Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय के संगत होने के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2\alpha & 1 & 5 \\ 1 & -6 & \alpha \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2\alpha(-12 - \alpha) - 1(2 - \alpha) + 5(1 + 6) = 0$
$-24\alpha - 2\alpha^2 - 2 + \alpha + 35 = 0$
$-2\alpha^2 - 23\alpha + 33 = 0$
$2\alpha^2 + 23\alpha - 33 = 0$
मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर $\alpha_1 + \alpha_2 = -b/a = -23/2$.
अतः $|2(\alpha_1 + \alpha_2)| = |2(-23/2)| = |-23| = 23$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए $(D \neq 0)$।
गुणांक आव्यूह है:
$D = \begin{vmatrix} k & 2 & -1 \\ k-1 & k & 1 \\ 1 & k-1 & k \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = k(k^2 - (k-1)) - 2(k(k-1) - 1) - 1((k-1)^2 - k)$
$D = k^3 - 4k^2 + 6k + 1$
अद्वितीय हल के लिए,$k^3 - 4k^2 + 6k + 1 \neq 0$ होना चाहिए।
माना $f(k) = k^3 - 4k^2 + 6k + 1$ है। चूँकि $f'(k) = 3k^2 - 8k + 6$ का विविक्तकर $-8 < 0$ है,इसलिए $f(k)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
अतः,$f(k) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल $k_0$ होगा। इस प्रकार,$k \in \mathbb{R} \setminus \{k_0\}$ के सभी मानों के लिए निकाय का अद्वितीय हल होगा,जो कि अनंत है।

(C) दिए गए समघात रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$4x + y - 2z = 0$
$x - 2y + z = 0$
$x + y - z = 0$
हल की प्रकृति की जाँच करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 4((-2)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) - 2((1)(1) - (-2)(1))$
$D = 4(2 - 1) - 1(-1 - 1) - 2(1 + 2)$
$D = 4(1) - 1(-2) - 2(3)$
$D = 4 + 2 - 6 = 0$
चूँकि सारणिक $D = 0$ है,इसलिए समघात समीकरणों के इस निकाय के अतुच्छ (non-trivial) हल विद्यमान हैं।

(D) समीकरण निकाय के संगत होने के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(k - 2) - k(k^2 - 2) + 1(k - 1) = 0$
$-k^3 + 4k - 3 = 0 \Rightarrow k^3 - 4k + 3 = 0$
$(k - 1)(k^2 + k - 3) = 0$
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण असंगत हो जाते हैं।
अतः,$k^2 + k - 3 = 0$। इसके मूल $k = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं।
मान लीजिए $k_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$ और $k_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$ है।
$k_1^2 + k_2^2 = (k_1 + k_2)^2 - 2k_1k_2 = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7$।

(A) रैखिक समीकरणों का निकाय $AX = B$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$X = [x, y, z]^T$,और $B = [1, -1, 0]^T$ है।
रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = B$ के लिए,हलों की संख्या $0$ (असंगत),$1$ (अद्वितीय हल),या अनंत हो सकती है (यदि निकाय संगत और आश्रित है)।
रैखिक निकायों का एक मूलभूत गुण यह है कि यदि किसी निकाय का एक से अधिक हल है,तो उसके अनंत हल होने चाहिए।
इसलिए,रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए ठीक $3$ भिन्न हल होना असंभव है।
अतः,ऐसे आव्यूह $A$ की संख्या $0$ है।

(D) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ के अद्वितीय हल के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $|A| \neq 0$।
यहाँ गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 10 & -1 & \alpha \\ 4 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 2((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((10)(-1) - (4)(\alpha)) + 1((10)(3) - (4)(-1))$
$|A| = 2(1 - 3\alpha) - 1(-10 - 4\alpha) + 1(30 + 4)$
$|A| = 2 - 6\alpha + 10 + 4\alpha + 34$
$|A| = 46 - 2\alpha$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है:
$46 - 2\alpha \neq 0$
$2\alpha \neq 46$
$\alpha \neq 23$
चूंकि अद्वितीय हल की शर्त केवल $\alpha$ के मान पर निर्भर करती है और $\beta$ से स्वतंत्र है,इसलिए अद्वितीय हल का अस्तित्व केवल $\alpha$ पर निर्भर करता है।

(A) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$ हो।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \alpha \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((5)(-1) - (2)(\alpha)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\alpha) - 1(-5 - 2\alpha) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\alpha + 5 + 2\alpha + 17$
$|A| = 23 - \alpha$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $23 - \alpha \neq 0$,या $\alpha \neq 23$।
चूंकि अद्वितीय हल की शर्त केवल $\alpha$ के मान पर निर्भर करती है और $\beta$ से स्वतंत्र है,इसलिए सही विकल्प केवल $\alpha$ है।

