Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Hindi

(C) रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y = \gamma + 5$ और $\alpha x + 5y = \beta + 1$ हैं।
शर्त लागू करने पर: $\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$।
$\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3}$ से,हमें $\alpha = -\frac{10}{3}$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$9\alpha = -30$ प्राप्त होता है।
$\frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$ से,$5(\gamma + 5) = -3(\beta + 1)$ प्राप्त होता है।
$5\gamma + 25 = -3\beta - 3$।
$3\beta + 5\gamma = -28$।
अब,हमें $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $|-30 + (-28)| = |-58| = 58$।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & |\lambda| \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(|\lambda| + 1) - 3(|\lambda| - 1) - 1(-2) = 0$
$2|\lambda| + 2 - 3|\lambda| + 3 + 2 = 0$
$-|\lambda| + 7 = 0 \Rightarrow |\lambda| = 7 \Rightarrow \lambda = \pm 7$।
अब,$\lambda = 7$ और $\lambda = -7$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
$\lambda = 7$ के लिए,तीसरा समीकरण $x - y + 7z = 24$ बनता है,जो संगत है।
$\lambda = -7$ के लिए,तीसरा समीकरण $x - y + 7z = -32$ बनता है। इस मान को निकाय में रखने पर यह असंगत (कोई हल नहीं) सिद्ध होता है।
अतः,$\lambda = -7$ सही शर्त है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को संगति की शर्त को पूरा करना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर रखते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & \delta \end{vmatrix} = 0$
$2(-3\delta - 8) - 1(\delta - 2) - 1(4 + 3) = 0$
$-6\delta - 16 - \delta + 2 - 7 = 0$
$-7\delta - 21 = 0 \Rightarrow \delta = -3$
अब,निकाय के अनंत हल होने के लिए,अचर पदों के स्तंभ के साथ सारणिक का मान भी शून्य होना चाहिए:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ k & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$7(9 - 8) - 1(-3 - 2k) - 1(4 + 3k) = 0$
$7(1) + 3 + 2k - 4 - 3k = 0$
$6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$
अतः,$\delta + k = -3 + 6 = 3$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & \lambda^2 - |\lambda| \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 2(3(\lambda^2 - |\lambda|) - 1) + 3(1(\lambda^2 - |\lambda|) - (-3)) + 5(-1 - 9)$
$= 2(3\lambda^2 - 3|\lambda| - 1) + 3(\lambda^2 - |\lambda| + 3) + 5(-10)$
$= 6\lambda^2 - 6|\lambda| - 2 + 3\lambda^2 - 3|\lambda| + 9 - 50$
$= 9\lambda^2 - 9|\lambda| - 43$.
$\Delta = 0$ रखने पर,$9|\lambda|^2 - 9|\lambda| - 43 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = |\lambda|$। तब $9t^2 - 9t - 43 = 0$।
विविक्तकर $D = (-9)^2 - 4(9)(-43) = 81 + 1548 = 1629 > 0$।
चूंकि $D > 0$,$t$ के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। मूल $t = \frac{9 \pm \sqrt{1629}}{18}$ हैं।
चूंकि $\sqrt{1629} \approx 40.36$,एक मूल धनात्मक है और एक ऋणात्मक है।
चूंकि $t = |\lambda| \ge 0$,केवल धनात्मक मूल ही मान्य है।
अतः,$|\lambda|$ के लिए केवल $1$ मान प्राप्त होता है,जो $\lambda$ के $2$ मानों (अर्थात $\lambda = \pm t$) को दर्शाता है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 3\sin 3\theta & -1 & 1 \\ 3\cos 2\theta & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$
$D = 3\sin 3\theta(28 - 21) + 1(21\cos 2\theta - 18) + 1(21\cos 2\theta - 24) = 0$
$D = 21\sin 3\theta + 42\cos 2\theta - 42 = 0$
$21$ से भाग देने पर,हमें $\sin 3\theta + 2\cos 2\theta - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ और $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + 2(1 - 2\sin^2 \theta) - 2 = 0$
$-4\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$-\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
इससे $\sin \theta = 0$,$\sin \theta = 1/2$,या $\sin \theta = -3/2$ (असंभव) प्राप्त होता है।
$(0, 4\pi)$ में $\sin \theta = 0$ के लिए,$\theta = \pi, 2\pi, 3\pi$ है।
$(0, 4\pi)$ में $\sin \theta = 1/2$ के लिए,$\theta = \pi/6, 5\pi/6, 13\pi/6, 17\pi/6$ है।
अतः,कुल $3 + 4 = 7$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 8 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \lambda & -3 & 0 \end{vmatrix} = 8(0 - (-3)) - 1(0 - \lambda) + 4(-3 - \lambda) = 0$
$24 + \lambda - 12 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 12 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
अब,अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए। $D_1 = 0$ का उपयोग करने पर:
$D_1 = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ \mu & -3 & 0 \end{vmatrix} = -2(0 - (-3)) - 1(0 - \mu) + 4(0 - \mu) = 0$
$-6 + \mu - 4\mu = 0 \Rightarrow -3\mu = 6 \Rightarrow \mu = -2$.
बिंदु $\left(4, -2, -\frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $\frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दूरी $= \frac{|8(4) + 1(-2) + 4(-\frac{1}{2}) + 2|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|32 - 2 - 2 + 2|}{\sqrt{64 + 1 + 16}} = \frac{30}{\sqrt{81}} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है। दिया गया है कि $\det(A) = ad - bc = -1$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
तब $A + I = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix}$ और $\operatorname{Adj}(A) + I = \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix}$ है।
गुणनफल $(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I)$ की गणना करने पर:
$(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I) = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a+1)(d+1)-bc & 0 \\ 0 & ad+a+d+1-bc \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $ad-bc = -1$,विकर्ण तत्व $a+d+1-1 = a+d$ हैं।
अतः,आव्यूह $\begin{bmatrix} a+d & 0 \\ 0 & a+d \end{bmatrix}$ है।
इसका सारणिक $(a+d)^2 = 4$ है।
इसलिए,$a+d = 2$ या $a+d = -2$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2$ हो सकता है।

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=6$ $(1)$
$2x+5y+\alpha z=\beta$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को संगति की शर्त को पूरा करना चाहिए।
मान लीजिए $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$1(15-2\alpha) - 1(6-\alpha) + 1(4-5) = 0$
$15-2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0$
$8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
अब,$\alpha = 8$ को निकाय में रखें और अनंत हल के लिए शर्त का उपयोग करें। $(1)$ और $(3)$ से:
$x+y = 6-z$
$x+2y = 14-3z$
दूसरे में से पहला घटाने पर: $y = (14-3z) - (6-z) = 8-2z$.
$y$ का मान $x+y = 6-z$ में रखने पर: $x = 6-z - (8-2z) = z-2$.
$x, y, z$ के मानों को $(2)$ में रखने पर:
$2(z-2) + 5(8-2z) + 8z = \beta$
$2z - 4 + 40 - 10z + 8z = \beta$
$36 = \beta$.
अतः,$\alpha + \beta = 8 + 36 = 44$.

