Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(C) बल का विमीय सूत्र $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
दिए गए मात्रक हैं:
$[F] = 100 \, N$
$[L] = 10 \, m$
$[T] = 100 \, s$
इन मानों को विमीय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$100 = M \times (10) \times (100)^{-2}$
$100 = M \times 10 \times \frac{1}{10000}$
$100 = M \times \frac{1}{1000}$
$M = 100 \times 1000 = 10^{5} \, kg$.

(B) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है।
मान लीजिए कि दो प्रणालियाँ $1$ $(SI)$ और $2$ (नई प्रणाली) हैं।
प्रणाली $1$ में: $M_1 = 1 \ kg$,$L_1 = 1 \ m$,$T_1 = 1 \ s$,और $n_1 = 5$.
प्रणाली $2$ में: $M_2 = \alpha \ kg$,$L_2 = \beta \ m$,$T_2 = \gamma \ s$,और $n_2 = ?$.
समानता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n_1 u_1 = n_2 u_2$,इसलिए $n_2 = n_1 (M_1/M_2)^1 (L_1/L_2)^2 (T_1/T_2)^{-2}$.
मान रखने पर: $n_2 = 5 \times (1/\alpha)^1 \times (1/\beta)^2 \times (1/\gamma)^{-2}$.
$n_2 = 5 \times (1/\alpha) \times (1/\beta^2) \times (\gamma^2)$.
$n_2 = 5 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2$.

(A) पाइप से प्रति सेकंड बहने वाले द्रव का आयतन $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दिया गया है।
$LHS$ का विमीय सूत्र:
$[V] = \frac{[Volume]}{[Time]} = \frac{[L^3]}{[T]} = [L^3 T^{-1}]$.
$RHS$ का विमीय सूत्र:
$[p] = [M L^{-1} T^{-2}]$
$[r] = [L]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[l] = [L]$
इन मानों को $RHS$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[RHS] = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
चूंकि $[LHS] = [RHS]$,इसलिए समीकरण विमीय रूप से सही है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $P = E l^2 m^{-5} G^{-2}$ है।
भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$E$ (ऊर्जा) = $[M^1 L^2 T^{-2}]$
$l$ (कोणीय संवेग) = $[M^1 L^2 T^{-1}]$
$m$ (द्रव्यमान) = $[M^1]$
$G$ (गुरुत्वाकर्षण नियतांक) = $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन विमाओं को $P$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^1 L^2 T^{-1}]^2 \times [M^1]^{-5} \times [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-2}$
घातों का विस्तार करने पर:
$[P] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^2 L^4 T^{-2}] \times [M^{-5}] \times [M^2 L^{-6} T^4]$
प्रत्येक आधार के लिए घातांकों को जोड़ने पर:
$M$ के लिए: $1 + 2 - 5 + 2 = 0$
$L$ के लिए: $2 + 4 + 0 - 6 = 0$
$T$ के लिए: $-2 - 2 + 0 + 4 = 0$
अतः,$[P] = [M^0 L^0 T^0]$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P$ एक विमाहीन राशि है।

(A) हम जानते हैं कि विमाएँ इस प्रकार हैं:
$(h)$ की विमाएँ $= [M^1 L^2 T^{-1}]$
$(c)$ की विमाएँ $= [L^1 T^{-1}]$
$(G)$ की विमाएँ $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
द्रव्यमान $(M)$,लंबाई $(L)$ और समय $(T)$ को $c, h, G$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
माना $M = k c^a h^b G^d$. विमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^a [M L^2 T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
घातों की तुलना करने पर:
$M: b - d = 1$
$L: a + 2b + 3d = 0$
$T: -a - b - 2d = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर $b = 1/2, d = -1/2, a = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$M = k \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
इसी प्रकार,लंबाई $(L)$ और समय $(T)$ के लिए घातों को हल करने पर:
$L = k \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$ और $T = k \sqrt{\frac{hG}{c^5}}$ प्राप्त होता है।

(A) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $T \propto r^{3/2}$.
मान लीजिए कि $T$,$r$,$R$,और $g$ का एक फलन है जैसे कि $T = k r^{3/2} R^a g^b$,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक पद की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[T] = [L]^{3/2} [L]^a [LT^{-2}]^b$.
$[M^0 L^0 T^1] = [L^{3/2 + a + b} T^{-2b}]$.
$T$ के घातों की तुलना करने पर: $1 = -2b \Rightarrow b = -1/2$.
$L$ के घातों की तुलना करने पर: $3/2 + a + b = 0 \Rightarrow 3/2 + a - 1/2 = 0 \Rightarrow a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.
$a$ और $b$ के मानों को समीकरण में रखने पर: $T = k r^{3/2} R^{-1} g^{-1/2}$.
अतः,$T = \frac{k}{R} \sqrt{\frac{r^3}{g}}$.

(A) माना लंबाई $l$ को $l = k c^x h^y G^z$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है और $x, y, z$ घातांक हैं।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[l] = [M^0 L^1 T^0]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^1 T^0] = [L T^{-1}]^x [M L^2 T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$[M^0 L^1 T^0] = [M^{y-z} L^{x+2y+3z} T^{-x-y-2z}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $y - z = 0 \implies y = z$
$2$) $x + 2y + 3z = 1$
$3$) $-x - y - 2z = 0 \implies x = -y - 2z$
$y = z$ को $(3)$ में रखने पर: $x = -z - 2z = -3z$
$x = -3z$ और $y = z$ को $(2)$ में रखने पर:
$-3z + 2z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$
अतः,$y = 1/2$ और $x = -3/2$.
इसलिए,$l \propto c^{-3/2} h^{1/2} G^{1/2} = \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.

