Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(A) समीकरणों की प्रणाली के संगत होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। गणना करने पर,संगतता की स्थिति $\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ प्राप्त होती है। सारणिक $|M| = \alpha - 2\beta + \gamma$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,$|M| = 1$ और $D = 1.5$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $p, q, r$ एक हरात्मक प्रगति के $10^{\text{th}}, 100^{\text{th}}, 1000^{\text{th}}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं। मान लीजिए $AP$ $a + (n-1)d$ है। तो $\frac{1}{p} = a + 9d, \frac{1}{q} = a + 99d, \frac{1}{r} = a + 999d$ है।
तीसरे समीकरण $qrx + pry + pqz = 0$ को $pqr$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ प्राप्त होता है।
$AP$ पदों को प्रतिस्थापित करने पर,प्रणाली इस प्रकार बनती है:
$x+y+z=1$
$x+10y+100z=0$
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$
प्रणाली का सारणिक $D$ की गणना करने पर: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 10 & 100 \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$।
$AP$ के गुणों का उपयोग करते हुए,$D = 0$ तभी होता है जब पदों का अनुपात प्रगति से मेल खाता हो। विशेष रूप से,यदि $D=D_x=D_y=D_z=0$ हो तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
$(I)$ के लिए,यदि $\frac{q}{r}=10$,तो प्रणाली अनंत हलों $(R)$ के साथ सुसंगत है,और चूंकि इसके अनंत हल हैं,इसलिए इसके पास कम से कम एक हल $(T)$ है।
$(II)$ के लिए,यदि $\frac{p}{r} \neq 100$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।
$(III)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q} \neq 10$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।
$(IV)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q}=10$,तो प्रणाली के पास अनंत हल $(R)$ हैं,और इसलिए कम से कम एक हल $(T)$ है।
इनका मिलान करने पर,$(I) \rightarrow (R, T), (II) \rightarrow (S), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (R, T)$। विकल्प $(B)$ सही मिलान है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = \beta(1(-2) - (-2)(1)) - 0 + 1(2(1) - 3(1)) = \beta(0) + 1(-1) = -1$ की गणना करें।
चूंकि $|A| = -1 \neq 0$,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
हमें दिया गया है कि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $0$ है:
$|A^5(A^2 - (\beta - 1)A - \beta I)| = 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,हमारे पास $|A|^5 |A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $|A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$.
सारणिक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करें:
$A^2 - (\beta - 1)A - \beta I = A^2 - \beta A + A - \beta I = A(A - \beta I) + I(A - \beta I) = (A + I)(A - \beta I)$.
अतः,$|A + I| |A - \beta I| = 0$.
$A + I = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$|A + I| = (\beta + 1)(-2 - (-2)) - 0 + 1(2 - 6) = (\beta + 1)(0) - 4 = -4 \neq 0$.
इसलिए,हमें $|A - \beta I| = 0$ लेना होगा।
$A - \beta I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 - \beta & -2 \\ 3 & 1 & -2 - \beta \end{bmatrix}$.
$|A - \beta I| = 1(2 - 3(1 - \beta)) = 2 - 3 + 3\beta = 3\beta - 1$.
$3\beta - 1 = 0$ रखने पर,हमें $\beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$9\beta = 9 \times \frac{1}{3} = 3$.

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1 = 0$ होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & a \\ -1 & -3 & b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 2a + b - 6 = 0$ (समीकरण $1$).
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & a+1 \\ -1 & -3 & 2b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow a + b - 8 = 0$ (समीकरण $2$).
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(2a + b - 6) - (a + b - 8) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर: $-2 + b = 8 \Rightarrow b = 10$.
अतः,$7a + 3b = 7(-2) + 3(10) = -14 + 30 = 16$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_x = D_y = D_z = 0$ होना चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} \lambda-1 & \lambda-4 & \lambda \\ \lambda & \lambda-1 & \lambda-4 \\ \lambda+1 & \lambda+2 & -(\lambda+2) \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने या सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $(\lambda-3)(2\lambda+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = -1/2$.
$\lambda = 3$ के लिए $D_x = 0$ की संगतता की जाँच करने पर:
$D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 5(-10+5) + 1(-35+9) + 3(35-18) = 5(-5) - 26 + 3(17) = -25 - 26 + 51 = 0$.
चूंकि $\lambda = 3$ पर $D_x = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।
अतः,$\lambda^2 + \lambda = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.