(B) प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 12 & b & c \\ a & 24 & c \\ a & b & 36 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$12(24 \times 36 - bc) - b(36a - ac) + c(ab - 24a) = 0$
$12(864 - bc) - 36ab + abc + abc - 24ac = 0$
$10368 - 12bc - 36ab + 2abc - 24ac = 0$
इस समीकरण को $(a-12)(b-24)(c-36)$ से विभाजित करने या पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{12}{a-12} + \frac{24}{b-24} + \frac{36}{c-36} = -1$
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{a-12} + \frac{2}{b-24} + \frac{3}{c-36} = -\frac{1}{12}$

(B) मान लीजिए $S = a + b + c + d + e$ है। दिए गए निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S + a = 6$ $(1)$
$S + b = 12$ $(2)$
$S + c = 24$ $(3)$
$S + d = 48$ $(4)$
$S + e = 96$ $(5)$
इन पाँचों समीकरणों को जोड़ने पर:
$5S + (a + b + c + d + e) = 6 + 12 + 24 + 48 + 96$
$5S + S = 186$
$6S = 186 \Rightarrow S = 31$
अब,$S = 31$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$31 + c = 24$
$c = 24 - 31 = -7$
अतः,$|c| = |-7| = 7$.

(D) समीकरणों के निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह (coefficient matrix) का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए।
निकाय इस प्रकार है:
$1x + ky + 3z = 0$
$3x + ky - 2z = 0$
$2x + 3y - 4z = 0$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-4)(k) - (3)(-2)) - k((3)(-4) - (2)(-2)) + 3((3)(3) - (2)(k)) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-12 + 4) + 3(9 - 2k) = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33$
$k = \frac{33}{2}$

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए $(D \neq 0)$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} k & 2 & -1 \\ 0 & k-1 & -2 \\ 0 & 0 & k+2 \end{vmatrix}$
चूंकि यह एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए सारणिक विकर्ण तत्वों का गुणनफल होगा:
$D = k(k-1)(k+2)$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$:
$k(k-1)(k+2) \neq 0$
इसका अर्थ है कि $k \neq 0, k \neq 1, k \neq -2$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यदि $k = -1$ है,तो शर्त $D \neq 0$ संतुष्ट होती है क्योंकि $(-1)(-1-1)(-1+2) = (-1)(-2)(1) = 2 \neq 0$।
अतः,जब $k = -1$ होता है तो प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है।

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -a \\ 2 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = 1(-a - 1) - 1(-2 - a) - a(2 - a^2) = -a - 1 + 2 + a - 2a + a^3 = a^3 - 2a + 1$.
त्रिघातीय व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $\Delta = (a - 1)(a^2 + a - 1)$.
$\Delta = 0$ के मूल $a = 1$ और $a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
$a = 1$ के लिए,समीकरण $x + y - z = 1$,$2x + y + z = 1$,$x + y - z = 2$ हो जाते हैं। पहला और तीसरा समीकरण विरोधाभासी हैं $(1 \ne 2)$,इसलिए कोई हल नहीं है।
$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ के लिए,$\Delta = 0$ होता है। संवर्धित आव्यूह की जाँच करने पर,इन मानों के लिए भी प्रणाली असंगत है।
अतः,उन सभी मानों के लिए जहाँ $\Delta = 0$ है,प्रणाली का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x - 2y + 5z = 3$
$2x - y + z = 1$
$11x - 7y + pz = q$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \\ 11 & -7 & p \end{vmatrix} = 1(-p + 7) + 2(2p - 11) + 5(-14 + 11) = 0$
$-p + 7 + 4p - 22 - 15 = 0$
$3p - 30 = 0 \Rightarrow p = 10$
अब,अनंत हलों के लिए $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ होना चाहिए।
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \\ q & -7 & 10 \end{vmatrix} = 3(-10 + 7) + 2(10 - q) + 5(-7 + q) = 0$
$3(-3) + 20 - 2q - 35 + 5q = 0$
$-9 + 20 - 35 + 3q = 0$
$3q - 24 = 0 \Rightarrow q = 8$
अतः,$p - q = 10 - 8 = 2$.

