Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(A) दिए गए समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$5x - y + 4z = 5$
$2x + 3y + 5z = 2$
$5x - 2y + 6z = -1$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ:
$A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 5(3 \times 6 - (-2) \times 5) - (-1)(2 \times 6 - 5 \times 5) + 4(2 \times (-2) - 5 \times 3)$
$|A| = 5(18 + 10) + 1(12 - 25) + 4(-4 - 15)$
$|A| = 5(28) + 1(-13) + 4(-19)$
$|A| = 140 - 13 - 76 = 51$
चूँकि $|A| = 51 \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है और यह संगत है।

(B) दिए गए समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (5 \times 3) - (2 \times 7) = 15 - 14 = 1$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B$ का उपयोग करके $X$ ज्ञात करते हैं:
$X = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3 \times 4) + (-2 \times 5) \\ (-7 \times 4) + (5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 10 \\ -28 + 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$.
अतः,$x = 2$ और $y = -3$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरणों के निकाय को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में लिखा जा सकता है,जहाँ:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए मैट्रिक्स $A$ व्युत्क्रमणीय है।
$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है:
$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B$ का उपयोग करके $X$ का मान ज्ञात करें:
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (4)(-2) + (1)(3) \\ (-3)(-2) + (2)(3) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -8 + 3 \\ 6 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{11} \\ \frac{12}{11} \end{bmatrix}$.
अतः,$x = -\frac{5}{11}$ और $y = \frac{12}{11}$.

(D) दिए गए समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (4)(-5) - (-3)(3) = -20 + 9 = -11$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B$ का उपयोग करके $X$ का मान ज्ञात करें:
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (5)(3) + (-3)(7) \\ (3)(3) + (-4)(7) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 15 - 21 \\ 9 - 28 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -6 \\ -19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{19}{11} \end{bmatrix}$.
अतः,$x = -\frac{6}{11}$ और $y = -\frac{19}{11}$।

(A) दिए गए समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (5 \times 2) - (2 \times 3) = 10 - 6 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B$:
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (2 \times 3) + (-2 \times 5) \\ (-3 \times 3) + (5 \times 5) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 6 - 10 \\ -9 + 25 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -4 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$.
अतः,$x = -1$ और $y = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(10 + 3) - 1(-5 - 0) + 1(3 - 0) = 2(13) + 5 + 3 = 26 + 8 = 34 \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,निकाय का एक अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है।
सह-खंडों का मैट्रिक्स है:
$C_{11} = 13, C_{12} = 5, C_{13} = 3$
$C_{21} = 8, C_{22} = -10, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 3, C_{33} = -5$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 + 12 + 9 \\ 5 - 15 + 27 \\ 3 - 9 - 45 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 34 \\ 17 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$.
इसलिए,$x = 1, y = \frac{1}{2}, z = -\frac{3}{2}$.

(C) दिए गए समीकरणों की प्रणाली को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$,$X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B=\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1+3) - (-1)(2+3) + 1(2-1) = 4 + 5 + 1 = 10 \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम (inverse) मौजूद है।
अब,सह-कारक (cofactor) मैट्रिक्स $C$ ज्ञात करें:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
अतः,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$x=2, y=-1, z=1$.

(D) दिए गए समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(4 + 1) - 3(-2 - 3) + 3(-1 + 6) = 2(5) - 3(-5) + 3(5) = 10 + 15 + 15 = 40 \neq 0$.
चूँकि $|A| \neq 0$,निकाय का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ द्वारा प्राप्त होता है।
सहखंड (cofactors) इस प्रकार हैं:
$C_{11} = 5, C_{12} = 5, C_{13} = 5$
$C_{21} = 3, C_{22} = -13, C_{23} = 11$
$C_{31} = 9, C_{32} = 1, C_{33} = -7$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}$ है।
अब,$X = A^{-1}B = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 25 - 12 + 27 \\ 25 + 52 + 3 \\ 25 - 44 - 21 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$x = 1, y = 2, z = -1$ है।

(A) दिए गए समीकरणों की प्रणाली को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$,$X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B=\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(12-5) - (-1)(9+10) + 2(-3-8) = 1(7) + 1(19) + 2(-11) = 7 + 19 - 22 = 4 \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,प्रणाली का एक अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है।
सहखंड मैट्रिक्स $C$ की गणना इस प्रकार है:
$C_{11} = 7, C_{12} = -19, C_{13} = -11$
$C_{21} = 1, C_{22} = -1, C_{23} = -1$
$C_{31} = -3, C_{32} = 11, C_{33} = 7$
अतः,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$x=2, y=1, z=3$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 2(-4 + 4) + 3(-6 + 4) + 5(3 - 2) = 0 - 6 + 5 = -1 \neq 0$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C = [C_{ij}]$ ज्ञात करें:
$C_{11} = 0, C_{12} = 2, C_{13} = 1$
$C_{21} = -1, C_{22} = -9, C_{23} = -5$
$C_{31} = 2, C_{32} = 23, C_{33} = 13$
अतः,$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix}$.
समीकरण निकाय $AX = B$ के रूप में है,जहाँ $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 - 5 + 6 \\ -22 - 45 + 69 \\ -11 - 25 + 39 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
अतः,$x=1, y=2, z=3$.

