Increasing and Decreasing function Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $y = x^{1/x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$.
બધા $x > 0$ માટે $x^{1/x} > 0$ અને $x^2 > 0$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx}$ ની નિશાની $(1 - \ln x)$ પર આધાર રાખે છે.
$x \in (1, e)$ માટે,$\ln x < 1$,તેથી $1 - \ln x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} > 0$. આમ,$f(x)$ એ $(1, e)$ માં વધતું વિધેય છે.
$x \in (e, \infty)$ માટે,$\ln x > 1$,તેથી $1 - \ln x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} < 0$. આમ,$f(x)$ એ $(e, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - x^3 - x^5$ છે.
વિધેય ક્યાં ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^3 - x^5) = -3x^2 - 5x^4$.
આપણે પદમાંથી $-x^2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ: $f'(x) = -x^2(3 + 5x^2)$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી અને $(3 + 5x^2) > 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $-x^2(3 + 5x^2)$ હંમેશા $0$ કે તેથી ઓછો રહેશે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,બધા $x \neq 0$ માટે $f'(x) < 0$ અને $f'(0) = 0$ છે.
આમ,વિકલન તમામ $x$ માટે અ-ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે ઘટતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^x$,જ્યાં $x > 0$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = x \ln x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
તેથી,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
કારણ કે $x > 0$ માટે $x^x > 0$ છે,તેથી $f'(x) > 0$ માટે $1 + \ln x > 0$ થવું જોઈએ.
$\ln x > -1$.
$\ln x > \ln(e^{-1})$.
$x > \frac{1}{e}$.

(C) ધારો કે $f(x) = 2{x^3} - 6x + 5$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2{x^3} - 6x + 5) = 6{x^2} - 6$.
વિધેય ત્યારે વધતું હોય જ્યારે $f'(x) > 0$ હોય.
તેથી,$6{x^2} - 6 > 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને ${x^2} - 1 > 0$ મળે છે.
આના અવયવ પાડતા $(x - 1)(x + 1) > 0$ મળે છે.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x > 1$ અથવા $x < -1$ હોય.
આમ,વિધેય $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $f(x) = \sin(3x)$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,તેનું વિકલન ધન હોવું જોઈએ: $f'(x) > 0$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$.
$3\cos(3x) > 0$ લેતા,આપણને $\cos(3x) > 0$ મળે છે.
કોસાઇન વિધેય તેના ખૂણા માટે $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં ધન હોય છે.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$.
વિધેયના સ્વભાવને નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $f'(x)$ નો વિવેચક $D$ તપાસીએ:
$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$.
આપણને આપેલ છે કે $0 < b^2 < c$.
કારણ કે $b^2 < c$,તેથી $4b^2 < 4c$ થાય.
તેથી,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$.
કારણ કે $b^2 > 0$,તેથી $c$ પણ $0$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ (કારણ કે $c > b^2$).
આમ,$D < -8c < 0$.
કારણ કે વિવેચક $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક (જે $3$ છે) ધન છે,તેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
આમ,વિકલન $f'(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ચુસ્ત રીતે ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x$ એ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
અહીં $f'(x) = 1 > 0$ હોવાથી,તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે વિધેય $f(x)$ એ આપેલ અંતરાલ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 90x + 174$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 90x + 174) = 6x^2 - 6x + 90$.
આપણે પદાવલિમાંથી $6$ સામાન્ય કાઢી શકીએ: $f'(x) = 6(x^2 - x + 15)$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $6(x^2 - x + 15) > 0$,અથવા $x^2 - x + 15 > 0$.
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x + 15$ નો વિવેચક $D$ તપાસીએ. અહીં $a = 1, b = -1, c = 15$.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(15) = 1 - 60 = -59$.
જેથી વિવેચક $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક ધન $(1 > 0)$ છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 - x + 15$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,તમામ $x \in (-\infty, \infty)$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
આપણે વ્યસ્ત ટેન્જેન્ટની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)\right) = \tan^{-1}\left(\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$.
