Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(A) दिया गया सूत्र $x = \frac{a^{1/2} b^2}{c^3}$ है।
$x$ में सापेक्ष त्रुटि को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\frac{\Delta x}{x} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = \frac{1}{2} (\pm 1\%) + 2 (\pm 3\%) + 3 (\pm 2\%)$.
अधिकतम संभावित प्रतिशत त्रुटि की गणना करने पर:
$= \pm 0.5\% \pm 6\% \pm 6\% = \pm 12.5\%$.

(B) मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन पदों को जोड़ा या घटाया जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
हर (denominator) में,$a^2$ और $x^n$ पदों को घटाया गया है,इसलिए उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूंकि $x$ और $a$ दोनों दूरी को दर्शाते हैं,इसलिए उनकी विमा $[L]$ है।
अतः,$[a^2] = [L^2]$ और $[x^n] = [L^n]$।
विमाओं की तुलना करने पर: $[L^2] = [L^n]$।
इससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[r] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
अब,प्रत्येक विकल्प की विमाओं की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$: $[v^2 r / g] = \frac{[L^2 T^{-2}] [L]}{[L T^{-2}]} = [L^2]$
विकल्प $B$: $[v^2 / (rg)] = \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L] [L T^{-2}]} = \frac{[L^2 T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0] = 1$ (विमाहीन)
विकल्प $C$: $[v^2 / (g/r)] = [v^2 r / g] = [L^2]$
विकल्प $D$: $[v^2 r g] = [L^2 T^{-2}] [L] [L T^{-2}] = [L^4 T^{-4}]$
अतः,व्यंजक $\frac{v^2}{rg}$ विमाहीन है।

(B) प्लांक लंबाई $l_p$ निर्धारित करने के लिए,हम $G$ (गुरुत्वाकर्षण नियतांक),$h$ (प्लांक नियतांक),और $c$ (प्रकाश की गति) के विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हैं।
विमाएं इस प्रकार हैं:
$[G] = M^{-1}L^3T^{-2}$
$[h] = ML^2T^{-1}$
$[c] = LT^{-1}$
मान लीजिए $l_p \propto G^a h^b c^d$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $L^1 = (M^{-1}L^3T^{-2})^a (ML^2T^{-1})^b (LT^{-1})^d$.
$M, L, T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M: -a + b = 0 \implies a = b$
$T: -2a - b - d = 0 \implies -3a = d$
$L: 3a + 2b + d = 1 \implies 3a + 2a - 3a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$.
अतः,$a = 1/2, b = 1/2, d = -3/2$.
इसलिए,$l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$.

(D) समीकरण $AD = C \ln(BD)$ में,लघुगणकीय फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$BD$ का आयाम $1$ (विमाहीन) होना चाहिए,अर्थात $[BD] = [M^0 L^0 T^0]$।
इसका अर्थ है कि $[B] = [D]^{-1}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[AD] = [C] \times [1]$ प्राप्त होता है,इसलिए $[A][D] = [C]$।
योग या घटाव में किसी भौतिक राशि के सार्थक होने के लिए,पदों के आयाम समान होने चाहिए।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\frac{A - C}{D}$। यहाँ,$A$ और $C$ को घटाया जा रहा है। चूँकि $[A] = [C][D]^{-1}$ और $[C] = [A][D]$,इसलिए $A$ और $C$ के आयाम अलग-अलग हैं। अतः,$A - C$ एक सार्थक संक्रिया नहीं है।

(D) धारिता $C$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ है।
दिए गए नियतांकों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
आवेश $e = [I T]$
बोहर त्रिज्या $a_0 = [L]$
प्लांक नियतांक $h = [M L^2 T^{-1}]$
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
अब,विकल्प $D$ $(u = \frac{e^2 a_0}{hc})$ की विमाओं की जाँच करते हैं:
$\frac{e^2 a_0}{hc}$ की विमा $= \frac{[I^2 T^2] [L]}{[M L^2 T^{-1}] [L T^{-1}]} = \frac{[I^2 T^2 L]}{[M L^3 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$.
चूंकि धारिता की विमाएँ और $u = \frac{e^2 a_0}{hc}$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(C) मान लीजिए कि $\mu_0$ का $e, m, c$ और $h$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$.
$\mu_0$ का विमीय सूत्र $[M L T^{-2} A^{-2}]$ है।
दी गई राशियों के विमीय सूत्र हैं: $e = [A T]$,$m = [M]$,$c = [L T^{-1}]$,और $h = [M L^2 T^{-1}]$.
समीकरण में मान रखने पर:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M^{b+d} L^{c+2d} T^{a-c-d} A^a]$
दोनों पक्षों में $M, L, T$ और $A$ की घातों की तुलना करने पर:
$A: a = -2$
$M: b + d = 1$
$L: c + 2d = 1$
$T: a - c - d = -2$
$T$ के समीकरण में $a = -2$ रखने पर: $-2 - c - d = -2 \implies c + d = 0 \implies c = -d$.
$L$ के समीकरण में $c = -d$ रखने पर: $-d + 2d = 1 \implies d = 1$.
चूंकि $d = 1$,इसलिए $c = -1$.
चूंकि $b + d = 1$,इसलिए $b + 1 = 1 \implies b = 0$.
अतः,$\mu_0 \propto e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = \frac{h}{c e^2}$.