(A) माना प्याज,गेहूं और चावल की प्रति $kg$ कीमत क्रमशः $Rs \, x$,$Rs \, y$ और $Rs \, z$ है।
दी गई स्थिति को समीकरणों की प्रणाली के रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$4x + 3y + 2z = 60$
$2x + 4y + 6z = 90$
$6x + 2y + 3z = 70$
इस समीकरण प्रणाली को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix}$
$|A| = 4(12 - 12) - 3(6 - 36) + 2(4 - 24) = 0 + 90 - 40 = 50 \neq 0$
$A$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करने पर:
$A_{11} = 0, A_{12} = 30, A_{13} = -20$
$A_{21} = -5, A_{22} = 0, A_{23} = 10$
$A_{31} = 10, A_{32} = -20, A_{33} = 10$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 250 \\ 400 \\ 400 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}$
अतः,$x=5, y=8, z=8$। प्याज की कीमत $Rs \, 5/kg$,गेहूं की कीमत $Rs \, 8/kg$ और चावल की कीमत $Rs \, 8/kg$ है।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1(-2)+(-1)(9)+2(6) & 1(0)+(-1)(2)+2(1) & 1(1)+(-1)(-3)+2(-2) \\ 0(-2)+2(9)+(-3)(6) & 0(0)+2(2)+(-3)(1) & 0(1)+2(-3)+(-3)(-2) \\ 3(-2)+(-2)(9)+4(6) & 3(0)+(-2)(2)+4(1) & 3(1)+(-2)(-3)+4(-2)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}-2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ 0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = I$.
चूंकि $AB = I$,इसलिए $A^{-1} = B = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.
समीकरणों की प्रणाली को $AX = C$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ और $C = \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
अतः $X = A^{-1}C = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
$X = \left[\begin{array}{c}-2(1)+0(1)+1(2) \\ 9(1)+2(1)+(-3)(2) \\ 6(1)+1(1)+(-2)(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-2+0+2 \\ 9+2-6 \\ 6+1-4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\ 5 \\ 3\end{array}\right]$.
इस प्रकार,$x=0, y=5, z=3$.

(C) माना $\frac{1}{x}=p, \frac{1}{y}=q, \frac{1}{z}=r$ है।
दिए गए समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$2p+3q+10r=4$
$4p-6q+5r=1$
$6p+9q-20r=2$
इस प्रणाली को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 2(120-45) - 3(-80-30) + 10(36+36) = 2(75) - 3(-110) + 10(72) = 150 + 330 + 720 = 1200$ है।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ के सहखंडज (adj $A$) की गणना करने पर:
$A_{11} = 75, A_{12} = 110, A_{13} = 72$
$A_{21} = 150, A_{22} = -100, A_{23} = 0$
$A_{31} = 75, A_{32} = 30, A_{33} = -24$
$A^{-1} = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix}$ है।
$X = A^{-1}B = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 600 \\ 400 \\ 240 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/3 \\ 1/5 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$p=1/2, q=1/3, r=1/5$ है।
इसलिए,$x=2, y=3, z=5$ है।

(A) चूंकि $A, B, C$ सभी $2$ क्रम के वर्ग आव्यूह हैं,इसलिए $D$ भी $2$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह होगा।
माना $D=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$. तो $CD-AB=O$ से हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 7 & 4\end{array}\right]$
$AB$ का गुणनफल करने पर:
$AB = \left[\begin{array}{cc}2(5)+(-1)(7) & 2(2)+(-1)(4) \\ 3(5)+4(7) & 3(2)+4(4)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 43 & 22\end{array}\right]$
अब,$CD = \left[\begin{array}{cc}2a+5c & 2b+5d \\ 3a+8c & 3b+8d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 43 & 22\end{array}\right]$
आव्यूहों की समानता के अनुसार:
$2a+5c=3$ और $3a+8c=43$ (हल करने पर $a=-191, c=77$ प्राप्त होता है)
$2b+5d=0$ और $3b+8d=22$ (हल करने पर $b=-110, d=44$ प्राप्त होता है)
अतः,$D = \left[\begin{array}{cc}-191 & -110 \\ 77 & 44\end{array}\right]$।