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + y + z = 2$
$2x + y - z = 3$
$3x + 2y + kz = 4$
रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य न हो।
मान लीजिए $D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$D = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$D = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$D = -k$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,जिसका अर्थ है $-k \neq 0$,या $k \neq 0$.
अतः,$S = R - \{0\}$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 1(6 - 10) - a(3 - 2) + 1(5 - 2) = -4 - a + 3 = -a - 1$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $-a - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = -1$.
अब,$\Delta_2$ की गणना करें (दूसरे स्तंभ को स्थिरांक $3, 6, b$ से बदलने पर):
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & b & 3 \end{vmatrix} = 1(18 - 2b) - 3(3 - 2) + 1(b - 6) = 18 - 2b - 3 + b - 6 = 9 - b$.
निकाय का कोई हल न होने के लिए,$\Delta_2 \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $9 - b \neq 0$,जिसका अर्थ है $b \neq 9$.
अतः,शर्त $a = -1$ और $b \neq 9$ है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय है:
$(k + 2)x + 10y = k$
$kx + (k + 3)y = k - 1$
रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
माना $A = \begin{bmatrix} k + 2 & 10 \\ k & k + 3 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$(k + 2)(k + 3) - 10k = 0$
$k^2 + 5k + 6 - 10k = 0$
$k^2 - 5k + 6 = 0$
$(k - 2)(k - 3) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = 3$ है।
स्थिति $1$: यदि $k = 2$ है,तो समीकरण $4x + 10y = 2$ और $2x + 5y = 1$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को $2$ से भाग देने पर $2x + 5y = 1$ प्राप्त होता है,जो दूसरे समीकरण के समान है। अतः,यहाँ अनंत हल हैं।
स्थिति $2$: यदि $k = 3$ है,तो समीकरण $5x + 10y = 3$ और $3x + 6y = 2$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर $15x + 30y = 9$ और $15x + 30y = 10$ प्राप्त होता है। चूँकि $9 \neq 10$,इसलिए निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान ऐसा है जिसके लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
गुणांक आव्यूह है:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -\lambda \\ 4 & \lambda & 2 \\ \lambda & 2 & 2 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य रखने पर:
$|A| = 2(2\lambda - 4) - 4(8 - 2\lambda) - \lambda(8 - \lambda^2) = 0$
$|A| = 4\lambda - 8 - 32 + 8\lambda - 8\lambda + \lambda^3 = 0$
$|A| = \lambda^3 + 4\lambda - 40 = 0$
माना $f(\lambda) = \lambda^3 + 4\lambda - 40$.
चूंकि $f'(\lambda) = 3\lambda^2 + 4 > 0$ सभी वास्तविक $\lambda$ के लिए,फलन $f(\lambda)$ निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,इसका केवल एक वास्तविक मूल हो सकता है।
अतः,$\lambda$ के वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + 8y + 7z = 0$ $(1)$
$9x + 2y + 3z = 0$ $(2)$
$x + y + z = 0$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से,$x = -y - z$. इसे $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y - z) + 8y + 7z = 0 \implies 7y + 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
$9(-y - z) + 2y + 3z = 0 \implies -7y - 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
चूंकि समीकरण समघात हैं और गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए अनंत हल हैं। माना $y = 6\lambda$. तब $z = -7\lambda$ और $x = -6\lambda - (-7\lambda) = \lambda$.
अतः,$(a, b, c) = (\lambda, 6\lambda, -7\lambda)$.
चूंकि यह बिंदु समतल $x + 2y + z = 6$ पर स्थित है:
$\lambda + 2(6\lambda) + (-7\lambda) = 6$
$\lambda + 12\lambda - 7\lambda = 6$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
इस प्रकार,$(a, b, c) = (1, 6, -7)$.
अब $2a + b + c = 2(1) + 6 + (-7) = 2 + 6 - 7 = 1$.

(D) दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप $AX = B$ में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ b \end{bmatrix}$ है।
निकाय के अनंत हल होने के लिए,संवर्धित आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होनी चाहिए।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 = a - 8$.
अनंत हलों के लिए,$|A| = 0$,जिसका अर्थ है $a = 8$.
अब,$a = 8$ को संवर्धित आव्यूह $[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 1 & 3 & 5 & | & 9 \\ 2 & 5 & 8 & | & b \end{bmatrix}$ में रखें।
पंक्ति संक्रियाएँ करें: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 12 \end{bmatrix}$.
निकाय के संगत और अनंत हल होने के लिए,अंतिम दो पंक्तियाँ समान होनी चाहिए,इसलिए $b - 12 = 3$,जिससे $b = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 8$ और $b = 15$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$
आव्यूह गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[3p + 3q + 2r, 4p + 2q, p + 3q + 2r] = [3, 0, 1]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
$1) 3p + 3q + 2r = 3$
$2) 4p + 2q = 0 \Rightarrow q = -2p$
$3) p + 3q + 2r = 1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(3p + 3q + 2r) - (p + 3q + 2r) = 3 - 1$
$2p = 2 \Rightarrow p = 1$
$p = 1$ को $q = -2p$ में रखने पर:
$q = -2(1) = -2$
$p = 1$ और $q = -2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$1 + 3(-2) + 2r = 1$
$1 - 6 + 2r = 1$
$-5 + 2r = 1 \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3$
अब,$2p + q - r$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2(1) + (-2) - 3 = 2 - 2 - 3 = -3$.