(A) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 25) - 1(\lambda - 5) + 1(5 - 2) = 2\lambda - 25 - \lambda + 5 + 3 = \lambda - 17$ की गणना करें।
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 17$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 1(2\mu - 45) - 1(\mu - 9) + 6(5 - 2) = 2\mu - 45 - \mu + 9 + 18 = \mu - 18$ की गणना करें।
कोई हल न होने के लिए,$D = 0$ और $D_z \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\lambda = 17$ और $\mu \neq 18$।

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 5 & \lambda & 3 \\ 100 & -47 & \mu \end{vmatrix} = 2(\lambda\mu + 141) + 1(5\mu - 300) + 1(-235 - 100\lambda) = 0$ की गणना करते हैं।
सरल करने पर,$2\lambda\mu + 282 + 5\mu - 300 - 235 - 100\lambda = 0$,जो $2\lambda\mu + 5\mu - 100\lambda = 253$ देता है (समीकरण $1$)।
इसके बाद,हम $\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(212\lambda + 564) + 1(1060 - 1200) + 4(-235 - 100\lambda) = 0$.
$424\lambda + 1128 - 140 - 940 - 400\lambda = 0$.
$24\lambda + 48 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2(-2)\mu + 5\mu - 100(-2) = 253$.
$-4\mu + 5\mu + 200 = 253 \Rightarrow \mu = 53$.
अंत में,$\mu - 2\lambda = 53 - 2(-2) = 53 + 4 = 57$।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,सारणिक $D = 0$ और $D_1 = D_2 = D_3 = 0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{vmatrix} = 1(\lambda\mu - 15) - 2(2\mu - 70) - 3(6 - 14\lambda) = 0$
$\lambda\mu - 15 - 4\mu + 140 - 18 + 42\lambda = 0 \Rightarrow \lambda\mu + 42\lambda - 4\mu + 107 = 0$.
अब,$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & 33 \end{vmatrix} = 1(33\lambda - 15) - 2(66 - 70) + 2(6 - 14\lambda) = 0$
$33\lambda - 15 + 8 + 12 - 28\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $D = 0$ के समीकरण में रखने पर:
$(-1)\mu + 42(-1) - 4\mu + 107 = 0 \Rightarrow -5\mu + 65 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
अतः,$\lambda + \mu = -1 + 13 = 12$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{bmatrix}$ है।
$\Delta = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
अब,$\Delta_z = 0$ के लिए शर्त की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 4 & m^2 \end{vmatrix} = 1(2m^2-4m) - 1(m^2-m) + 1(4-2) = 2m^2 - 4m - m^2 + m + 2 = m^2 - 3m + 2 = 0$.
$m^2 - 3m + 2 = 0$ को हल करने पर $(m-1)(m-2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $m = 1$ या $m = 2$.
इस प्रकार,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$.
हमें $\sum_{n=1}^{10}(n^1 + n^2) = \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} n^2$ की गणना करनी है।
$k=10$ के लिए सूत्रों $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ और $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
कुल योग $55 + 385 = 440$ है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \beta \\ 2 & \alpha & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(\alpha + 2) - 1(2 + 1) + \beta(4 - \alpha) = 3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$.
इसके बाद,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 2 & \alpha & -3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(4\alpha + 6) - 1(8 + 3) + 3(4 - \alpha) = 9\alpha + 19 = 0$.
$9\alpha + 19 = 0$ से,$\alpha = -\frac{19}{9}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ का मान $3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$ में रखने पर:
$3(-\frac{19}{9}) + 4\beta - (-\frac{19}{9})\beta + 3 = 0 \Rightarrow -\frac{19}{3} + 4\beta + \frac{19}{9}\beta + 3 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $-57 + 36\beta + 19\beta + 27 = 0 \Rightarrow 55\beta = 30 \Rightarrow \beta = \frac{6}{11}$.
अंत में,$22\beta - 9\alpha = 22(\frac{6}{11}) - 9(-\frac{19}{9}) = 12 + 19 = 31$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 2(2\mu + 5) - \lambda(3\mu + 4) + 3(15 - 8) = 0$
$4\mu + 10 - 3\lambda\mu - 4\lambda + 21 = 0 \Rightarrow 4\mu - 3\lambda\mu - 4\lambda + 31 = 0 \dots (1)$
अब,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$ लेने पर:
$2(18 - 35) - \lambda(27 - 28) + 5(15 - 8) = 0$
$2(-17) - \lambda(-1) + 5(7) = 0 \Rightarrow -34 + \lambda + 35 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
समीकरण $(1)$ में $\lambda = -1$ रखने पर:
$4\mu - 3(-1)\mu - 4(-1) + 31 = 0$
$4\mu + 3\mu + 4 + 31 = 0 \Rightarrow 7\mu = -35 \Rightarrow \mu = -5$
अतः,$\lambda^2 + \mu^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