(D) माना $\frac{Q}{A} = \eta^a \left( \frac{S\Delta \theta}{h} \right)^b \left( \frac{1}{\rho g} \right)^c$.
$\frac{Q}{A}$ (हीट फ्लक्स) की विमाएँ $[M T^{-3}]$ हैं।
$\eta$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-1}]$ हैं।
$\frac{S\Delta \theta}{h}$ की विमाएँ $[L^2 T^{-2} K^{-1} \cdot K \cdot L^{-1}] = [L T^{-2}]$ हैं।
$\frac{1}{\rho g}$ की विमाएँ $[(M L^{-3})^{-1} (L T^{-2})^{-1}] = [M^{-1} L^3 \cdot L^{-1} T^2] = [M^{-1} L^2 T^2]$ हैं।
विमाओं की तुलना करने पर: $[M T^{-3}] = [M L^{-1} T^{-1}]^a [L T^{-2}]^b [M^{-1} L^2 T^2]^c$.
$[M T^{-3}] = [M^{a-c} L^{-a+b+2c} T^{-a-2b+2c}]$.
घातों की तुलना करने पर:
$a - c = 1$
$-a + b + 2c = 0$
$-a - 2b + 2c = -3$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$a = 1 + c$.
तीसरे समीकरण में रखने पर: $-(1+c) - 2b + 2c = -3 \Rightarrow -1 + c - 2b = -3 \Rightarrow c - 2b = -2$.
दूसरे समीकरण में रखने पर: $-(1+c) + b + 2c = 0 \Rightarrow c + b = 1$.
$c - 2b = -2$ और $2(c + b) = 2$ को जोड़ने पर $3c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 0$.
अतः $b = 1$ और $a = 1$.
इसलिए,$\frac{Q}{A} = \eta \frac{S\Delta \theta}{h}$.

(B) यदि कोई भौतिक राशि विमाहीन है,तो उसका मान इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों में समान रहता है। हम दिए गए व्यंजक $\frac{e^2}{2\pi \varepsilon _0 G m_e^2}$ की विमाओं की जाँच करते हैं।
नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$e = [M^0 L^0 T^1 A^1]$
$\varepsilon _0 = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$m_e = [M^1 L^0 T^0]$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[T^2 A^2]}{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M^{-1} L^3 T^{-2}] [M^2]} = \frac{[T^2 A^2]}{[M^{-1-1+2} L^{-3+3} T^{4-2} A^2]} = \frac{[T^2 A^2]}{[M^0 L^0 T^2 A^2]} = 1$
चूँकि यह व्यंजक विमाहीन है,इसलिए इसका मान इकाइयों की सभी प्रणालियों में समान रहता है।

(A) शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या $r_e$ को इलेक्ट्रॉन की इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा को उसकी विराम द्रव्यमान ऊर्जा के बराबर करके परिभाषित किया जाता है।
$mc^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_e}$
$r_e$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r_e = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 mc^2}$
स्थिरांकों के मान ($e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,$m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$) रखने पर,हमें $r_e \approx 2.8 \times 10^{-15} \ m$ प्राप्त होता है,जो परमाणु के आकार की कोटि का है।

(C) भौतिक राशियों के आयाम इस प्रकार हैं: आवर्तकाल $t = [T]$,घनत्व $d = [ML^{-3}]$,त्रिज्या $r = [L]$,पृष्ठ तनाव $s = [MT^{-2}]$.
दिया गया सूत्र: $t = r^b s^{c/2} d^{a/4}$.
आयामों को प्रतिस्थापित करने पर: $[T] = [L]^b [MT^{-2}]^{c/2} [ML^{-3}]^{a/4}$.
$M$ की घातों की तुलना करने पर: $0 = c/2 + a/4 \implies a = -2c$.
$T$ की घातों की तुलना करने पर: $1 = -c \implies c = -1$.
$c = -1$ को $a = -2c$ में रखने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
$L$ की घातों की तुलना करने पर: $0 = b - 3(a/4) = b - 3(2/4) = b - 3/2$.
अतः,$b = 3/2$.

(A) पृष्ठ तनाव को प्रति इकाई लंबाई बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $S = \frac{F}{\ell}$।
हम जानते हैं कि ऊर्जा $K = F \cdot \ell$,इसलिए $F = \frac{K}{\ell}$।
इस मान को पृष्ठ तनाव के सूत्र में रखने पर: $S = \frac{K}{\ell^2}$।
चूंकि वेग $V = \frac{\ell}{T}$,इसलिए $\ell = V \cdot T$।
$S$ के समीकरण में $\ell$ का मान रखने पर: $S = \frac{K}{(V \cdot T)^2} = \frac{K}{V^2 T^2}$।
अतः,$K, V, T$ के पदों में पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[K V^{-2} T^{-2}]$ है।

(A) इकाइयों की दो प्रणालियों के बीच रूपांतरण का सूत्र $n_2 = n_1 \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c$ है।
यहाँ,घनत्व का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-3} T^0]$ है,इसलिए $a=1, b=-3, c=0$.
दिया गया है: $n_1 = 128$,$M_1 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_1 = 1 \ m = 100 \ cm$.
नई इकाइयाँ: $M_2 = 50 \ g$,$L_2 = 25 \ cm$.
मान रखने पर:
$n_2 = 128 \times \left( \frac{1000 \ g}{50 \ g} \right)^1 \times \left( \frac{100 \ cm}{25 \ cm} \right)^{-3}$
$n_2 = 128 \times (20) \times (4)^{-3}$
$n_2 = 128 \times 20 \times \frac{1}{64}$
$n_2 = 2 \times 20 = 40$.