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = 0$ का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
कथन $-1$ के लिए,सारणिक है:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 0 & \cos \alpha - \sin \alpha & \sin \alpha - \cos \alpha \\ 0 & -2\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= 1 \cdot [(\cos \alpha - \sin \alpha)(-2\cos \alpha) - (\sin \alpha - \cos \alpha)(-2\sin \alpha)]$
$= -2\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = -2\cos(2\alpha)$।
$\Delta_1 = 0$ रखने पर,हमें $\cos(2\alpha) = 0$ प्राप्त होता है। $(0, \frac{\pi}{2})$ में,$2\alpha \in (0, \pi)$,इसलिए $2\alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए,सारणिक है:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= -2\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -2\cos \alpha \cos(2\alpha) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha = 0$ या $\cos(2\alpha) = 0$। $(0, \frac{\pi}{2})$ में,$\cos \alpha \neq 0$ और $\cos(2\alpha) = 0$ केवल $\alpha = \frac{\pi}{4}$ पर होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है और कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली समघात (homogeneous) है:
$x + ay = 0$
$y + az = 0$
$z + ax = 0$
इसे आव्यूह रूप $AX = 0$ में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
एक समघात प्रणाली का अद्वितीय (तुच्छ) हल तभी होता है जब सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 0(0 - a) = 1 + a^3$।
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $1 + a^3 \neq 0$।
$a^3 \neq -1$,जिसका अर्थ है कि $a \neq -1$।
अतः,$a$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $R - \{-1\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 0$
रैखिक समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \neq 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) \neq 0$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0 \neq 0$
$D = \lambda - 3 \neq 0$
अतः,$\lambda \neq 3$.

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर: $\left| \begin{matrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{matrix} \right| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-4k - (-6)) - k(-12 - (-4)) + 3(9 - 2k) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-8) + 27 - 6k = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33 \Rightarrow k = \frac{33}{2}$.
चूंकि $k$ का परिकलित मान $\frac{33}{2}$ है न कि $\frac{31}{2}$,इसलिए कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ रैखिक बीजगणित का एक मानक प्रमेय है,इसलिए यह सत्य है।

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + (a^2 - 1)z = a + 1$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & a^2 - 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(3(a^2 - 1) - 6) - 1(2(a^2 - 1) - 4) + 1(6 - 6)$
$D = 3a^2 - 3 - 6 - 2a^2 + 2 + 4$
$D = a^2 - 3$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $a^2 - 3 \neq 0$,जिसका अर्थ है $|a| \neq \sqrt{3}$.
यदि $|a| = \sqrt{3}$ है,तो $a^2 = 3$. समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + 2z = a + 1$
दूसरे और तीसरे समीकरण की तुलना करने पर,हमें $5 = a + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$. हालाँकि,हमने माना है कि $|a| = \sqrt{3}$,इसलिए $a^2 = 3$. चूँकि $4^2 \neq 3$,इसलिए जब $|a| = \sqrt{3}$ होता है तो निकाय असंगत होता है क्योंकि दूसरे और तीसरे समीकरण के बाएँ पक्ष समान हैं,लेकिन अचर पद अलग हैं ($5 \neq a + 1$ जब $a^2 = 3$).
अतः,$|a| = \sqrt{3}$ के लिए निकाय असंगत है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x - 4y + 7z = g$ $(1)$
$0x + 3y - 5z = h$ $(2)$
$-2x + 5y - 9z = k$ $(3)$
निकाय के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,या समीकरणों का ऐसा रैखिक संयोजन मौजूद होना चाहिए जो एक संगत परिणाम दे।
मान लीजिए समीकरण $L_1, L_2, L_3$ हैं। हम $c_1 L_1 + c_2 L_2 + c_3 L_3 = 0$ के लिए जाँच करते हैं।
$c_1(x - 4y + 7z) + c_2(3y - 5z) + c_3(-2x + 5y - 9z) = c_1 g + c_2 h + c_3 k$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x: c_1 - 2c_3 = 0 \implies c_1 = 2c_3$
$y: -4c_1 + 3c_2 + 5c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ रखने पर: $-4(2c_3) + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies -8c_3 + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies 3c_2 = 3c_3 \implies c_2 = c_3$
$z: 7c_1 - 5c_2 - 9c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ और $c_2 = c_3$ रखने पर: $7(2c_3) - 5(c_3) - 9c_3 = 14c_3 - 14c_3 = 0$. यह किसी भी $c_3$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए $c_3 = 1$,तो $c_1 = 2$ और $c_2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रैखिक संयोजन $2L_1 + L_2 + L_3 = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $2g + h + k = 0$।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = 1(2\alpha - 9) - 1(\alpha - 3) + 1(3 - 2) = \alpha - 5$.
$D = 0$ रखने पर,$\alpha = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$D_3 = 0$ के लिए:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(2\beta - 27) - 1(\beta - 9) + 5(3 - 2) = \beta - 13$.
$D_3 = 0$ रखने पर,$\beta = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta - \alpha = 13 - 5 = 8$.