(B) प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -2 \\ 12 & 3 & -(4+\lambda) \end{array}\right| = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(-3(4+\lambda) + 6) - 3(-7(4+\lambda) + 24) + 5(21 - 36) = 0$.
$2(-12 - 3\lambda + 6) - 3(-28 - 7\lambda + 24) + 5(-15) = 0$.
$2(-6 - 3\lambda) - 3(-4 - 7\lambda) - 75 = 0$.
$-12 - 6\lambda + 12 + 21\lambda - 75 = 0 \Rightarrow 15\lambda = 75 \Rightarrow \lambda = 5$.
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह का सारणिक भी शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 5 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 - R_2$ का उपयोग करने पर: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 7 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
$1(-27 + 6) - 0 + 7(24 - 3(16-\mu)) = 0$.
$-21 + 7(24 - 48 + 3\mu) = 0 \Rightarrow -21 + 7(3\mu - 24) = 0$.
$-3 + 3\mu - 24 = 0 \Rightarrow 3\mu = 27 \Rightarrow \mu = 9$.
वृत्त का केंद्र $(5, 9)$ है। रेखा $4x - 3y = 0$ है।
त्रिज्या $(5, 9)$ से $4x - 3y = 0$ तक की लंबवत दूरी है: $r = \frac{|4(5) - 3(9)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|20 - 27|}{5} = \frac{7}{5}$.

(A) प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \\ 24 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda + 3) - 5(4\lambda + 72) - 1(4 - 72) = -17\lambda - 289 = 0$.
अतः,$\lambda = -17$.
अब,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 7 & 3 & -3 \\ \mu & 1 & -17 \end{vmatrix} = 540 - 12\mu = 0$.
अतः,$\mu = 45$.
समीकरण $x+5y-z=1$ और $4x+3y-3z=7$ प्राप्त होते हैं।
$(Eq 2)$ से $3 \times (Eq 1)$ घटाने पर: $x - 12y = 4 \Rightarrow x = 12y + 4$.
$x$ का मान $Eq 1$ में रखने पर: $z = 17y + 3$.
दिया गया है कि $7 \leq x+y+z \leq 77$.
$x$ और $z$ के मान रखने पर: $7 \leq 30y + 7 \leq 77 \Rightarrow 0 \leq 30y \leq 70 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2.33$.
चूंकि $y$ एक पूर्णांक है,$y \in \{0, 1, 2\}$.
प्रत्येक $y$ के लिए,$x$ और $z$ के अद्वितीय पूर्णांक हल प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$. चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2+\alpha+1=0$. अतः,$\alpha = \omega$ या $\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। हम जानते हैं कि $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$.
मैट्रिक्स गुणन करने पर: $\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-a-2b & 64-a-14b & 52+2a-8b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इससे समीकरण मिलते हैं: $a+2b=4$ और $a+14b=64$.
समीकरणों को घटाने पर: $12b=60 \Rightarrow b=5$. $b=5$ को $a+2b=4$ में रखने पर $a+10=4 \Rightarrow a=-6$ प्राप्त होता है।
अब,$a=-6, b=5$ को $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ में रखें।
चूंकि $\alpha^3=1$,$\alpha^4=\alpha$,$\alpha^{-6}=1$,और $\alpha^5=\alpha^2$.
अतः,$\frac{4}{\alpha} + m + \frac{n}{\alpha^2} = 3$.
$\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ और $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha$ का उपयोग करने पर,$4\alpha^2 + m + n\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 = -1-\alpha$ होने के कारण,$4(-1-\alpha) + m + n\alpha = 3 \Rightarrow (n-4)\alpha + (m-4) = 3$.
इस समीकरण के लिए,$n-4=0 \Rightarrow n=4$ और $m-4=3 \Rightarrow m=7$.
अतः,$m+n = 7+4 = 11$.