વિધેય ક્યાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sqrt{2} \sin(x + \pi/4))^2} \cdot \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
છેદ $1 + 2 \sin^2(x + \pi/4)$ હંમેશા ધન હોવાથી,આપણે માત્ર અંશ ધન હોવો જોઈએ:
$\sqrt{2} \cos(x + \pi/4) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(x + \pi/4) > 0$.
$x > 0$ માટે,કોસાઇન વિધેય ત્યારે ધન હોય છે જ્યારે ખૂણો પ્રથમ ચરણમાં હોય:
$0 < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ ની શરતને ધ્યાનમાં લેતા,અંતરાલ $(0, \pi/4)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે તપાસવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ધારો કે $u = e^{2x} - 1$ અને $v = e^{2x} + 1$. તેથી $u' = 2e^{2x}$ અને $v' = 2e^{2x}$ થાય.
$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{2x} > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય.
તેથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x} = 4x + \frac{1}{x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટતું છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x + \frac{1}{x} \right) = 4 - \frac{1}{x^2}$.
વિધેય ઘટતું હોય ત્યારે $f'(x) < 0$ થાય:
$4 - \frac{1}{x^2} < 0$
$4 < \frac{1}{x^2}$
$x^2 < \frac{1}{4}$
$|x| < \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.
વિધેય $x \neq 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,જે અંતરાલમાં વિધેય ઘટતું છે તે $\left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \cup \left( 0, \frac{1}{2} \right)$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ એ ઘટતા વિધેય માટે સૌથી યોગ્ય રજૂઆત છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ આપેલ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તે અંતરાલના તમામ $x$ માટે $f'(x) \ge 0$ છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ.
$(a)$ $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ માટે,$f'(x) = 6x - 2$. $f'(x) \ge 0$ લેતા $6x \ge 2$,એટલે કે $x \ge \frac{1}{3}$ મળે છે. વિધેય $[\frac{1}{3}, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે,$(-\infty, \frac{1}{3}]$ પર નહીં. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ ખોટી રીતે જોડાયેલ છે.
$(b)$ $f(x) = x^3 + 6x^2 + 6$ માટે,$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$. જ્યારે $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ હોય ત્યારે $f'(x) \ge 0$ થાય છે. તેથી,તે $(-\infty, -4]$ પર વધતું વિધેય છે.
$(c)$ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 3$ માટે,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $3(x - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,વિધેય $(-\infty, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.
$(d)$ $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ માટે,$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$. જ્યારે $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ હોય ત્યારે $f'(x) \ge 0$ થાય છે. તેથી,તે $[2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2 (e + x)(\pi + x)}$.
$t > 0$ માટે વિધેય $g(t) = t \ln(t)$ ધ્યાનમાં લો. તો $g'(t) = \ln(t) + 1$. $t > 1/e$ માટે,$g'(t) > 0$,તેથી $g(t)$ એ વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $\pi > e$,$x \ge 0$ માટે,આપણી પાસે $\pi + x > e + x > e > 1$ છે. આમ,$g(\pi + x) > g(e + x)$,જેનો અર્થ છે કે $(\pi + x)\ln(\pi + x) > (e + x)\ln(e + x)$.
તેથી,અંશ $(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x) < 0$ થાય,બધા $x \ge 0$ માટે.
છેદ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ બધા $x \in [0, \infty)$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $[0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) = -\sin 4x$.
$f'(x) > 0$ લેતા,$-\sin 4x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 4x < 0$.
સાઇન વિધેય અંતરાલ $(\pi, 2\pi)$ માં ઋણ હોય છે.
તેથી,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ આ વિસ્તારનો એક ભાગ છે,તેથી વિધેય આ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$
$f'(x)$ સામાન્ય લેતા:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3(f(x))^2]$
દ્વિઘાત પદાવલિ $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1$ નું વિશ્લેષણ કરવા માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરીએ:
$3(f(x))^2 - 2f(x) + 1 = 3 \left( (f(x))^2 - \frac{2}{3}f(x) + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$
કારણ કે $(f(x) - \frac{1}{3})^2 \ge 0$,તેથી પદ $(f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$h'(x) = 3f'(x) \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$.