(D) यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है। चूंकि विकृति आयामहीन है,इसलिए $Y$ का आयाम प्रतिबल (बल/क्षेत्रफल) के समान होता है।
$[Y] = [F] / [L^2]$.
हमें मूलभूत इकाइयाँ $V, A, F$ दी गई हैं।
हम जानते हैं कि $F = M \cdot A$,इसलिए $M = F \cdot A^{-1}$।
साथ ही,$V = L \cdot T^{-1}$ और $A = L \cdot T^{-2}$।
$A$ को $V$ से विभाजित करने पर: $A/V = (L \cdot T^{-2}) / (L \cdot T^{-1}) = T^{-1}$,इसलिए $T = V \cdot A^{-1}$।
अब,$L = V \cdot T = V \cdot (V \cdot A^{-1}) = V^2 \cdot A^{-1}$।
इसलिए,$L^2 = (V^2 \cdot A^{-1})^2 = V^4 \cdot A^{-2}$।
इन मानों को $Y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[Y] = [F] / [L^2] = F / (V^4 \cdot A^{-2}) = F \cdot V^{-4} \cdot A^2$।

(A) माना कि रैखिक संवेग $P$ को $P = k S^a I^b h^c$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$P = [MLT^{-1}]$
$S = [MT^{-2}]$
$I = [ML^2]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[MLT^{-1}] = [MT^{-2}]^a [ML^2]^b [ML^2T^{-1}]^c$
$[MLT^{-1}] = M^{a+b+c} L^{2b+2c} T^{-2a-c}$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + b + c = 1$ $(1)$
$2b + 2c = 1$ $(2)$
$-2a - c = -1$ $(3)$
$(2)$ से,$b + c = 1/2$ प्राप्त होता है। इसे $(1)$ में रखने पर:
$a + 1/2 = 1 \implies a = 1/2$
$(3)$ से,$c = 1 - 2a = 1 - 2(1/2) = 0$ प्राप्त होता है।
$c = 0$ को $(2)$ में रखने पर,$2b = 1 \implies b = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,रैखिक संवेग का विमीय सूत्र $S^{1/2} I^{1/2} h^0$ है।

(B) दिए गए सूत्र $X = 5YZ^2$ से,हम $Y$ को $Y = \frac{X}{5Z^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
धारिता $X$ की विमा $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $Z$ की विमा $[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$ है।
इन मानों को $Y$ के व्यंजक में रखने पर:
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]^2}$
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^2 L^0 T^{-4} A^{-2}]}$
$Y = [M^{-1-2} L^{-2-0} T^{4-(-4)} A^{2-(-2)}]$
$Y = [M^{-3} L^{-2} T^8 A^4]$.

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
चूंकि $B$ को $x^2$ में जोड़ा गया है,इसलिए $B$ की विमाएँ $x^2$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[B] = [x^2] = L^2$.
स्थितिज ऊर्जा $U$ की विमा कार्य के समान होती है,जो $[U] = M L^2 T^{-2}$ है।
दिया गया समीकरण $U = \frac{A \sqrt{x}}{x^2 + B}$ है।
हर की विमा लेने पर,$[x^2 + B] = L^2$.
अतः,$[U] = \frac{[A] [x]^{1/2}}{L^2}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $M L^2 T^{-2} = \frac{[A] L^{1/2}}{L^2}$.
$[A] = (M L^2 T^{-2}) \times (L^{3/2}) = M L^{7/2} T^{-2}$.
अब,$A/B$ की विमाओं की गणना करने पर:
$[A/B] = \frac{M L^{7/2} T^{-2}}{L^2} = M L^{7/2 - 2} T^{-2} = M L^{3/2} T^{-2}$.

(B) आयामों की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,भौतिक राशियों को केवल तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनके आयाम समान हों।
$1$. विकल्प $A$ में,यदि $B$ के आयाम $A^2$ के आयामों के बराबर हों,तो $A$ और $\frac{A^3}{B}$ के आयाम समान हो सकते हैं। अतः,यह व्यंजक एक भौतिक राशि को निरूपित कर सकता है।
$2$. विकल्प $B$ में,चरघातांकी फलन (exponential function) का तर्क आयामहीन होना चाहिए। चूँकि $A$ और $B$ के आयाम भिन्न हैं,इसलिए अनुपात $\frac{A}{B}$ आयामहीन नहीं है। अतः,$\exp \left( -\frac{A}{B} \right)$ भौतिक रूप से अर्थहीन है।
$3$. विकल्प $C$ में,$AB^2$ भौतिक राशियों का गुणनफल है,जो हमेशा एक वैध भौतिक राशि होती है।
$4$. विकल्प $D$ में,$\frac{A}{B^4}$ भौतिक राशियों का भागफल है,जो कि एक वैध भौतिक राशि है।
अतः,वह व्यंजक जो एक भौतिक राशि को निरूपित नहीं कर सकता है,वह $\exp \left( -\frac{A}{B} \right)$ है।