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
यह रैखिक समीकरणों के निकाय को दर्शाता है:
$1) x + 3y + 3z = 12$
$2) x + 4y + 4z = 15$
$3) x + 3y + 4z = 13$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 3y + 4z) - (x + 3y + 3z) = 13 - 12$
$z = 1$
$z = 1$ का मान समीकरण $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$x + 3y + 3(1) = 12 \implies x + 3y = 9$
$x + 4y + 4(1) = 15 \implies x + 4y = 11$
दूसरे सरल समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 3y) = 11 - 9$
$y = 2$
$y = 2$ का मान $x + 3y = 9$ में रखने पर:
$x + 3(2) = 9 \implies x + 6 = 9 \implies x = 3$
अब,$x^2 + y^2 + z^2$ की गणना करने पर:
$x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$
इससे रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$a - b + 2c = 3$ $(i)$
$2a + c = 1$ $(ii)$
$3a + 2b + c = 4$ $(iii)$
$(ii)$ से,$c = 1 - 2a$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $a - b + 2(1 - 2a) = 3 \implies a - b + 2 - 4a = 3 \implies -3a - b = 1 \implies b = -3a - 1$.
$a, b, c$ के मान $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3a + 2(-3a - 1) + (1 - 2a) = 4$
$3a - 6a - 2 + 1 - 2a = 4$
$-5a - 1 = 4$
$-5a = 5 \implies a = -1$.
अब $b$ और $c$ ज्ञात करें:
$b = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$c = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
अंत में,$2a - 3b + 4c$ की गणना करें:
$2(-1) - 3(2) + 4(3) = -2 - 6 + 12 = 4$.

(B) दिए गए आव्यूह समीकरण $AX = B$ के लिए:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ -2 \end{bmatrix}$
तीसरी पंक्ति से,$2x_2 = -2$,जिससे $x_2 = -1$ प्राप्त होता है।
$x_2 = -1$ को दूसरी पंक्ति के समीकरण $3x_2 - 5x_3 = -8$ में रखने पर:
$3(-1) - 5x_3 = -8 \Rightarrow -3 - 5x_3 = -8 \Rightarrow -5x_3 = -5 \Rightarrow x_3 = 1$.
$x_2 = -1$ और $x_3 = 1$ को पहली पंक्ति के समीकरण $x_1 - x_2 + x_3 = 4$ में रखने पर:
$x_1 - (-1) + 1 = 4 \Rightarrow x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2$.
अतः,$X = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

(C) माना कि तीन संख्याएँ $x, y,$ और $z$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + y + z = 6$ $(1)$
$x + 3z = 7$ $(2)$
$3x + y + z = 12$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3x + y + z) - (x + y + z) = 12 - 6$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$
$x = 3$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3 + 3z = 7$
$3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$
$x = 3$ और $z = \frac{4}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 + y + \frac{4}{3} = 6$
$y = 6 - 3 - \frac{4}{3} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}$
अतः,संख्याओं का गुणनफल $xyz = (3) \times (\frac{5}{3}) \times (\frac{4}{3}) = \frac{20}{3}$ है।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है,जहाँ $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$,और $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-1)(-4) - (0)(3)) - (-1)((2)(-4) - (0)(3)) + 1((2)(3) - (-1)(3))$
$|A| = 1(4) + 1(-8) + 1(6+3) = 4 - 8 + 9 = 5$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ का सहखंडज,$adj(A)$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त है:
$C_{11} = 4, C_{12} = 8, C_{13} = 9$
$C_{21} = -1, C_{22} = -7, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 2, C_{33} = 1$
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
अब,$X = A^{-1}B = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}4(1) - 1(1) + 1(2) \\ 8(1) - 7(1) + 2(2) \\ 9(1) - 6(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$.
इसलिए,$x=1, y=1, z=1$.
अंत में,$x+y+z = 1+1+1 = 3$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x + 3y + 3z = 12$
$y + z = 3$
$z = 1$
$z = 1$ का मान $y + z = 3$ में रखने पर $y + 1 = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 2$ है।
$y = 2$ और $z = 1$ का मान $x + 3y + 3z = 12$ में रखने पर:
$x + 3(2) + 3(1) = 12$
$x + 6 + 3 = 12$
$x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3$
अंत में,$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 9 + 4 + 1 = 14$।