કૌંસમાં રહેલું પદ હંમેશા ધન હોવાથી,$h'(x)$ ની નિશાની $f'(x)$ ની નિશાની જેવી જ રહેશે.
આમ,જ્યારે $f$ વધતું વિધેય હોય ત્યારે $h$ પણ વધતું વિધેય છે.

(D) $f(x)$ ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^2 + 1} e^{-t^2} dt = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^4 + 2x^2 + 1)} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2 + 1)} - 1 \right)$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-(2x^2 + 1)} < 1$ હોવાથી,પદ $(e^{-(2x^2 + 1)} - 1)$ હંમેશા ઋણ છે.
$f'(x) > 0$ માટે,$2x$ ઋણ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $x < 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(-\infty, 0)$ માં વધે છે.

(A) વિધેય $f(x) = x^3 + 5x^2 - 1$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તે અંતરાલ શોધવો પડે જ્યાં તેનું વિકલન $f'(x) < 0$ હોય.
સૌ પ્રથમ,$f(x)$ નું વિકલન શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 - 1) = 3x^2 + 10x$
હવે,વિકલનને શૂન્ય કરતા નાનું લો:
$3x^2 + 10x < 0$
$x$ સામાન્ય લેતા:
$x(3x + 10) < 0$
અહીં નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = -\frac{10}{3}$ છે.
સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતરાલો તપાસીએ:
$x < -\frac{10}{3}$ માટે,$f'(x) > 0$ છે.
$-\frac{10}{3} < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$ છે.
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$ છે.
આમ,વિધેય $(-\frac{10}{3}, 0)$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = \cos x$.
હવે,$x = 2\pi / 3$ આગળ વિકલનનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f'(2\pi / 3) = \cos(2\pi / 3) = -1/2$.
અહીં $f'(2\pi / 3) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 2\pi / 3$ ની આસપાસ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,આ બિંદુએ વિધેય એકસૂત્રી ઘટતું છે.

(C) વિધેય $f(x) = x^9 + 3x^7 + 64$ ક્યાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^9 + 3x^7 + 64) = 9x^8 + 21x^6$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^8 \geq 0$ અને $x^6 \geq 0$ હોવાથી,$9x^8 + 21x^6 \geq 0$ થાય,જ્યાં $x \in \mathbb{R}$.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,બધા $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે અને $f'(0) = 0$ છે.
વિકલન બધા $x$ માટે અઋણ હોવાથી અને કોઈ પણ અંતરાલ પર શૂન્ય ન થતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x$ ના બધા વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ છે.
$x > 0$ માટે,વિકલન $f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 3) = 1$ મળે છે.
અહીં $f'(x) = 1 > 0$ હોવાથી,$x > 0$ અંતરાલ માટે વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $x > 0$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) વિધાન $S$ માટે: અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં,$\sin x$ નું વિકલિત $\cos x$ છે,જે ઋણ છે. તેથી,$\sin x$ ઘટતું વિધેય છે. $\cos x$ નું વિકલિત $-\sin x$ છે,જે આ અંતરાલમાં ઋણ છે. તેથી,$\cos x$ પણ ઘટતું વિધેય છે. આમ,$S$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે: અંતરાલ $(1, 2)$ માટે વિધેય $f(x) = \frac{1}{x}$ ધ્યાનમાં લો. અહીં,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ છે,જે ઋણ છે,તેથી $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે. જોકે,$f''(x) = \frac{2}{x^3}$ છે,જે $x \in (1, 2)$ માટે ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ વધતું વિધેય છે. તેથી,વિધાન $R$ ખોટું છે.

(A) અહીં વિધેય $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ આપેલ છે.
