Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(D) समघातीय रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ का एक अशून्य हल ($x = y = z = 0$ के अलावा) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$-4\lambda + 20 = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(C) समरूप रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-k - 3) - k(3 - (-1)) - 1(-9 - (-k)) = 0$
$1(-k - 3) - k(4) - 1(-9 + k) = 0$
$-k - 3 - 4k + 9 - k = 0$
$-6k + 6 = 0$
$6k = 6$
$k = 1$

(D) दिए गए समघात रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x + y - z = 0$
$3x - y - z = 0$
$x - 3y + z = 0$
हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ निकालते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1((-1)(1) - (-1)(-3)) - 1((3)(1) - (-1)(1)) + (-1)((3)(-3) - (-1)(1))$
$\Delta = 1(-1 - 3) - 1(3 + 1) - 1(-9 + 1)$
$\Delta = 1(-4) - 1(4) - 1(-8)$
$\Delta = -4 - 4 + 8 = 0$
चूंकि समघात समीकरण निकाय के लिए सारणिक $\Delta = 0$ है,इसलिए निकाय के पास अशून्य हल हैं,जिसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं।

(D) दिए गए समघात रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + y - z = 0$
$3x - \alpha y - 3z = 0$
$x - 3y + z = 0$
समघात समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\Delta = 0$।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -\alpha & -3 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-\alpha - 9) - 1(3 - (-3)) - 1(-9 - (-\alpha)) = 0$
$-\alpha - 9 - 6 + 9 - \alpha = 0$
$-2\alpha - 6 = 0$
$-2\alpha = 6$
$\alpha = -3$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए समघात रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$x + 4y - z = 0$
$3x - 4y - z = 0$
$x - 3y + z = 0$
हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ निकालते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 3 & -4 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1((-4)(1) - (-1)(-3)) - 4((3)(1) - (-1)(1)) + (-1)((3)(-3) - (-4)(1))$
$\Delta = 1(-4 - 3) - 4(3 + 1) - 1(-9 + 4)$
$\Delta = 1(-7) - 4(4) - 1(-5)$
$\Delta = -7 - 16 + 5 = -18$
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए समघात समीकरणों के इस निकाय का केवल एक तुच्छ (trivial) हल $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ है।
अतः,हलों की संख्या $1$ है।

(D) समीकरणों की दी गई प्रणाली $AX = 0$ के रूप में रैखिक समीकरणों की एक समघात प्रणाली है,जहाँ $A$ गुणांक आव्यूह है और $X = [x, y, z]^T$ है।
एक समघात प्रणाली $AX = 0$ के लिए,समाधान की प्रकृति गुणांक आव्यूह के सारणिक $|A|$ पर निर्भर करती है।
यदि $|A| \neq 0$ है,तो प्रणाली का केवल तुच्छ समाधान $(x = 0, y = 0, z = 0)$ होता है।
यदि $|A| = 0$ है,तो प्रणाली के पास तुच्छ समाधान के अलावा अनंत गैर-तुच्छ समाधान होते हैं।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि $\left| \begin{matrix} {a_1} & {b_1} & {c_1} \\ {a_2} & {b_2} & {c_2} \\ {a_3} & {b_3} & {c_3} \end{matrix} \right| = 0$,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य है।
अतः,इस प्रणाली के अनंत समाधान हैं।

(A) दिया गया समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + 2y - 3z = 1$
$0x + 0y + (k + 3)z = 3$
$(2k + 1)x + 0y + z = 0$
इस निकाय को आव्यूह समीकरण $AX = B$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & k+3 \\ 2k+1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
निकाय के असंगत होने के लिए,सारणिक $D = |A| = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = 1(0 - 0) - 2(0 - (k+3)(2k+1)) - 3(0 - 0)$
$D = 2(k+3)(2k+1)$
$D = 0$ रखने पर,हमें $k = -3$ या $k = -1/2$ प्राप्त होता है।
यदि $k = -3$ है,तो दूसरा समीकरण $0 = 3$ हो जाता है,जो एक विरोधाभास है। अतः,$k = -3$ के लिए निकाय असंगत है।
यदि $k = -1/2$ है,तो तीसरा समीकरण $0x + 0y + z = 0$ हो जाता है और दूसरा समीकरण $2.5z = 3$ हो जाता है,जो कि संगत है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$a + b - 2c = 0$
$2a - 3b + c = 0$
$a - 5b + 4c = \alpha$
रैखिक समीकरणों के निकाय के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $D_1, D_2, D_3$ भी शून्य होने चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -5 & 4 \end{vmatrix}$
$D = 1((-3)(4) - (1)(-5)) - 1((2)(4) - (1)(1)) - 2((2)(-5) - (-3)(1))$
$D = 1(-12 + 5) - 1(8 - 1) - 2(-10 + 3)$
$D = 1(-7) - 1(7) - 2(-7) = -7 - 7 + 14 = 0$
चूंकि $D = 0$ है,निकाय संगत होगा यदि सारणिक $D_1$ (प्रथम स्तंभ को अचर पदों से बदलने पर) शून्य हो:
$D_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 \\ \alpha & -5 & 4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D_1 = \alpha \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = \alpha(1 - 6) = -5\alpha$
$D_1 = 0$ रखने पर,हमें $-5\alpha = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 0$।