(A) समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ है।
हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सारणिक $\Delta = |A|$ की गणना करते हैं।
$\Delta = 1(9-15) - 2(18-15) + 3(10-5)$
$\Delta = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$\Delta = -6 - 6 + 15 = 3$.
चूँकि $\Delta \neq 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल (केवल एक हल) है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 6 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
अब,$R_3 \rightarrow R_3 - 6R_2$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$
परिणामी समीकरण प्रणाली से:
$5x_3 = 5 \implies x_3 = 1$
$x_2 - 2x_3 = -1 \implies x_2 - 2(1) = -1 \implies x_2 = 1$
$x_1 - x_2 + x_3 = 1 \implies x_1 - 1 + 1 = 1 \implies x_1 = 1$
अतः,$x_1 + x_2 + x_3 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय के समतुल्य है:
$x + y + z = 0$ $\dots (i)$
$x - 2y - 2z = 3$ $\dots (ii)$
$x + 3y + z = 4$ $\dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$
$y = 2$ को समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $\dots (iv)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $\dots (v)$
समीकरण $(iv)$ से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$
$z = -3$ को समीकरण $(iv)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$
अब,$2x - y + z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2(1) - 2 + (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + z = 1$ $(i)$
$-x + y = 1$ $(ii)$
$-y + z = 2$ $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-x + y) + (-y + z) = 1 + 2$
$-x + z = 3$ $(iv)$
अब,$(i)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(x + z) + (-x + z) = 1 + 3$
$2z = 4 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
$x = -1$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-(-1) + y = 1 \Rightarrow 1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$
अतः,हल $(x, y, z) = (-1, 0, 2)$ है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
मैट्रिक्स रूप में,यह $AX = B$ है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1 + 3) - (-1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$
चूंकि $|A| \neq 0$,निकाय का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
अतः,$x = 2, y = -1, z = 1$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
यह रैखिक समीकरणों के निकाय के अनुरूप है:
$1) \quad a + b + c = 6$
$2) \quad b + 3c = 11$
$3) \quad a - 2b + c = 0$
समीकरण $(3)$ से,हमारे पास $a + c = 2b$ है।
$a + c = 2b$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2b + b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2$.
अब,$b = 2$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 + 3c = 11 \implies 3c = 9 \implies c = 3$.
अंत में,$b = 2$ और $c = 3$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2 + 3 = 6 \implies a + 5 = 6 \implies a = 1$.
हमें $2a + b + 2c$ का मान ज्ञात करना है:
$2(1) + 2 + 2(3) = 2 + 2 + 6 = 10$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ -8 \\ -2\end{array}\right]$
तीसरी पंक्ति से,$3y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}$.
दूसरी पंक्ति से,$3y - 5z = -8 \Rightarrow 3(-\frac{2}{3}) - 5z = -8 \Rightarrow -2 - 5z = -8 \Rightarrow -5z = -6 \Rightarrow z = \frac{6}{5}$.
पहली पंक्ति से,$x - y + z = 4 \Rightarrow x - (-\frac{2}{3}) + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{10+18}{15} = 4 \Rightarrow x + \frac{28}{15} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{28}{15} = \frac{60-28}{15} = \frac{32}{15}$.
$2x + y - z = 2(\frac{32}{15}) + (-\frac{2}{3}) - \frac{6}{5} = \frac{64}{15} - \frac{10}{15} - \frac{18}{15} = \frac{36}{15} = 2.4$.

(D) प्रश्न एक मानक आव्यूह समानता या सम्मिश्र संख्याओं से संबंधित बीजीय रूप को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x = a^2+b^2$ और $y = 2ab$ एक मानक सर्वसमिका है जो अक्सर सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह निरूपण में मापांक और गुणन गुणों से जुड़ी होती है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $x = \frac{1}{m}$ और $y = \frac{1}{n}$ है।
तब दिए गए समीकरण इस प्रकार होंगे:
$5x + 2y = 9$ --- $(1)$
$3x + 4y = 11$ --- $(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$10x + 4y = 18$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाएं:
$(10x - 3x) + (4y - 4y) = 18 - 11$
$7x = 7 \implies x = 1$
$x = 1$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करें:
$5(1) + 2y = 9$
$5 + 2y = 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
चूंकि $x = \frac{1}{m} = 1$,इसलिए $m = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \frac{1}{n} = 2$,इसलिए $n = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 1$ और $n = \frac{1}{2}$ अभीष्ट मान हैं।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$ है।
बाईं ओर आव्यूह का गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{c}1(x) + 1(y) \\ -1(x) + 1(y)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{c}x+y \\ -x+y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + y = 2$ (समीकरण $1$)
$-x + y = 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + y) = 2 + 4$
$2y = 6 \implies y = 3$
समीकरण $1$ में $y = 3$ रखने पर:
$x + 3 = 2 \implies x = -1$
अतः,$x = -1$ और $y = 3$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ का लाक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (2)(1) = 0$.
$3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^{2} - 2 = 0$.
$\lambda^{2} - 4\lambda + 1 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने लाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। $\lambda = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{2} - 4A + I = 0$.
इस समीकरण की तुलना $A^{2} + xA + yI = 0$ से करने पर,हमें मिलता है:
$x = -4$ और $y = 1$.
अतः,$(x, y) = (-4, 1)$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y+z=6 \quad (1)$
$x+2y+3z=10 \quad (2)$
$x+2y+az=b \quad (3)$
निकाय को आव्यूह रूप $AX=B$ में निरूपित करने पर,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & a-1 & | & b-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & a-3 & | & b-10 \end{bmatrix}$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि से कम होनी चाहिए। यह तब होता है जब अंतिम पंक्ति एक असंभव समीकरण को दर्शाती है,अर्थात $0x + 0y + 0z = k$ जहाँ $k \neq 0$.
अतः,$a-3 = 0 \Rightarrow a=3$ और $b-10 \neq 0 \Rightarrow b \neq 10$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ x+y+z=3$
$(2) \ 2x+2y-z=3$
$(3) \ x+y-z=1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(x+y+z) - (x+y-z) = 3 - 1$
$2z = 2 \implies z = 1$
$z=1$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+y+1 = 3 \implies x+y = 2$
चूंकि $(x_0, y_0, z_0)$ एक हल है,इसलिए $x_0+y_0 = 2$ और $z_0 = 1$ है।
अब,$2x_0+2y_0+z_0$ का मान ज्ञात करने पर:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
$= 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$