વિધેય વધતું છે કે નહીં તે જાણવા માટે આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{ax} + e^{-ax}) = a e^{ax} - a e^{-ax}$.
$a e^{-ax}$ સામાન્ય લેતા:
$f'(x) = a e^{-ax} (e^{2ax} - 1)$.
વિધેય વધતું હોવા માટે $f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં $a > 0$ અને $e^{-ax} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(e^{2ax} - 1)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$e^{2ax} - 1 > 0$ લેતા,$e^{2ax} > 1$ મળે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$2ax > \ln(1) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$2a$ વડે ભાગતા $x > 0$ મળે.
આમ,$x > 0$ માટે વિધેય વધતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log x - \frac{2x}{2 + x}$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{2 + x}\right)$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(2)(2 + x) - (2x)(1)}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2 + x)^2 - 4x}{x(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x^2 + 4x - 4x}{x(2 + x)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(2 + x)^2}$
અહીં $x^2 + 4 > 0$ અને $(2 + x)^2 > 0$ છે,અને $\log x$ ના પ્રદેશ મુજબ $x > 0$ હોવું જોઈએ.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{x^2 + 4}{x(2 + x)^2} > 0 \implies x > 0$.
આમ,વિધેય $(0, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $3\sin x - 4\sin^3 x = \sin(3x)$.
તેથી,$f(x) = \sin(3x)$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલન ધન હોવું જોઈએ: $f'(x) > 0$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$.
આપણે $3\cos(3x) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(3x) > 0$.
કોસાઇન વિધેય $(-\pi/2, \pi/2)$ અંતરાલમાં ધન હોય છે.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.

(A) જ્યારે $f(x) = \sin x$ એ $g(x) = \cos x$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે,ત્યારે તેમના વિકલિતોની સરખામણી કરતા,$f'(x) < g'(x)$ થાય.
અહીં $f'(x) = \cos x$ અને $g'(x) = -\sin x$ છે.
તેથી,$\cos x < -\sin x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x + \cos x < 0$.
આ અસમતાને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x < 0$ મળે,જે $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$ છે.
આ અસમતા ત્યારે સાચી પડે જ્યારે $\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi$ અથવા $-\pi < x + \frac{\pi}{4} < 0$ હોય.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $-\frac{5\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,અંતરાલ $\left( -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right)$ આ શ્રેણીનો એક ભાગ છે.
તેથી,અંતરાલ $\left( -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right)$ માં $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઓછી ઝડપથી વધે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોય જો $f'(x) > 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 27x + 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 - 27$ મળે છે.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ લેતા:
$3x^2 - 27 > 0$
$3(x^2 - 9) > 0$
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|x| > 3$ મળે છે.
આમ,વિધેય $|x| > 3$ માટે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = x^4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 4x^3$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $\frac{dy}{dx} > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $4x^3 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x > 0$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વધે છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે $\frac{dy}{dx} < 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $4x^3 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $x < 0$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, 0)$ માં ઘટે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x - \cos x$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે જાણવા માટે આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
આને આપણે $f'(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \pi /4)$ તરીકે લખી શકીએ.
વિધેય ત્યારે જ વધતું હોય જ્યારે $f'(x) > 0$ થાય.
$\sqrt{2} \sin(x + \pi /4) > 0 \implies \sin(x + \pi /4) > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta > 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $\theta \in (0, \pi)$ હોય,તેથી $0 < x + \pi /4 < \pi$.
દરેક પદમાંથી $\pi /4$ બાદ કરતા,આપણને $-\pi /4 < x < 3\pi /4$ મળે છે.
આમ,વિધેય $x \in (-\pi /4, 3\pi /4)$ અંતરાલમાં એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.

(D) વિધેય $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 1) = 6x^2 - 30x + 36$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 30x + 36 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 5x + 6 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x - 3) < 0$ મળે છે.
અસમતા $(x - 2)(x - 3) < 0$ ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(2, 3)$ માં ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ છે.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ.