(B) माना कि समय $T$ को $T = k c^x h^y G^z$ के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[c] = [L T^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [L T^{-1}]^x [M L^2 T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{y-z} L^{x+2y+3z} T^{-x-y-2z}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1) y - z = 0 \implies y = z$
$2) x + 2y + 3z = 0$
$3) -x - y - 2z = 1$
$y = z$ को समीकरण $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$x + 5z = 0 \implies x = -5z$
$-(-5z) - z - 2z = 1 \implies 5z - 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$
अतः,$y = 1/2$ और $x = -5/2$.
इसलिए,समय के लिए व्यंजक $T = k \sqrt{\frac{h G}{c^5}}$ है।

(A) आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
जब कोई कण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है,तो चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\omega = \frac{v}{R} = \frac{qB}{m}$ प्राप्त होती है।
$\omega$ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[\omega] = \frac{[q][B]}{[m]} = \frac{[I][T][M][I]^{-1}[T]^{-2}}{[M]} = [T]^{-1}$.
इस प्रकार,राशि $\frac{qB}{m}$ की विमा $T^{-1}$ है।
इसके अतिरिक्त,विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{E}{B}$ वेग $[L][T]^{-1}$ की विमा रखता है,और भौतिक संदर्भ के आधार पर $\frac{eE}{mv}$ या $\frac{eB}{m}$ जैसी राशियों का उपयोग विभिन्न विमाहीन अनुपात बनाने के लिए किया जा सकता है।

(N/A) हम जानते हैं कि कार्य या ऊर्जा को बल गुणा विस्थापन के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $1 \text{ Joule} = 1 \text{ Newton} \times 1 \text{ meter}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\text{Joule}}{\text{meter}^2} = \frac{\text{Newton} \times \text{meter}}{\text{meter}^2}$.
अंश और हर से एक मीटर को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\text{Joule}}{\text{meter}^2} = \frac{\text{Newton}}{\text{meter}}$.

(B) माना ऊर्जा का विमीय सूत्र $[E] = [P]^x [A]^y [T]^z$ है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ रखने पर:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-1}]^x [L^2]^y [T]^z$.
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M^1 L^2 T^{-2} = M^x L^{x+2y} T^{-x+z}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$.
$L$ के लिए: $x + 2y = 2$. $x=1$ रखने पर,$1 + 2y = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2y = 1$,अतः $y = 1/2$.
$T$ के लिए: $-x + z = -2$. $x=1$ रखने पर,$-1 + z = -2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z = -1$.
अतः,ऊर्जा का विमीय सूत्र $[P A^{1/2} T^{-1}]$ है।

(A) माना यंग मापांक $Y$ की विमा को $Y = F^{x} A^{y} V^{z}$ के रूप में व्यक्त किया गया है।
यंग मापांक का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ का विमीय सूत्र $[L^{2}]$ है।
गति $V$ का विमीय सूत्र $[L^{1} T^{-1}]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]^{x} [L^{2}]^{y} [L^{1} T^{-1}]^{z}$
$[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M]^{x} [L]^{x + 2y + z} [T]^{-2x - z}$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$T$ के लिए: $-2x - z = -2 \Rightarrow -2(1) - z = -2 \Rightarrow z = 0$
$L$ के लिए: $x + 2y + z = -1 \Rightarrow 1 + 2y + 0 = -1 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$
अतः,यंग मापांक की विमा $F^{1} A^{-1} V^{0}$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $x = \frac{I F v^{2}}{W L^{4}}$
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$I = [M L^{2}]$
$F = [M L T^{-2}]$
$v = [L T^{-1}]$
$W = [M L^{2} T^{-2}]$
$L = [L]$
इन मानों को $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$[x] = \frac{[M L^{2}] [M L T^{-2}] [L T^{-1}]^{2}}{[M L^{2} T^{-2}] [L]^{4}}$
$[x] = \frac{[M^{2} L^{3} T^{-2}] [L^{2} T^{-2}]}{[M L^{6} T^{-2}]}$
$[x] = \frac{[M^{2} L^{5} T^{-4}]}{[M L^{6} T^{-2}]}$
$[x] = [M L^{-1} T^{-2}]$
अब,ऊर्जा घनत्व की विमाओं की जाँच करने पर:
ऊर्जा घनत्व = $\frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[L^{3}]} = [M L^{-1} T^{-2}]$
चूँकि $x$ की विमाएँ ऊर्जा घनत्व की विमाओं के समान हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया संबंध $z = \frac{a^2 b^{2/3}}{c^{1/2} d^3}$ है।
$z$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र: $\frac{\Delta z}{z} = 2 \frac{\Delta a}{a} + \frac{2}{3} \frac{\Delta b}{b} + \frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} + 3 \frac{\Delta d}{d}$ है।
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ हैं: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1.5\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$,और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2.5\%$.
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2(2\%) + \frac{2}{3}(1.5\%) + \frac{1}{2}(4\%) + 3(2.5\%)$.
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\% + 1\% + 2\% + 7.5\% = 14.5\%$.
अतः,$z$ में प्रतिशत त्रुटि $14.5\%$ है।

(A) दिया गया सूत्र $X = 3 Y Z^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $MKSQ$ प्रणाली में धारिता $C$ की विमाएँ $[X] = [C] = [M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]$ होती हैं।
हम जानते हैं कि $MKSQ$ प्रणाली में चुंबकीय प्रेरण $B$ की विमाएँ $[Z] = [B] = [M T^{-1} Q^{-1}]$ होती हैं।
$Y$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Y = \frac{X}{3 Z^{2}}$ प्राप्त होता है।
विमाहीन स्थिरांक $3$ को अनदेखा करते हुए,विमीय सूत्र $[Y] = \frac{[X]}{[Z^{2}]}$ होगा।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M T^{-1} Q^{-1}]^{2}}$.
$[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M^{2} T^{-2} Q^{-2}]}$.
$[Y] = [M^{-1-2} L^{-2} T^{2-(-2)} Q^{2-(-2)}] = [M^{-3} L^{-2} T^{4} Q^{4}]$.