(B) दिए गए समीकरण:
$x-y+2z=4$
$3x+y+4z=6$
$x+y+z=1$
यहाँ $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तथा $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ है,इसलिए इन समीकरणों के अनंत हल हैं।

(B) दिया गया है $X^T B^T = A^T$। दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,$(X^T B^T)^T = (A^T)^T$,जिसका अर्थ है $BX = A$।
सबसे पहले,$B$ का सारणिक ज्ञात करें: $|B| = 3(0 - (-8)) - 5(0 - 48) - 7(0 - (-6)) = 3(8) - 5(-48) - 7(6) = 24 + 240 - 42 = 222$।
$B$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$X = B^{-1}A = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}$।
$X = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 0 - 42 + 264 \\ 0 - 252 - 192 \\ 0 - 198 - 24 \end{bmatrix} = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 222 \\ -444 \\ -222 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$।
इसलिए,$D = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$D^T A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix} = (1)(0) + (-2)(-6) + (-1)(8) = 0 + 12 - 8 = 4$।

(C) दिया गया है $[x \ y \ z] A^{T} = B^{T}$। दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $([x \ y \ z] A^{T})^{T} = (B^{T})^{T}$।
इसका अर्थ है $A [x \ y \ z]^{T} = B$।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$।
इससे रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + 5y + 3z = -1$ ...$(i)$
$2x + 4y = -2 \implies x + 2y = -1 \implies x = -1 - 2y$ ...(ii)
$3x - y - 5z = 4$ ...(iii)
समीकरण $(i)$ में $x = -1 - 2y$ रखने पर:
$(-1 - 2y) + 5y + 3z = -1 \implies 3y + 3z = 0 \implies y = -z$।
समीकरण (iii) में $x = -1 - 2y$ और $y = -z$ रखने पर:
$3(-1 - 2(-z)) - (-z) - 5z = 4$
$3(-1 + 2z) + z - 5z = 4$
$-3 + 6z - 4z = 4 \implies 2z = 7 \implies z = 3.5$।
अतः $y = -3.5$ और $x = -1 - 2(-3.5) = -1 + 7 = 6$।
इस प्रकार,$x + y + z = 6 - 3.5 + 3.5 = 6$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 y + 11 \\ 6 z - 1 \\ 5 y + 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x \\ 4 z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z \\ 3 x \\ 4 y \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2x + 2y + 3z \\ 7x + y + z \\ 6y + 5z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 3y + z + 11 \\ 4x + 6z - 1 \\ 9y + 4z + 11 \end{bmatrix}$
घटकों की तुलना करने पर:
$1) 2x + 2y + 3z = x + 3y + z + 11 \Rightarrow x - y + 2z = 11$
$2) 7x + y + z = 4x + 6z - 1 \Rightarrow 3x + y - 5z = -1$
$3) 6y + 5z = 9y + 4z + 11 \Rightarrow -3y + z = 11$
समीकरण $(3)$ से,$z = 3y + 11$. इसे $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - y + 2(3y + 11) = 11 \Rightarrow x + 5y = -11$
$3x + y - 5(3y + 11) = -1 \Rightarrow 3x - 14y = 54$
निकाय $x + 5y = -11$ और $3x - 14y = 54$ को हल करने पर:
$x = -11 - 5y \Rightarrow 3(-11 - 5y) - 14y = 54 \Rightarrow -33 - 15y - 14y = 54 \Rightarrow -29y = 87 \Rightarrow y = -3$
अतः $x = -11 - 5(-3) = 4$ और $z = 3(-3) + 11 = 2$.
इस प्रकार,हल $x = 4, y = -3, z = 2$ है।