ધારો કે $u = e^{2x} - 1$ અને $v = e^{2x} + 1$. તેથી $u' = 2e^{2x}$ અને $v' = 2e^{2x}$ થાય.
$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{2x} > 0$ હોવાથી,$4e^{2x} > 0$ અને $(e^{2x} + 1)^2 > 0$ થાય.
તેથી,બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
વિકલિત ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$.
$f(x)$ એ દરેક $x \in R$ માટે ઘટતું વિધેય હોય,તો $f'(x) \leq 0$ થવું જોઈએ.
$f'(x) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a$.
$f'(x) \leq 0$ માટે,$x^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$1$) $a + 2 < 0 \implies a < -2$.
$2$) $D = (-6a)^2 - 4(3(a + 2))(9a) \leq 0$.
$36a^2 - 108a(a + 2) \leq 0$.
$36a^2 - 108a^2 - 216a \leq 0$.
$-72a^2 - 216a \leq 0$.
$-72$ વડે ભાગતા (અસમતા બદલાશે):
$a^2 + 3a \geq 0$.
$a(a + 3) \geq 0$.
આથી $a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$.
બંને શરતો $a < -2$ અને $a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$ ને ધ્યાનમાં લેતા,છેદગણ $a \in (-\infty, -3]$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$.
વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલન કરતા: $f'(x) = 3Kx^2 + 18x + 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3Kx^2 + 18x + 9 \geq 0$ એ દરેક $x \in R$ માટે સાચું હોવું જોઈએ.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $Kx^2 + 6x + 3 \geq 0$.
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c \geq 0$ એ દરેક $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D = b^2 - 4ac \leq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = K$,$b = 6$,અને $c = 3$.
શરત $1$: $K > 0$.
શરત $2$: $D = 6^2 - 4(K)(3) \leq 0$.
$36 - 12K \leq 0$.
$36 \leq 12K$.
$K \geq 3$.
$K > 0$ અને $K \geq 3$ ને જોડતા,આપણને $K \geq 3$ મળે છે.
આમ,$K \geq 3$ માટે વિધેય વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - x + 1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 2x - 1$.
વિધેય એકસૂત્રીય હોય તે માટે,અંતરાલમાં $f'(x)$ કાં તો અઋણ $(f'(x) \ge 0)$ અથવા અનૃણ $(f'(x) \le 0)$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,$2x - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1/2$.
$x < 1/2$ માટે,$f'(x) < 0$ (વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે).
$x > 1/2$ માટે,$f'(x) > 0$ (વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું છે).
કોઈપણ અંતરાલ કે જેમાં $x = 1/2$ નો સમાવેશ થતો હોય,જેમ કે $(0, 1)$,તેમાં વિકલિતની નિશાની બદલાય છે. તેથી,જે અંતરાલમાં $1/2$ બિંદુનો સમાવેશ થાય છે,તેમાં વિધેય એકસૂત્રીય નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{(\ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(\ln x)^2 > 0$ હોવાથી (જ્યાં $x > 0$ અને $x \neq 1$),$f'(x) > 0$ ની શરત પરથી:
$\ln x - 1 > 0$
$\ln x > 1$
$x > e$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(e, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ છે.
વિધેય વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{(e^{2x} + 1)(2e^{2x}) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{2x} > 0$ હોવાથી,અંશ $4e^{2x}$ હંમેશા ધન છે અને છેદ $(e^{2x} + 1)^2$ પણ હંમેશા ધન છે.
તેથી,દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
વિકલિત ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = (x(x - 2))^2 = (x^2 - 2x)^2$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 2x(x - 2) \cdot 2(x - 1) = 4x(x - 1)(x - 2)$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે:
$4x(x - 1)(x - 2) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 2$ દ્વારા મળતા અંતરાલોમાં $f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$1$. $x \in (0, 1)$ માટે: $f'(x) = 4(+)(-)(-) > 0$.
$2$. $x \in (1, 2)$ માટે: $f'(x) = 4(+)(+)(-) < 0$.