(D) माना ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $E = k P^a A^b T^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ रखने पर:
$[M L^2 T^{-2}] = [M L T^{-1}]^a [L^2]^b [T]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{a+2b} T^{-a+c}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + 2b = 2 \implies 1 + 2b = 2 \implies 2b = 1 \implies b = 1/2$
$T$ के लिए: $-a + c = -2 \implies -1 + c = -2 \implies c = -1$
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $E = [P^1 A^{1/2} T^{-1}]$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $v = \sqrt{ab} + bt + \frac{c}{d + t}$ है।
$1$. पद $bt$ के लिए: $v$ वेग $([LT^{-1}])$ है और $t$ समय $([T])$ है,इसलिए $bt$ का विमीय सूत्र $[LT^{-1}]$ होना चाहिए। अतः,$[b][T] = [LT^{-1}] \Rightarrow [b] = [LT^{-2}]$,जो त्वरण को दर्शाता है।
$2$. पद $\sqrt{ab}$ के लिए: $\sqrt{ab}$ का विमीय सूत्र वेग $([LT^{-1}])$ होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$[ab] = [L^2T^{-2}]$। चूँकि $[b] = [LT^{-2}]$,इसलिए $[a][LT^{-2}] = [L^2T^{-2}] \Rightarrow [a] = [L]$,जो दूरी को दर्शाता है।
$3$. पद $d+t$ के लिए: हम केवल समान विमाओं वाली राशियों को जोड़ सकते हैं,इसलिए $d$ का विमीय सूत्र समय $([T])$ होना चाहिए।
$4$. पद $\frac{c}{d+t}$ के लिए: इस पद का विमीय सूत्र वेग $([LT^{-1}])$ होना चाहिए। चूँकि $[d+t] = [T]$,इसलिए $\frac{[c]}{[T]} = [LT^{-1}] \Rightarrow [c] = [L]$,जो दूरी को दर्शाता है।
अतः,सही क्रम $a$ (दूरी),$b$ (त्वरण),$c$ (दूरी),$d$ (समय) है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन भौतिक राशियों को जोड़ा जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूंकि $\beta$ में $\sqrt{d}$ जोड़ा गया है,इसलिए $\beta$ की विमाएँ $\sqrt{d}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
घनत्व $d = [M L^{-3}]$,इसलिए $\sqrt{d} = [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
अतः,$[\beta] = [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
हर $(\beta + \sqrt{d})$ की विमाएँ भी $[\beta + \sqrt{d}] = [M^{1/2} L^{-3/2}]$ होंगी।
दिया गया समीकरण $F = \frac{\alpha}{\beta + \sqrt{d}}$ है।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = F \times (\beta + \sqrt{d})$.
बल $F = [M L T^{-2}]$.
विमाएँ रखने पर: $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2}]$.
$[\alpha] = [M^{1 + 1/2} L^{1 - 3/2} T^{-2}] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,किसी समीकरण में जोड़े या घटाए गए प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $F = a \sin(ct) + b \cos(dx)$ के लिए,पदों $a \sin(ct)$ और $b \cos(dx)$ की विमाएँ बल $F$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि त्रिकोणमितीय फलनों ($sin$ और $cos$) के तर्क विमाहीन होते हैं,इसलिए $a$ और $b$ की विमाएँ बल $F$ की विमाओं के बराबर होंगी।
बल $F$ की विमा $= [M^1L^1T^{-2}]$.
अतः,$[a] = [M^1L^1T^{-2}]$ और $[b] = [M^1L^1T^{-2}]$.
अब,$a/b$ की विमा $[a]/[b] = [M^1L^1T^{-2}] / [M^1L^1T^{-2}] = [M^0L^0T^0]$ होगी।

(B) त्रिकोणमितीय फलन का कोण विमाहीन होता है।
चूँकि $qt$,$\tan$ का कोण है,इसलिए $[qt] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$ होगा।
दिया गया है कि $t$ समय है,इसलिए $[t] = [T]$।
अतः,$[q][T] = [1] \Rightarrow [q] = [T^{-1}]$।
समीकरण $y = pq \tan(qt)$ में,$\tan(qt)$ पद विमाहीन है।
इस प्रकार,$y$ की विमाएँ $pq$ के गुणनफल की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[y] = [pq]$।
चूँकि $y$ स्थिति को दर्शाता है,इसलिए $[y] = [L]$।
$[p][T^{-1}] = [L]$।
$[p] = [L][T] = [L^{1}T^{1}]$।

(A) आवर्तकाल $T$ को $T \propto P^a d^b E^c$ द्वारा दर्शाया गया है।
प्रत्येक भौतिक राशि के लिए विमीय सूत्र लिखने पर:
$[T] = [M^0 L^0 T^1]$
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$
$[d] = [M L^{-3} T^0]$
$[E] = [M L^2 T^{-2}]$
इन सूत्रों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^{-1} T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{a+b+c} L^{-a-3b+2c} T^{-2a-2c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$1) a + b + c = 0$
$2) -a - 3b + 2c = 0$
$3) -2a - 2c = 1$
समीकरण $(3)$ से,$a + c = -1/2$,इसलिए $c = -1/2 - a$।
$c$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$।
$b = 1/2$ और $c = -1/2 - a$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-a - 3(1/2) + 2(-1/2 - a) = 0$
$-a - 3/2 - 1 - 2a = 0$
$-3a = 5/2 \implies a = -5/6$।
अंत में,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$।
अतः,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$।

(D) दिया गया समीकरण $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,किसी भी त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$Bx$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
$[B] \cdot [x] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] \cdot [L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [L^{-1}]$
इसी प्रकार,$Dt$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
$[D] \cdot [t] = [M^0 L^0 T^0]$
$[D] \cdot [T] = [M^0 L^0 T^0]$
$[D] = [T^{-1}]$
अब,$D/B$ का विमीय सूत्र है:
$[D/B] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L^1 T^{-1}]$