(D) माना $A = \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$ है।
दिया गया समीकरण $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ है।
बाईं ओर के आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली मिलती है:
$2x_1 + x_2 = 1$ (समीकरण $1$)
$3x_1 + 2x_2 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$x_2 = 1 - 2x_1$ है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x_1 + 2(1 - 2x_1) = 0$
$3x_1 + 2 - 4x_1 = 0$
$-x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$x_2$ का मान ज्ञात करने पर:
$x_2 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$ है।
अतः,$A = \left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array}\right]$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = D$ के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ की कोटि (rank),संवर्धित आव्यूह $[A|D]$ की कोटि से कम होनी चाहिए।
$\therefore \text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$.
चूंकि किसी आव्यूह की कोटि हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है,और $\text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$ है,इसलिए अनुपात $\frac{\text{Rank}(A)}{\text{Rank}([A|D])}$ का मान $1$ से कम होगा।

(A) दिया गया समीकरण निकाय:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = (p - 2)(q - 3)$.
$|A| = 0$ के लिए $p = 2$ या $q = 3$ होना चाहिए।
यदि $p \neq 2$ और $q = 3$ है,तो सारणिक $0$ हो जाता है।
$D_x = \begin{vmatrix} 8 & p & 6 \\ 5 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3p$.
यदि $p \neq 2$ है,तो $D_x \neq 0$,अतः निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण:
$1) x+2y+3z=4$
$2) 3x+y+z=3$
$3) x+3y+3z=2$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x+3y+3z) - (x+2y+3z) = 2 - 4$
$y = -2$
$y = -2$ को समीकरण $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$x + 2(-2) + 3z = 4 \implies x + 3z = 8$
$3x + (-2) + z = 3 \implies 3x + z = 5$
$3x + z = 5$ से,हमें $z = 5 - 3x$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान $x + 3z = 8$ में रखने पर:
$x + 3(5 - 3x) = 8$
$x + 15 - 9x = 8$
$-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}$
अब $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$z = 5 - 3(\frac{7}{8}) = 5 - \frac{21}{8} = \frac{40-21}{8} = \frac{19}{8}$
अतः,$\alpha = \frac{7}{8}, \beta = -2, \gamma = \frac{19}{8}$.
$3\alpha + \gamma$ की गणना करने पर:
$3(\frac{7}{8}) + \frac{19}{8} = \frac{21}{8} + \frac{19}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
$\beta = -2$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) \beta = -2$
$B) 2\beta = -4$
$C) 1 - 2\beta = 1 - 2(-2) = 5$
$D) 2\beta + 1 = 2(-2) + 1 = -3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $AX=B$ का अद्वितीय हल $X=D$ है। इसलिए,$AD=B$ है।
दिया गया है कि $CX=D$ का अद्वितीय हल $X=B$ है। इसलिए,$CB=D$ है।
दूसरे समीकरण से,हमें $B = C^{-1}D$ प्राप्त होता है।
$B$ का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AD = C^{-1}D$।
यह दर्शाता है कि $(A - C^{-1})D = O$ है।
इसे समीकरण $(A - C^{-1})X = O$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $X=D$ एक हल है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$1) 2x - 3y + 2z = -15$
$2) 3x + y - z = -2$
$3) x - 3y - 3z = -8$
समीकरण $(2)$ से,$z = 3x + y + 2$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x - 3y + 2(3x + y + 2) = -15$
$2x - 3y + 6x + 2y + 4 = -15$
$8x - y = -19$ --- $(4)$
$z$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x - 3y - 3(3x + y + 2) = -8$
$x - 3y - 9x - 3y - 6 = -8$
$-8x - 6y = -2$ --- $(5)$
$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$(8x - y) + (-8x - 6y) = -19 - 2$
$-7y = -21 \implies y = 3$
$y = 3$ को $(4)$ में रखने पर:
$8x - 3 = -19$
$8x = -16 \implies x = -2$
$x = -2$ और $y = 3$ को $z = 3x + y + 2$ में रखने पर:
$z = 3(-2) + 3 + 2 = -6 + 5 = -1$
अतः,$\alpha = -2, \beta = 3, \gamma = -1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -2 + 3 - 1 = 0$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय संगत होना चाहिए।
दिए गए समीकरण:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 12 - 2q - 3p + pq - 6 = pq - 3p - 2q + 6 = (p - 2)(q - 3) = 0$.
इससे $p = 2$ या $q = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $p = 2$ लिया जाए,तो समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 2y + 6z = 8 \implies x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
चूंकि पहला और तीसरा समीकरण समान हैं,हमारे पास तीन चरों के लिए दो स्वतंत्र समीकरण हैं,जिसका अर्थ है कि किसी भी $q$ के लिए अनंत हल प्राप्त होंगे।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$p = 2$ विकल्प $B$ में है।