(C) हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(3 \times 2 - 1 \times 1) - 2(2 \times 2 - 3 \times 1) + 3(2 \times 1 - 3 \times 3)$
$D = 1(6 - 1) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9)$
$D = 1(5) - 2(1) + 3(-7)$
$D = 5 - 2 - 21 = -18$
चूंकि $D \neq 0$,इसलिए समीकरणों के इस निकाय का $a, b, c$ के किसी भी मान के लिए एक अद्वितीय हल है।

(D) समघात रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
दिया गया निकाय:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y + 3z = 0$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3((-14)(3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(-42 - 30) + 2(3\lambda - 15) + (2\lambda + 14) = 0$
$3(-72) + 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$-216 + 8\lambda - 16 = 0$
$8\lambda - 232 = 0$
$8\lambda = 232$
$\lambda = \frac{232}{8} = 29$
अतः,$\lambda$ का मान $29$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय $AX = B$ का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \ne 0$।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{bmatrix}$
हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$|A| = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$|A| = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$|A| = -k$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \ne 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-k \ne 0$,या $k \ne 0$।

(C) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$x_1 - x_2 + x_3 = 2$
$3x_1 - x_2 + 2x_3 = -6$
$3x_1 + x_2 + x_3 = -18$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 2) - (-1)(3 - 6) + 1(3 + 3) = 1(-3) + 1(-3) + 1(6) = -3 - 3 + 6 = 0$
इसके बाद,पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $D_1$ ज्ञात करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & 2 \\ -18 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-1 - 2) - (-1)(-6 + 36) + 1(-6 - 18) = 2(-3) + 1(30) - 24 = -6 + 30 - 24 = 0$
इसी प्रकार,$D_2$ और $D_3$ की गणना करने पर:
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -6 & 2 \\ 3 & -18 & 1 \end{vmatrix} = 1(-6 + 36) - 2(3 - 6) + 1(-54 + 18) = 30 - 2(-3) - 36 = 30 + 6 - 36 = 0$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & -6 \\ 3 & 1 & -18 \end{vmatrix} = 1(18 + 6) - (-1)(-54 + 18) + 2(3 + 3) = 24 - 36 + 12 = 0$
चूंकि $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ है,इसलिए प्रणाली सुसंगत है और इसके अनंत हल हैं।

(A) रैखिक समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए $(D \neq 0)$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$D = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$D = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$D = 23 - \mu$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $23 - \mu \neq 0$,या $\mu \neq 23$।
चूंकि $D \neq 0$ की शर्त केवल $\mu$ के मान पर निर्भर करती है और $\lambda$ से स्वतंत्र है,इसलिए अद्वितीय हल का अस्तित्व केवल $\mu$ पर निर्भर करता है।

(A) दी गई समीकरण प्रणाली को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -18 \end{bmatrix}$
हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक मैट्रिक्स $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-1)(1) - (2)(1)) - 1((3)(1) - (2)(3)) + 1((3)(1) - (-1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 2) - 1(3 - 6) + 1(3 + 3)$
$|A| = 1(-3) - 1(-3) + 1(6) = -3 + 3 + 6 = 6$
चूंकि $|A| \neq 0$,मैट्रिक्स $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
इसलिए,समीकरण प्रणाली का एक अद्वितीय हल है।

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 12$
एक रैखिक समीकरण निकाय $AX = B$ असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2)$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0$
$D = \lambda - 3$
निकाय के असंगत होने के लिए,हम $D = 0$ रखते हैं:
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
अब,$\lambda = 3$ पर $D_z$ की गणना करके संगतता की जाँच करें:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 1 & 2 & 12 \end{vmatrix}$
$D_z = 1(24 - 20) - 1(12 - 10) + 6(2 - 2)$
$D_z = 1(4) - 1(2) + 6(0) = 4 - 2 = 2$
चूंकि $D = 0$ और $D_z \neq 0$ है,इसलिए $\lambda = 3$ पर निकाय असंगत है।