(B) दिया गया है कि $AB = 0$,जहाँ $A$ और $B$ $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूह हैं।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|AB| = |0| = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|AB| = |A||B| = 0$,इसका अर्थ है कि $|A|$ या $|B|$ में से कम से कम एक $0$ होना चाहिए।
यदि $|A| \neq 0$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}(AB) = A^{-1}(0) \Rightarrow B = 0$,जो दी गई शर्त कि $B$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।
यदि $|B| \neq 0$ है,तो $B$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $(AB)B^{-1} = 0(B^{-1}) \Rightarrow A = 0$,जो दी गई शर्त कि $A$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।
अतः,$|A| = 0$ और $|B| = 0$ है।
चूंकि $|A| = 0$,आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ के अनंत हल हैं।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय है:
$ax + y = 0$ $(i)$
$x + (a + 10)y = 0$ $(ii)$
समघात रैखिक समीकरण निकाय के कम से कम दो भिन्न हल (अर्थात अशून्य हल) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & a + 10 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$|A| = a(a + 10) - (1)(1) = 0$
$a^2 + 10a - 1 = 0$
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ द्वारा प्राप्त होते हैं:
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{104}}{2}$
चूंकि विविक्तकर $D = 104 > 0$ है,इसलिए $a$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं जिनके लिए निकाय के अनंत हल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+2y+3z=3$ ... $(i)$
$4x+3y-4z=4$ ... (ii)
$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -4 \\ 8 & 4 & -\lambda \end{vmatrix} = 1(-3\lambda + 16) - 2(-4\lambda + 32) + 3(16 - 24) = 5\lambda - 72$.
अनंत हलों के लिए,$D = 0 \Rightarrow 5\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{72}{5}$.
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 4 & 3 & -4 & | & 4 \\ 8 & 4 & -\frac{72}{5} & | & 9+\mu \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_2 \to R_2 - 4R_1$ और $R_3 \to R_3 - 8R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 0 & -5 & -16 & | & -8 \\ 0 & -12 & -\frac{192}{5} & | & \mu-15 \end{bmatrix}$.
अनंत हलों के लिए,तीसरी पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज होनी चाहिए। गुणांकों का अनुपात $\frac{-12}{-5} = 2.4$ है।
अतः,$\mu - 15 = 2.4 \times (-8) = -19.2 \Rightarrow \mu = 15 - 19.2 = -4.2 = -\frac{21}{5}$.
इसलिए,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{72}{5}, -\frac{21}{5}\right)$.

(D) समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होता है यदि सारणिक $\Delta \neq 0$ हो।
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ से $a$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ $R_2 \to R_2 - (2a+1)R_1$ और $R_3 \to R_3 - (3a+5)R_1$ करने पर:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 0 & -4a^2+3 & 6a^2+4a+1 \\ 0 & -6a^2-9a+5 & 9a^2+16a+2 \end{vmatrix}$
सारणिक की गणना करने पर,$\Delta = 0$ केवल तब होता है जब $a = 0$ हो। चूँकि $a \in R - \{0\}$,इसलिए दिए गए समुच्चय के लिए $\Delta$ कभी भी $0$ नहीं होता है।
अतः,सभी $a \in R - \{0\}$ के लिए निकाय का हमेशा अद्वितीय हल होता है।
इसलिए,$S_1 = R - \{0\}$ और $S_2 = \Phi$।

(B) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & 1 \\ 2\alpha & 3 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{vmatrix} = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha - 3)(\alpha + 1)$ है।
$D = 0$ के लिए,$\alpha = 3$ या $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण $-x + 2y + z = 1$,$-2x + 3y + z = 1$,$3x - y + 2z = \beta$ बन जाते हैं। हल करने पर,यदि $\beta \neq 2$ है तो कोई हल नहीं है और यदि $\beta = 2$ है तो अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $\alpha = 3$ है,तो समीकरण $3x + 2y + z = 1$,$6x + 3y + z = 1$,$3x + 3y + 2z = \beta$ बन जाते हैं। हल करने पर,यदि $\beta \neq 2$ है तो कोई हल नहीं है।
विकल्प $B$ कहता है कि $\alpha = -1$ और सभी $\beta \in \mathbb{R}$ के लिए कोई हल नहीं है,जो गलत है क्योंकि $\beta = 2$ के लिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & k \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 2\end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3 \times 2 - (-1) \times 4) - 1(2 \times 2 - (-1) \times 3) + k(2 \times 4 - 3 \times 3) = 0$
$1(6 + 4) - 1(4 + 3) + k(8 - 9) = 0$
$10 - 7 - k = 0$
$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$
अब,$k = 3$ को दूसरे समीकरण निकाय में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3+1)x + (2 \times 3 - 1)y = 7 \Rightarrow 4x + 5y = 7 \dots (1)$
$(2 \times 3 + 1)x + (3+5)y = 10 \Rightarrow 7x + 8y = 10 \dots (2)$
हल की प्रकृति की जांच करने के लिए,इस निकाय के गुणांक आव्यूह का सारणिक ज्ञात करें:
$D = \left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 7 & 8\end{array}\right| = 32 - 35 = -3 \neq 0$
चूंकि $D \neq 0$,निकाय का एक अद्वितीय हल है।
समीकरणों को हल करने पर:
$(2) - (1) \Rightarrow (7x + 8y) - (4x + 5y) = 10 - 7$
$3x + 3y = 3 \Rightarrow x + y = 1$
अतः,निकाय का एक अद्वितीय हल है जो $x+y=1$ को संतुष्ट करता है।

