Tangent and Normal Questions in Gujarati

(C) $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = \lambda$ ધારો.
રેખા વક્ર $y = \sqrt{x}$ ને છેદે છે,તેથી $\lambda = \sqrt{x}$,જેનો અર્થ છે $x = \lambda^2$.
આમ,છેદબિંદુ $P(\lambda^2, \lambda)$ છે.
વક્ર $y = \sqrt{x}$ નો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ છે.
બિંદુ $P(\lambda^2, \lambda)$ પર,ઢાળ $m = \frac{1}{2\sqrt{\lambda^2}} = \frac{1}{2|\lambda|}$ છે.
રેખા (ઢાળ $0$) અને વક્ર (ઢાળ $m$) વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે.
તેથી,$\tan(45^\circ) = \left| \frac{m - 0}{1 + m \cdot 0} \right| = |m|$.
$1 = \left| \frac{1}{2\lambda} \right|$,જે $2|\lambda| = 1$ આપે છે,તેથી $\lambda = \pm \frac{1}{2}$.
$y = \sqrt{x}$ હોવાથી $y \ge 0$ મળે,તેથી $\lambda = \frac{1}{2}$ લેતા.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ વક્રો $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ અને $r_2 = 2 \sin \theta$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$r_1 = r_2$,તેથી $\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \sin \theta$,અથવા $\tan \theta = 1$. આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ માટે,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$. $\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\frac{dr_1}{d\theta} = 0$. ખૂણો $\phi_1$ માટે $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty$,તેથી $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$.
$r_2 = 2 \sin \theta$ માટે,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$. $\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\frac{dr_2}{d\theta} = \sqrt{2}$. ખૂણો $\phi_2$ માટે $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$,તેથી $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$.
છેદનકોણ $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$.

(B) વક્રો $y^2 = \frac{2x}{\pi}$ અને $y = \sin x$ એ $(0, 0)$ અને $(\pi/2, 1)$ બિંદુએ છેદે છે.
ધારો કે વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ છે.
$y^2 = \frac{2x}{\pi}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi}$,તેથી $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\pi y}$.
$y = \sin x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $m_2 = \frac{dy}{dx} = \cos x$.
છેદનબિંદુ $(\pi/2, 1)$ આગળ:
$m_1 = \frac{1}{\pi(1)} = \frac{1}{\pi}$.
$m_2 = \cos(\pi/2) = 0$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{1/\pi - 0}{1 + (1/\pi)(0)} \right| = \frac{1}{\pi}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1/\pi) = \cot^{-1}(\pi)$.

(C) આપેલ વક્ર $xy = a^2$ છે,તેથી $y = \frac{a^2}{x}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{a^2}{x_1^2}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{a^2}{x_1^2}(x - x_1)$ છે.
$x_1^2$ વડે ગુણતા,$x_1^2 y - x_1^2 y_1 = -a^2 x + a^2 x_1$ મળે.
કારણ કે $x_1 y_1 = a^2$,તેથી આ સમીકરણ $x_1^2 y + a^2 x = a^2 x_1 + x_1^2 y_1 = x_1(a^2 + x_1 y_1) = x_1(a^2 + a^2) = 2a^2 x_1$ બને.
$a^2 x_1$ વડે ભાગતા,સમીકરણ $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ મળે.
આ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} = 1$ છે,જ્યાં અંતઃખંડો $a' = 2x_1$ અને $b' = \frac{2a^2}{x_1}$ છે.
યામ અક્ષો અને સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |a'| \times |b'| = \frac{1}{2} \times (2x_1) \times \left(\frac{2a^2}{x_1}\right) = 2a^2$ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $y = \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ છે.
પ્રથમ,બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) = \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{2}$.
હવે,$(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$m_{tangent} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 1)} = \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi(1)}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક આડી રેખા છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે,જે $-\frac{1}{0}$ થાય છે,જે એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = 1$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = 2 \cos x$ છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$y$ ની કિંમત $y = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}$ થાય.
હવે,વિકલન મેળવતા $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos x) = -2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi/4} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\sqrt{2}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = \left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right)$ અને ઢાળ $m = -\sqrt{2}$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$y - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ મળે છે.