$3$. $x \in (2, \infty)$ માટે: $f'(x) = 4(+)(+)(+) > 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(0, 1) \cup (2, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x - \log x$ છે.
વિધેય એકસૂત્રી ઘટતું હોય તે માટે તેનું વિકલન $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \log x) = 1 - \frac{1}{x}$.
હવે,$1 - \frac{1}{x} < 0$ લેતા,
$\frac{x - 1}{x} < 0$.
અહીં $\log x$ ના પ્રદેશ મુજબ $x > 0$ હોવાથી,છેદ $x$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,અંશ $x - 1 < 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x < 1$.
આમ,$x > 0$ અને $x < 1$ ને જોડતા આપણને $x \in (0, 1)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + kx + 1$ છે.
વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[1, 2]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવા માટે,તેનું વિકલિત $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $x \in [1, 2]$.
વિકલિત મેળવતા: $f'(x) = 2x + k$.
શરત મુજબ: $2x + k > 0$ દરેક $x \in [1, 2]$ માટે.
આનો અર્થ એ થાય કે $k > -2x$ દરેક $x \in [1, 2]$ માટે.
આ શરતનું પાલન કરવા માટે,$k$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ પર $-2x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
વિધેય $g(x) = -2x$ એ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $[1, 2]$ પર તેની મહત્તમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે છે.
આમ,$g(1) = -2(1) = -2$.
તેથી,$k > -2$. આમ $k$ ની ન્યૂનત્તમ કિંમત $-2$ છે.

(D) અહીં $f(x) = xe^{x(1-x)}$ આપેલ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = e^{x(1-x)} \cdot (1) + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1)$
$f'(x) = -2e^{x(1-x)} (x + \frac{1}{2})(x - 1)$.
જ્યારે $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ હોય,ત્યારે $(x + \frac{1}{2}) \ge 0$ અને $(x - 1) \le 0$ થાય.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર $(x + \frac{1}{2})(x - 1) \le 0$ થાય.
અહીં $-2e^{x(1-x)}$ હંમેશા ઋણ હોવાથી,$f'(x) \le 0$ દરેક $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ માટે મળે છે.
આમ,$f(x)$ એ $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(D) વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ ક્યારે ચુસ્ત વધે છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
છેદ $1 + (\sin x + \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,શરત $f'(x) > 0$ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\cos x - \sin x > 0$
$\cos x > \sin x$
નિત્યસમ $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{2} \cos(x + \pi/4) > 0$
આ શરત ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $-\pi/2 < x + \pi/4 < \pi/2$ હોય.
બધી બાજુથી $\pi/4$ બાદ કરતા:
$-\pi/2 - \pi/4 < x < \pi/2 - \pi/4$
$-3\pi/4 < x < \pi/4$
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,અંતરાલ $0 < x < \pi/4$ એ આપેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - x^3 - x^5$ છે.
વિધેય ક્યાં ઘટતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^3 - x^5) = -3x^2 - 5x^4$.
આપણે $-x^2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ:
$f'(x) = -x^2(3 + 5x^2)$.
અહીં $x^2 \geq 0$ અને $(3 + 5x^2) > 0$ એ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે,તેથી $f'(x) = -x^2(3 + 5x^2) \leq 0$ એ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે થાય છે.
આમ,$f'(x) \leq 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \cos x - ax + b$.
વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલિત $f'(x) \le 0$ થવું જોઈએ,દરેક $x \in R$ માટે.
$f'(x) = \cos x + \sin x - a$.
$f(x)$ ઘટતું હોવાથી,$f'(x) \le 0 \implies \cos x + \sin x - a \le 0$.
આથી,$a \ge \sin x + \cos x$ દરેક $x \in R$ માટે.
પદ $(\sin x + \cos x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,અસમતા $a \ge \sin x + \cos x$ દરેક $x$ માટે સાચી ઠરે તે માટે,$a$ ની કિંમત $(\sin x + \cos x)$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આમ,$a \ge \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log y = x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ મળે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$\frac{dy}{dx} < 0$ હોવું જોઈએ.