(B) चरघातांकी फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $\frac{x^{2}}{\alpha kT}$ विमाहीन है।
$[\alpha] = \frac{[x^{2}]}{[kT]} = \frac{L^{2}}{M L^{2} T^{-2}} = M^{-1} T^{2}$.
चूंकि चरघातांकी पद $e^{-\frac{x^{2}}{\alpha kT}}$ विमाहीन है,इसलिए कार्य $W$ की विमा $[W] = [\alpha][\beta]^{2}$ द्वारा दी जाती है।
$[W] = M L^{2} T^{-2}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $M L^{2} T^{-2} = (M^{-1} T^{2}) [\beta]^{2}$.
$[\beta]^{2} = \frac{M L^{2} T^{-2}}{M^{-1} T^{2}} = M^{2} L^{2} T^{-4}$.
वर्गमूल लेने पर: $[\beta] = M L T^{-2}$.

(B) $kT$ ऊर्जा की विमा रखता है,इसलिए इसकी विमा $[ML^{2}T^{-2}]$ है।
घातांक $\frac{-\beta x^{2}}{kT}$ विमाहीन होना चाहिए।
अतः,$[\beta][x^{2}] = [kT] \implies [\beta][L^{2}] = [ML^{2}T^{-2}]$.
इससे $[\beta] = [MT^{-2}]$ प्राप्त होता है।
कार्य $W$ की विमा $[ML^{2}T^{-2}]$ है।
दिया गया है $W = \alpha^{2} \beta e^{\frac{-\beta x^{2}}{kT}}$,और चूंकि घातांकीय पद विमाहीन है,इसलिए $[W] = [\alpha^{2}][\beta]$ होगा।
$[ML^{2}T^{-2}] = [\alpha^{2}][MT^{-2}]$.
$[\alpha^{2}] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[MT^{-2}]} = [L^{2}]$.
अतः,$[\alpha] = [L] = [M^{0}LT^{0}]$।

(D) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$E = [ML^2 T^{-2}]$
$L = [ML^2 T^{-1}]$
$m = [M]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
दिए गए सूत्र $P = E L^2 m^{-5} G^{-2}$ में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [ML^2 T^{-1}]^2 \cdot [M]^{-5} \cdot [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-2}$
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M^2 L^4 T^{-2}] \cdot [M^{-5}] \cdot [M^2 L^{-6} T^4]$
$[P] = [M^{1+2-5+2} L^{2+4-6} T^{-2-2+4}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0]$
अतः,$P$ एक विमाहीन राशि है।

(A) घनत्व का विमीय सूत्र $[M L^{-3}]$ होता है।
माना घनत्व की विमा $[F^{a} L^{b} T^{c}]$ के रूप में व्यक्त की जाती है।
चूँकि बल $F = [M L T^{-2}]$,हम लिख सकते हैं कि $[M L T^{-2}]^{a} [L]^{b} [T]^{c} = [M L^{-3}]$.
$M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$.
$L$ के लिए: $a + b = -3$.
$T$ के लिए: $-2a + c = 0$.
समीकरणों में $a = 1$ रखने पर:
$1 + b = -3 \implies b = -4$.
$-2(1) + c = 0 \implies c = 2$.
अतः,घनत्व की विमा $[F^{1} L^{-4} T^{2}]$ है।

(A) विमीय शुद्धता की जाँच करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दोनों पक्षों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$A$. पॉइज़ुइल का नियम: $v = \frac{\pi p a^4}{8 \eta L}$। यहाँ,$v$ आयतन प्रवाह दर $(L^3 T^{-1})$ को दर्शाता है। दाईं ओर की विमाएँ $[L^3 T^{-1}]$ हैं। यह विमीय रूप से सही है।
$B$. केशिकत्व उन्नयन: $h = \frac{2 s \cos \theta}{\rho r g}$। विमाएँ: $[L] = [L]$। यह विमीय रूप से सही है।
$C$. विस्थापन धारा घनत्व: $J = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}$। $J$ की विमाएँ $[I L^{-2}]$ हैं। दाईं ओर की विमाएँ भी $[I L^{-2}]$ हैं। यह विमीय रूप से सही है।
$D$. कार्य: $W = \Gamma \theta$। कार्य की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं। बल आघूर्ण $(\Gamma)$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं और कोण $(\theta)$ विमाहीन है। अतः,$W = \Gamma \theta$ विमीय रूप से सही है। लेकिन विकल्प $A$ में $v$ आयतन है,न कि आयतन प्रवाह दर,इसलिए यह विमीय रूप से गलत है।

(A) माना कि द्रव्यमान की विमा $[M] = [F]^a [T]^b [V]^c$ है।
मूल राशियों की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [T^1]^b [L^1 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+c} T^{-2a+b-c}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$
$T$ के लिए: $-2a + b - c = 0 \implies -2(1) + b - (-1) = 0 \implies -2 + b + 1 = 0 \implies b = 1$
अतः,द्रव्यमान की विमा $[F^1 T^1 V^{-1}]$ होगी,जिसे $[F T V^{-1}]$ के रूप में लिखा जाता है।