(C) निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & \alpha \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$1(8 + \alpha) - (-1)(8 - 3\alpha) + 1(-2 - 6) = 0$
$8 + \alpha + 8 - 3\alpha - 8 = 0$
$8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4$.
अब,$\alpha = 4$ को समीकरणों में रखने पर:
$x - y + z = 5$
$2x + 2y + 4z = 8 \implies x + y + 2z = 4$
$3x - y + 4z = \beta$
पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y + z) + (x + y + 2z) = 5 + 4 \implies 2x + 3z = 9$.
अनंत हलों के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। मान लीजिए $k_1(x - y + z) + k_2(x + y + 2z) = 3x - y + 4z$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $k_1 + k_2 = 3$,$-k_1 + k_2 = -1$,$k_1 + 2k_2 = 4$.
$k_1 + k_2 = 3$ और $-k_1 + k_2 = -1$ को हल करने पर $2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$ और $k_1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = 2(5) + 1(4) = 14$.
मूल $\alpha = 4$ और $\beta = 14$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x - 4)(x - 14) = x^2 - 18x + 56 = 0$ है।

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$x+y+z=6$ $(1)$
$\alpha x+\beta y+7z=3$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $(1)$ घटाने पर,$y+2z=8$,इसलिए $y=8-2z$। इसे $(1)$ में रखने पर,$x+(8-2z)+z=6 \Rightarrow x=z-2$।
$x=z-2$ और $y=8-2z$ को $(2)$ में रखने पर:
$\alpha(z-2)+\beta(8-2z)+7z=3$
$(\alpha-2\beta+7)z = 2\alpha-8\beta+3$।
अद्वितीय हल के लिए,$z$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए: $\alpha-2\beta+7 \neq 0$।
अनंत हलों के लिए,दोनों पक्ष शून्य होने चाहिए: $\alpha-2\beta+7=0$ और $2\alpha-8\beta+3=0$।
इन्हें हल करने पर: $2\alpha-4\beta+14=0$ और $2\alpha-8\beta+3=0$। घटाने पर $4\beta+11=0 \Rightarrow \beta=-11/4$,और $\alpha=-25/2$। यह एक अद्वितीय बिंदु है,जो रेखा $x-2y+7=0$ पर स्थित नहीं है।
अतः,विकल्प $D$ सत्य $\text{नहीं}$ है।

(D) दिए गए आव्यूह समीकरण $(\alpha \ \beta \ \gamma)\begin{bmatrix} 2 & 10 & 8 \\ 9 & 3 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \end{bmatrix} = (0 \ 0 \ 0)$ से,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$2\alpha + 9\beta + 8\gamma = 0 \quad (1)$
$10\alpha + 3\beta + 4\gamma = 0 \quad (2)$
$8\alpha + 8\beta + 8\gamma = 0 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ से,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,जिसका अर्थ है $\gamma = -\alpha - \beta$.
$\gamma$ का मान $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\alpha + 9\beta + 8(-\alpha - \beta) = 0 \implies -6\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 6\alpha$.
अब,$\alpha$ के पदों में $\gamma$ ज्ञात करें:
$\gamma = -\alpha - 6\alpha = -7\alpha$.
बिंदु $P(\alpha, 6\alpha, -7\alpha)$ समतल $2x + 4y + 3z = 5$ पर स्थित है:
$2(\alpha) + 4(6\alpha) + 3(-7\alpha) = 5$
$2\alpha + 24\alpha - 21\alpha = 5$
$5\alpha = 5 \implies \alpha = 1$.
अतः,$\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -7$.
हमें $6\alpha + 9\beta + 7\gamma$ का मान ज्ञात करना है:
$6(1) + 9(6) + 7(-7) = 6 + 54 - 49 = 11$.

(D) समीकरण निकाय असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $D = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$ की गणना करने पर।
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 1$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
यदि $\lambda = 1$ है,तो निकाय $x + y + z = 1$ बन जाता है,जिसके अनंत हल होते हैं (संगत)।
यदि $\lambda = -2$ है,तो निकाय $-2x + y + z = 1$,$x - 2y + z = 1$,और $x + y - 2z = 1$ बन जाता है। इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $0 = 3$ प्राप्त होता है,जो एक विरोधाभास है,इसलिए निकाय असंगत है।
अतः,$S = \{-2\}$ है।
योग $\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|) = (|-2|^2 + |-2|) = 4 + 2 = 6$ है।

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$ है।
जब $a=1$ होता है,तो समीकरण $x+y+z=1$,$x+y+z=1$,$x+y+z=\beta$ बन जाते हैं। यदि $\beta=1$ है,तो अनंत हल प्राप्त होते हैं। अतः,विकल्प $D$ सही है।
जब $a=-2$ होता है,तो $D=0$ होता है। $\beta=1$ के लिए संवर्धित आव्यूह $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है। पंक्तियों को जोड़ने पर $0=3$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,कोई हल नहीं है। विकल्प $B$ सही है।
जब $a=2$ और $\beta=1$ होता है,तो $D = (2-1)^2(2+2) = 4 \neq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल है। क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर,$x=y=z = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। अतः $x+y+z = \frac{3}{4}$ है। विकल्प $C$ सही है।
जब $a=2$ और $\beta=-1$ होता है,तो $D=4 \neq 0$ होने के कारण,निकाय का अद्वितीय हल होता है,न कि अनंत हल। अतः,विकल्प $A$ गलत है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15-4) - 1(6-2) + a(4-5) = 11 - 4 - a = 7 - a$.
$\Delta = 0$ रखने पर,$7 - a = 0$,अतः $a = 7$.
अब,अनंत हलों के लिए $\Delta_x = 0$ लें:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 1 & 7 \\ 6 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = b(15-4) - 1(18-6) + 7(12-15) = 11b - 12 - 21 = 11b - 33$.
$\Delta_x = 0$ रखने पर,$11b = 33$,अतः $b = 3$.
अंत में,$2a + 3b$ का मान ज्ञात करें:
$2a + 3b = 2(7) + 3(3) = 14 + 9 = 23$.