(A) दिए गए समीकरण:
$2x + 2y + 3z = a$ $(1)$
$3x - y + 5z = b$ $(2)$
$x - 3y + 2z = c$ $(3)$
निकाय के एक से अधिक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और निकाय संगत होना चाहिए।
सारणिक $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2(-2 + 15) - 2(6 - 5) + 3(-9 + 1) = 26 - 2 - 24 = 0$.
चूँकि $D = 0$ है,निकाय के अनंत हल हो सकते हैं।
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $(2x+x) + (2y-3y) + (3z+2z) = a+c \Rightarrow 3x - y + 5z = a+c$.
इसकी तुलना समीकरण $(2)$ से करने पर,हमें $b = a+c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b - c - a = 0$।

(A) रैखिक समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D \neq 0$ हो।
गुणांक आव्यूह है:
$D = \begin{vmatrix} 1 + \alpha & \beta & 1 \\ \alpha & 1 + \beta & 1 \\ \alpha & \beta & 2 \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} \alpha + \beta + 2 & \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & 1 + \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
$C_1$ से $(\alpha + \beta + 2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 + \beta & 1 \\ 1 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\alpha + \beta + 2)(1) = \alpha + \beta + 2$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,इसलिए $\alpha + \beta + 2 \neq 0$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta \neq -2$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 2 + 4 = 6 \neq -2$ (सही)
$B: -3 + 1 = -2$ (गलत)
$C: -4 + 2 = -2$ (गलत)
$D: 1 - 3 = -2$ (गलत)
अतः,क्रमित युग्म $(2, 4)$ एक अद्वितीय हल प्रदान करता है।

(B) निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -k \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-k + 1) - (-2)(-2k - 3) + k(-2 - 3) = 0$
$-k + 1 + 2(-2k - 3) - 5k = 0$
$-k + 1 - 4k - 6 - 5k = 0$
$-10k - 5 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ को समीकरणों में रखने पर:
$x - 2y - \frac{1}{2}z = 1 \Rightarrow 2x - 4y - z = 2$ $(1)$
$2x + y + z = 2$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2x - 4y - z) + (2x + y + z) = 2 + 2$
$4x - 3y = 4$
अतः,$(x, y)$ रेखा $4x - 3y - 4 = 0$ पर स्थित है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। माना तीसरा समीकरण $L_3 = a L_1 + b L_2$ है।
$x + 3y + \lambda z = \mu = a(x + y + z - 5) + b(x + 2y + 2z - 6)$.
$x, y, z$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर:
$a + b = 1$ ($x$ का गुणांक)
$a + 2b = 3$ ($y$ का गुणांक)
$a + 2b = \lambda$ ($z$ का गुणांक)
$5a + 6b = \mu$ (अचर पद)
पहले दो समीकरणों को हल करने पर:
$(a + 2b = 3)$ में से $(a + b = 1)$ घटाने पर $b = 2$ प्राप्त होता है।
$a + b = 1$ में $b = 2$ रखने पर $a = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda$ और $\mu$ ज्ञात करें:
$\lambda = a + 2b = -1 + 2(2) = 3$.
$\mu = 5a + 6b = 5(-1) + 6(2) = -5 + 12 = 7$.
अतः,$\lambda + \mu = 3 + 7 = 10$.