(B) माना कि ऊर्जा $E$ को $E = k F^{a} A^{b} T^{c}$ के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-2}]$ है।
बल का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ है।
त्वरण का विमीय सूत्र $[L^{1} T^{-2}]$ है।
समय का विमीय सूत्र $[T^{1}]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]^{a} [L^{1} T^{-2}]^{b} [T^{1}]^{c}$
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{a} L^{a+b} T^{-2a-2b+c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + b = 2 \Rightarrow 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ के लिए: $-2a - 2b + c = -2 \Rightarrow -2(1) - 2(1) + c = -2 \Rightarrow -4 + c = -2 \Rightarrow c = 2$
अतः,$F, A$ और $T$ के पदों में ऊर्जा की विमाएँ $[F^{1} A^{1} T^{2}]$ या $[F][A][T^{2}]$ हैं।

(D) लघुगणकीय फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ विमाहीन होना चाहिए।
दिया गया है $S = \frac{dQ}{T}$,एन्ट्रॉपी $S$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
गैस स्थिरांक $R$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}]$ हैं और बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
चूंकि $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ विमाहीन है,$[\beta^{2}] = \frac{[\mu][k][R]}{[J]}$।
$J$ (ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक) एक इकाई रूपांतरण कारक है,इसलिए यह विमाहीन है। अतः,$[\beta^{2}] = [mol] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1}] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}] = [M^{2} L^{4} T^{-4} K^{-2}]$।
इसलिए,$[\beta] = [M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$,जो $S, k$ और $\mu R$ की विमाओं के समान है।
$S = \alpha^{2} \beta$ से,चूंकि $S$ और $\beta$ की विमाएँ समान हैं,$\alpha^{2}$ विमाहीन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\alpha$ विमाहीन है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $S, \beta, k, \mu R$ की विमाएँ समान हैं: सही।
$(B)$ $\alpha$ और $J$ की विमाएँ समान हैं: सही (दोनों विमाहीन हैं)।
$(C)$ $S$ और $\alpha$ की विमाएँ अलग हैं: सही।
$(D)$ $\alpha$ और $k$ की विमाएँ समान हैं: गलत,क्योंकि $\alpha$ विमाहीन है और $k$ की विमाएँ हैं। अतः,$(D)$ गलत विकल्प है।

(A) माना द्रव्यमान की विमा $m = k \cdot t^a \cdot u^b \cdot I^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^a [L T^{-1}]^b [M L^2 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^c] [L^{b+2c}] [T^{a-b-c}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$,और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 1$
$L$ के लिए: $b + 2c = 0 \implies b + 2(1) = 0 \implies b = -2$
$T$ के लिए: $a - b - c = 0 \implies a - (-2) - 1 = 0 \implies a + 1 = 0 \implies a = -1$
अतः,द्रव्यमान की विमा $[t^{-1} u^{-2} I^1]$ है।

(A) त्रिकोणमितीय फलनों जैसे $\cos$ और $\sin$ का तर्क (कोण) विमाहीन होना चाहिए।
$\cos(Bx)$ के लिए,पद $Bx$ विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[B] = [x]^{-1} = [L^{-1}]$.
$\sin(Dt)$ के लिए,पद $Dt$ विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[D] = [t]^{-1} = [T^{-1}]$.
चूंकि $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$,इसलिए $A$ की विमाएँ बल $F$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $[A] = [MLT^{-2}]$.
अब,हम $\frac{AD}{B}$ की विमाओं की गणना करते हैं:
$[\frac{AD}{B}] = \frac{[A][D]}{[B]} = \frac{[MLT^{-2}][T^{-1}]}{[L^{-1}]}$.
$[\frac{AD}{B}] = [MLT^{-3}][L] = [ML^{2}T^{-3}]$.

(C) लघुगणकीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$\frac{kt}{\beta x} = 1$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{kt}{x}$।
चूँकि $kt$ की विमा ऊर्जा $([ML^{2}T^{-2}])$ के समान होती है और $x$ दूरी $([L])$ है,इसलिए $\beta$ की विमा $[\beta] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L]} = [MLT^{-2}]$ होगी।
यह दिया गया है कि $P$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए व्यंजक $P = \frac{\alpha}{\beta} \times (\text{विमाहीन पद})$ का अर्थ है कि $[P] = \frac{[\alpha]}{[\beta]}$।
चूँकि $[P] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$,इसलिए $[\alpha] = [\beta] = [MLT^{-2}]$ होगा।

(B) दिया गया है: $v_{2} = \frac{n}{m^{2}} v_{1}$ और $a_{2} = \frac{a_{1}}{mn}$.
चूंकि $v = \frac{L}{T}$ और $a = \frac{L}{T^{2}}$,हमारे पास है:
$\frac{L_{2}}{T_{2}} = \frac{n}{m^{2}} \frac{L_{1}}{T_{1}}$ --- $(1)$
$\frac{L_{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{1}{mn} \frac{L_{1}}{T_{1}^{2}}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} = \frac{n}{m^{2}} \times mn \times T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{1}$
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{m}{n^{2}}$ (इसका अर्थ है $T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{2}$).
$T_{2} = \frac{m}{n^{2}} T_{1}$ को $(1)$ में रखने पर:
$\frac{L_{2}}{(\frac{m}{n^{2}}) T_{1}} = \frac{n}{m^{2}} \frac{L_{1}}{T_{1}}$
$L_{2} = \frac{n}{m^{2}} \times \frac{m}{n^{2}} L_{1} = \frac{1}{mn} L_{1}$
$L_{1} = mn L_{2}$.
विकल्पों की जांच करने पर,समय के लिए सही संबंध $T_{1} = \frac{n^{2}}{m} T_{2}$ है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
$1$. पद $\left[ P + \frac{a}{V^2} \right]$ से,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right] \implies [a] = [P][V^2]$.
$2$. पद $[V - b]$ से,$b$ की विमाएँ $V$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V]$.
$3$. अब,अनुपात $\frac{a}{b}$ की विमाएँ ज्ञात करते हैं:
$\left[ \frac{a}{b} \right] = \frac{[P][V^2]}{[V]} = [P][V]$.
अतः,अनुपात $\frac{a}{b}$ विमीय रूप से $PV$ के बराबर है।