(A) વક્ર $y^2 = 4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ મળે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = \frac{2}{2} = 1$ છે.
વક્ર $x^2 + y^2 = 5$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ મળે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) આપેલ વક્ર $b{y^2} = {(x + a)^3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2by \cdot \frac{dy}{dx} = 3{(x + a)^2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3{(x + a)^2}}{2by}$.
સબનોર્મલ માટેનું સૂત્ર $y \cdot \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{3{(x + a)^2}}{2by} = \frac{3{(x + a)^2}}{2b}$ છે.
સબટેન્જન્ટ માટેનું સૂત્ર $\frac{y}{\frac{dy}{dx}} = \frac{y}{\frac{3{(x + a)^2}}{2by}} = \frac{2by^2}{3{(x + a)^2}}$ છે.
$y^2 = \frac{{(x + a)^3}}{b}$ ને સબટેન્જન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા:
સબટેન્જન્ટ $= \frac{2b \cdot \frac{{(x + a)^3}}{b}}{3{(x + a)^2}} = \frac{2(x + a)}{3}$.
તેથી,$(Subtangent)^2 = \frac{4}{9}{(x + a)^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{(Subtangent)^2}{Subnormal} = \frac{\frac{4}{9}{(x + a)^2}}{\frac{3}{2b}{(x + a)^2}} = \frac{8b}{27}$,જે એક અચળાંક છે.
આમ,$(Subtangent)^2 \propto Subnormal$.

(C) આપેલ વક્ર $y = ax^2 + bx$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
$(2, -8)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, -8)} = 2a(2) + b = 4a + b$ થાય.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય.
તેથી,$4a + b = 0 \Rightarrow b = -4a$ ..... $(i)$.
બિંદુ $(2, -8)$ વક્ર પર હોવાથી,તે $y = ax^2 + bx$ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = 2$ અને $y = -8$ મૂકતા: $-8 = a(2)^2 + b(2) \Rightarrow -8 = 4a + 2b$ ..... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $b = -4a$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$-8 = 4a + 2(-4a)$
$-8 = 4a - 8a$
$-8 = -4a \Rightarrow a = 2$.
હવે,$b = -4a$ નો ઉપયોગ કરીને $b$ શોધો:
$b = -4(2) = -8$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -8$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y_0 = -\frac{\sqrt{y_0}}{\sqrt{x_0}}(X - x_0)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$X\sqrt{y_0} + Y\sqrt{x_0} = x_0\sqrt{y_0} + y_0\sqrt{x_0} = \sqrt{x_0y_0}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0}) = \sqrt{x_0y_0}\sqrt{a}$.
$\sqrt{a}\sqrt{x_0y_0}$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{X}{\sqrt{a}\sqrt{x_0}} + \frac{Y}{\sqrt{a}\sqrt{y_0}} = 1$.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $X_{int} = \sqrt{a}\sqrt{x_0}$ અને $Y_{int} = \sqrt{a}\sqrt{y_0}$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $\sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0}) = \sqrt{a}(\sqrt{a}) = a$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = x \log x$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવતા $\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1 + \log x$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે,જેને $y = x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$
$-1 = 1 + \log x$
$\log x = -2$
$x = e^{-2}$.
હવે,$x = e^{-2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.

(C) વક્ર $y = f(x)$ ના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રના અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબ $x-$અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dx}{dy} = 0$.

(C) અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર: $L = |y| \sqrt{1 + (dy/dx)^2}$ છે.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dx/d\theta = a(1 + \cos \theta)$
$dy/d\theta = a \sin \theta$
તેથી,$dy/dx = (dy/d\theta) / (dx/d\theta) = (a \sin \theta) / (a(1 + \cos \theta)) = \sin \theta / (1 + \cos \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$.
તેથી,$dy/dx = \tan(\theta/2)$.
$\theta = \pi/2$ માટે,$dy/dx = \tan(\pi/4) = 1$.
વળી,$\theta = \pi/2$ માટે,$y = a(1 - \cos(\pi/2)) = a(1 - 0) = a$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = |a| \sqrt{1 + (1)^2} = a \sqrt{2}$.

(C) આપેલ વક્ર: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ અને $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)) = a\theta \cos \theta$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_n = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
$\theta$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા:
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a| = a$.
જેથી,અભિલંબ ઉગમબિંદુથી અચળ અંતરે છે.