(A) माना बिक्री मैट्रिक्स $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}$
माना मूल्य मैट्रिक्स $P$ इस प्रकार है:
$P = \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$
कुल राजस्व मैट्रिक्स $R$,$A \times P$ का गुणनफल है:
$R = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$
बाजार $I$ के लिए:
$10000 \times 2.50 + 2000 \times 1.50 + 18000 \times 1.00 = 25000 + 3000 + 18000 = 46000$
बाजार $II$ के लिए:
$6000 \times 2.50 + 20000 \times 1.50 + 8000 \times 1.00 = 15000 + 30000 + 8000 = 53000$
अतः,बाजार $I$ में कुल राजस्व रु. $46,000$ है और बाजार $II$ में रु. $53,000$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $X \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ है।
दाहिनी ओर का आव्यूह $2 \times 3$ है। इसलिए $X$ एक $2 \times 2$ आव्यूह होना चाहिए।
माना $X = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ है।
आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+4c & 2a+5c & 3a+6c \\ b+4d & 2b+5d & 3b+6d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $a+4c = -7$ और $2a+5c = -8$।
पहले समीकरण से,$a = -7-4c$। दूसरे में रखने पर: $2(-7-4c) + 5c = -8 \Rightarrow -14 - 8c + 5c = -8 \Rightarrow -3c = 6 \Rightarrow c = -2$।
अतः $a = -7 - 4(-2) = 1$।
$2$) $b+4d = 2$ और $2b+5d = 4$।
पहले समीकरण से,$b = 2-4d$। दूसरे में रखने पर: $2(2-4d) + 5d = 4 \Rightarrow 4 - 8d + 5d = 4 \Rightarrow -3d = 0 \Rightarrow d = 0$।
अतः $b = 2 - 4(0) = 2$।
इस प्रकार,$X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^{4} = (A^{2})^{2}$ की गणना करें:
$A^{4} = \left( 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
फिर,$A^{8} = (A^{4})^{2}$ की गणना करें:
$A^{8} = \left( 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
समीकरण निकाय $128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 64 \end{bmatrix}$ है।
इसका अर्थ है $128(x - y) = 8 \Rightarrow x - y = \frac{1}{16}$ और $128(-x + y) = 64 \Rightarrow -x + y = \frac{1}{2}$,अर्थात $x - y = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\frac{1}{16} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$kx + y + z = 1$
$x + ky + z = k$
$x + y + kz = k^2$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$
$= k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)$
$= (k - 1)^2(k + 2)$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,$\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ में से कम से कम एक शून्य नहीं होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण $x + y + z = 1$ बन जाते हैं,जो अनंत हल देते हैं।
यदि $k = -2$ है,तो $\Delta = 0$ होता है। अब $\Delta_1$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 9 \neq 0$.
अतः,$k = -2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - \lambda^2) + 1(1 - \lambda) + 2(\lambda + 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1$
$D = 0$ रखने पर:
$-2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \Rightarrow (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ या $\lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,इन मानों के लिए $D_x$ की जाँच करें:
$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -4 & -2 & \lambda \\ 4 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = -2\lambda^2 - 12\lambda + 8$
$\lambda = 1$ के लिए,$D_x = -6 \neq 0$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ के लिए,$D_x = 13.5 \neq 0$.
चूंकि दोनों मानों के लिए $D=0$ और $D_x \neq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,$S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ है,जिसमें ठीक दो अवयव हैं।

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = 1(-3 + 36) - 2(2 + 4) + 1(-18 - 3) = 33 - 12 - 21 = 0$.
चूँकि $|P| = 0$,निकाय $PX = 0$ के अनंत हल हैं।
समीकरण हैं:
$x + 2y + z = 0$ $(i)$
$-2x + 3y - 4z = 0$ (ii)
$x + 9y - z = 0$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर $2x + 11y = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2}y$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान $(i)$ में रखने पर: $-\frac{11}{2}y + 2y + z = 0 \Rightarrow z = \frac{7}{2}y$.
मान लीजिए $y = \lambda$,तो $x = -\frac{11}{2}\lambda$ और $z = \frac{7}{2}\lambda$.
दिया गया है $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$,मान रखने पर:
$(-\frac{11}{2}\lambda)^{2} + \lambda^{2} + (\frac{7}{2}\lambda)^{2} = 1$
$\frac{121}{4}\lambda^{2} + \lambda^{2} + \frac{49}{4}\lambda^{2} = 1$
$\frac{121 + 4 + 49}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \frac{174}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda^{2} = \frac{4}{174} = \frac{2}{87}$.
चूँकि $\lambda^{2} = \frac{2}{87}$,$\lambda$ के लिए दो संभावित मान हैं $(\lambda = \pm \sqrt{\frac{2}{87}})$।
अतः,$(x, y, z)$ के लिए ठीक दो हल प्राप्त होते हैं।