(A) श्यानता गुणांक $\eta$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ होता है।
माना विमीय सूत्र $\eta = P^x A^y T^z$ है।
हम जानते हैं कि मूल राशियों की विमाएँ हैं:
$[P] = [M^1 L^1 T^{-1}]$
$[A] = [L^2]$
$[T] = [T^1]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = [M^1 L^1 T^{-1}]^x [L^2]^y [T^1]^z$
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = M^x L^{x+2y} T^{-x+z}$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $x + 2y = -1 \implies 1 + 2y = -1 \implies 2y = -2 \implies y = -1$
$T$ के लिए: $-x + z = -1 \implies -1 + z = -1 \implies z = 0$
अतः,विमीय सूत्र $[P^1 A^{-1} T^0]$ प्राप्त होता है।

(D) $\sin$ फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[\frac{\alpha x}{kt}] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$.
दिया गया है $x = [L]$,$k = [ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}]$,और $t = [\theta]$.
अतः,$[\alpha] = [\frac{kt}{x}] = \frac{[ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}][\theta]}{[L]} = [MLT^{-2}]$.
ऊर्जा घनत्व $u$ प्रति इकाई आयतन ऊर्जा है,इसलिए $[u] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
व्यंजक $u = \frac{\alpha}{\beta}$ से,हमें $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[u]}$ प्राप्त होता है।
$[\beta] = \frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [L^{2}]$.
इसलिए,$\beta$ की विमाएँ $[M^{0}L^{2}T^{0}]$ हैं।

(D) दक्षता $\eta$ एक विमाहीन राशि है। अतः,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$।
व्यंजक $\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \log_{e} \frac{\beta x}{k T}$ में,लघुगणक (logarithm) का तर्क विमाहीन होना चाहिए। अतः,$[\frac{\beta x}{k T}] = [M^0 L^0 T^0]$।
चूंकि $[k T] = \text{ऊर्जा} = [M L^2 T^{-2}]$ और $[x] = [L]$,इसलिए $[\beta] = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$,जो बल की विमा है।
अब,चूंकि $\eta$ और $\sin \theta$ दोनों विमाहीन हैं,पद $\frac{\alpha \beta}{\sin \theta}$ को विमाहीन होना चाहिए। अतः,$[\alpha \beta] = [M^0 L^0 T^0]$।
जिससे $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $[\beta] = [M L T^{-2}]$ (बल),जो सही है।
$B$: $[\alpha^{-1} x] = [M L T^{-2} \cdot L] = [M L^2 T^{-2}]$ (ऊर्जा),जो सही है।
$C$: $[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,जो सही है।
$D$: $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$ और $[\beta] = [M L T^{-2}]$। ये समान नहीं हैं। अतः,यह गलत विकल्प है।

(C) आवर्तकाल $T$ की विमा $[T^1]$ है.
दिया गया सूत्र $T = k \sqrt{\frac{\rho r^3}{S}}$ है.
घनत्व $\rho$ की विमा $[M L^{-3}]$ है.
त्रिज्या $r$ की विमा $[L]$ है.
पृष्ठ तनाव $S$ की विमा $[M T^{-2}]$ है.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $[RHS] = [M L^{-3} L^3]^{1/2} / [M T^{-2}]^{1/2} = [M^{1/2}] / [M^{1/2} T^{-1}] = [T^1]$.
अतः,$LHS$ और $RHS$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए अभिकथन $(A)$ सत्य है. अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ असत्य है.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण विमीय रूप से तभी सही होता है जब दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान हों।
विकल्प $A$ के लिए: $u^2 = 2a(gt - 1)$। पद $gt$ की विमाएँ $[LT^{-2}][T] = [LT^{-1}]$ हैं,जो वेग की विमा है। हालाँकि,संख्या $1$ विमाहीन है। हम $[LT^{-1}]$ विमा वाली राशि से एक विमाहीन राशि को नहीं घटा सकते। अतः,यह समीकरण विमीय रूप से गलत है।
विकल्प $B$ के लिए: $s - ut = \frac{1}{2}at^2$। $s$ की विमाएँ $[L]$,$ut$ की $[LT^{-1}][T] = [L]$,और $\frac{1}{2}at^2$ की $[LT^{-2}][T^2] = [L]$ हैं। सभी पदों की विमाएँ समान हैं।
विकल्प $C$ के लिए: $u = v - at$। $u$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$,$v$ की $[LT^{-1}]$,और $at$ की $[LT^{-2}][T] = [LT^{-1}]$ हैं। सभी पदों की विमाएँ समान हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $v^2 - u^2 = 2as$। $v^2$ की विमाएँ $[L^2T^{-2}]$,$u^2$ की $[L^2T^{-2}]$,और $2as$ की $[LT^{-2}][L] = [L^2T^{-2}]$ हैं। सभी पदों की विमाएँ समान हैं।
इसलिए,विकल्प $A$ विमीय रूप से गलत है।