(B) दिया गया संबंध: $P = \frac{a - t^2}{bx}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन राशियों को जोड़ा या घटाया जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए। इसलिए,$a$ की विमा $t^2$ की विमा के बराबर होगी।
$[a] = [T^2]$.
अब,पूरे समीकरण की विमा पर विचार करें:
$[P] = \frac{[a - t^2]}{[b][x]} = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
हम जानते हैं कि दाब $P$ की विमा $[M L^{-1} T^{-2}]$ होती है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$[M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
$[b]$ के लिए हल करने पर:
$[b] = \frac{[T^2]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^2]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^4]$.
अब,$a/b$ की विमा ज्ञात करें:
$[a/b] = \frac{[T^2]}{[M^{-1} T^4]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना समय $T \propto c^{x} G^{y} h^{z}$ है।
$\Rightarrow T = k c^{x} G^{y} h^{z}$।
दोनों पक्षों की विमाएँ लेने पर: $[M^{0} L^{0} T^{1}] = [L T^{-1}]^{x} [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{y} [M L^{2} T^{-1}]^{z}$।
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}]$।
दोनों पक्षों पर $M, L, T$ की घातों की तुलना करने पर:
$-y + z = 0 \implies z = y \quad \dots(1)$
$x + 3y + 2z = 0 \quad \dots(2)$
$-x - 2y - z = 1 \quad \dots(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $(x + 3y + 2z) + (-x - 2y - z) = 0 + 1 \implies y + z = 1$।
चूंकि $z = y$ है,इसलिए $2y = 1 \implies y = 1/2$।
अतः,$z = 1/2$।
$(2)$ में मान रखने पर: $x + 3(1/2) + 2(1/2) = 0 \implies x + 3/2 + 1 = 0 \implies x = -5/2$।
इसलिए,$[T] = [G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$।

(B) $X$ के लिए व्यंजक $X = \frac{A^2 B^{1/2}}{C^{1/3} D^3}$ दिया गया है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र: $\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$ है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(1\%, 2\%, 3\%, 4\%)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + \frac{1}{2}(2\%) + \frac{1}{3}(3\%) + 3(4\%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 2\% + 1\% + 1\% + 12\% = 16\%$.
अतः,$X$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $16\%$ है।

(D) निरोधी विभव $V_{0}$ की विमा विभवांतर की विमा के समान होती है,जो $\frac{\text{कार्य}}{\text{आवेश}} = \frac{ML^{2}T^{-2}}{AT} = ML^{2}T^{-3}A^{-1}$ है।
माना $V_{0} = h^{x} c^{y} G^{z} A^{w}$.
विमाएं रखने पर: $[ML^{2}T^{-3}A^{-1}] = [ML^{2}T^{-1}]^{x} [LT^{-1}]^{y} [M^{-1}L^{3}T^{-2}]^{z} [A]^{w}$.
$A$ की घातों की तुलना करने पर: $w = -1$.
$M$ की घातों की तुलना करने पर: $x - z = 1$.
$L$ की घातों की तुलना करने पर: $2x + y + 3z = 2$.
$T$ की घातों की तुलना करने पर: $-x - y - 2z = -3$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $x - z = 1$ से $x = 1 + z$ प्राप्त होता है।
$L$ और $T$ के समीकरणों को जोड़ने पर: $(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 2 + (-3) \Rightarrow x + z = -1$.
अब हमारे पास $x - z = 1$ और $x + z = -1$ है। दोनों को जोड़ने पर $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ प्राप्त होता है। अतः $z = -1$.
$x=0$ और $z=-1$ को $2x + y + 3z = 2$ में रखने पर: $0 + y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$.
अतः,$V_{0} = h^{0} c^{5} G^{-1} A^{-1}$.

(C) नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[h] = M^1 L^2 T^{-1}$
$[c] = L^1 T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
इन मानों को $f$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[f] = \sqrt{\frac{(M^1 L^2 T^{-1}) \times (L^1 T^{-1})^5}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{\frac{M^1 L^2 T^{-1} \times L^5 T^{-5}}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{\frac{M^1 L^7 T^{-6}}{M^{-1} L^3 T^{-2}}}$
$[f] = \sqrt{M^{1-(-1)} L^{7-3} T^{-6-(-2)}}$
$[f] = \sqrt{M^2 L^4 T^{-4}}$
$[f] = M^1 L^2 T^{-2}$
विमा $M^1 L^2 T^{-2}$ ऊर्जा की विमा के अनुरूप है।

(N/A) $LHS$ की विमाएँ हैं:
$[M][LT^{-1}]^{2} = [M][L^{2}T^{-2}] = [ML^{2}T^{-2}]$
$RHS$ की विमाएँ हैं:
$[M][LT^{-2}][L] = [M][L^{2}T^{-2}] = [ML^{2}T^{-2}]$
चूँकि $LHS$ और $RHS$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए यह समीकरण विमीय रूप से सही है।