(D) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$x - 2y + 5z = 0$ $(1)$
$-2x + 4y + z = 0$ $(2)$
$-7x + 14y + 9z = 0$ $(3)$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \\ -7 & 14 & 9 \end{vmatrix} = 1(36 - 14) - (-2)(-18 + 7) + 5(-28 + 28) = 1(22) + 2(-11) + 0 = 22 - 22 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$,प्रणाली के अनंत हल हैं।
$(1)$ और $(2)$ से,हमें मिलता है:
$x - 2y = -5z$
$-2x + 4y = -z$
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,$2x - 4y = -10z$ प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण में जोड़ने पर $0 = -11z$ मिलता है,इसलिए $z = 0$.
$z = 0$ को $(1)$ में रखने पर,$x - 2y = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = 2y$.
मान लीजिए $y = k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है। तो $x = 2k$ और $z = 0$.
शर्त $15 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 150$ इस प्रकार हो जाती है:
$15 \leq (2k)^{2} + k^{2} + 0^{2} \leq 150$
$15 \leq 5k^{2} \leq 150$
$3 \leq k^{2} \leq 30$.
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^{2}$ का मान $4, 9, 16, 25$ हो सकता है।
अतः,$k \in \{ \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5 \}$.
$k$ के लिए $8$ संभावित मान हैं,जिनमें से प्रत्येक एक अद्वितीय हल $(x, y, z)$ के अनुरूप है।
इसलिए,$S$ में अवयवों की संख्या $8$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = 0$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(4\lambda + 2) - 1(2\lambda + 3) + 1(4 - 12) = 0$
$4\lambda + 2 - 2\lambda - 3 - 8 = 0$
$2\lambda - 9 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{9}{2}$.
इसके बाद,$\Delta_x = 0$ की गणना करें:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & -1 \\ \mu & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(4\lambda + 2) - 1(6\lambda + \mu) + 1(12 - 4\mu) = 0$
$\lambda = \frac{9}{2}$ रखने पर:
$2(18 + 2) - (27 + \mu) + 12 - 4\mu = 0$
$40 - 27 - \mu + 12 - 4\mu = 0$
$25 - 5\mu = 0 \Rightarrow \mu = 5$.
अब,$\lambda = 4.5$ और $\mu = 5$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$2\lambda + \mu = 2(4.5) + 5 = 9 + 5 = 14$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और सारणिक $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -7 & a \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
$1(a + 7) + 2(2a - 1) + 3(-14 - 1) = 0$
$a + 7 + 4a - 2 - 45 = 0$
$5a - 40 = 0 \Rightarrow a = 8$.
इसके बाद,$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & -2 & 3 \\ b & 1 & 1 \\ 24 & -7 & 8 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
$9(8 + 7) + 2(8b - 24) + 3(-7b - 24) = 0$
$9(15) + 16b - 48 - 21b - 72 = 0$
$135 - 5b - 120 = 0$
$15 - 5b = 0 \Rightarrow b = 3$.
अतः,$a - b = 8 - 3 = 5$.

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+y+3z=0$ $(i)$
$x+3y+k^{2}z=0$ (ii)
$3x+y+3z=0$ (iii)
शून्येतर हल के अस्तित्व के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & k^{2} \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(9 - k^{2}) - 1(3 - 3k^{2}) + 3(1 - 9) = 0$
$9 - k^{2} - 3 + 3k^{2} - 24 = 0$
$2k^{2} - 18 = 0$
$2k^{2} = 18 \Rightarrow k^{2} = 9$
अब,$k^{2} = 9$ को समीकरणों में रखने पर:
$(i)$ $x+y+3z=0$
(iii) $3x+y+3z=0$
(iii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(3x+y+3z) - (x+y+3z) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
$x=0$ को $(i)$ में रखने पर: $0 + y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$
अतः,$\frac{y}{z} = -3$
अंत में,$x + \frac{y}{z} = 0 + (-3) = -3$

(A) निकाय असंगत होता है यदि सारणिक $D = 0$ हो और $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ में से कम से कम एक शून्य न हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -4 & \lambda \\ 1 & -6 & 1 \\ \lambda & -10 & 4 \end{vmatrix} = 2(-24 + 10) + 4(4 - \lambda) + \lambda(-10 + 6\lambda)$
$D = 2(-14) + 16 - 4\lambda - 10\lambda + 6\lambda^{2} = 6\lambda^{2} - 14\lambda - 12 = 2(3\lambda + 2)(\lambda - 3)$.
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 3$ या $\lambda = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अब $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ की गणना करें:
$D_{1} = \begin{vmatrix} 1 & -4 & \lambda \\ 2 & -6 & 1 \\ 3 & -10 & 4 \end{vmatrix} = 1(-24 + 10) + 4(8 - 3) + \lambda(-20 + 18) = -14 + 20 - 2\lambda = 6 - 2\lambda = -2(\lambda - 3)$.
जब $\lambda = 3$ है,तो $D = 0$ और $D_{1} = 0$ होता है। $\lambda = 3$ के लिए $D_{2}$ और $D_{3}$ भी $0$ होते हैं,जिसका अर्थ है कि अनंत हल प्राप्त होते हैं।
जब $\lambda = -\frac{2}{3}$ है,तो $D = 0$ लेकिन $D_{1} = -2(-\frac{2}{3} - 3) = -2(-\frac{11}{3}) = \frac{22}{3} \neq 0$ होता है।
अतः,$\lambda = -\frac{2}{3}$ के लिए निकाय असंगत है,जो $\lambda$ का एक ऋणात्मक मान है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ की गणना करते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = 0$.
$2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1 = 0 \implies \lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 5$.
इसके बाद,हम $D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \\ \mu & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$ रखते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(10 - 9) - 1(25 - 3\mu) + 1(15 - 2\mu) = 0$.
$2(1) - 25 + 3\mu + 15 - 2\mu = 0$.
$2 - 10 + \mu = 0 \implies \mu - 8 = 0 \implies \mu = 8$.
अतः,$\lambda = 5$ और $\mu = 8$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है कि $AB = B$,जिसे $AB - B = O$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
यह इंगित करता है कि $(A - I)B = O$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $B \neq O$,आव्यूह $(A - I)$ को अव्युत्क्रमणीय (singular) होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $|A - I| = 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A - I| = \begin{vmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(d - 1) - bc = 0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $ad - a - d + 1 - bc = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमारे पास $ad - bc = a + d - 1$ है।
यह दिया गया है कि $a + d = 2021$,इसलिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$ad - bc = 2021 - 1 = 2020$।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ के बराबर होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} 4 & \lambda & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$4((-1)(3) - (1)(2)) - \lambda((2)(3) - (1)(\mu)) + 2((2)(2) - (-1)(\mu)) = 0$
$4(-5) - 6\lambda + \lambda\mu + 8 + 2\mu = 0$
$\lambda\mu - 6\lambda + 2\mu - 12 = 0$
$\lambda(\mu - 6) + 2(\mu - 6) = 0$
$(\lambda + 2)(\mu - 6) = 0$
इस समीकरण के किसी भी $\lambda \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$\mu - 6 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\mu = 6$।
अतः,किसी भी $\lambda \in R$ के लिए $\mu = 6$ सही शर्त है।