(A) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
मान लीजिए $SI$ प्रणाली प्रणाली $1$ है और नई प्रणाली प्रणाली $2$ है।
$SI$ प्रणाली में: $M_1 = 1 \,kg$,$L_1 = 1 \,m$,$T_1 = 1 \,s$.
नई प्रणाली में: $M_2 = 10 \,kg$,$L_2 = 10 \,m$,$T_2 = 1 \,minute = 60 \,s$.
रूपांतरण सूत्र $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^a [L_1/L_2]^b [T_1/T_2]^c$ है।
यहाँ $n_1 = 1$,$a = 1$,$b = 2$,$c = -2$ है।
मान रखने पर: $n_2 = 1 \times [1 \,kg / 10 \,kg]^1 \times [1 \,m / 10 \,m]^2 \times [1 \,s / 60 \,s]^{-2}$.
$n_2 = [1/10] \times [1/10]^2 \times [1/60]^{-2}$.
$n_2 = [1/10] \times [1/100] \times [60]^2$.
$n_2 = [1/1000] \times 3600 = 3600 / 1000 = 3.6$.
$3.6$ को $36 \times 10^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) बल का विमीय सूत्र $[F] = [M L T^{-2}]$ होता है।
दिए गए मात्रक हैं: बल $F' = 1 \,kN = 10^3 \,N$,लंबाई $L' = 1 \,km = 10^3 \,m$,और समय $T' = 100 \,s$।
हम जानते हैं कि $F = M L T^{-2}$,इसलिए $M = F L^{-1} T^2$।
द्रव्यमान के सूत्र में दिए गए मात्रकों को रखने पर:
$M' = F' \cdot (L')^{-1} \cdot (T')^2$
$M' = (10^3 \,N) \cdot (10^3 \,m)^{-1} \cdot (100 \,s)^2$
$M' = 10^3 \cdot 10^{-3} \cdot (10^2)^2 \,kg$
$M' = 1 \cdot 10^4 \,kg = 10000 \,kg$।
अतः,द्रव्यमान का मात्रक $10000 \,kg$ होगा।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U$ का समीकरण $U = \frac{A \sqrt{x}}{x^2 + B}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए। इसलिए,$B$ की विमाएँ $x^2$ की विमाओं के समान होंगी।
चूँकि $x$ दूरी है,$[x] = [L]$,अतः $[B] = [L^2]$।
स्थितिज ऊर्जा $U$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ होता है।
समीकरण से,$A = \frac{U(x^2 + B)}{\sqrt{x}}$।
विमाएँ रखने पर:
$[A] = \frac{[ML^2 T^{-2}] [L^2]}{[L^{1/2}]} = [ML^2 T^{-2} L^2 L^{-1/2}] = [ML^{7/2} T^{-2}]$।
अब,$AB$ की विमाएँ:
$[AB] = [A][B] = [ML^{7/2} T^{-2}] [L^2] = [ML^{11/2} T^{-2}]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) विमीय विश्लेषण समीकरणों की स्थिरता की जांच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन इसकी महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं।
$1$. यह त्रिकोणमितीय,घातांकीय या लघुगणकीय फलनों से जुड़े समीकरणों को व्युत्पन्न नहीं कर सकता है क्योंकि ये फलन विमाहीन होते हैं।
$2$. यह किसी सूत्र में विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $1/2$ या $\pi$) को निर्धारित नहीं कर सकता है।
$3$. यदि तीन से अधिक भौतिक राशियाँ स्वतंत्र हैं,तो यह समीकरणों को व्युत्पन्न नहीं कर सकता है।
दिए गए विकल्पों में:
- $v=u+at$ एक रैखिक संबंध है जिसकी विमीय स्थिरता की जांच की जा सकती है।
- $k=\frac{1}{2}mv^2$ एक ऐसा संबंध है जिसमें स्थिरांक $1/2$ को निर्धारित नहीं किया जा सकता है,लेकिन विमाओं की जांच की जा सकती है।
- $y=A\sin(\omega t+kx)$ में एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है। विमीय विश्लेषण का उपयोग ऐसे पारलौकिक (transcendental) समीकरणों की संरचना को व्युत्पन्न या सत्यापित करने के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि साइन फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए और फलन स्वयं एक सरल घात-नियम रूप में नहीं होता है।
इसलिए,संबंध $y=A\sin(\omega t+kx)$ को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(D) आवर्तकाल $T$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^1]$ है।
दाब $p$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
घनत्व $D$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-3} T^0]$ है।
पृष्ठ तनाव $S$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
दिए गए संबंध $T = p^a D^b S^c$ के लिए,दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3} T^0]^b [M^1 L^0 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}]$
$M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $a + b + c = 0$
$2$) $-a - 3b = 0 \implies a = -3b$
$3$) $-2a - 2c = 1$
समीकरण $(1)$ में $a = -3b$ रखने पर:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
समीकरण $(3)$ में $a = -3b$ और $c = 2b$ रखने पर:
$-2(-3b) - 2(2b) = 1$
$6b - 4b = 1 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$
अब,$a$ और $c$ का मान ज्ञात करने पर:
$a = -3b = -3(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
$c = 2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$
अतः,मान $a = -\frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}, c = 1$ हैं।