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & \lambda & -\lambda \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(-4\lambda - (-2\lambda)) - 1(-16 - (-3\lambda)) + 1(8 - 3\lambda) = 0$
$D = (-4\lambda + 2\lambda) - (-16 + 3\lambda) + (8 - 3\lambda) = 0$
$-2\lambda + 16 - 3\lambda + 8 - 3\lambda = 0$
$-8\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$ के लिए: $\lambda^2 - \lambda - 6 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$. यहाँ,$\lambda = 3$ एक मूल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$[\sin \theta ]x + [-\cos \theta ]y = 0 \dots (1)$
$[\cot \theta ]x + y = 0 \dots (2)$
स्थिति $I$: जब $\theta \in \left( \frac{\pi }{2}, \frac{2\pi }{3} \right)$
$\sin \theta \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [\sin \theta ] = 0$
$-\cos \theta \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0 \right) \implies [\cot \theta ] = -1$
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$0x + 0y = 0$
$-x + y = 0$
पहला समीकरण सभी $(x, y)$ के लिए संतुष्ट होता है,और दूसरा समीकरण $y = x$ दर्शाता है। अतः,निकाय के अनंत हल हैं।
स्थिति $II$: जब $\theta \in \left( \pi, \frac{7\pi}{6} \right)$
$\sin \theta \in \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \implies [\sin \theta ] = -1$
$-\cos \theta \in \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in (\sqrt{3}, \infty) \implies [\cot \theta ] = k$,जहाँ $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$-x + 0y = 0 \implies x = 0$
$kx + y = 0 \implies k(0) + y = 0 \implies y = 0$
अतः,निकाय का अद्वितीय हल $(0, 0)$ है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के दो से अधिक हल होने का अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं। यह तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो और संगतता की शर्त पूरी हो।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 9) + 1(2 - 6) = 0$
$2\lambda - 6 - \lambda + 9 - 4 = 0$
$\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अब,अनंत हलों के लिए,अचर पद के स्तंभ को बदलने पर प्राप्त सारणिक का मान भी शून्य होना चाहिए $(D_z = 0)$:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 3 & 2 & \mu \end{vmatrix} = 0$
$1(2\mu - 20) - 1(\mu - 30) + 6(2 - 6) = 0$
$2\mu - 20 - \mu + 30 - 24 = 0$
$\mu - 14 = 0 \Rightarrow \mu = 14$.
अंत में,$\mu - \lambda^{2}$ की गणना करने पर:
$\mu - \lambda^{2} = 14 - (1)^{2} = 14 - 1 = 13$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
सारणिक इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} 2 & 2a & a \\ 2 & 3b & b \\ 2 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ से $2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाएँ $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(3bc - 3ab - 2ac + 2a^2) - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(D) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ 2\lambda & 3 & 5 \\ 4 & \lambda & 6 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \lambda(18 - 5\lambda) - 2(12\lambda - 20) + 2(2\lambda^2 - 12)$
$D = 18\lambda - 5\lambda^2 - 24\lambda + 40 + 4\lambda^2 - 24$
$D = -\lambda^2 - 6\lambda + 16 = -(\lambda + 8)(\lambda - 2) = (\lambda + 8)(2 - \lambda)$
जब $\lambda = 2$ है,तो $D = 0$ होता है। समीकरणों में $\lambda = 2$ रखने पर:
$2x + 2y + 2z = 5$
$4x + 3y + 5z = 8$
$4x + 2y + 6z = 10$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण का $2$ गुना घटाने पर: $(4x + 3y + 5z) - 2(2x + 2y + 2z) = 8 - 10 \implies -y + z = -2 \implies y - z = 2$.
तीसरे समीकरण में से पहले समीकरण का $2$ गुना घटाने पर: $(4x + 2y + 6z) - 2(2x + 2y + 2z) = 10 - 10 \implies -2y + 2z = 0 \implies y - z = 0$.
चूंकि $y - z = 2$ और $y - z = 0$ परस्पर विरोधी हैं,इसलिए $\lambda = 2$ के लिए कोई हल संभव नहीं है।