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે,જ્યાં $k = h^4$ છે.
વક્ર $y = x^4$ નો $(h, k)$ આગળનો સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 4x^3$ દ્વારા મળે છે. $x = h$ આગળ ઢાળ $m = 4h^3$ થાય.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - k = 4h^3(x - h)$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$0 - h^4 = 4h^3(2 - h)$
$-h^4 = 8h^3 - 4h^4$
$3h^4 - 8h^3 = 0$
$h^3(3h - 8) = 0$
આથી $h = 0$ અથવા $h = \frac{8}{3}$ મળે છે.
$h = 0$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = 4(0)^3(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = 0$ છે.
$h = \frac{8}{3}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (\frac{8}{3})^4 = 4(\frac{8}{3})^3(x - \frac{8}{3})$ થાય.
આમ,$y = 0$ એ સ્પર્શકનું એક સમીકરણ છે.

(D) આપેલ વક્રો $y = x^2$ અને $x = y^2$ છે.
$y = x^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 2(1) = 2$ છે.
$x = y^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 = 2y \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 2x^2 - x + 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 1) = 4x - 1$.
આપેલ રેખા $y = 3x + 9$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = 3$ છે.
કારણ કે સ્પર્શક રેખા $y = 3x + 9$ ને સમાંતર છે,તેથી તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$4x - 1 = 3$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$4x = 4 \implies x = 1$.
હવે,$y$-યામ શોધવા માટે $x = 1$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકો:
$y = 2(1)^2 - (1) + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(1, 2)$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: ${x^3} - 8{a^2}y = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3{x^2} - 8{a^2} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3{x^2}}{8{a^2}}$ મળે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{8{a^2}}{3{x^2}}$ થાય.
અહીં અભિલંબનો ઢાળ $\frac{-2}{3}$ આપેલ છે.
સરખાવતા: $-\frac{8{a^2}}{3{x^2}} = -\frac{2}{3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{8{a^2}}{{x^2}} = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે ${x^2} = 4{a^2}$,તેથી $x = 2a$.
હવે $x = 2a$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: ${(2a)^3} - 8{a^2}y = 0$.
$8{a^3} - 8{a^2}y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $8{a^2}(a - y) = 0$,તેથી $y = a$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(2a, a)$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $x = a(t + \sin t)$ અને $y = a(1 - \cos t)$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$ અને $\frac{dy}{dt} = a \sin t$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)} = \tan(t/2)$.
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L = |a(1 - \cos t)| \sqrt{1 + \tan^2(t/2)}$
$L = a(2 \sin^2(t/2)) \sqrt{\sec^2(t/2)}$
$L = 2a \sin^2(t/2) \sec(t/2)$
કારણ કે $\sec(t/2) = \frac{1}{\cos(t/2)}$,તેથી:
$L = 2a \sin(t/2) \cdot \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} = 2a \sin(t/2) \tan(t/2)$.

(B) આપેલ વક્ર $y = e^{2x}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$.
બિંદુ $(0, 1)$ આગળ ઢાળ $m$ છે: $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 1)$ અને ઢાળ $m = 2$ હોય તેવા સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - y_1 = m(x - x_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $y - 1 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 1$.
સ્પર્શક $x-$અક્ષને જ્યાં મળે છે ત્યાં $y = 0$ લેતા:
$0 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -1/2$.
આમ,સ્પર્શક $x-$અક્ષને $(-1/2, 0)$ બિંદુએ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(1 + x^2)y = 2 - x$ ......$(i)$
તે $x$-અક્ષને ત્યાં છેદે છે જ્યાં $y = 0$. $(i)$ માં $y = 0$ મૂકતા:
$0 = 2 - x \Rightarrow x = 2$.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને $(2, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
હવે,$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$y = \frac{2 - x}{1 + x^2}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^2)(-1) - (2 - x)(2x)}{(1 + x^2)^2}$
$= \frac{-1 - x^2 - 4x + 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(1 + x^2)^2}$.
$(2, 0)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2, 0)} = \frac{2^2 - 4(2) - 1}{(1 + 2^2)^2} = \frac{4 - 8 - 1}{25} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.
$(2, 0)$ બિંદુએ અને $m = -\frac{1}{5}$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)$
$5y = -x + 2$
$x + 5y = 2$.