(A) दिया गया है कि ड्रैग बल $F_d$ हवा के घनत्व $\sigma$,गेंद के वेग $v$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है।
$F_d \propto \sigma^a v^b A^c$
विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए: $[MLT^{-2}] = [ML^{-3}]^a [LT^{-1}]^b [L^2]^c$.
घातांकों की तुलना करने पर: $a=1$,$-3a+b+2c=1$,और $-b=-2 \Rightarrow b=2$.
$a=1, b=2$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $-3(1)+2+2c=1 \Rightarrow 2c=2 \Rightarrow c=1$.
अतः,$F_d = k \sigma v^2 A$.
टर्मिनल वेग $v_T$ पर,$mg = F_d = k \sigma v_T^2 A$.
चूंकि $A = \pi R^2$ और $m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{ball}$,इसलिए $R^2 \propto m^{2/3}$.
$A \propto m^{2/3}$ को बल के समीकरण में रखने पर: $mg \propto v_T^2 m^{2/3} \Rightarrow v_T^2 \propto m^{1/3} \Rightarrow v_T \propto m^{1/6}$.
इसलिए,टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^{1/6} = \left(\frac{250}{125}\right)^{1/6} = 2^{1/6}$ है।

(D) शक्ति के लिए दिया गया सूत्र: $P = G c^{-5} m^{x} R^{y} \omega^{z} \quad \dots (i)$
भौतिक राशियों के आयाम इस प्रकार हैं:
शक्ति $P = [M L^{2} T^{-3}]$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
द्रव्यमान $m = [M]$
त्रिज्या $R = [L]$
कोणीय वेग $\omega = [T^{-1}]$
इन आयामों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}] [L T^{-1}]^{-5} [M]^{x} [L]^{y} [T^{-1}]^{z}$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}] [L^{-5} T^{5}] [M^{x}] [L^{y}] [T^{-z}]$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{x-1}] [L^{3-5+y}] [T^{-2+5-z}]$
$[M L^{2} T^{-3}] = [M^{x-1}] [L^{y-2}] [T^{3-z}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$
$L$ के लिए: $y - 2 = 2 \Rightarrow y = 4$
$T$ के लिए: $3 - z = -3 \Rightarrow z = 6$
अतः,मान $x=2, y=4, z=6$ हैं।

(B) विमीय विश्लेषण (Dimensional analysis) इस समस्या को हल करने का सबसे प्रभावी तरीका है। त्रिज्या $R$,ऊर्जा $E$,घनत्व $\rho$ और समय $t$ पर निर्भर करती है।
मान लीजिए $R = k E^a \rho^b t^c$,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
विमाएँ इस प्रकार हैं: $[R] = L$,$[E] = ML^2T^{-2}$,$[\rho] = ML^{-3}$,$[t] = T$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L = (ML^2T^{-2})^a (ML^{-3})^b (T)^c$
$L^1 = M^{a+b} L^{2a-3b} T^{-2a+c}$
$M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$2a - 3b = 1 \Rightarrow 2a - 3(-a) = 1 \Rightarrow 5a = 1 \Rightarrow a = 1/5$
अतः,$b = -1/5$।
$-2a + c = 0 \Rightarrow c = 2a = 2(1/5) = 2/5$।
इसलिए,$R \propto E^{1/5} \rho^{-1/5} t^{2/5}$,जिसका अर्थ है कि $R \propto t^{2/5}$।

(C) माना कि प्रतिरोधकता $\rho$ को $\rho = k \cdot h^a \cdot m_e^b \cdot c^c \cdot e^d \cdot \varepsilon_0^f$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$\rho = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$m_e = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$e = [A T]$
$\varepsilon_0 = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L^3 T^{-3} A^{-2}] = [M L^2 T^{-1}]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [A T]^d [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]^f$
दोनों पक्षों पर $M, L, T, A$ के घातों की तुलना करने पर:
$M: a + b - f = 1$
$L: 2a + c - 3f = 3$
$T: -a - c + d + 4f = -3$
$A: d + 2f = -2$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=2, b=-1, c=-1, d=-2, f=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho = k \frac{h^2}{m_e c e^2}$।

(A) दिया गया है,विकिरित शक्ति $P = \mu_{0}^{x} m^{y} \omega^{z} c^{u}$ है।
भौतिक राशियों के आयामों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = [ML^{2}T^{-3}]$
$[\mu_{0}] = [MLT^{-2}A^{-2}]$
$[m] = [L^{2}A]$
$[\omega] = [T^{-1}]$
$[c] = [LT^{-1}]$
आयामों की तुलना करने पर: $[ML^{2}T^{-3}] = [MLT^{-2}A^{-2}]^{x} [L^{2}A]^{y} [T^{-1}]^{z} [LT^{-1}]^{u}$.
$M, L, T, A$ के घातों की तुलना करने पर:
$M: x = 1$
$A: -2x + y = 0 \implies y = 2x = 2$
$L: x + 2y + u = 2 \implies 1 + 2(2) + u = 2 \implies u = -3$
$T: -2x - z - u = -3 \implies -2(1) - z - (-3) = -3 \implies -2 - z + 3 = -3 \implies z = 4$.
अतः,$x=1, y=2, z=4, u=-3$.