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$(i) x + 2y + 3z = 1$
$(ii) 3x + 4y + 5z = \mu$
$(iii) 4x + 4y + 4z = \delta$
असंगतता की जाँच करने के लिए,हम चरों को विलोपित करते हैं।
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $(3x-x) + (4y-2y) + (5z-3z) = \mu - 1 \Rightarrow 2x + 2y + 2z = \mu - 1$.
इसे $2$ से गुणा करने पर: $4x + 4y + 4z = 2(\mu - 1)$.
समीकरण $(iii)$ के साथ तुलना करने पर,$4x + 4y + 4z = \delta$.
यदि $\delta \neq 2(\mu - 1)$ है,तो निकाय असंगत है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A) (1, 0): \delta = 0, 2(\mu - 1) = 0$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(B) (4, 6): \delta = 6, 2(\mu - 1) = 6$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(C) (3, 4): \delta = 4, 2(\mu - 1) = 4$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(D) (4, 3): \delta = 3, 2(\mu - 1) = 6$. यहाँ $\delta \neq 2(\mu - 1)$,अतः निकाय असंगत है।

(A) दिया गया समीकरण निकाय समघात है:
$7x + 6y - 2z = 0 \dots (1)$
$3x + 4y + 2z = 0 \dots (2)$
$x - 2y - 6z = 0 \dots (3)$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 7 & 6 & -2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -6 \end{vmatrix}$
$= 7(-24 + 4) - 6(-18 - 2) - 2(-6 - 4)$
$= 7(-20) - 6(-20) - 2(-10) = -140 + 120 + 20 = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय के अनंत हल हैं।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$10x + 10y = 0 \Rightarrow y = -x$
समीकरण $(1)$ में $y = -x$ रखने पर:
$7x + 6(-x) - 2z = 0$
$x - 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$
अतः,हल $x = 2z$ को संतुष्ट करते हैं।

(N/A) प्रत्येक शहर में खर्च की गई कुल राशि ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल $BA$ की गणना करते हैं।
$BA = \begin{bmatrix} 1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1000 \times 40) + (500 \times 100) + (5000 \times 50) \\ (3000 \times 40) + (1000 \times 100) + (10000 \times 50) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 40000 + 50000 + 250000 \\ 120000 + 100000 + 500000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 340000 \\ 720000 \end{bmatrix}$
इस प्रकार,शहर $X$ में खर्च की गई कुल राशि $340,000$ पैसे (रु. $3400$) है और शहर $Y$ में $720,000$ पैसे (रु. $7200$) है।

(A) मान लीजिए कि पहले बॉन्ड में निवेश की गई राशि Rs. $x$ है और दूसरे बॉन्ड में निवेश की गई राशि Rs. $(30000 - x)$ है।
मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके,हम निवेश को पंक्ति मैट्रिक्स $A = [x \quad 30000 - x]$ और ब्याज दरों को कॉलम मैट्रिक्स $B = \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix}$ के रूप में दर्शाते हैं।
कुल ब्याज गुणनफल $AB = [1800]$ द्वारा प्राप्त होता है।
$[x \quad 30000 - x] \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix} = [1800]$
$0.05x + 0.07(30000 - x) = 1800$
$0.05x + 2100 - 0.07x = 1800$
$-0.02x = 1800 - 2100$
$-0.02x = -300$
$x = \frac{300}{0.02} = 15000$.
इस प्रकार,पहले बॉन्ड में Rs. $15000$ और दूसरे बॉन्ड में Rs. $(30000 - 15000) = 15000$ का निवेश किया जाता है।

(A) मान लीजिए कि पहले बॉन्ड में Rs. $x$ निवेश किए गए हैं। तब,दूसरे बॉन्ड में निवेश की गई राशि Rs. $(30000 - x)$ होगी।
कुल ब्याज को दर्शाने के लिए आव्यूह गुणन का उपयोग करते हुए:
$[x \quad (30000 - x)] \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix} = 2000$
इसे सरल करने पर:
$0.05x + 0.07(30000 - x) = 2000$
दशमलव हटाने के लिए $100$ से गुणा करने पर:
$5x + 7(30000 - x) = 200000$
$5x + 210000 - 7x = 200000$
$-2x = 200000 - 210000$
$-2x = -10000$
$x = 5000$
अतः,पहले बॉन्ड में निवेश की गई राशि Rs. $5000$ है और दूसरे बॉन्ड में निवेश की गई राशि Rs. $(30000 - 5000) = 25000$ है।