(C) આપેલ વક્રો $y = x^2$ અને $6y = 7 - x^3$ છે.
વક્ર $y = x^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 2(1) = 2$ થાય.
વક્ર $6y = 7 - x^3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{2}$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = -\frac{1^2}{2} = -\frac{1}{2}$ થાય.
અહીં $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,બંને વક્રો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,છેદકોણ $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 2x^2 - x + 1$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 4x - 1$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખા $y = 3x + 4$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = 3$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,આપણે વિકલનને રેખાના ઢાળ સાથે સરખાવીએ:
$4x - 1 = 3$
$4x = 4$
$x = 1$
હવે,$P$ નો $y$-યામ શોધવા માટે $x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2(1)^2 - (1) + 1$
$y = 2 - 1 + 1 = 2$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(1, 2)$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $xy = c^2$ $(i)$
કોઈપણ વક્ર પરના બિંદુ $(x, y)$ આગળ સબનોર્મલનું સૂત્ર છે: $\text{Subnormal} = y \frac{dy}{dx}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = \frac{c^2}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત સબનોર્મલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Subnormal} = y \left( -\frac{c^2}{x^2} \right)$
કારણ કે $x = \frac{c^2}{y}$,તેથી $x$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\text{Subnormal} = y \left( -\frac{c^2}{(\frac{c^2}{y})^2} \right) = y \left( -\frac{c^2}{\frac{c^4}{y^2}} \right)$
$= y \left( -\frac{c^2 y^2}{c^4} \right) = -\frac{y^3}{c^2}$
અહીં $c$ અચળ હોવાથી,સબનોર્મલનું મૂલ્ય $y^3$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ ${y^2} = 5x - 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 5$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2y}$.
બિંદુ $(1, -2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{5}{2(-2)} = -\frac{5}{4}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-5/4} = \frac{4}{5}$ થાય.
બિંદુ $(1, -2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(y - (-2)) = \frac{4}{5}(x - 1)$ મળે.
$5(y + 2) = 4(x - 1) \implies 5y + 10 = 4x - 4$.
પદોને ગોઠવતા,$4x - 5y - 14 = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $ax - 5y + b = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ અને $b = -14$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 6x - x^2$ છે .....$(i)$
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = 6 - 2x$
આપેલ રેખા $4x - 2y - 1 = 0$ છે,જેને $2y = 4x - 1$ અથવા $y = 2x - 0.5$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = 2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{dy}{dx} = 2$
$6 - 2x = 2$
$2x = 4$
$x = 2$
હવે,$y$-યામ શોધવા માટે $x = 2$ ને વક્રના સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 6(2) - (2)^2 = 12 - 4 = 8$
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(2, 8)$ છે.