(A) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$x+y+z=6$
$x+2y+\alpha z=10$
$x+3y+5z=\beta$
गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(10-3\alpha) - 1(5-\alpha) + 1(3-2) = 6-2\alpha$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha \neq 3$.
यदि $\alpha=3$ है,तो $D=0$. प्रणाली इस प्रकार हो जाती है:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+3y+5z=\beta$
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर: $y+2z=4$.
दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाने पर: $y+2z=\beta-10$.
प्रणाली का हल होने के लिए,$4 = \beta-10$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\beta=14$. यदि $\beta=14$ है,तो अनंत हल हैं। यदि $\beta \neq 14$ है,तो कोई हल नहीं है।
विकल्प $A$ कहता है कि $\alpha=3$ के लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल है,जो गलत है क्योंकि $\alpha=3$ होने पर $D=0$ हो जाता है।

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 7(\alpha + 5)$ है।
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha \neq -5$। अतः,जब $\alpha \neq -5$ है,तो किसी भी $\beta$ के लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है।
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ की आवश्यकता है।
$\Delta = 0$ रखने पर $\alpha = -5$ प्राप्त होता है।
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & \beta \end{vmatrix} = 7(\beta - 9)$ की गणना करने पर।
$\Delta_3 = 0$ रखने पर $\beta = 9$ प्राप्त होता है।
जब $\alpha = -5$ और $\beta = 9$ होते हैं,तो $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होता है,इसलिए प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
विकल्प $C$ कहता है कि $\alpha = -6$ और $\beta = 9$ के लिए प्रणाली के अनंत हल हैं,जो गलत है क्योंकि $\alpha = -6$ होने पर $\Delta \neq 0$ होता है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 6 \lambda & -3 & 3 \\ 2 & 6 \lambda & 4 \\ 3 & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 6 \lambda (18 \lambda^2 - 8) + 3 (6 \lambda - 12) + 3 (4 - 18 \lambda) = 0$
$108 \lambda^3 - 48 \lambda + 18 \lambda - 36 + 12 - 54 \lambda = 0$
$108 \lambda^3 - 84 \lambda - 24 = 0$
$12$ से विभाजित करने पर: $9 \lambda^3 - 7 \lambda - 2 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$\lambda = 1$ एक मूल है। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर,$( \lambda - 1 )( 9 \lambda^2 + 9 \lambda + 2 ) = 0$.
$( \lambda - 1 )( 3 \lambda + 1 )( 3 \lambda + 2 ) = 0$.
अतः,$\lambda \in \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
इन मानों के लिए,हम जाँचते हैं कि $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 \lambda^2 & -3 & 3 \\ 1 & 6 \lambda & 4 \\ \lambda & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} \neq 0$.
$\lambda = 1$ के लिए,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 3 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4(18-8) + 3(3-4) + 3(2-6) = 40 - 3 - 12 = 25 \neq 0$.
$\lambda = -1/3$ और $\lambda = -2/3$ के लिए भी $\Delta_1 \neq 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
$12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda| = 12 ( |1| + |-1/3| + |-2/3| ) = 12 ( 1 + 1/3 + 2/3 ) = 12 ( 2 ) = 24$.

(A) दिए गए समीकरण:
$(i) 7x + 11y + \alpha z = 13$
$(ii) 5x + 4y + 7z = \beta$
$(iii) 175x + 194y + 57z = 361$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। मान लीजिए $(iii) = k_1(i) + k_2(ii)$.
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$7k_1 + 5k_2 = 175$
$11k_1 + 4k_2 = 194$
इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर:
$28k_1 + 20k_2 = 700$
$55k_1 + 20k_2 = 970$
घटाने पर $27k_1 = 270$,अतः $k_1 = 10$.
$k_1 = 10$ को $7(10) + 5k_2 = 175$ में रखने पर,$5k_2 = 105$,अतः $k_2 = 21$.
अब,$z$ और अचर पद के लिए:
$10\alpha + 21(7) = 57 \implies 10\alpha + 147 = 57 \implies 10\alpha = -90 \implies \alpha = -9$.
$10(13) + 21\beta = 361 \implies 130 + 21\beta = 361 \implies 21\beta = 231 \implies \beta = 11$.
अतः,$\alpha + \beta + 2 = -9 + 11 + 2 = 4$.

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2a \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = 2(4 + 15) - 4(2 - 6) + 2a(-5 - 4) = 2(19) - 4(-4) + 2a(-9) = 38 + 16 - 18a = 54 - 18a = 18(3 - a)$.
अद्वितीय हल के लिए,हमें $\Delta \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $18(3 - a) \neq 0$,इसलिए $a \neq 3$.
यदि $a \neq 3$ है,तो निकाय का $b$ के किसी भी मान के लिए अद्वितीय हल होता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं क्योंकि $a=6 \neq 3$ और $a=8 \neq 3$.
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = 0$ और $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ की आवश्यकता है।
$\Delta = 0$ रखने पर $a = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 2a \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$a = 3$ के लिए,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix} = b(4 + 15) - 4(8 - 24) + 6(-20 - 16) = 19b - 4(-16) + 6(-36) = 19b + 64 - 216 = 19b - 152$.
$\Delta_x = 0$ के लिए,$19b = 152$,जिससे $b = 8$ प्राप्त होता है।
इसलिए,यदि $a = 3$ और $b = 8$ है तो निकाय के अनंत हल हैं।
यह विकल्प $D$ को सही बनाता है।
परिणामस्वरूप,विकल्प $A$ सही नहीं है।