(D) निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -k \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3(4 + 4) + 2(-2 + 2) - k(4 + 4) = 24 - 8k$ ज्ञात करें।
$\Delta = 0$ रखने पर,$24 - 8k = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = 3$ है।
अब,$k = 3$ के लिए $\Delta_z$ की जाँच करें:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 10 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & 2 & 5m \end{vmatrix} = 3(-20m - 12) + 2(10m - 6) + 10(4 + 4) = -60m - 36 + 20m - 12 + 80 = -40m + 32$ है।
असंगतता के लिए,$\Delta_z \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $-40m + 32 \neq 0 \Rightarrow 40m \neq 32 \Rightarrow m \neq \frac{32}{40} \Rightarrow m \neq \frac{4}{5}$ है।
अतः,निकाय असंगत है यदि $k = 3$ और $m \neq \frac{4}{5}$ हो।

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$1) kx + y + 2z = 1$
$2) 3x - y - 2z = 2$
$3) -2x - 2y - 4z = 3$
रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को सुसंगत होना चाहिए।
माना गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} k & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -4 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = k(4 - 4) - 1(-12 - 4) + 2(-6 - 2) = 0 - 1(-16) + 2(-8) = 16 - 16 = 0$.
चूंकि सारणिक हमेशा $0$ है,हम संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके सुसंगतता की जांच करते हैं।
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(3x - y - 2z) + (-2x - 2y - 4z) = 2 + 3$
$x - 3y - 6z = 5 \Rightarrow x = 3y + 6z + 5$.
अनंत हलों के लिए,निकाय को सुसंगत होना चाहिए। पहले दो समीकरणों को जोड़ने और सुसंगतता की शर्त की जांच करने पर,हमें $k = 21$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - 2y + 0z = 1$
$x - y + kz = -2$
$0x + ky + 4z = 6$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & k \\ 0 & k & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - k^2) - (-2)(4 - 0) + 0 = -4 - k^2 + 8 = 4 - k^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4 - k^2 \neq 0$,इसलिए $k \neq 2$ और $k \neq -2$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
यदि $k = 2$ है,तो $D = 0$। हम $D_1$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - 4) - (-2)(-8 - 12) + 0 = -8 - 40 = -48 \neq 0$.
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$,इसलिए $k = 2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y + 2z = 9 \quad (1)$
$3x + 2y + 2z = 9 \quad (2)$
$x - y + 4z = 8 \quad (3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3x + 2y + 2z) - (2x + 3y + 2z) = 9 - 9$
$x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$x = y$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x - x + 4z = 8 \Rightarrow 4z = 8 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 3y + 2(2) = 9$
$2x + 3y = 5$
चूंकि $x = y$,इसलिए $2x + 3x = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$
अतः,$x = 1, y = 1, z = 2$.
निकाय का एक अद्वितीय हल $(1, 1, 2)$ है।