(D) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$.
પ્રથમ,આપણે $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
બિંદુ $(a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - a)$.
જો આપણે સમીકરણમાં બિંદુ $(a, 0)$ મૂકીએ:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (a - a)$
$0 = 0$.
આમ,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) વક્રના પ્રચલ સમીકરણો આપેલ છે: $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$
હવે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(\pi/2)}{1 + \cos(\pi/2)} = \frac{1}{1 + 0} = 1$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ $y$ ની કિંમત $y = a(1 - \cos(\pi/2)) = a(1 - 0) = a$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $ST = \left| \frac{y}{dy/dx} \right| = \left| \frac{a}{1} \right| = a$.
અભિલંબની લંબાઈ $SN = |y \cdot \frac{dy}{dx}| = |a \cdot 1| = a$.
આમ,$ST = a$ અને $SN = a$ હોવાથી,$ST = SN$ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $x + y = e^{xy}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = e^{xy} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = y e^{xy} + x e^{xy} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 - x e^{xy}) = y e^{xy} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y e^{xy} - 1}{1 - x e^{xy}}$
જ્યારે સ્પર્શક $y-$ અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોય છે,જે છેદ શૂન્ય થવાથી મળે છે:
$1 - x e^{xy} = 0$
$x e^{xy} = 1$
$e^{xy} = x + y$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$x(x + y) = 1$
$x^2 + xy = 1$
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 0)$ માટે: $1^2 + (1)(0) = 1 + 0 = 1$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,બિંદુ $(1, 0)$ પર સ્પર્શક $y-$ અક્ષને સમાંતર છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,સ્પર્શકનો ઢાળ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x$ ... $(i)$
સ્પર્શક અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી નમનકોણ $\theta = 45^\circ$ અથવા $135^\circ$ (એટલે કે $\pm 45^\circ$) થાય.
તેથી,ઢાળ $m = \tan(\pm 45^\circ) = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{dy}{dx} = 1$
$2x^2 + x = 1 \implies 2x^2 + x - 1 = 0$
$(2x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $2$: $\frac{dy}{dx} = -1$
$2x^2 + x = -1 \implies 2x^2 + x + 1 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ હોવાથી,આ કિસ્સામાં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
હવે,અનુરૂપ $y$-યામ શોધીએ:
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$.
$x = -1$ માટે,$y = \frac{2}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
તેથી,માંગેલ બિંદુઓ $\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{24} \right)$ અને $\left( -1, -\frac{1}{6} \right)$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{3y^2 - 12} = \frac{2x}{4 - y^2}$.
સ્પર્શક શિરોલંબ ($y$-અક્ષને સમાંતર) હોય તે માટે,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,જે છેદ શૂન્ય થાય ત્યારે મળે છે:
$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 2$,તો $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -2$,તો $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,બિંદુઓ $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2 = x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{2y_1}$ છે.
સ્પર્શક $x-$ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા,$\frac{1}{2y_1} = 1$,જે આપણને $y_1 = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$y_1 = \frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણ $y^2 = x$ માં મૂકતા,$x_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y = 2 + 4x - 4x^2$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + 4x - 4x^2) = 4 - 8x$.
અહીં સ્પર્શકનો ઢાળ $-4$ આપેલ છે.
તેથી,$4 - 8x = -4$.
$-8x = -8 \Rightarrow x = 1$.
હવે,$x = 1$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને અનુરૂપ $y$-યામ શોધીએ:
$y = 2 + 4(1) - 4(1)^2 = 2 + 4 - 4 = 2$.
સ્પર્શબિંદુ $(1, 2)$ છે.
$m = -4$ ઢાળવાળા અને $(1, 2)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 2 = -4(x - 1)$
$y - 2 = -4x + 4$
$4x + y - 6 = 0$.

(D) આપેલ વક્ર $2y = 3 - x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2 \frac{dy}{dx} = -2x$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -x$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = -1$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{1}{-1} = 1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 1) = 1(x - 1)$ થશે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$y - 1 = x - 1$,એટલે કે $x - y = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = -\frac{2}{x - 3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x - 3)^2}$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{(x - 3)^2} = 2$ લેતા.
આથી $(x - 3)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x - 3 = \pm 1$.
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = 2$.
$x = 4$ માટે,$y = -\frac{2}{4 - 3} = -2$. બિંદુ $(4, -2)$ મળે છે.
$x = 2$ માટે,$y = -\frac{2}{2 - 3} = 2$. બિંદુ $(2, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $(4, -2)$ આગળ $2$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2 = 2x - 8$ એટલે કે $y - 2x + 10 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ $2$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 2 = 2x - 4$ એટલે કે $y - 2x + 2 = 0$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$y - 2x + 10 = 0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
આપેલ વક્ર $y = x^3 + 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 3x_1^2$ છે.
આપેલ રેખા $x + 3y = 2$ છે,જેને $3y = -x + 2$ અથવા $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
તેથી,$(3x_1^2) \times (-\frac{1}{3}) = -1$.
$-x_1^2 = -1 \implies x_1^2 = 1 \implies x_1 = \pm 1$.
જો $x_1 = 1$ હોય,તો $y_1 = (1)^3 + 5 = 6$.
જો $x_1 = -1$ હોય,તો $y_1 = (-1)^3 + 5 = 4$.
આમ,બિંદુઓ $(1, 6)$ અને $(-1, 4)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = x^3$ માટે $x = 8$ લેતા.
$x = 8$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 = 8^3 = 512$,તેથી $y = \pm \sqrt{512} = \pm 16\sqrt{2}$.
બિંદુઓ $(8, 16\sqrt{2})$ અને $(8, -16\sqrt{2})$ મળે છે.
$y^2 = x^3$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$.
બિંદુ $(8, \pm 16\sqrt{2})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{3(8)^2}{2(\pm 16\sqrt{2})} = \frac{3 \times 64}{\pm 32\sqrt{2}} = \pm 3\sqrt{2}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \mp \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(8, \pm 16\sqrt{2})$ માટે: $(y \mp 16\sqrt{2}) = \mp \frac{1}{3\sqrt{2}}(x - 8)$.
બંને બાજુ $\mp 3\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\mp 3\sqrt{2}y + 96 = x - 8$.
તેથી,$x \pm 3\sqrt{2}y = 104$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = \sin x$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \cos x$.
હવે,બિંદુ $(\pi, 0)$ આગળ ઢાળ મેળવતા: $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(\pi, 0)} = \cos(\pi) = -1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (\pi, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -1$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = -1(x - \pi)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y = -x + \pi$ મળે,જેને $x + y = \pi$ તરીકે લખી શકાય.