$x > 0$ માટે $x^x > 0$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} < 0$ ની શરતનો અર્થ છે કે $1 + \log x < 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\log x < -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\log x < \log(e^{-1})$.
તેથી,$x < 1/e$.
$x^x$ નો પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,જે અંતરાલમાં વિધેય ઘટતું હોય તે $(0, 1/e)$ છે.

(D) દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $f(x) = x + |x|$ માટે:
જો $x \ge 0$ હોય,તો $f(x) = x + x = 2x$,જે વધતું વિધેય છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $f(x) = x - x = 0$,જે અચળ છે.
આમ,$f(x)$ એ એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.
$2$. $f(x) = x - |x|$ માટે:
જો $x \ge 0$ હોય,તો $f(x) = x - x = 0$,જે અચળ છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $f(x) = x - (-x) = 2x$,જે વધતું વિધેય છે.
આમ,$f(x)$ એ એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.
$3$. $f(x) = x|x|$ માટે:
જો $x \ge 0$ હોય,તો $f(x) = x^2$,જે $x \ge 0$ માટે વધતું વિધેય છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $f(x) = -x^2$,જે $x < 0$ માટે વધતું વિધેય છે.
વિકલન $f'(x) = 2|x| \ge 0$ હોવાથી,તે એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.
ત્રણેય વિધેયો એકસૂત્રી વધતા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = 2x^2 - \log |x|$ છે.
એકસૂત્રી વધતા વિધેય માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log |x|) = 4x - \frac{1}{x}$.
વિધેય એકસૂત્રી વધે તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$4x - \frac{1}{x} > 0 \implies \frac{4x^2 - 1}{x} > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે અંશ અને છેદ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.
કિસ્સો $1$: $x > 0$. તો $4x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1/4 \implies x > 1/2$.
કિસ્સો $2$: $x < 0$. તો $4x^2 - 1 < 0 \implies x^2 < 1/4 \implies |x| < 1/2 \implies -1/2 < x < 0$.
આમ,વિધેય $(-1/2, 0) \cup (1/2, \infty)$ અંતરાલમાં વધે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
$= \frac{3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
$= \frac{3\lambda(\cos^2 x + \sin^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} = \frac{3\lambda - 12}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત વધતું હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય.
છેદ $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$3\lambda - 12 > 0$ હોવું જોઈએ.
$3\lambda > 12 \implies \lambda > 4$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$,જ્યાં $x \neq -1$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.
બધા $x \in R - \{-1\}$ માટે $(x + 1)^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$ થાય છે.
પ્રદેશના તમામ $x$ માટે વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો તેનું વિકલન $f'(x)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $0$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 6x^2 + (9 + 2K)x + 1$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = 3x^2 + 12x + (9 + 2K)$.
$f'(x) > 0$ તમામ $x$ માટે હોવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c$ માં $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 3 > 0$,જે શરત સંતોષાય છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$:
$D = (12)^2 - 4(3)(9 + 2K) < 0$
$144 - 12(9 + 2K) < 0$
$12$ વડે ભાગતા:
$12 - (9 + 2K) < 0$
$12 - 9 - 2K < 0$
$3 - 2K < 0$
$3 < 2K$
$K > \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = a e^{ax} - a e^{-ax} = a(e^{ax} - e^{-ax})$.
વિધેય એકસૂત્રીય ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં $a < 0$ હોવાથી,$a(e^{ax} - e^{-ax}) < 0$ થવા માટે $(e^{ax} - e^{-ax}) > 0$ હોવું જોઈએ.
આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $e^{ax} > e^{-ax}$ હોય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$ax > -ax$
$2ax > 0$.
અહીં $a < 0$ હોવાથી,$2a$ વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જશે:
$x < 0$.
તેથી,વિધેય $x < 0$ માટે એકસૂત્રીય ઘટતું વિધેય છે.