(A) समीकरणों की दी गई प्रणाली समघात (homogeneous) है:
$x + ay + 0z = 0$
$0x + y + az = 0$
$ax + 0y + z = 0$
एक समघात प्रणाली के अनंत हल (गैर-तुच्छ हल) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 \times 1 - a \times 0) - a(0 \times 1 - a \times a) + 0(0 \times 0 - 1 \times a) = 0$
$1(1) - a(-a^2) + 0 = 0$
$1 + a^3 = 0$
$a^3 = -1$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $a = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई समीकरणों की प्रणाली:
$1) 3x + y + 2z = 3$
$2) 2x - 3y - z = -3$
$3) x + 2y + z = 4$
हम इसे प्रतिस्थापन विधि या दिए गए विकल्पों की जाँच करके हल कर सकते हैं।
आइए विकल्प $(d)$ की जाँच करें जहाँ $x = 1, y = 2, z = -1$ है:
समीकरण $(1)$ के लिए: $3(1) + (2) + 2(-1) = 3 + 2 - 2 = 3$ (संतुष्ट है)
समीकरण $(2)$ के लिए: $2(1) - 3(2) - (-1) = 2 - 6 + 1 = -3$ (संतुष्ट है)
समीकरण $(3)$ के लिए: $(1) + 2(2) + (-1) = 1 + 4 - 1 = 4$ (संतुष्ट है)
चूंकि सभी समीकरण संतुष्ट हैं,इसलिए सही मान $x = 1, y = 2, z = -1$ हैं।

(D) समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर न हो।
सबसे पहले, गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$
$D = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) + (-1)(1 - (-2))$
$D = -4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 3$
$D = -3\lambda - 6$
निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए, हम $D = 0$ रखते हैं:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$
अब, $\lambda = -2$ के लिए $D_x$ की जाँच करें:
$D_x = \begin{vmatrix} 12 & -1 & -1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 12(4 - 1) - (-1)(8 - 4) + (-1)(-4 + 8)$
$D_x = 12(3) + 1(4) - 1(4) = 36 \neq 0$
चूँकि $D = 0$ और $D_x \neq 0$ है, इसलिए $\lambda = -2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) क्रेमर के नियम के अनुसार,रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$,$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$,और $a_3x + b_3y + c_3z = d_3$ के लिए,$x$ का मान $x = \frac{D_1}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 3 \\ 5 & 10 & 5 \end{vmatrix}$.
$D_1$ वह सारणिक है जो $D$ के पहले स्तंभ को स्थिरांकों $d_1, d_2, d_3$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & 3 & 4 \\ 10 & 9 & 3 \\ 11 & 10 & 5 \end{vmatrix}$.
अतः,$x = \frac{D_1}{D} = \frac{\begin{vmatrix} 9 & 3 & 4 \\ 10 & 9 & 3 \\ 11 & 10 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 3 \\ 5 & 10 & 5 \end{vmatrix}}$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = \mu$
गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) = \lambda - 3$ है।
निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए,$|A| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda = 3$।
जब $\lambda = 3$ है,तो समीकरण निकाय:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + 3z = \mu$
दूसरे समीकरण को तीसरे समीकरण से घटाने पर,हमें $0 = \mu - 10$ प्राप्त होता है।
यदि $\mu \ne 10$ है,तो यह एक विरोधाभास है,जिसका अर्थ है कि निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,कोई हल न होने की शर्त $\lambda = 3$ और $\mu \ne 10$ है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - 2C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 1 & b & b \\ 1 & 2c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & b & b-a \\ 0 & 2c-b & c-b \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot [b(c - b) - (b - a)(2c - b)] = 0$
$bc - b^2 - (2bc - b^2 - 2ac + ab) = 0$
$bc - b^2 - 2bc + b^2 + 2ac - ab = 0$
$2ac - ab - bc = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\alpha^2 - 1) - 1(\alpha - 1) + 1(1 - \alpha) = 0$
$(\alpha - 1)^2(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha = 1$ या $\alpha = -2$ है।
यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण $x + y + z = 0$ बन जाते हैं,जिसके अनंत हल होते हैं।
यदि $\alpha = -2$ है,तो समीकरण:
$-2x + y + z = -3$
$x - 2y + z = -3$
$x + y - 2z = -3$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $0 = -9$ प्राप्त होता है,जो कि एक विरोधाभास है। अतः,$\alpha = -2$ के लिए कोई हल नहीं है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ है। हमारे पास $AX = B$ है,जिसका अर्थ है $X = A^{-1}B$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (3)(1) - (1)(4) = 3 - 4 = -1$।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज आव्यूह (adjoint) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}$।
फिर,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$।
अब,$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$X = \begin{bmatrix} (-1)(5) + (1)(2) & (-1)(-1) + (1)(3) \\ (4)(5) + (-3)(2) & (4)(-1) + (-3)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5+2 & 1+3 \\ 20-6 & -4-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 14 & -13 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$AX = B$ से,हमें प्राप्त होता है $X = A^{-1}B$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3$ ज्ञात करें।
$A$ का सहखंडज आव्यूह $adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$X = A^{-1}B = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$X = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} (1)(3) + (2)(1) \\ (2)(3) + (1)(1) \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 + 2 \\ 6 + 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$।