(B) बुकशॉप में $10$ दर्जन केमिस्ट्री,$8$ दर्जन फिजिक्स और $10$ दर्जन इकोनॉमिक्स की किताबें हैं। चूंकि $1$ दर्जन $= 12$ किताबें होती हैं,इसलिए कुल किताबों की संख्या $120$ केमिस्ट्री,$96$ फिजिक्स और $120$ इकोनॉमिक्स की किताबें हैं।
केमिस्ट्री,फिजिक्स और इकोनॉमिक्स की किताबों की बिक्री मूल्य क्रमशः रु. $80$,रु. $60$ और रु. $40$ है।
मात्रा को पंक्ति मैट्रिक्स $A$ के रूप में और मूल्य को कॉलम मैट्रिक्स $B$ के रूप में दर्शाते हुए:
$A = [120 \quad 96 \quad 120]$
$B = \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix}$
कुल राशि गुणनफल $AB$ द्वारा प्राप्त होती है:
$Total = [120 \quad 96 \quad 120] \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix}$
$= (120 \times 80) + (96 \times 60) + (120 \times 40)$
$= 9600 + 5760 + 4800$
$= 20160$
इस प्रकार,बुकशॉप को सभी किताबों की बिक्री से रु. $20160$ प्राप्त होंगे।

(A) समीकरणों की प्रणाली को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(2) - (5)(3) = 4 - 15 = -11$.
चूंकि $|A| \neq 0$,प्रणाली का एक अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ द्वारा प्राप्त होता है।
$A$ का व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अब,$X = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}$.
$X = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} (2)(1) + (-5)(7) \\ (-3)(1) + (2)(7) \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 - 35 \\ -3 + 14 \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -33 \\ 11 \end{bmatrix}$.
$X = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$.
अतः,$x = 3$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण प्रणाली को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 3(2 - 3) + 2(4 + 4) + 3(-6 - 4) = 3(-1) + 2(8) + 3(-10) = -3 + 16 - 30 = -17$ की गणना करते हैं।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
इसके बाद,हम $A$ के सहखंडज (cofactor) मैट्रिक्स ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = -1, C_{12} = -8, C_{13} = -10$
$C_{21} = -5, C_{22} = -6, C_{23} = 1$
$C_{31} = -1, C_{32} = 9, C_{33} = 7$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,$X = A^{-1}B = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$x = 1, y = 2, z = 3$।

(C) माना पहली,दूसरी और तीसरी संख्याएँ क्रमशः $x, y$ और $z$ हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार,हमारे पास निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय है:
$x + y + z = 6$
$y + 3z = 11$
$x + z = 2y \implies x - 2y + z = 0$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 - (-6)) - 1(0 - 3) + 1(0 - 1) = 1(7) + 3 - 1 = 9 \neq 0$.
चूँकि $|A| \neq 0$,निकाय का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है।
सहखंड आव्यूह $C$ की गणना करने पर:
$C_{11} = 7, C_{12} = 3, C_{13} = -1$
$C_{21} = -3, C_{22} = 0, C_{23} = 3$
$C_{31} = 2, C_{32} = -3, C_{33} = 1$
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 42 - 33 + 0 \\ 18 + 0 + 0 \\ -6 + 33 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
अतः,$x = 1, y = 2, z = 3$.

(A) दिए गए समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+2y=2$
$2x+3y=3$
निकाय को आव्यूह रूप $AX=B$ में लिखा जा सकता है,जहाँ:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
अब,$A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए:
$|A| = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1$
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है और इसका व्युत्क्रम अस्तित्व में है।
अतः,समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है और यह संगत है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$2x - y = 5$
$x + y = 4$
इस निकाय को आव्यूह रूप $AX = B$ में लिखा जा सकता है,जहाँ:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$.
अब,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है और इसका प्रतिलोम आव्यूह विद्यमान है।
अतः,दिए गए समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है और यह संगत है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+3y=5$
$2x+6y=8$
निकाय को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1)(6) - (3)(2) = 6 - 6 = 0$
चूँकि $|A| = 0$ है,आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है। अब हम $(adj A)B$ ज्ञात करते हैं:
$adj A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$(adj A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 - 24 \\ -10 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
चूँकि $(adj A)B \neq 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
निकाय को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$.
स्थिति $1$: यदि $a \neq 0$,तो $|A| \neq 0$। आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है,इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है और यह संगत है।
स्थिति $2$: यदि $a = 0$,तो समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$0=4$
चूँकि $0=4$ एक विरोधाभास है,इसलिए $a=0$ के लिए निकाय असंगत है।
अतः,निकाय सभी $a \neq 0$ के लिए संगत है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$3x - y - 2z = 2$
$2y - z = -1$
$3x - 5y = 3$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(0 - 5) - (-1)(0 - (-3)) + (-2)(0 - 6)$
$|A| = 3(-5) + 1(-3) - 2(-6) = -15 - 3 + 12 = -6$.
चूँकि $|A| \neq 0$ है,इसलिए निकाय संगत है और इसका एक अद्वितीय हल है।