(A) समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -5 & \lambda \\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(25 - 2\lambda) - 1(-10 - \lambda) - 1(4 + 5) = 0$
$50 - 4\lambda + 10 + \lambda - 9 = 0$
$51 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 3\lambda = 51 \Rightarrow \lambda = 17$
अनंत हलों के लिए,सारणिक $\Delta_z$ भी शून्य होना चाहिए:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & \mu \\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(-35 - 2\mu) - 1(14 - \mu) + 5(4 + 5) = 0$
$-70 - 4\mu - 14 + \mu + 45 = 0$
$-3\mu - 39 = 0 \Rightarrow 3\mu = -39 \Rightarrow \mu = -13$
अब,$(\lambda + \mu)^2 + (\lambda - \mu)^2 = 2(\lambda^2 + \mu^2)$ की गणना करने पर:
$= 2(17^2 + (-13)^2) = 2(289 + 169) = 2(458) = 916$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$-x+2y-9z=7$ $(1)$
$-x+3y-7z=9$ $(2)$
$-2x+y+5z=8$ $(3)$
$-3x+y+13z=\lambda$ $(4)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(-x+3y-7z) - (-x+2y-9z) = 9-7$
$y+2z=2$ $(5)$
समीकरण $(3)$ में से $2 \times (1)$ घटाने पर:
$(-2x+y+5z) - 2(-x+2y-9z) = 8-2(7)$
$-3y+23z=-6$ $(6)$
समीकरण $(5)$ को $3$ से गुणा करके $(6)$ में जोड़ने पर:
$3(y+2z) + (-3y+23z) = 3(2) - 6$
$29z = 0 \Rightarrow z=0$
$z=0$ को $(5)$ में रखने पर:
$y=2$
$y=2, z=0$ को $(1)$ में रखने पर:
$-x+2(2)-9(0)=7 \Rightarrow -x+4=7 \Rightarrow x=-3$
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-3, 2, 0)$.
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को $(4)$ में रखने पर:
$-3(-3) + 2 + 13(0) = \lambda \Rightarrow 9+2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 11$.
बिंदु $(-3, 2, 0)$ की समतल $2x-2y+z-11=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(-3) - 2(2) + 1(0) - 11|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-6 - 4 - 11|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-21|}{3} = 7$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = [AB_1, AB_2, AB_3]$,हमारे पास $AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $|AB| = |A| |B|$.
पहले $|A| = 2(1-0) - 0(1-0) + 1(0-1) = 2 - 1 = 1$ की गणना करें।
$|AB| = 1(3-0) - 2(0-0) + 3(0-0) = 3$ की गणना करें।
चूंकि $|A| |B| = |AB|$,हमारे पास $1 \times |B| = 3$ है,इसलिए $\alpha = |B| = 3$.
$B$ ज्ञात करने के लिए,हम $B = A^{-1} (AB)$ का उपयोग करते हैं।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$B$ के विकर्ण तत्व $1, 1, -1$ हैं। अतः,$\beta = 1 + 1 - 1 = 1$.
अंत में,$\alpha^3 + \beta^3 = 3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28$।

(B) चूंकि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,हमारे पास $2b = a + c$ है,जिसका अर्थ है $a - 2b + c = 0$.
इसका मतलब है कि रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा निश्चित बिंदु $P(1, -2)$ से गुजरती है।
समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2\alpha) - 1(6 - \alpha) + 1(4 - 5) = 0$.
$15 - 2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0 \Rightarrow 8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
अब,अनंत हलों के लिए,$D_1 = 0$ जहाँ $D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ \beta & 5 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$6(15 - 16) - 1(3\beta - 32) + 1(2\beta - 20) = 0$.
$-6 - 3\beta + 32 + 2\beta - 20 = 0 \Rightarrow -\beta + 6 = 0 \Rightarrow \beta = 6$.
इस प्रकार,$Q = (8, 6)$.
दूरी $PQ = \sqrt{(8 - 1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$.
अतः,$(PQ)^2 = 113$.

(A) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x+y+z=4\mu$
$x+2y+2\lambda z=10\mu$
$x+3y+4\lambda^2 z=\mu^2+15$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\lambda \\ 1 & 3 & 4\lambda^2 \end{vmatrix} = (2\lambda - 1)^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
जब $\lambda = \frac{1}{2}$,तब $\Delta = 0$। संवर्धित आव्यूह से:
$y = 6\mu$ और $2y = \mu^2 - 4\mu + 15$ प्राप्त होता है।
अतः $12\mu = \mu^2 - 4\mu + 15 \implies \mu^2 - 16\mu + 15 = 0 \implies (\mu-1)(\mu-15) = 0$।
इस प्रकार,यदि $\lambda = \frac{1}{2}$ और $\mu \in \{1, 15\}$ है तो निकाय संगत है। यदि $\mu \neq 1, 15$ है तो निकाय असंगत है। विकल्प $A$ गलत कथन है क्योंकि अद्वितीय हल के लिए $\mu$ पर कोई शर्त नहीं है।

(D) गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए $\det(A) \neq 0$ होना चाहिए।
$\det(A) = 1(2\lambda - 3\lambda^2) - 1(\lambda - \lambda^2) + 1(3 - 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1 = -(2\lambda+1)(\lambda-1)$.
अतः,$\det(A) = 0$ तब होता है जब $\lambda = 1$ या $\lambda = -1/2$ हो।
यदि $\lambda \neq 1$ और $\lambda \neq -1/2$ है,तो किसी भी $\mu$ के लिए निकाय का अद्वितीय हल होता है।
यदि $\lambda = 1$ है,तो समीकरण $x+y+z=5$,$x+2y+z=9$,और $x+3y+z=\mu$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $y=4$ प्राप्त होता है। दूसरे को तीसरे से घटाने पर $y=\mu-9$ प्राप्त होता है। अतः,$4 = \mu-9 \Rightarrow \mu=13$। यदि $\mu=13$ है,तो अनंत हल होते हैं। यदि $\mu \neq 13$ है,तो कोई हल नहीं होता है।
विकल्प $D$ कहता है कि यदि $\lambda \neq 1$ और $\mu \neq 13$ है तो अद्वितीय हल होता है। यह गलत है क्योंकि यदि $\lambda = -1/2$ है,तो $\mu$ के किसी भी मान के लिए अद्वितीय हल नहीं होता है।