(A) વક્ર $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ થાય છે.
$(i)$ જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો $\frac{dy}{dx} = 0$. આથી $y = 0$ મળે. વક્રના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$\sqrt{x} = \sqrt{a}$ મળે,તેથી $x = a$. બિંદુ $(a, 0)$ છે.
$(ii)$ જો સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો $\frac{dy}{dx} = \infty$. આથી $x = 0$ મળે. વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,$\sqrt{y} = \sqrt{a}$ મળે,તેથી $y = a$. બિંદુ $(0, a)$ છે.
$(iii)$ જો સ્પર્શક બંને અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે,તો તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \pm 1$ થાય. તેથી,$-\sqrt{\frac{y}{x}} = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y}{x} = 1$,એટલે કે $y = x$. વક્રના સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા,$2\sqrt{x} = \sqrt{a}$ મળે,તેથી $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{a}}{2}$,એટલે કે $x = \frac{a}{4}$. $y = x$ હોવાથી,$y = \frac{a}{4}$. બિંદુ $(\frac{a}{4}, \frac{a}{4})$ છે.
આમ,બિંદુઓ $(a, 0), (0, a), (a/4, a/4)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x = a(t + \sin t)$ અને $y = a(1 - \cos t)$ છે.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t) = a(2 \cos^2 \frac{t}{2}) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a(\sin t) = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy} = -\cot \frac{t}{2}$ થાય.
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}|$ છે.
$|y \sqrt{1 + \tan^2 \frac{t}{2}}| = |y \sec \frac{t}{2}|$ થાય.
$y = a(1 - \cos t) = 2a \sin^2 \frac{t}{2}$ કિંમત મૂકતા:
અભિલંબની લંબાઈ $= |2a \sin^2 \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{\cos \frac{t}{2}}| = |2a \sin \frac{t}{2} \tan \frac{t}{2}|$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 2 \sin x + \sin 2x$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
$x = \pi / 3$ આગળ,ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi / 3} = 2 \cos(\pi / 3) + 2 \cos(2\pi / 3) = 2(1/2) + 2(-1/2) = 1 - 1 = 0$.
હવે,$x = \pi / 3$ આગળ $y$-યામ શોધો:
$y = 2 \sin(\pi / 3) + \sin(2\pi / 3) = 2(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3} + \sqrt{3}/2 = 3\sqrt{3}/2$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અને $m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
અહીં $m = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $y - 3\sqrt{3}/2 = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = 3\sqrt{3}/2$ અથવા $2y = 3\sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $by^2 = (x + a)^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2by \frac{dy}{dx} = 3(x + a)^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x + a)^2}{2by}$
અવાભિલંબ $SN$ ની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા મળે છે:
$SN = y \cdot \frac{3(x + a)^2}{2by} = \frac{3(x + a)^2}{2b}$
અવસ્પર્શક $ST$ ની લંબાઈ $|y / \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા મળે છે:
$ST = y \cdot \frac{2by}{3(x + a)^2} = \frac{2by^2}{3(x + a)^2}$
કારણ કે $by^2 = (x + a)^3$,આપણે તેને $ST$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$ST = \frac{2(x + a)^3}{3(x + a)^2} = \frac{2(x + a)}{3}$
આપણને સંબંધ $p(SN) = q(ST)^2$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p}{q} = \frac{(ST)^2}{SN}$.
$SN$ અને $ST$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{2(x + a)}{3})^2}{\frac{3(x + a)^2}{2b}} = \frac{\frac{4(x + a)^2}{9}}{\frac{3(x + a)^2}{2b}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{8b}{27}$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9$.
જ્યારે સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય લેતા: $3x^2 - 6x - 9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 1) = 0$.
આથી $x = 3$ અને $x = -1$ મળે છે.
$x = -1$ માટે: $y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12$.
$x = 3$ માટે: $y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = -20$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(-1, 12)$ અને $(3, -20)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = 1 - e^{x/2}$ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ મેળવવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $y = 1 - e^{0/2} = 1 - 1 = 0$.
તેથી,છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - e^{x/2}) = -e^{x/2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}e^{x/2}$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{2}e^{0} = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$.
$y = -\frac{1}{2}x$.
$2y = -x$,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y^2 = 4ax$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ થાય.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $|y| \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2} = |2at| \sqrt{1 + t^2} = 2at\sqrt{t^2 + 1}$ છે (ધારો કે $t > 0$).
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \frac{dx}{dy}| = |2at \cdot t| = 2at^2$ થાય.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = be^{-x/a}$ છે.
$y$-અક્ષ પર છેદબિંદુ મેળવવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$y = be^0 = b$.
તેથી,છેદબિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot (-\frac{1}{a}) e^{-x/a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
બિંદુ $(0, b)$ આગળ ઢાળ $m$:
$m = (\frac{dy}{dx})_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$a$ વડે ગુણતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$a(y - b) = -bx \implies ay - ab = -bx \implies bx + ay = ab$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = 1 \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા:
$6x = (12 - 3y^2) \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2} = \frac{2x}{4 - y^2}$.
સ્પર્શક શિરોલંબ હોય ત્યારે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોય,જે છેદ શૂન્ય થવાથી મળે:
$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 2$ હોય,તો $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -2$ હોય,તો $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,જે શક્ય નથી.
આમ,જે બિંદુએ સ્પર્શક શિરોલંબ છે તે બિંદુઓ $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ છે.
$X$-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શક મેળવવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^2 + 2x + 5)^2} \cdot (2x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,$-(2x + 2) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$.
હવે,$y$-યામ શોધવા માટે $x = -1$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{(-1)^2 + 2(-1) + 5} = \frac{1}{1 - 2 + 5} = \frac{1}{4}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = \text{અચળ}$ એટલે કે $y = 1/4$ થાય.