(A) सबसे पहले,हम समीकरण के दाईं ओर आव्यूह गुणन करते हैं:
$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 0 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(2) + (-2)(1) \\ 0(2) + (-6)(1) \\ -1(2) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 2 \\ 0 - 6 \\ -2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \\ 0 \end{bmatrix}$
अब,हम इसे बाईं ओर के बराबर करते हैं:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \\ 0 \end{bmatrix}$
यह हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली देता है:
$1) \ x + 2y + 3z = 6$
$2) \ 3x + y + 2z = -6$
$3) \ 2x + 3y + z = 0$
तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x + 3x + 2x) + (2y + y + 3y) + (3z + 2z + z) = 6 - 6 + 0$
$6x + 6y + 6z = 0 \implies x + y + z = 0$
समीकरण $(3)$ से,$z = -2x - 3y$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2y + 3(-2x - 3y) = 6 \implies x + 2y - 6x - 9y = 6 \implies -5x - 7y = 6$
इस प्रणाली को हल करने पर,हमें $x = -4, y = 2, z = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह गुणन करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + z = 1$ $(1)$
$-x + y = 1$ $(2)$
$-y + z = 2$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से,$y = x + 1$ है।
समीकरण $(1)$ से,$z = 1 - x$ है।
$y$ और $z$ के मान को समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - x) - (x + 1) = 2$
$1 - x - x - 1 = 2$
$-2x = 2$
$x = -1$.
अब,$y$ और $z$ ज्ञात करें:
$y = -1 + 1 = 0$
$z = 1 - (-1) = 2$.
अतः,$(x, y, z) = (-1, 0, 2)$.

(A) समीकरणों की दी गई प्रणाली है:
$x + 2y + 3z = 1$
$2x + y + 3z = 2$
$5x + 5y + 9z = 4$
इसे $AX = B$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ है।
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1 \times 9 - 3 \times 5) - 2(2 \times 9 - 3 \times 5) + 3(2 \times 5 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(9 - 15) - 2(18 - 15) + 3(10 - 5)$
$|A| = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$|A| = -6 - 6 + 15 = 3$
चूँकि $|A| = 3 \neq 0$ है,इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$0x_1 + 1x_2 - 1x_3 = 1$
$-1x_1 + 0x_2 + 2x_3 = -2$
$1x_1 - 2x_2 + 0x_3 = 3$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0(0 - (-4)) - 1(0 - 2) + (-1)(2 - 0) = 0 + 2 - 2 = 0$
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए निकाय या तो असंगत है या इसके अनंत हल हैं। हम पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $D_1$ की गणना करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-4)) - 1(0 - 6) + (-1)(4 - 0) = 4 + 6 - 4 = 6$
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$ है,इसलिए समीकरणों का निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
यह निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय के बराबर है:
$1) x + y + z = 0$
$2) x - 2y - 2z = 3$
$3) x + 3y + z = 4$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$.
अब $y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $(4)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $(5)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(5)$ को घटाने पर:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$.
$z = -3$ का मान समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$.
अतः,हल $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ है।