(D) ज्ञात करने के लिए,सभी गुणांकों का योग,हम व्यंजक में $x=1$ रखते हैं:
$a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} \times (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} \times (1)^{2024} = 1$.
$b$ ज्ञात करने के लिए,हम $L'\text{H\^opital's Rule}$ का उपयोग करते हैं क्योंकि यह $0/0$ रूप है:
$b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{2024}+1}}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \times \frac{1}{x^{2024}+1} \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$a=1$ और $b=1/2$ को दूसरे समीकरण $2bx^2+ax+4=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1/2)x^2 + (1)x + 4 = 0 \implies x^2+x+4=0$.
चूंकि समीकरणों $cx^2+dx+e=0$ और $x^2+x+4=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है और गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{c}{1} = \frac{d}{1} = \frac{e}{4}$.
अतः,$d:c:e = 1:1:4$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 1(\alpha\beta + 3) + 2(2\beta - 9) + 1(-2 - 3\alpha) = \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta - 17 = 0 \implies \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta = 17 \dots (1)$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(5\beta - 9) + 4(2\beta - 9) + 1(6 - 15) = 5\beta - 9 + 8\beta - 36 - 9 = 13\beta - 54 = 0 \implies \beta = \frac{54}{13}$.
समीकरण $(1)$ में $\beta = \frac{54}{13}$ रखने पर:
$\alpha(\frac{54}{13}) - 3\alpha + 4(\frac{54}{13}) = 17$
$\frac{54\alpha - 39\alpha + 216}{13} = 17$
$15\alpha + 216 = 221 \implies 15\alpha = 5 \implies \alpha = \frac{1}{3}$.
अब,$12\alpha + 13\beta = 12(\frac{1}{3}) + 13(\frac{54}{13}) = 4 + 54 = 58$.

(A) दिए गए समीकरण दर्शाते हैं कि सदिश $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,और $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ आव्यूह $A$ के आइगेन सदिश हैं,जिनके संगत आइगेन मान $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,और $\lambda_3 = 2$ हैं।
चूंकि ये तीन सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,वे $\mathbb{R}^3$ के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं।
आव्यूह $A$ को $A = PDP^{-1}$ के रूप में विकर्णित किया जा सकता है,जहाँ $D = \text{diag}(2, 4, 2)$ है और $P$ वह आव्यूह है जिसके स्तंभ $v_1, v_2, v_3$ हैं।
निकाय $(A-3I)X = B$ है। आव्यूह $(A-3I)$ के आइगेन मान $\lambda_i - 3$ हैं,जो $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,और $2-3 = -1$ हैं।
चूंकि $(A-3I)$ का कोई भी आइगेन मान $0$ नहीं है,इसलिए सारणिक $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 \neq 0$ है।
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए आव्यूह $(A-3I)$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
अतः,निकाय $(A-3I)X = B$ का एक अद्वितीय हल है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$2(\alpha\beta + 3) - 3(\beta - 9) - 1(-1 - 3\alpha) = 0$
$2\alpha\beta + 6 - 3\beta + 27 + 1 + 3\alpha = 0$
$2\alpha\beta + 3\alpha - 3\beta + 34 = 0$ (समीकरण $1$)
चूंकि निकाय के अनंत हल हैं,इसलिए समतल रैखिक रूप से आश्रित होने चाहिए। हम तीसरे समीकरण को पहले दो समीकरणों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: $L_3 = c_1 L_1 + c_2 L_2$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2c_1 + c_2 = 3$
$3c_1 + c_2\alpha = -1$
$-c_1 + 3c_2 = \beta$
$5c_1 - 4c_2 = 7$
पहले और अंतिम समीकरण का उपयोग करके $c_1$ और $c_2$ के लिए हल करने पर:
$c_2 = 3 - 2c_1$
$5c_1 - 4(3 - 2c_1) = 7 \implies 5c_1 - 12 + 8c_1 = 7 \implies 13c_1 = 19 \implies c_1 = \frac{19}{13}$
$c_2 = 3 - 2(\frac{19}{13}) = \frac{39 - 38}{13} = \frac{1}{13}$
$c_1$ और $c_2$ के मानों को अन्य समीकरणों में रखने पर:
$3(\frac{19}{13}) + \alpha(\frac{1}{13}) = -1 \implies 57 + \alpha = -13 \implies \alpha = -70$
$-(\frac{19}{13}) + 3(\frac{1}{13}) = \beta \implies \beta = \frac{-16}{13}$
अंत में,$13\alpha\beta = 13(-70)(\frac{-16}{13}) = 70 \times 16 = 1120$।

(B) दी गई समीकरण प्रणाली:
$x+2y+3z=5$
$2x+3y+z=9$
$4x+3y+\lambda z=\mu$
प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 3) - 2(2\lambda - 4) + 3(6 - 12) = 0$
$3\lambda - 3 - 4\lambda + 8 - 18 = 0$
$-\lambda - 13 = 0 \Rightarrow \lambda = -13$
अब,$\lambda = -13$ का उपयोग करके $\Delta_1$ की गणना करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 1 \\ \mu & 3 & -13 \end{vmatrix} = 5(-39 - 3) - 2(-117 - \mu) + 3(27 - 3\mu) = 0$
$5(-42) + 234 + 2\mu + 81 - 9\mu = 0$
$-210 + 315 - 7\mu = 0$
$105 - 7\mu = 0 \Rightarrow \mu = 15$
अंत में,$\lambda + 2\mu = -13 + 2(15) = -13 + 30 = 17$.

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $ D = 0 $ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $ D_1, D_2, D_3 $ भी $ 0 $ होने चाहिए।
$ D = \begin{vmatrix} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ 11(-117 + 95) - 1(-78 - 40) + \lambda(-38 - 24) = 0 $
$ 11(-22) + 118 - 62\lambda = 0 $
$ -242 + 118 = 62\lambda $
$ 62\lambda = -124 \Rightarrow \lambda = -2 $
अब,$ D_1 = 0 $ के लिए:
$ D_1 = \begin{vmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ -5(-117 + 95) - 1(-117 - 5\mu) - 2(-57 - 3\mu) = 0 $
$ -5(-22) + 117 + 5\mu + 114 + 6\mu = 0 $
$ 110 + 231 + 11\mu = 0 $
$ 11\mu = -341 \Rightarrow \mu = -31 $
अंत में,$ \lambda^4 - \mu $ की गणना करने पर:
$ \lambda^4 - \mu = (-2)^4 - (-31) = 16 + 31 = 47 $