(C) વક્ર $xy = 1$ આપેલ છે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ થાય.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{x}{y}$ થાય.
આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા,$-\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} = -\frac{x}{y}$.
કારણ કે $xy = 1$,તેથી કાં તો $x, y > 0$ અથવા $x, y < 0$ હોય.
જો $x, y > 0$ હોય,તો $\frac{x}{y} > 0$,તેથી $\frac{a}{b} < 0$ થાય. આ સ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય છે જો $a > 0, b < 0$ અથવા $a < 0, b > 0$ હોય.
જો $x, y < 0$ હોય,તો પણ $\frac{x}{y} > 0$,તેથી $\frac{a}{b} < 0$ થાય. આ સ્થિતિ પણ $a > 0, b < 0$ અથવા $a < 0, b > 0$ માટે જ શક્ય છે.
આમ,શરત $a < 0, b > 0$ અથવા $a > 0, b < 0$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = be^{-x/a}$ છે.
$y$-અક્ષને છેદતા બિંદુ માટે,$x = 0$ લેતા.
તેથી $y = be^0 = b$.
આમ,છેદબિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = b \cdot (-\frac{1}{a}) e^{-x/a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ મળે.
બિંદુ $(0, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, b)$ અને ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
$a$ વડે ગુણતા: $ay - ab = -bx$.
ગોઠવતા: $bx + ay = ab$.
$ab$ વડે ભાગતા: $\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}$.
આમ,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ મળે.