(B) दिया गया है,$A = G^\alpha M^\beta c^\gamma$.
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[A] = [L]^2$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[c] = [L T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$[L]^2 = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\alpha [M]^\beta [L T^{-1}]^\gamma$
$[L]^2 = M^{-\alpha + \beta} L^{3\alpha + \gamma} T^{-2\alpha - \gamma}$
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $-\alpha + \beta = 0 \implies \beta = \alpha \quad (i)$
$L$ के लिए: $3\alpha + \gamma = 2 \quad (ii)$
$T$ के लिए: $-2\alpha - \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha \quad (iii)$
समीकरण $(iii)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$3\alpha - 2\alpha = 2 \implies \alpha = 2$
चूंकि $\beta = \alpha$,इसलिए $\beta = 2$.
चूंकि $\gamma = -2\alpha$,इसलिए $\gamma = -2(2) = -4$.
अतः,$\alpha = 2, \beta = 2$ और $\gamma = -4$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक $\sigma$ की विमाएँ $[M T^{-3} K^{-4}]$ होती हैं।
नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$k_B = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
दिया गया है $\sigma = h^\alpha k_B^\beta c^\gamma$,विमाओं की तुलना करने पर:
$[M T^{-3} K^{-4}] = [M L^2 T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^\beta [L T^{-1}]^\gamma$
$[M T^{-3} K^{-4}] = [M^{\alpha+\beta} L^{2\alpha+2\beta+\gamma} T^{-\alpha-2\beta-\gamma} K^{-\beta}]$
$M, L, T,$ और $K$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$1$) $K: -\beta = -4 \implies \beta = 4$
$2$) $M: \alpha + \beta = 1 \implies \alpha + 4 = 1 \implies \alpha = -3$
$3$) $T: -\alpha - 2\beta - \gamma = -3 \implies -(-3) - 2(4) - \gamma = -3 \implies 3 - 8 - \gamma = -3 \implies -5 - \gamma = -3 \implies \gamma = -2$
अतः,$\alpha = -3, \beta = 4, \gamma = -2$.

(C) $EOTVOS$ संख्या $E_0$ विमाहीन है। सही विकल्प की पहचान करने के लिए हम दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करते हैं।
विकल्प $(c)$ के लिए,व्यंजक $\frac{\rho g L^2}{\sigma}$ है।
विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[L^2] = [L^2]$
$[\sigma] = [M T^{-2}]$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left[ \frac{\rho g L^2}{\sigma} \right] = \frac{[M L^{-3}] \cdot [L T^{-2}] \cdot [L^2]}{[M T^{-2}]}$
$= \frac{[M L^0 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}$
$= [M^0 L^0 T^0]$
अतः,यह व्यंजक विमाहीन है।

(A) द्रव की बूंद के कंपन की आवृत्ति $v$,पृष्ठ तनाव $\sigma$,घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ द्वारा निर्धारित होती है। दिया गया अनुपात $\frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ है।
आवृत्ति $v$ की विमा = $[T^{-1}]$.
पृष्ठ तनाव $\sigma$ की विमा = $[MT^{-2}]$.
घनत्व $\rho$ की विमा = $[ML^{-3}]$.
त्रिज्या $R$ की विमा = $[L]$.
मान लीजिए अनुपात $X = \frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ है।
$\sqrt{\frac{\sigma}{\rho R^3}}$ की विमा = $\sqrt{\frac{MT^{-2}}{ML^{-3} \cdot L^3}} = \sqrt{\frac{MT^{-2}}{M}} = [T^{-1}]$.
अतः,अनुपात $\frac{v}{\sqrt{\sigma / \rho R^3}}$ विमाहीन है।
अब हम विकल्प $(A)$ की विमाओं की जाँच करते हैं:
$\frac{k \rho g R^2}{\sigma} = \frac{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}] \cdot [L^2]}{[MT^{-2}]} = \frac{[ML^0T^{-2}]}{[MT^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$.
चूंकि यह व्यंजक विमाहीन है,इसलिए यह दिए गए अनुपात के विमीय विश्लेषण के अनुरूप है।

(D) कण की स्थितिज ऊर्जा $V(x) = -\alpha x + \beta \sin(x / \gamma)$ द्वारा दी गई है।
समीकरण के विमीय रूप से सुसंगत होने के लिए,प्रत्येक पद की विमा स्थितिज ऊर्जा $[V] = [ML^2T^{-2}]$ की विमा के समान होनी चाहिए।
$1$. पद $\alpha x$ के लिए: $[\alpha][x] = [V] \implies [\alpha][L] = [ML^2T^{-2}] \implies [\alpha] = [MLT^{-2}]$.
$2$. पद $\beta \sin(x / \gamma)$ के लिए: साइन फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[x / \gamma] = [M^0L^0T^0] \implies [L] / [\gamma] = 1 \implies [\gamma] = [L]$.
$3$. साथ ही,$[\beta] = [V] = [ML^2T^{-2}]$.
अब,दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करें:
विकल्प $(d)$ के लिए: $\frac{[\alpha][\gamma]}{[\beta]} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[ML^2T^{-2}]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[ML^2T^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$.
चूंकि यह संयोजन विमाहीन है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) प्रतिरोध $R$ का आयाम $[R] = [ML^2T^{-3}A^{-2}]$ द्वारा दिया जाता है।
प्लांक स्थिरांक $h$ के आयाम $[h] = [ML^2T^{-1}]$ हैं।
विद्युत आवेश $e$ के आयाम $[e] = [AT]$ हैं।
मान लीजिए कि $R_H$ का आयाम $h^a e^b$ के समानुपाती है।
$[ML^2T^{-3}A^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [AT]^b = [M^a L^{2a} T^{-a+b} A^b]$.
दोनों पक्षों पर $M, L, T,$ और $A$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$.
$A$ के लिए: $b = -2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R_H$ का आयाम $[h^1 e^{-2}] = [h/e^2]$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_H$ का आयाम $\frac{h}{e^2}$ के समान है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{V}{t} = k \left( \frac{p}{l} \right)^a \eta^b r^c$ है।
राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ के लिए: $-2a - b = -1$
$T$ के समीकरण में $b = -a$ रखने पर: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
चूंकि $b = -a$,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ और $b = -1$ रखने पर: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
अतः,$a=1, b=-1, c=4$ सही मान हैं।