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = 1(5m - 10) - 1(2m - 5) + 1(4 - 5) = 3m - 6$.
$D = 0$ रखने पर,$3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$m=2$ के साथ $D_3$ की गणना करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 5 & 17 \\ 1 & 2 & n \end{vmatrix} = 1(5n - 34) - 1(2n - 17) + 4(4 - 5) = 3n - 21$.
$D_3 = 0$ रखने पर,$3n - 21 = 0 \Rightarrow n = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$m=2$ और $n=7$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$m^2 + n^2 - mn = 2^2 + 7^2 - (2)(7) = 4 + 49 - 14 = 39$.
अतः,ये मान $m^2 + n^2 - mn = 39$ को संतुष्ट करते हैं।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ और सारणिक $D_1, D_2, D_3$ सभी शून्य होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $D_3 = 0$ की गणना करते हैं:
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & \mu & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 4\mu) - 7(-3 - 4) + 3(3\mu - 2) = 0$
$-4 - 8\mu + 49 + 9\mu - 6 = 0$
$\mu + 39 = 0 \Rightarrow \mu = -39$
इसके बाद,$\mu = -39$ के साथ $D = 0$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & \lambda \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & -39 & 32 \end{vmatrix} = 2(64 + 195) - 7(96 - 5) + \lambda(-117 - 2) = 0$
$2(259) - 7(91) - 119\lambda = 0$
$518 - 637 - 119\lambda = 0$
$-119 - 119\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
अंत में,हम $(\lambda - \mu)$ ज्ञात करते हैं:
$\lambda - \mu = -1 - (-39) = -1 + 39 = 38$.

(B) दिया गया अभिलक्षणिक समीकरण $A^3 - 4A^2 + A + 21I = 0$ है।
अभिलक्षणिक बहुपद $P(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 21 = 0$ है।
आइगेन मानों का योग (आव्यूह $A$ का ट्रेस) $\lambda^2$ के गुणांक के चिह्न परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\text{tr}(A) = 2 + 3 + b = 4$,जिससे $b = -1$ प्राप्त होता है।
आव्यूह $A$ का सारणिक अभिलक्षणिक बहुपद के अचर पद के चिह्न परिवर्तन के बराबर होता है ($3 \times 3$ आव्यूह के लिए),इसलिए $|A| = -21$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $|A| = 2(3b - 5) - a(b - 0) + 0 = 6b - 10 - ab = -21$ प्राप्त होता है।
$b = -1$ रखने पर: $6(-1) - 10 - a(-1) = -21 \Rightarrow -6 - 10 + a = -21 \Rightarrow -16 + a = -21 \Rightarrow a = -5$ प्राप्त होता है।
अंततः,$2a + 3b = 2(-5) + 3(-1) = -10 - 3 = -13$ है।

(B) समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 7 & 9 & \mu \\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(18-\mu) - 4(14-5\mu) - 1(7-45) = 0$.
$18 - \mu - 56 + 20\mu + 38 = 0$.
$19\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
अब,$\Delta_x = 0$ के लिए:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} \lambda & 4 & -1 \\ -3 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\lambda(18-0) - 4(-6-0) - 1(-3+9) = 0$.
$18\lambda + 24 - 6 = 0$.
$18\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -1$.
अंत में,$(2\mu + 3\lambda) = 2(0) + 3(-1) = -3$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3x + 5y + \lambda z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & \lambda \\ 7 & 11 & -9 \\ 97 & 155 & -189 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(-2079 + 1395) - 5(-1323 + 873) + \lambda(1085 - 1067) = 0$
$3(-684) - 5(-450) + 18\lambda = 0$
$-2052 + 2250 + 18\lambda = 0$
$198 + 18\lambda = 0 \implies \lambda = -11$.
अब,$\lambda = -11$ रखने पर:
$(1)$ $3x + 5y - 11z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
अनंत हलों के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। माना $(3) = a(1) + b(2)$:
$3a + 7b = 97$ और $5a + 11b = 155$.
हल करने पर $a = 9$ और $b = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu = 9(3) + 10(2) = 47$.
$\mu + 2\lambda = 47 + 2(-11) = 47 - 22 = 25$.

(A) समीकरणों की प्रणाली $AX = B$ द्वारा दी गई है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = |A| = 1(4-6) + 2(-4+2) + 3(3-1) = 1(-2) + 2(-2) + 3(2) = -2 - 4 + 6 = 0$ की गणना करें।
चूंकि $D = 0$ है,प्रणाली का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 3 \\ k & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4\end{array}\right| = -1(4-6) + 2(4k+2) + 3(-3k-1) = 2 + 8k + 4 - 9k - 3 = 3 - k$ की गणना करें।
$D_1 = 0$ केवल तभी होता है जब $k = 3$ हो। यदि $k \neq 3$ है,तो $D_1 \neq 0$,इसलिए प्रणाली का कोई हल नहीं है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है। कथन-$2$ सत्य है क्योंकि यह $D=0$ को सही ढंग से पहचानता है जो प्रणाली का कोई हल न होने या अनंत हल होने की स्थिति है।

(C) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$ax + 2y = \lambda$
$3x - 2y = \mu$
गुणांक आव्यूह का सारणिक:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2a - 6 = -2(a + 3)$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $a \neq -3$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
यदि $a = -3$ है,तो $\Delta = 0$। प्रणाली का या तो कोई हल नहीं होगा या अनंत हल होंगे।
हम $\Delta_1 = \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ \mu & -2 \end{vmatrix} = -2\lambda - 2\mu = -2(\lambda + \mu)$ की गणना करते हैं।
यदि $\lambda + \mu = 0$ है,तो $\Delta_1 = 0$। चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = 0$,इसलिए प्रणाली के अनंत हल हैं। अतः,कथन $(C)$ सही है।
यदि $\lambda + \mu \neq 0$ है,तो $\Delta_1 \neq 0$। चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,इसलिए प्रणाली का कोई हल नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$,$(C)$,और $(D)$ सही हैं।