(B) मान लीजिए $\frac{x^2}{a^2} = X, \frac{y^2}{b^2} = Y$ और $\frac{z^2}{c^2} = Z$ है।
समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$X + Y - Z = 1$
$X - Y + Z = 1$
$-X + Y + Z = 1$
गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(1) - (1)(1)) - 1((1)(1) - (1)(-1)) + (-1)((1)(1) - (-1)(-1))$
$|A| = 1(-2) - 1(2) - 1(0) = -4$
चूंकि $|A| = -4 \neq 0$,इसलिए $(X, Y, Z)$ के लिए अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण:
${x^a}{y^b} = {e^m}$ और ${x^c}{y^d} = {e^n}$
दोनों समीकरणों के दोनों पक्षों में प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
यह $\ln x$ और $\ln y$ के रूप में रैखिक समीकरणों का एक निकाय है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम सारणिकों को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
${\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \end{array}} \right|$
${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m & b \\ n & d \end{array}} \right|$
${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & m \\ c & n \end{array}} \right|$
क्रेमर के नियम के अनुसार:
$\ln x = \frac{{{\Delta _1}}}{{{\Delta _3}}}$ और $\ln y = \frac{{{\Delta _2}}}{{{\Delta _3}}}$
इसलिए,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$x = {e^{{\Delta _1}/{\Delta _3}}}$ और $y = {e^{{\Delta _2}/{\Delta _3}}}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिए गए समीकरण:
$3X + 2Y = I$ $(i)$
$2X - Y = O$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4X - 2Y = 2O = O$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(3X + 2Y) + (4X - 2Y) = I + O$
$7X = I$
$X = \frac{1}{7}I$
$X$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(\frac{1}{7}I) - Y = O$
$Y = \frac{2}{7}I$
अतः,$X = \frac{1}{7}I$ और $Y = \frac{2}{7}I$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 10$ $(i)$
$2x + y = 18$ $(ii)$
$4x - 3y = 26$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 18 - 10$
$x = 8$
$x = 8$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8 + y = 10$
$y = 2$
अब,जाँचें कि क्या बिंदु $(8, 2)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करता है:
$L.H.S. = 4(8) - 3(2) = 32 - 6 = 26$
$R.H.S. = 26$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,बिंदु $(8, 2)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,समीकरणों के इस निकाय का केवल एक ही सामान्य हल है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1$ या $\Delta_2$ में से कम से कम एक सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} k+1 & 8 \\ k & k+3 \end{vmatrix} = (k+1)(k+3) - 8k = k^2 + 4k + 3 - 8k = k^2 - 4k + 3 = (k-3)(k-1)$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $k = 1$ या $k = 3$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों के लिए $\Delta_1$ और $\Delta_2$ की गणना करते हैं:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4k & 8 \\ 3k-1 & k+3 \end{vmatrix} = 4k(k+3) - 8(3k-1) = 4k^2 + 12k - 24k + 8 = 4k^2 - 12k + 8 = 4(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k+1 & 4k \\ k & 3k-1 \end{vmatrix} = (k+1)(3k-1) - 4k^2 = 3k^2 + 2k - 1 - 4k^2 = -k^2 + 2k - 1 = -(k-1)^2$.
स्थिति $k=1$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0$. इस स्थिति में अनंत हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $k=3$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 4(3-1)(3-2) = 8 \neq 0, \Delta_2 = -(3-1)^2 = -4 \neq 0$.
चूंकि $k=3$ के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1, \Delta_2 \neq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान संभव है।

(A) समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 1(a - b) - 1(1 - a) + 1(b - a^2) = a - b - 1 + a + b - a^2 = -a^2 + 2a - 1 = -(a - 1)^2$.
निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए,$D = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(a - 1)^2 = 0$,इसलिए $a = 1$.
$a = 1$ को निकाय में रखने पर:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = 1$
$x + by + z = 0$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों के साथ असंगत होना चाहिए। चूंकि पहले दो समीकरण एक ही समतल $x + y + z = 1$ को दर्शाते हैं,इसलिए तीसरा समीकरण $x + by + z = 0$ को पहले समतल के समानांतर होना चाहिए लेकिन उसके समान नहीं।
$x + y + z = 1$ और $x + by + z = 0$ की तुलना करने पर,समतलों के समानांतर होने के लिए $x, y, z$ के गुणांक आनुपातिक होने चाहिए। अतः,$1/1 = b/1 = 1/1$,जिसका अर्थ है $b = 1$.
यदि $b = 1$ है,तो तीसरा समीकरण $x + y + z = 0$ बन जाता है,जो $x + y + z = 1$ के समानांतर है लेकिन अलग है (क्योंकि $0 \neq 1$)। अतः,$b = 1$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,$S = \{1\}$,जो एक एकल समुच्चय है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय के शून्येतर हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-3k + 8) - k(-9 + 4) + 3(12 - 2k) = 0$
$-3k + 8 + 5k + 36 - 6k = 0$
$-4k + 44 = 0 \Rightarrow k = 11$
$k = 11$ को समीकरणों में रखने पर:
$x + 11y + 3z = 0$ $(1)$
$3x + 11y - 2z = 0$ $(2)$
$2x + 4y - 3z = 0$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(3x - x) + (11y - 11y) + (-2z - 3z) = 0 \Rightarrow 2x - 5z = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}z$
$x = \frac{5}{2}z$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{5}{2}z + 11y + 3z = 0 \Rightarrow 11y = -\frac{11}{2}z \Rightarrow y = -\frac{1}{2}z$
अब,$\frac{xz}{y^2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{xz}{y^2} = \frac{(\frac{5}{2}z)(z)}{(-\frac{1}{2}z)^2} = \frac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{1}{4}z^2} = \frac{5}{2} \times 4 = 10$