(B) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$P_{1}: x+2y-3z=a$
$P_{2}: 2x+6y-11z=b$
$P_{3}: x-2y+7z=c$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 1(42-22) - 2(14+11) - 3(-4-6) = 20 - 50 + 30 = 0$.
चूँकि $D=0$,प्रणाली का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
अब,समीकरणों के रैखिक संयोजन की जाँच करें:
$2P_{2} + P_{3} = 2(2x+6y-11z) + (x-2y+7z) = 4x+12y-22z + x-2y+7z = 5x+10y-15z = 5(x+2y-3z) = 5P_{1}$.
अतः,यदि $5a = 2b + c$ है,तो तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन है,जिसका अर्थ है कि समतल सुसंगत हैं और एक सामान्य प्रतिच्छेदन रेखा साझा करते हैं।
इसलिए,जब $5a = 2b + c$ होता है तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।

(B) प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब सारणिक $D \neq 0$ हो।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = \lambda - 5$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq 5$.
पासे के $6$ परिणामों में से,$\lambda \neq 5$ के लिए $5$ संभावनाएं हैं। अतः,$p = \frac{5}{6}$.
कोई हल न होने के लिए,$D = 0 \Rightarrow \lambda = 5$. हम $D_1, D_2, D_3$ का उपयोग करके संगति की जांच करते हैं।
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 6 - 2\mu$.
कोई हल न होने के लिए,$D=0$ और $D_1, D_2, D_3$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए। यदि $\lambda=5$,तो $D_1 = 6-2\mu \neq 0 \Rightarrow \mu \neq 3$.
$\mu$ के $6$ परिणामों में से,$\mu \neq 3$ के लिए $5$ संभावनाएं हैं। अतः,$q = P(\lambda=5) \times P(\mu \neq 3) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$(i) \ 2x + y - z = 3$
$(ii) \ x - y - z = \alpha$
$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$
रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
माना गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 3 & \beta \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$2(-\beta + 3) - 1(\beta + 3) - 1(3 + 3) = 0$
$-2\beta + 6 - \beta - 3 - 6 = 0$
$-3\beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = -1$.
$\beta = -1$ को समीकरणों में रखने पर:
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y - z = 3$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर $x + 2y = 3 - \alpha$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से,$3(x + y) - z = 3$। $(i) + (ii)$ का उपयोग करने पर,$3x = 3 + \alpha$,अतः $x = 1 + \alpha/3$।
संगति के लिए,समीकरणों को एक ही समतल या रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta - \alpha \beta = 3 + (-1) - (3)(-1) = 3 - 1 + 3 = 5$।

(A) समीकरण निकाय संगत है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य न हो (अद्वितीय हल) या यदि $D=0$ हो और संवर्धित आव्यूह संगतता की शर्त को पूरा करता हो।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 9 & 4 & 28+[\lambda] \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(2(28+[\lambda]) - 20) - 1(3(28+[\lambda]) - 45) + 1(12 - 18)$
$D = (56 + 2[\lambda] - 20) - (84 + 3[\lambda] - 45) - 6$
$D = (36 + 2[\lambda]) - (39 + 3[\lambda]) - 6$
$D = -[\lambda] - 9$
यदि $D \neq 0$,अर्थात $[\lambda] \neq -9$,तो निकाय का अद्वितीय हल है।
यदि $D = 0$,अर्थात $[\lambda] = -9$,तो हम क्रेमर के नियम या पंक्ति न्यूनीकरण विधि का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं।
$[\lambda] = -9$ के लिए,तीसरा समीकरण $9x + 4y + 19z = -9$ हो जाता है।
अतः,सभी $\lambda \in R$ के लिए निकाय का एक हल विद्यमान है।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(-a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 + 1) = 1 - 3a$.
$D = 0$ रखने पर,$1 - 3a = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{1}{3}$।
अब,यदि $a = \frac{1}{3}$ है,तो समीकरण निकाय की जाँच करने पर,कोई हल न होने की स्थिति $b \neq \frac{7}{3}$ प्राप्त होती है।

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -a & 5 \\ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(a^2 + 10) - 1(-3a - 10) + 2(-6 + 2a)$
$= -a^2 - 10 + 3a + 10 - 12 + 4a = -a^2 + 7a - 12 = -(a-3)(a-4)$.
प्रणाली के असंगत होने या अनंत हल होने के लिए,हमारे पास $\Delta = 0$ होना चाहिए,जो $a = 3$ या $a = 4$ देता है।
अब,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -a & 5 \\ 7 & -2 & -a \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$\Delta_1 = 0(a^2 + 10) - 1(-a - 35) + 2(-2 + 7a) = a + 35 - 4 + 14a = 15a + 31$.
$a = 3$ के लिए,$\Delta_1 = 15(3) + 31 = 76 \neq 0$.
$a = 4$ के लिए,$\Delta_1 = 15(4) + 31 = 91 \neq 0$.
चूंकि $a=3$ और $a=4$ दोनों के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$ है,इसलिए प्रणाली इन मानों के लिए असंगत है। अतः,$S_1 = \{3, 4\}$ और $n(S_1) = 2$.
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ की आवश्यकता है। चूंकि $a=3$ और $a=4$ के लिए $\Delta_1 \neq 0$ है,इसलिए $a$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए प्रणाली के अनंत हल हों। अतः,$S_2 = \emptyset$ और $n(S_2) = 0$।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(2k - (-15)) - (-1)(k - (-18)) + 4(5 - 12) = 0$
$3(2k + 15) + 1(k + 18) + 4(-7) = 0$
$6k + 45 + k + 18 - 28 = 0$
$7k + 35 = 0$
$7k = -35$
$k = -5$
$k = -5$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
$3x - y + 4z = 3$ $(i)$
$x + 2y - 3z = -2$ $(ii)$
$6x + 5y - 5z = -3$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ से: $6x - 2y + 8z - (x + 2y - 3z) = 6 - (-2) \Rightarrow 5x - 4y + 11z = 8$। यह पुष्टि करता है कि $k = -5$ के लिए निकाय संगत है और इसके अनंततः अनेक हल हैं।