(A, C, E) गतिज ऊर्जा $K$ की विमा $[M L^{2} T^{-2}]$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण के प्रत्येक पद की विमा समान होनी चाहिए।
$(a)$ के लिए,विमा $[M^{2} (L T^{-1})^{3}] = [M^{2} L^{3} T^{-3}]$ है,जो गलत है।
$(b)$ के लिए,विमा $[M (L T^{-1})^{2}] = [M L^{2} T^{-2}]$ है,जो सही है।
$(c)$ के लिए,विमा $[M (L T^{-2})] = [M L T^{-2}]$ है,जो गलत है।
$(d)$ के लिए,विमा $[M (L T^{-1})^{2}] = [M L^{2} T^{-2}]$ है,जो सही है।
$(e)$ के लिए,पदों $m v^{2}$ और $m a$ की विमाएँ अलग-अलग ($[M L^{2} T^{-2}]$ और $[M L T^{-2}]$) हैं,इसलिए उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता। यह गलत है।
अतः,विमीय विश्लेषण के आधार पर सूत्रों $(a)$,$(c)$ और $(e)$ को गलत ठहराया जा सकता है।

(N/A) आवर्तकाल $T$ की राशियों $l, g$ और $m$ पर निर्भरता को गुणनफल के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T = k l^{x} g^{y} m^{z}$
जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है और $x, y$ तथा $z$ घातांक हैं।
दोनों पक्षों की विमाओं पर विचार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[M^0 L^0 T^1] = [L]^x [L T^{-2}]^y [M]^z$
$[M^0 L^0 T^1] = M^z L^{x+y} T^{-2y}$
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$z = 0$
$x + y = 0$
$-2y = 1$
इन्हें हल करने पर,$y = -1/2$,$x = 1/2$ और $z = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T = k l^{1/2} g^{-1/2} m^0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = k \sqrt{\frac{l}{g}}$।
ध्यान दें कि स्थिरांक $k$ का मान विमाओं की विधि द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। प्रयोगात्मक रूप से $k = 2\pi$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$।

(A) दिया गया है कि, $1 \; \text{कैलोरी} = 4.2 \; (1 \; kg) (1 \; m^2) (1 \; s^{-2})$ है।
मान लीजिए कि नई इकाइयाँ $M' = \alpha \; kg$, $L' = \beta \; m$, और $T' = \gamma \; s$ हैं।
अतः, $1 \; kg = \frac{1}{\alpha} \; M' = \alpha^{-1} \; M'$ है।
$1 \; m = \frac{1}{\beta} \; L' = \beta^{-1} \; L'$, इसलिए $1 \; m^2 = \beta^{-2} \; (L')^2$ है।
$1 \; s = \frac{1}{\gamma} \; T' = \gamma^{-1} \; T'$, इसलिए $1 \; s^{-2} = (\gamma^{-1})^{-2} \; (T')^{-2} = \gamma^2 \; (T')^{-2}$ है।
इन मानों को कैलोरी के समीकरण में रखने पर:
$1 \; \text{कैलोरी} = 4.2 \times (\alpha^{-1} \; M') \times (\beta^{-2} \; (L')^2) \times (\gamma^2 \; (T')^{-2})$ है।
अतः, नई प्रणाली में कैलोरी का परिमाण $4.2 \; \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2$ प्राप्त होता है।

(B, C) सही: $y = a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$
$y$ की विमा $= [L]$। $a$ की विमा $= [L]$। $\sin$ का तर्क $\frac{2 \pi t}{T}$ विमाहीन है। अतः,यह सूत्र विमीय रूप से सही है।
$(b)$ गलत: $y = a \sin v t$
$v t$ की विमा $= [LT^{-1}] \times [T] = [L]$। त्रिकोणमितीय फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए,लेकिन यहाँ इसकी विमा लंबाई की है। अतः,यह विमीय रूप से गलत है।
$(c)$ गलत: $y = \left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$
$\frac{a}{T}$ की विमा $= [LT^{-1}] \neq [L]$। साथ ही,तर्क $\frac{t}{a} = [TL^{-1}]$ विमाहीन नहीं है। अतः,यह विमीय रूप से गलत है।
$(d)$ सही: $y = (a \sqrt{2}) \left(\sin \frac{2 \pi t}{T} + \cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$
$y$ की विमा $= [L]$। $a$ की विमा $= [L]$। तर्क $\frac{2 \pi t}{T}$ विमाहीन है। अतः,यह सूत्र विमीय रूप से सही है।

(B) दिया गया संबंध,$m = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2})^{1/2}}$.
$m$ की विमा = $[M^{1} L^{0} T^{0}]$.
$m_{0}$ की विमा = $[M^{1} L^{0} T^{0}]$.
$v$ की विमा = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$.
$v^{2}$ की विमा = $[M^{0} L^{2} T^{-2}]$.
$c$ की विमा = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$.
दिया गया सूत्र विमीय रूप से तभी सही होगा जब $L$.$H$.$S$. की विमा $R$.$H$.$S$. की विमा के समान हो।
यह तभी संभव है जब कारक $(1 - v^{2})^{1/2}$ विमाहीन हो,अर्थात $(1 - v^{2})$ विमाहीन होना चाहिए।
चूंकि $1$ विमाहीन है,इसलिए $v^{2}$ को भी विमाहीन होना चाहिए। यह तभी संभव है जब $v^{2}$ को $c^{2}$ से विभाजित किया जाए,क्योंकि अनुपात $v^{2}/c^{2}$ विमाहीन होता है।
अतः,सही संबंध $m = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2}/c^{2})^{1/2}}$ है।