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1}(AX) = A^{-1}B$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{-1}A = I$,इसलिए $IX = A^{-1}B$,जो सरल होकर $X = A^{-1}B$ हो जाता है।
अब,दिए गए आव्यूहों के मान रखने पर:
$X = \begin{bmatrix} 3 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -4 & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ 2 & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 \\ 52 \\ 0 \end{bmatrix}$
गुणनफल की गणना करने पर:
$X = \begin{bmatrix} (3 \times 9) + (-\frac{1}{2} \times 52) + (-\frac{1}{2} \times 0) \\ (-4 \times 9) + (\frac{3}{4} \times 52) + (\frac{5}{4} \times 0) \\ (2 \times 9) + (-\frac{1}{4} \times 52) + (-\frac{3}{4} \times 0) \end{bmatrix}$
$X = \begin{bmatrix} 27 - 26 + 0 \\ -36 + 39 + 0 \\ 18 - 13 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$a_1x + b_1y + c_1z = -d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = -d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = -d_3$
क्रेमर के नियम के अनुसार,$x$ का मान $x = \frac{D_x}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = \Delta (a,b,c) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ और $D_x = \begin{vmatrix} -d_1 & b_1 & c_1 \\ -d_2 & b_2 & c_2 \\ -d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ है।
$D_x$ के पहले स्तंभ से $-1$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D_x = -1 \times \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = -\Delta (d,b,c) = -\Delta (b,c,d)$.
अतः,$x = \frac{-\Delta (bcd)}{\Delta (abc)}$।

(B) $n$ रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य के बराबर नहीं $(|A| \neq 0)$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि आव्यूह $A$ नॉन-सिंगुलर है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि अद्वितीय हल के लिए नॉन-सिंगुलर आव्यूह की आवश्यकता होती है।
कथन $(C)$ के लिए,यदि $A^{-1}$ मौजूद है,तो $|A| \neq 0$। चूंकि $|adj A| = |A|^{n-1}$,इसलिए $|adj A| \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $(adj A)^{-1}$ का अस्तित्व होना चाहिए।
कथन $(D)$ के लिए,दिए गए आव्यूह के गुण का उपयोग करने पर,$F(x) \cdot F(y) = F(x + y)$ प्राप्त होता है,न कि $F(x - y)$।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_x = D_y = D_z = 0$ होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & p & 2 \\ 1 & 4 & \mu \end{bmatrix}$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$1(p\mu - 8) - 2(\mu - 2) + 3(4 - p) = 0$
$p\mu - 8 - 2\mu + 4 + 12 - 3p = 0$
$p\mu - 3p - 2\mu + 8 = 0$
$(p - 2)(\mu - 3) = 2$ प्राप्त होता है।
ऑगमेंटेड आव्यूह का उपयोग करने पर:
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ करने पर:
$R_2: (0, p-2, -1, | -1)$
$R_3: (0, 2, \mu-3, | -1)$
अनंत हलों के लिए,पंक्तियाँ समानुपाती होनी चाहिए: $\frac{p-2}{2} = \frac{-1}{\mu-3} = 1$।
अतः,$p-2 = 2 \implies p = 4$ और $\mu-3 = -1 \implies \mu = 2$।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी $p=4, \mu=2$ से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) एक आव्यूह सिंगुलर होता है यदि उसका सारणिक (determinant) $0$ के बराबर हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
तब $A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 3 \\ 2 & 2 - \lambda \end{bmatrix}$।
$A - \lambda I$ के सिंगुलर होने के लिए,$\det(A - \lambda I) = 0$ होना चाहिए।
$\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - (3)(2) = 0$।
$2 - \lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 6 = 0$।
$\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय:
$a^2 x - ay = 1 - a$ $(1)$
$bx + (3 - 2b) y = 3 + a$ $(2)$
चूंकि $(x, y) = (1, 1)$ एक हल है,इसलिए इन मानों को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
समीकरण $(1)$ के लिए: $a^2(1) - a(1) = 1 - a \implies a^2 - a = 1 - a \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$.
समीकरण $(2)$ के लिए: $b(1) + (3 - 2b)(1) = 3 + a \implies b + 3 - 2b = 3 + a \implies 3 - b = 3 + a \implies b = -a$.
स्थिति $I$: यदि $a = 1$,तो $b = -1$। अद्वितीयता की जांच करने पर: गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} a^2 & -a \\ b & 3 - 2b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 1 = 4 \neq 0$। अतः,$a = 1, b = -1$ एक अद्वितीय हल देता है।
स्थिति $II$: यदि $a = -1$,तो $b = 1$। अद्वितीयता की जांच करने पर: $D = \begin{vmatrix} (-1)^2 & -(-1) \\ 1 & 3 - 2(1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0$। चूंकि $D = 0$ है,इसलिए $a = -1, b = 1$ के लिए निकाय का अद्वितीय हल नहीं है।
अतः,सही हल $a = 1, b = -1$ है।