(D) सबसे पहले,दी गई शर्तों के आधार पर आव्यूह $A$ का निर्माण करते हैं:
$i=1, j=2$ के लिए: $i < j \implies a_{12} = (-1)^{2-1} = -1$
$i=1, j=3$ के लिए: $i < j \implies a_{13} = (-1)^{3-1} = 1$
$i=2, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$
$i=2, j=3$ के लिए: $i < j \implies a_{23} = (-1)^{3-2} = -1$
$i=3, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$
$i=3, j=2$ के लिए: $i > j \implies a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$
विकर्ण अवयव $a_{ii} = 2$ हैं।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A| = 2(4-1) - (-1)(-2+1) + 1(1-2) = 2(3) - 1 - 1 = 6 - 2 = 4$ है।
हमें $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ का मान ज्ञात करना है।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए: $n \times n$ आव्यूह के लिए $|kM| = k^n |M|$ और $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 3^3 |\operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 |2 A^{-1}|^{3-1} = 27 |2 A^{-1}|^2$।
चूंकि $|2 A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{8}{4} = 2$ है।
इसलिए,$|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 \cdot (2)^2 = 27 \cdot 4 = 108$।

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_1, D_2, D_3)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(5\lambda - 10) - 1(3\lambda - 5) + 1(6 - 5) = 2\lambda - 4$.
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda = 2$ को समीकरणों में रखने पर:
$x + y + z = 6$ (समी. $1$)
$3x + 5y + 5z = 26$ (समी. $2$)
$x + 2y + 2z = \mu$ (समी. $3$)
समी. $2$ में से $3 \times$ समी. $1$ घटाने पर: $2y + 2z = 8 \implies y + z = 4$।
समी. $3$ में से समी. $1$ घटाने पर: $y + z = \mu - 6$।
कोई हल न होने के लिए,$4 \neq \mu - 6$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\mu \neq 10$।
अतः,कोई हल न होने की शर्त $\lambda = 2$ और $\mu \neq 10$ है।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 2(18 - 5a) - 3(9 - 3a) + 6(5 - 6) = 36 - 10a - 27 + 9a - 6 = 3 - a$.
$D = 0$ के लिए,$a = 3$ होना चाहिए।
अब,सारणिक $D_z$ ज्ञात करें:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & b \end{vmatrix} = 2(2b - 25) - 3(b - 15) + 8(5 - 6) = 4b - 50 - 3b + 45 - 8 = b - 13$.
जब $D = 0$ हो,तो निकाय का कोई हल न होने के लिए,$D_z \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $b - 13 \neq 0$,या $b \neq 13$।
अतः,निकाय का कोई हल नहीं है जब $a = 3$ और $b \neq 13$ हो।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 + \alpha) - 1(1 - 2\alpha) - 1(-1 - 4) = 2 + \alpha - 1 + 2\alpha + 5 = 3\alpha + 6$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = -2$.
अब,$\alpha = -2$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:
$x + y - z = 2$
$x + 2y - 2z = 1$
$2x - y + z = \beta$
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) की कोटि (rank) $3$ से कम होनी चाहिए। $\Delta_2 = 0$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & \beta & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2\beta) - 2(1 + 4) - 1(\beta - 2) = 1 + 2\beta - 10 - \beta + 2 = \beta - 7$.
$\Delta_2 = 0$ रखने पर,हमें $\beta = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -2 + 7 = 5$.

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 1(6-1) + \alpha(0-1) = 2 - 5 - \alpha = -\alpha - 3$ है।
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,इसलिए $\alpha \neq -3$ है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए:
$x^{*} = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{2(2-0) - 1(8-1) + \alpha(0-1)}{-(\alpha+3)} = \frac{4-7-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$y^{*} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(8-1) - 2(6-1) + \alpha(3-4)}{-(\alpha+3)} = \frac{7-10-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$z^{*} = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(1-0) - 1(3-4) + 2(0-1)}{-(\alpha+3)} = 0$.
अतः,$(x^{*}, y^{*}, z^{*}) = (1, 1, 0)$ है।
बिंदु $(\alpha, 1), (1, \alpha)$ और $(1, -1)$ हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha+1) - 1(1-1) + 1(-1-\alpha) = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 1 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
दोनों मान $\alpha \neq -3$ को संतुष्ट करते हैं। निरपेक्ष मानों का योग $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$ है।