(A) दिए गए समीकरणों के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
मान लीजिए $X = \ln x$ और $Y = \ln y$ है। निकाय इस प्रकार हो जाता है:
$aX + bY = m$
$cX + dY = n$
क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
चूंकि $X = \ln x$,इसलिए $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ है।
चूंकि $Y = \ln y$,इसलिए $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ है।
अतः,$x$ और $y$ के मान $e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ और $e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+2y+z=1$
$x+3y+4z=k$
$x+5y+10z=k^2$
निकाय के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10-4) + 1(5-3) = 10 - 12 + 2 = 0$.
चूंकि $D=0$ है,निकाय के संगत होने के लिए $D_1 = 0$ होना आवश्यक है।
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ k & 3 & 4 \\ k^2 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10k-4k^2) + 1(5k-3k^2) = 0$.
$10 - 20k + 8k^2 + 5k - 3k^2 = 0$.
$5k^2 - 15k + 10 = 0$.
$5$ से विभाजित करने पर,$k^2 - 3k + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k$ के वास्तविक मान $k=1$ और $k=2$ हैं। मान लीजिए $A=1$ और $B=2$.
इसलिए,$A+B = 1+2 = 3$.

(A) क्रेमर के नियम के अनुसार,$X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए हल $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta}$,और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\Delta_1$ की गणना करें: $\Delta_1 = -11(1 - (-2)) - 1(-4 - (-10)) - 7(-4 - 5) = -11(3) - 1(6) - 7(-9) = -33 - 6 + 63 = 24$.
इसके बाद,$\Delta_3$ की गणना करें: $\Delta_3 = 4(5 - (-4)) - 1(5 - (-16)) - 11(1 - 4) = 4(9) - 1(21) - 11(-3) = 36 - 21 + 33 = 48$.
चूंकि $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$ और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$,हमारे पास $x = \frac{24}{\Delta}$ और $z = \frac{48}{\Delta}$ है।
इसका अर्थ है कि $z = 2x$। विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$: $x = -1, z = 2$ ($z = 2x$ को संतुष्ट करता है)
विकल्प $B$: $x = 2, z = -1$ (संतुष्ट नहीं करता)
विकल्प $C$: $x = 1, z = 2$ (संतुष्ट नहीं करता)
विकल्प $D$: $x = 1, z = -1$ (संतुष्ट नहीं करता)
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ और $D_x = D_y = D_z = 0$ होना चाहिए।
दिया गया निकाय:
$2x + 3y - 3z = 3$
$x + 2y + \alpha z = 1$
$2x - y + z = \beta$
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 + \alpha) - 3(1 - 2\alpha) - 3(-1 - 4) = 4 + 2\alpha - 3 + 6\alpha + 15 = 8\alpha + 16$.
$D = 0$ रखने पर,$8\alpha + 16 = 0$,अतः $\alpha = -2$.
अब,$D_z$ की गणना करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 2(2\beta + 1) - 3(\beta - 2) + 3(-1 - 4) = 4\beta + 2 - 3\beta + 6 - 15 = \beta - 7$.
$D_z = 0$ रखने पर,$\beta = 7$.
अब $\frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2}{7} - \frac{7}{-2} = -\frac{2}{7} + \frac{7}{2} = \frac{-4 + 49}{14} = \frac{45}{14}$.

(C) दिया गया है,$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ और $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$.
क्रेमर के नियम के अनुसार,$x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$.
सबसे पहले,$\Delta = 1(-5-2) - 1(10+2) + 1(2-1) = -7 - 12 + 1 = -18$ की गणना करें।
इसके बाद,$\Delta_1 = 5(-5-2) - 1(20-22) + 1(4+11) = 5(-7) - 1(-2) + 15 = -35 + 2 + 15 = -18$ की गणना करें।
अतः,$\alpha = x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-18}{-18} = 1$.
अब,निकाय $AX=B$ का उपयोग करते हुए जहाँ $X = [\alpha, 2, \beta]^T = [1, 2, \beta]^T$:
$1(1) + 1(2) + 1(\beta) = 5 \Rightarrow 3 + \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2$.
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.