(B) दिए गए समीकरण निकाय:
$ax - by = 2a - b$ $(1)$
$(c + 1)x + cy = 10 - a + 3b$ $(2)$
चूंकि $(x = 1, y = 3)$ एक हल है,मान रखने पर:
समीकरण $(1)$ से: $a(1) - b(3) = 2a - b \implies a - 3b = 2a - b \implies a = -2b$.
समीकरण $(2)$ से: $(c + 1)(1) + c(3) = 10 - a + 3b \implies 4c + 1 = 10 - a + 3b$.
$a = -2b$ रखने पर: $4c + 1 = 10 - (-2b) + 3b \implies 4c = 9 + 5b \implies c = \frac{9 + 5b}{4}$.
अनंत हलों के लिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{a}{c + 1} = \frac{-b}{c} = \frac{2a - b}{10 - a + 3b}$.
$\frac{a}{c + 1} = \frac{-b}{c}$ में $a = -2b$ रखने पर: $\frac{-2b}{c + 1} = \frac{-b}{c}$.
इससे $b = 0$ या $c = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $b = 0$,तो $a = 0$ और $c = 9/4$। त्रिक $(0, 0, 9/4)$।
स्थिति $2$: यदि $c = 1$,तो $b = -1$ और $a = 2$। त्रिक $(2, -1, 1)$।
अतः,ऐसे कुल दो त्रिक हैं।

(B) निकाय की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसे आव्यूह रूप $AX = B$ में लिखते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ है।
हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3(1 \times 5 - 5 \times 3) - (-7)(3 \times 5 - 5 \times 2) + 5(3 \times 3 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 15) + 7(15 - 10) + 5(9 - 2)$
$|A| = 3(-10) + 7(5) + 5(7)$
$|A| = -30 + 35 + 35 = 40$.
चूँकि $|A| \neq 0$,निकाय का एक अद्वितीय हल है।
क्रेमर के नियम या आव्यूह प्रतिलोम द्वारा,हम $x, y, z$ के मान ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि दाईं ओर के स्थिरांक गैर-शून्य हैं,इसलिए हल गैर-तुच्छ है।
अतः,निकाय संगत है और इसका एक अद्वितीय गैर-तुच्छ हल है।

(A) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ का अशून्य (non-trivial) हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
गुणांक आव्यूह है:
$A = \begin{bmatrix} \lambda & -1 & \cos\theta \\ 3 & 1 & 2 \\ \cos\theta & 1 & 2 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = \lambda(1 \times 2 - 1 \times 2) - (-1)(3 \times 2 - \cos\theta \times 2) + \cos\theta(3 \times 1 - \cos\theta \times 1)$
$|A| = \lambda(0) + (6 - 2\cos\theta) + \cos\theta(3 - \cos\theta)$
$|A| = 6 - 2\cos\theta + 3\cos\theta - \cos^2\theta$
$|A| = 6 + \cos\theta - \cos^2\theta$
अशून्य हल के लिए,$|A| = 0$:
$-\cos^2\theta + \cos\theta + 6 = 0$
$\cos^2\theta - \cos\theta - 6 = 0$
माना $t = \cos\theta$,तब $t^2 - t - 6 = 0$।
$(t - 3)(t + 2) = 0$
अतः,$\cos\theta = 3$ या $\cos\theta = -2$।
चूंकि $\cos\theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए $\cos\theta = 3$ या $\cos\theta = -2$ संभव नहीं है।
अतः,किसी भी $\theta \in (0, 2\pi)$ के लिए $|A|$ कभी शून्य नहीं होता है।
इस प्रकार,$\lambda$ और $\theta$ के सभी मानों के लिए निकाय का केवल शून्य हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही प्राप्त होता है।