(N/A) मूलभूत नियतांकों का एक संबंध जो ब्रह्मांड की आयु देता है, वह है:
$t = \left(\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \times \frac{1}{m_p m_e^2 c^3 G}$
जहाँ:
$t =$ ब्रह्मांड की आयु
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 / C^2$
$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$
$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
$c = 3 \times 10^8 \; m/s$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$t = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^4 \times (9 \times 10^9)^2}{(1.67 \times 10^{-27}) \times (9.1 \times 10^{-31})^2 \times (3 \times 10^8)^3 \times (6.67 \times 10^{-11})}$
इसकी गणना करने पर लगभग $6 \times 10^{17} \; s$ प्राप्त होता है, जो लगभग $19$ अरब वर्ष है।
यदि ब्रह्मांड की आयु के साथ यह संयोग महत्वपूर्ण है, तो यह संकेत देगा कि मूलभूत नियतांक समय के साथ पूरी तरह से स्थिर नहीं हो सकते हैं, बल्कि ब्रह्मांड के विकास के साथ बदल सकते हैं।

(N/A) दिया गया अनुपात $\frac{k e^{2}}{G m_{e} m_{p}}$ है।
जहाँ,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है जिसका मात्रक $N \, m^{2} \, kg^{-2}$ है।
$m_{e}$ और $m_{p}$ क्रमशः इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के द्रव्यमान हैं,जिनका मात्रक $kg$ है।
$e$ विद्युत आवेश है जिसका मात्रक $C$ है।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ कूलम्ब नियतांक है जिसका मात्रक $N \, m^{2} \, C^{-2}$ है।
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[N \, m^{2} \, C^{-2}] [C^{2}]}{[N \, m^{2} \, kg^{-2}] [kg] [kg]} = \frac{N \, m^{2}}{N \, m^{2}} = M^{0} L^{0} T^{0}$.
अतः,यह अनुपात विमाहीन है।
मानों का उपयोग करने पर:
$k = 9 \times 10^{9} \, N \, m^{2} \, C^{-2}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \, m^{2} \, kg^{-2}$
$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$
$m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$
गणना करने पर:
$\frac{9 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}} \approx 2.3 \times 10^{39}$.
यह अनुपात एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच स्थिर-विद्युत बल और गुरुत्वाकर्षण बल के अनुपात को दर्शाता है।

(N/A) भौतिक राशियों के विमीय सूत्रों का उपयोग करके भौतिकी की कुछ समस्याओं का समाधान प्राप्त करने की विधि को विमीय विश्लेषण कहा जाता है।
विमीय विश्लेषण के उपयोग:
$(a)$ किसी भौतिक राशि के मान को एक मात्रक पद्धति से दूसरी मात्रक पद्धति में परिवर्तित करने के लिए।
$(b)$ दिए गए भौतिक समीकरण की विमीय संगति (सत्यता) की जाँच करने के लिए।
$(c)$ एक भौतिक समीकरण में विभिन्न भौतिक राशियों के बीच संबंध व्युत्पन्न करने के लिए।

(N/A) $MKS$ प्रणाली में कार्य की इकाई जूल $(J)$ है और $CGS$ प्रणाली में अर्ग है। जूल और अर्ग के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:
कार्य का विमीय सूत्र $W = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
मान लीजिए कि दो प्रणालियों में संख्यात्मक मान $n_1$ और $n_2$ हैं और इकाइयाँ $u_1$ और $u_2$ हैं।
$n_1 u_1 = n_2 u_2$
$n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^2 [T_1/T_2]^{-2}$
$MKS$ प्रणाली में: $M_1 = 1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g}$,$L_1 = 1 \text{ m} = 10^2 \text{ cm}$,$T_1 = 1 \text{ s}$.
$CGS$ प्रणाली में: $M_2 = 1 \text{ g}$,$L_2 = 1 \text{ cm}$,$T_2 = 1 \text{ s}$.
$n_2 = 1 \times [10^3 \text{ g} / 1 \text{ g}]^1 \times [10^2 \text{ cm} / 1 \text{ cm}]^2 \times [1 \text{ s} / 1 \text{ s}]^{-2}$
$n_2 = 10^3 \times (10^2)^2 \times 1 = 10^3 \times 10^4 = 10^7$.
अतः,$1 \text{ Joule} = 10^7 \text{ erg}$.

(A) विमीय समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
इस सिद्धांत का उपयोग किसी दिए गए समीकरण की विमीय संगति की जाँच करने के लिए किया जाता है। किसी समीकरण के विमीय रूप से संगत होने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमा समान होनी चाहिए।
नोट: विमीय संगति समीकरण की भौतिक शुद्धता की गारंटी नहीं देती है,क्योंकि यह विमाहीन स्थिरांकों या फलनों को ध्यान में नहीं रख सकती है।
उदाहरण: $x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$ की संगति की जाँच करें।
यहाँ,$x$ अंतिम स्थिति है,$x_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है,$v_{0}$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण है,और $t$ समय है।
$1$. $LHS$ $(x)$ की विमा: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
$2$. $RHS$ के पदों की विमाएँ:
- $x_{0}$ की विमा: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $v_{0}t$ की विमा: $[L^1 T^{-1}] \times [T^1] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $\frac{1}{2}at^{2}$ की विमा: चूंकि $\frac{1}{2}$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए विमा $[L^1 T^{-2}] \times [T^2] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$ होगी।
चूंकि दोनों पक्षों के सभी पदों की विमाएँ समान हैं,इसलिए समीकरण विमीय रूप से संगत है।