(B) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=\alpha$
$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$
$x+3 \alpha y+5 z=4$
एक रैखिक समीकरण निकाय असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_1, D_2, D_3)$ में से कम से कम एक शून्य न हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & 2\alpha & 3 \\ 1 & 3\alpha & 5 \end{vmatrix}$
$D = 1(10\alpha - 9\alpha) - 1(5\alpha - 3) + 1(3\alpha^2 - 2\alpha)$
$D = \alpha - 5\alpha + 3 + 3\alpha^2 - 2\alpha = 3\alpha^2 - 6\alpha + 3 = 3(\alpha - 1)^2$
$D = 0$ रखने पर,$3(\alpha - 1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
अब,$\alpha = 1$ के लिए $D_1$ की जाँच करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
$D_1 = 1(10 - 9) - 1(-5 - 12) + 1(-3 - 8)$
$D_1 = 1(1) - 1(-17) + 1(-11) = 1 + 17 - 11 = 7$
चूंकि $\alpha = 1$ के लिए $D = 0$ और $D_1 \neq 0$ है,इसलिए निकाय असंगत है।
अतः,$\alpha$ का केवल $1$ मान है जिसके लिए निकाय असंगत है।

(D) यदि सारणिक $\Delta \neq 0$ हो या $\Delta = 0$ हो और प्रणाली के अनंत हल हों,तो प्रणाली संगत होती है।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} -k & 3 & -14 \\ -15 & 4 & -k \\ -4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -k(12 + k) - 3(-45 - 4k) - 14(-15 + 16) = 121 - k^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $121 - k^2 \neq 0$,इसलिए $k \neq \pm 11$.
यदि $k = 11$ है,तो $\Delta = 0$. हम $\Delta_z$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} -11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 26 \neq 0$.
अतः,$k = 11$ के लिए प्रणाली असंगत है।
यदि $k = -11$ है,तो $\Delta = 0$. हम $\Delta_z$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 312 \neq 0$.
अतः,$k = -11$ के लिए प्रणाली असंगत है।
इस प्रकार,प्रणाली $k \in R - \{11, -11\}$ के लिए संगत है।

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ से,हमें $c_1 = 1, c_2 = 1, c_3 = 2$ प्राप्त होता है।
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + c_1 \\ a_2 + c_2 \\ a_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ से,हमें $a_1 = -2, a_2 = -1, a_3 = -1$ प्राप्त होता है।
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,हमें $b_1 = 3, b_2 = 2, b_3 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
तब $A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A - 2I| = -4(0 - 1) - 3(0 - (-1)) + 1(-1 - 0) = 4 - 3 - 1 = 0$ है।
समीकरण निकाय $\begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
इससे हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$
$2) -x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1 + x_1$
$3) -x_1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 + x_1$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-4x_1 + 3(1 + x_1) + (1 + x_1) = -4x_1 + 3 + 3x_1 + 1 + x_1 = 4$। यह $4 = 4$ में परिणत होता है,जो हमेशा सत्य है।
चूंकि निकाय संगत है और सारणिक $0$ है,इसलिए इसके अनंत हल हैं।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(10 - 9) - 1(5 - 3) + 1(3 - 2) = 0$
$\alpha(1) - 2 + 1 = 0 \Rightarrow \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
अब,$\alpha = 1$ को निकाय में प्रतिस्थापित करें और $\Delta_x$ की गणना करें (या संवर्धित आव्यूह विधि का उपयोग करें)। अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
संवर्धित आव्यूह का उपयोग करते हुए:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 1 & 3 & 5 & | & \beta \end{bmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & | & \beta - 5 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & \beta - 5 - 2(-1) \end{bmatrix}$
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए,इसलिए $\beta - 5 + 2 = 0 \Rightarrow \beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = 3$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (1, 3)$ है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & -8 & 9 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = 3(-8a - 9) + 2(5a - 18) + 1(5 - (-16))$
$\Delta = -24a - 27 + 10a - 36 + 21 = -14a - 42$
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $-14a = 42$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -3$.
अब,$a = -3$ रखकर निकाय की संगति की जाँच करने पर,कोई हल न होने के लिए $b = -\frac{1}{3}$ होना आवश्यक है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \alpha & 3 & -1 \\ -\alpha & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 1(6 + 1) - 2(2\alpha - \alpha) + 1(\alpha + 3\alpha) = 7 + 2\alpha$.
असंगतता के लिए $\Delta = 0$ रखने पर:
$7 + 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{7}{2}$.
अब,$\alpha = -\frac{7}{2}$ पर $\Delta_x$ की जाँच करने पर:
$\Delta_x = 14 + 2\alpha = 14 + 2(-\frac{7}{2}) = 7 \neq 0$.
चूँकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x \neq 0$ है,इसलिए $\alpha = -\frac{7}{2}$ पर निकाय असंगत है।