(A) दिए गए समीकरण निकाय:
$x+2y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2x-3y+\beta z=\gamma$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 2 & -3 & \beta \end{vmatrix} = 1(0 - (-3\alpha)) - 2(\beta - 2\alpha) + 1(-3 - 0) = 3\alpha - 2\beta + 4\alpha - 3 = 7\alpha - 2\beta - 3$ है।
यदि $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ है,तो $\Delta = 0$ होगा।
$(P)$ के लिए: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\gamma = 28$ है। $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ की गणना करने पर,वे सभी $0$ प्राप्त होते हैं। अतः,निकाय के अनंत हल हैं। $(P \rightarrow 3)$।
$(Q)$ के लिए: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\gamma \neq 28$ है। चूँकि $\Delta = 0$ है और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्यतर है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है। $(Q \rightarrow 2)$।
$(R)$ के लिए: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$,इसलिए $\Delta \neq 0$ है। निकाय का एक अद्वितीय हल है। $(R \rightarrow 1)$।
$(S)$ के लिए: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\alpha = 1, \gamma = 28$ है। चूँकि $\Delta \neq 0$ है,एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। $x=11, y=-2, z=0$ को समीकरणों में रखने पर: $11+2(-2)+0 = 7$ (सत्य),$11+1(0) = 11$ (सत्य),$2(11)-3(-2)+\beta(0) = 22+6 = 28 = \gamma$ (सत्य)। अतः,$(x=11, y=-2, z=0)$ अद्वितीय हल है। $(S \rightarrow 4)$।

(A) सबसे पहले,हम शर्त $a_{ij} = 1$ यदि $i$,$(j+1)$ को विभाजित करता है,और अन्यथा $0$ के आधार पर आव्यूह $M$ का निर्माण करते हैं।
$i=1$ के लिए: $j=1, 2, 3$ के लिए $j+1$,$1$ से विभाज्य है। अतः,$a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=1$.
$i=2$ के लिए: $j=1, 3$ के लिए $j+1$,$2$ से विभाज्य है। अतः,$a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1$.
$i=3$ के लिए: $j=2$ के लिए $j+1$,$3$ से विभाज्य है। अतः,$a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=0$.
अतः,$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$(A)$ सारणिक ज्ञात करें: $|M| = 1(0-1) - 1(0-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$. चूंकि $|M| = 0$,$M$ अव्युत्क्रमणीय है। ($A$ असत्य है)।
$(B)$ हम $M X = -X$ को हल करते हैं,जो $(M + I)X = 0$ है।
$M+I = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. सारणिक $|M+I| = 2(1-1) - 1(1-0) + 1(1-0) = 0$. चूंकि सारणिक $0$ है,एक शून्येतर हल $X$ का अस्तित्व है। ($B$ सत्य है)।
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ $M$ के शून्य समष्टि (null space) को दर्शाता है। चूंकि $|M| = 0$,शून्य समष्टि शून्येतर है। ($C$ सत्य है)।
$(D)$ $M - 2I = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$|M-2I| = -1(4-1) - 1(-2-0) + 1(1-0) = -3 + 2 + 1 = 0$. अतः,$(M-2I)$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। ($D$ असत्य है)।
अतः,सही कथन $B$ और $C$ हैं।

(D) प्रणाली के अनंत हल होते हैं यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और संवर्धित आव्यूह संगतता की शर्त को पूरा करता हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - \alpha^2) - \alpha(\alpha - \alpha^3) + \alpha^2(\alpha^2 - \alpha^2) = 1 - \alpha^2 - \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha^4 - 2\alpha^2 + 1 = (\alpha^2 - 1)^2$.
$D = 0$ रखने पर $(\alpha^2 - 1)^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$ या $\alpha = -1$।
स्थिति $1$: यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = -1$
$x + y + z = 1$
यह असंगत है क्योंकि $1 \neq -1$,इसलिए कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण:
$x - y + z = 1$
$-x + y - z = -1$
$x - y + z = 1$
तीनों समीकरण $x - y + z = 1$ के समान हैं,जो एक समतल को दर्शाते हैं,इसलिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।
अतः,$\alpha = -1$।
तब,$1 + \alpha + \alpha^2 = 1 + (-1) + (-1)^2 = 1 - 1 + 1 = 1$।

(D) दिए गए समीकरणों की प्रणाली:
$1) 3x - y - z = 0$
$2) -3x + z = 0$
$3) -3x + 2y + z = 0$
समीकरण $(2)$ से,हमें $z = 3x$ प्राप्त होता है।
$z = 3x$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x - y - 3x = 0 \Rightarrow y = 0$.
समीकरण $(3)$ के साथ जाँच करने पर:
$-3x + 2(0) + 3x = 0$,जो $0 = 0$ है। यह सुसंगत है।
अतः,प्रणाली को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु $(x, y, z)$,$(a, 0, 3a)$ के रूप का है जहाँ $a$ एक पूर्णांक है।
हमें शर्त $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ दी गई है।
बिंदु $(a, 0, 3a)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + 0^2 + (3a)^2 \leq 100$
$a^2 + 9a^2 \leq 100$
$10a^2 \leq 100$
$a^2 \leq 10$
चूँकि $a$ एक पूर्णांक है,इसलिए $a$ के संभावित मान $a \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें $7$ संभावित बिंदु प्राप्त होते हैं।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = B$ का या तो एक अद्वितीय हल होता है,कोई हल नहीं होता है,या अनंत हल होते हैं।
रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए ठीक दो भिन्न हल होना गणितीय रूप से असंभव है।
यदि किसी निकाय के एक से अधिक हल हैं,तो उसके अनंत हल होने चाहिए।
अतः,ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या $0$ है।

(A) समीकरण प्रणाली का कम से कम एक हल होने के लिए,सारणिक $\Delta \neq 0$ होना चाहिए या यदि $\Delta = 0$ है,तो $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना चाहिए।
दी गई प्रणाली के लिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -1(-8+6) - 2(4-3) + 5(-4+4) = 2 - 2 + 0 = 0$.
हल के लिए,$\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना आवश्यक है।
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1 & 2 & 5 \\ b_2 & -4 & 3 \\ b_3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -2b_1 - 14b_2 + 26b_3 = 0$,अर्थात $b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0$.
अतः,$S = \{ [b_1, b_2, b_3]^T : b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0 \}$.
प्रत्येक विकल्प के लिए,यदि $\Delta \neq 0$ है,तो अद्वितीय हल प्राप्त होता है।
$(A)$ $\Delta = 12 \neq 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(B)$ $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(C)$ $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(D)$ $\Delta = 54 \neq 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
अतः,$(A), (B), (C), (D)$ सभी सही हैं।