(N/A) मान लीजिए,ऊष्मीय ऊर्जा $H \propto I^{a} R^{b} t^{c}$.
$\therefore H = k I^{a} R^{b} t^{c} \dots (i)$ (जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है)।
अब,दोनों पक्षों पर विमीय सूत्र लिखने पर:
$[H] = M^{1} L^{2} T^{-2}$
$[I] = A^{1}$
$[R] = M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}$
$[t] = T^{1}$
समीकरण $(i)$ में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$M^{1} L^{2} T^{-2} = (A^{1})^{a} (M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2})^{b} (T^{1})^{c}$
$M^{1} L^{2} T^{-2} = M^{b} L^{2b} T^{-3b+c} A^{a-2b}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T$ और $A$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $b = 1$
$L$ के लिए: $2b = 2 \implies b = 1$
$A$ के लिए: $a - 2b = 0 \implies a - 2(1) = 0 \implies a = 2$
$T$ के लिए: $-3b + c = -2 \implies -3(1) + c = -2 \implies c = 1$
अतः,$a = 2, b = 1, c = 1$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$H = k I^{2} R t$
प्रायोगिक रूप से,$k = 1$,इसलिए $H = I^{2} R t$.

(N/A) विमीय विश्लेषण एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग भौतिक समीकरणों की संगति की जाँच करने,भौतिक राशियों के बीच संबंध प्राप्त करने और शामिल राशियों की विमाओं के आधार पर एक इकाई प्रणाली से दूसरी प्रणाली में रूपांतरण करने के लिए किया जाता है।
विमीय विश्लेषण की सीमाएँ:
$(1)$ $M, L,$ और $T$ वाले विमीय समीकरणों में,हम $M, L,$ और $T$ के घातांकों की तुलना करके अधिकतम तीन समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए,यह विधि तीन से अधिक स्वतंत्र भौतिक राशियों पर निर्भर भौतिक संबंध का सटीक रूप प्राप्त करने में सहायक नहीं है।
$(2)$ विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $\pi, e,$ या संख्यात्मक गुणांक) के बारे में जानकारी इस विधि का उपयोग करके प्राप्त नहीं की जा सकती है।
$(3)$ घातांकीय (exponential),लघुगणकीय (logarithmic) या त्रिकोणमितीय फलनों वाले समीकरण इस विधि के दायरे से बाहर हैं।
$(4)$ यदि समानुपातिकता का स्थिरांक विमाहीन नहीं है,तो यह विधि उपयोगी नहीं है।

(N/A) विमीय समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि कोई भी भौतिक समीकरण विमीय रूप से तभी सही हो सकता है जब समीकरण के दोनों पक्षों के सभी पदों की विमाएँ समान हों।
दूसरे शब्दों में,हम केवल उन्हीं भौतिक राशियों को जोड़,घटा या बराबर कर सकते हैं जिनकी विमाएँ समान होती हैं।
उदाहरण के लिए,समीकरण $v = u + at$ में,$v$,$u$ और $at$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया समीकरण $x = a + bt + ct^2$ है,जहाँ $x$ मीटर $(m)$ में और $t$ सेकंड $(s)$ में है।
$1$. पद $a$ के लिए: चूंकि $x$ और $a$ को जोड़ा गया है,इसलिए उनके मात्रक समान होने चाहिए। अतः,$a$ का मात्रक $m$ है।
$2$. पद $bt$ के लिए: $bt$ का मात्रक $x$ के मात्रक के समान होना चाहिए। अतः,$[bt] = m$. इस प्रकार,$b$ का मात्रक $m/s$ है।
$3$. पद $ct^2$ के लिए: $ct^2$ का मात्रक $x$ के मात्रक के समान होना चाहिए। अतः,$[ct^2] = m$. इस प्रकार,$c$ का मात्रक $m/s^2$ है।
अतः,$a, b,$ और $c$ के मात्रक क्रमशः $m, m/s, m/s^2$ हैं।

(A) दिया गया मात्रक $W/m^2$ (वाट प्रति वर्ग मीटर) है।
शक्ति $(P)$ का मात्रक वाट $(W)$ है,और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-3}]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ का मात्रक $m^2$ है,और इसका विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
यह भौतिक राशि तीव्रता या शक्ति घनत्व है,जिसे $I = P/A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विमीय सूत्र = $[M^1 L^2 T^{-3}] / [L^2] = [M^1 L^0 T^{-3}]$.
अतः,सही विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-3}]$ है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $y = x^2 r + M^1 L^1 T^{-2}$ में,$x^2 r$ की विमाएँ $M^1 L^1 T^{-2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
माना $[x^2]$,$x^2$ का विमीय सूत्र है और $[r] = L^1$ (क्योंकि $r$ विस्थापन है)।
अतः,$[x^2] \cdot [r] = M^1 L^1 T^{-2}$.
$[x^2] \cdot L^1 = M^1 L^1 T^{-2}$.
$[x^2] = \frac{M^1 L^1 T^{-2}}{L^1}$.
$[x^2] = M^1 L^0 T^{-2}$.

(A) दाब $P$ का विमीय सूत्र $[P] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[F] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]$ है।
दिए गए समीकरण $P = FK$ के लिए,हम विमीय समीकरण को $[P] = [F][K]$ के रूप में लिख सकते हैं।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M^{1} L^{-1} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}] [K]$.
अतः,$[K] = \frac{[M^{1} L^{-1} T^{-2}]}{[M^{1} L^{1} T^{-2}]}$.
$[K] = M^{1-1} L^{-1-1} T^{-2-(-2)} = M^{0} L^{-2} T^{0}$.