^2$,जो $(-1, 1)$ पर ह्रासमान फलन नहीं है। दिया गया ग्राफ भी एक ऐसी स्थिति को दर्शाता है जहाँ फलन घट रहा है,लेकिन उसका ढाल (अवकलज) बढ़ रहा है। अतः,कथन $R$ गलत है।
निष्कर्ष: $S$ सही है और $R$ गलत है। सही विकल्प $D$ है।

(A) अंतराल $I = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ में यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा फलन न तो निरंतर बढ़ रहा है और न ही निरंतर घट रहा है,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $f(x) = \csc x$ के लिए: यह फलन $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में घटता है और $\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$ में बढ़ता है। इसलिए,यह पूरे अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ में एकदिष्ट (monotonic) नहीं है।
$2$. $f(x) = \tan x$ के लिए: $f'(x) = \sec^2 x > 0$ होने के कारण यह एक वर्धमान फलन है।
$3$. $f(x) = x^2$ के लिए: इस अंतराल में $x > 0$ है,इसलिए $f'(x) = 2x > 0$,अतः यह एक वर्धमान फलन है।
$4$. $f(x) = |x - 1|$ के लिए: यह फलन $x=1$ पर अपना व्यवहार बदलता है,लेकिन दिए गए अंतराल में यह मुख्य रूप से वर्धमान है।
दिया गया ग्राफ $f(x) = \csc x$ को दर्शाता है,जो पूरे अंतराल में एकदिष्ट नहीं है। इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} > 0$.
अंश का विस्तार करने पर:
$(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x) > 0$.
पदों को सरल करने पर:
$3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x > 0$.
$3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) > 0$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$3\lambda - 12 > 0$.
$3\lambda > 12$.
$\lambda > 4$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 2x^{-1}) = 3 - 2x^{-2} = 3 - \frac{2}{x^2}$.
अंतराल $(1, 3)$ के लिए,हम $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
चूंकि $1 < x < 3$,इसलिए $1 < x^2 < 9$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{9} < \frac{1}{x^2} < 1$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2}{9} < \frac{2}{x^2} < 2$ प्राप्त होता है।
अब,$f'(x) = 3 - \frac{2}{x^2}$।
चूंकि $\frac{2}{x^2} < 2$,इसलिए $3 - \frac{2}{x^2} > 3 - 2 = 1$।
अतः,सभी $x \in (1, 3)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अंतराल पर अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x.$
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4).$
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है:
$\sqrt{2} \sin(x + \pi/4) < 0$
$\sin(x + \pi/4) < 0.$
$0 \le x \le 2\pi$ अंतराल में,कोण $\theta = x + \pi/4$ का मान $\pi/4$ से $9\pi/4$ तक होता है.
ज्या (sine) फलन $(\pi, 2\pi)$ अंतराल में ऋणात्मक होता है.
इसलिए,$\pi < x + \pi/4 < 2\pi$.
सभी पक्षों से $\pi/4$ घटाने पर:
$3\pi/4 < x < 7\pi/4$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $(3\pi/4, 7\pi/4)$ का उपसमुच्चय नहीं है.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$f'(x) = \frac{x \cdot (\frac{1}{x}) - \log x \cdot (1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि सभी $x > 0$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1 - \log x > 0$।
$1 > \log x \implies \log_e x < 1 \implies x < e^1$.
चूँकि $\log x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए फलन अंतराल $(0, e)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1 - x)}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \{1 + x(1 - 2x)\}$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 + x - 2x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 - x)(1 + 2x)$
चूंकि $e^{x(1 - x)}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न द्विघात व्यंजक $(1 - x)(1 + 2x)$ पर निर्भर करता है।
द्विघात समीकरण के मूल $x = 1$ और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर:
$x \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ पर वर्धमान है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज शून्य से कम होना चाहिए,अर्थात $f'(x) < 0$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$.
असमिका निर्धारित करें: $3x^2 - 12x + 9 < 0$.
पूरी असमिका को $3$ से विभाजित करें: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
इस असमिका को संतुष्ट करने के लिए,$x$ को $1$ और $3$ के बीच स्थित होना चाहिए।
अतः,$x \in (1, 3)$.

(B) दिया गया फलन: $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$.
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{d}{dx} (\log(1 + x))$
$f'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{1 + x}$.
हम ऋण चिह्न को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$f'(x) = - \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} \right]$.
चूँकि $x > 0$,इसलिए $(x + 1)$ और $(x + 1)^2$ दोनों धनात्मक हैं।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} > 0$ है।
यह दर्शाता है कि सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूँकि अवकलज $f'(x)$ दिए गए प्रांत में सभी $x$ के लिए ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \cos x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \cos x) = 1 - \sin x$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $1 - \sin x \ge 0$ होता है।
विशेष रूप से,$f'(x) = 0$ केवल उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $\sin x = 1$ हो (अर्थात $x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$),और अन्य सभी बिंदुओं पर $f'(x) > 0$ होता है।
चूंकि $f'(x) \ge 0$ है और यह किसी भी अंतराल पर शून्य नहीं रहता है,इसलिए फलन $f(x)$ सदैव वर्धमान फलन है।