(B) समीकरणों की प्रणाली को आव्यूह रूप $AX = B$ में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 & 2 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ 0 & \cos\theta & 2 \end{bmatrix}$ है।
अद्वितीय हल की जाँच के लिए,हम सारणिक $D = |A|$ की गणना करते हैं।
$D = \sin\theta (\sin\theta \cdot 2 - 0 \cdot \cos\theta) - 0 + 2 (\cos\theta \cdot \cos\theta - 0 \cdot \sin\theta)$
$D = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2(1) = 2$.
चूँकि $D = 2 \neq 0$,प्रणाली का एक अद्वितीय हल है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,$x = \frac{D_x}{D}$,$y = \frac{D_y}{D}$,और $z = \frac{D_z}{D}$ प्राप्त होता है।
$D_x = -2a\sin\theta$,$D_y = -2a\cos\theta$,और $D_z = a\sin^2\theta$.
अतः,$x = -a\sin\theta$,$y = -a\cos\theta$,और $z = \frac{a\sin^2\theta}{2}$ है।
चूँकि हल $a$ और $\theta$ दोनों पर निर्भर करता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय $Ax = b$ के हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सबसे पहले आव्यूह $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = 1(0 \times 1 - 5 \times 2) - 2(2 \times 1 - 5 \times 0) + 3(2 \times 2 - 0 \times 0)$
$|A| = 1(0 - 10) - 2(2 - 0) + 3(4 - 0)$
$|A| = -10 - 4 + 12 = -2$
चूंकि $|A| = -2$,जो $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
एक रैखिक समीकरण निकाय $Ax = b$ का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय हो $(|A| \neq 0)$।
अतः,$Ax = b$ का एक अद्वितीय हल है।

(B) कथन $-1$: यदि दो रेखाएं न तो समानांतर हैं और न ही संपाती हैं,तो वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। यह कथन $T$ है।
कथन $-2$: समीकरण निकाय $ax + by = 0$ और $cx + dy = 0$ एक समघात निकाय है। यदि इसका शून्येतर हल है,तो सारणिक $ad - bc = 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि रेखाएं संपाती हैं,जिससे अनंत हल प्राप्त होते हैं। यह कथन $T$ है।
कथन $-3$: $x + y + z = 1$ में $x = y$ और $y = 1 + z$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1 + z) + (1 + z) + z = 1$ प्राप्त होता है,जो $3z + 2 = 1$ में सरल हो जाता है,अर्थात $3z = -1$ या $z = -1/3$। इससे $y = 2/3$ और $x = 2/3$ प्राप्त होते हैं। चूँकि हल मौजूद है,निकाय संगत है। यह कथन $F$ है।
कथन $-4$: यदि किसी निकाय के दो समीकरण असंगत हैं (उदाहरण के लिए,$x + y = 1$ और $x + y = 2$),तो उन्हें एक साथ संतुष्ट नहीं किया जा सकता,जिससे पूरा निकाय असंगत हो जाता है। यह कथन $T$ है।
सही क्रम $TTFT$ है।

(D) हल की प्रकृति ज्ञात करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ निकालते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & \alpha \end{vmatrix}$
$D = 1(-\alpha + 2) - (-1)(2\alpha - 1) + 3(-4 + 1)$
$D = -\alpha + 2 + 2\alpha - 1 - 9 = \alpha - 8$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha \neq 8$. अतः,विकल्प $b$ सही है।
यदि $\alpha = 8$ है,तो $D = 0$. हम $D_1, D_2, D_3$ की गणना करके संगतता की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 8 \end{vmatrix} = 2(-8 + 2) + 1(32 - 3) + 3(-8 + 3) = -12 + 29 - 15 = 2 \neq 0$
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$,इसलिए $\alpha = 8$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है। अतः,विकल्प $c$ भी सही है।
इसलिए,$b$ और $c$ दोनों सही हैं।