Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि संबंध $v = k g^a \lambda^b \rho^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ लिखने पर:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\lambda] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[L T^{-1}] = [L T^{-2}]^a [L]^b [M L^{-3}]^c$
$[L^1 T^{-1} M^0] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2a}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 0$
$T$ के लिए: $-2a = -1 \implies a = 1/2$
$L$ के लिए: $a + b - 3c = 1 \implies 1/2 + b - 0 = 1 \implies b = 1/2$
अतः,$v \propto g^{1/2} \lambda^{1/2} \rho^0 \implies v \propto \sqrt{g \lambda} \implies v^2 \propto g \lambda$.

(D) बल का विमीय सूत्र $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
विमीय संगति के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^1 \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^1 \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^{-2}$।
यहाँ,$n_1 = 1$,$M_1 = 1 \; \text{kg} = 10^3 \; \text{g}$,$L_1 = 1 \; \text{m} = 10^2 \; \text{cm}$,और $T_1 = T_2 = 1 \; \text{s}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n_2 = 1 \times \left[ \frac{10^3 \; \text{g}}{1 \; \text{g}} \right]^1 \times \left[ \frac{10^2 \; \text{cm}}{1 \; \text{cm}} \right]^1 \times \left[ \frac{1 \; \text{s}}{1 \; \text{s}} \right]^{-2}$।
$n_2 = 1 \times 10^3 \times 10^2 \times 1 = 10^5$।
अतः,$1 \; \text{newton} = 10^5 \; \text{dyne}$ होता है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
पद $(P + \frac{a}{V^2})$ में,$\frac{a}{V^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[\frac{a}{V^2}] = [P]$।
$[a] = [P] \times [V^2]$।
दाब $P$ की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं और आयतन $V$ की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
इसलिए,$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$।
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$।
$[a] = [ML^5T^{-2}]$।

(A) ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
$G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
$h$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-1}]$ है।
$c$ का विमीय सूत्र $[L^1 T^{-1}]$ है।
दिया गया है $E = G^p h^q c^r$,अतः:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^p [M^1 L^2 T^{-1}]^q [L^1 T^{-1}]^r$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^{-p+q} L^{3p+2q+r} T^{-2p-q-r}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $-p + q = 1 \implies q = 1 + p$
$T$ के लिए: $-2p - q - r = -2 \implies 2p + q + r = 2$
$L$ के लिए: $3p + 2q + r = 2$
$L$ के समीकरण से $T$ के समीकरण को घटाने पर: $(3p + 2q + r) - (2p + q + r) = 2 - 2 \implies p + q = 0 \implies q = -p$
$q = -p$ को $q = 1 + p$ में रखने पर: $-p = 1 + p \implies 2p = -1 \implies p = -\frac{1}{2}$.
अतः $q = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$2p + q + r = 2$ का उपयोग करने पर: $2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + r = 2 \implies -1 + \frac{1}{2} + r = 2 \implies r = 2 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
इस प्रकार,$p = -\frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}, r = \frac{5}{2}$.

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$k_1x$ और $k_2t$ की विमाएँ $M^0 L^0 T^0$ होनी चाहिए।
$k_1x$ के विमाहीन होने के लिए,$k_1$ की विमा $x$ (दूरी) की विमा की व्युत्क्रम होनी चाहिए।
$[k_1] = [x]^{-1} = L^{-1}$। अतः,$k_1$ का मात्रक $meter^{-1}$ है।
$k_2t$ के विमाहीन होने के लिए,$k_2$ की विमा $t$ (समय) की विमा की व्युत्क्रम होनी चाहिए।
$[k_2] = [t]^{-1} = T^{-1}$। अतः,$k_2$ का मात्रक $s^{-1}$ है।
इसलिए,$k_1$ और $k_2$ के मात्रक क्रमशः $meter^{-1}$ और $s^{-1}$ हैं।

(C) विमीय विश्लेषण भौतिक समीकरणों की स्थिरता की जांच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।
$1$. यदि कोई समीकरण विमीय रूप से गलत है,तो वह भौतिक रूप से भी गलत होना चाहिए क्योंकि दोनों पक्षों की इकाइयाँ मेल नहीं खाती हैं।
$2$. यदि कोई समीकरण विमीय रूप से सही है,तो यह गारंटी नहीं देता है कि समीकरण भौतिक रूप से सही है,क्योंकि इसमें विमाहीन स्थिरांक या कारक गायब हो सकते हैं।
$3$. इसलिए,एक विमीय रूप से सही सूत्र सही या गलत हो सकता है,लेकिन एक विमीय रूप से गलत सूत्र हमेशा गलत होता है।
$4$. अतः,'विमीय रूप से गलत सूत्र सही हो सकता है' कथन गलत है।

(B) दिया गया समीकरण $P = P_0 \exp(-\alpha t^2)$ है।
$e^x$ के रूप के किसी भी घातांकीय फलन में,घातांक $x$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,पद $\alpha t^2$ विमाहीन होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\alpha$ की विमा और $t^2$ की विमा का गुणनफल $1$ (विमाहीन) होना चाहिए।
$[\alpha] [t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
चूँकि $[t] = [T]$,इसलिए $[\alpha] [T^2] = 1$.
अतः,$[\alpha] = [T^{-2}]$.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन पदों को जोड़ा जाता है उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए। इसलिए,$\beta$ की विमा $\sqrt{d}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[\beta] = [d]^{1/2} = [M^1 L^{-3} T^0]^{1/2} = [M^{1/2} L^{-3/2} T^0]$.
अब,बल के समीकरण के लिए: $F = \frac{\alpha}{\beta + \sqrt{d}}$.
हर $(\beta + \sqrt{d})$ की विमा $[d]^{1/2} = [M^{1/2} L^{-3/2} T^0]$ के समान होगी।
अतः,$[F] = \frac{[\alpha]}{[M^{1/2} L^{-3/2} T^0]}$.
$[\alpha] = [F] \times [M^{1/2} L^{-3/2} T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2} T^0] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-2}]$ है।
$C.G.S.$ पद्धति में लंबाई का मात्रक $cm$ और समय का मात्रक $s$ है। दिया गया है कि $g = 980 \; cm/s^2$ है।
$M.K.S.$ पद्धति में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारकों का उपयोग करते हैं:
$1 \; m = 10^2 \; cm \Rightarrow 1 \; cm = 10^{-2} \; m$
$1 \; s = 1 \; s$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$g = 980 \times (1 \; cm) / (1 \; s)^2$
$g = 980 \times (10^{-2} \; m) / (1 \; s)^2$
$g = 980 \times 10^{-2} \; m/s^2$
$g = 9.8 \; m/s^2$.

(C) $w$ में सापेक्ष त्रुटि के लिए सूत्र त्रुटियों के प्रसार के नियम द्वारा इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{\Delta w}{w} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ हैं:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$
इन मानों को त्रुटि समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta w}{w} \times 100 = 4(1\%) + 3(2\%) + 2(3\%) + \frac{1}{2}(4\%)$
$= 4\% + 6\% + 6\% + 2\%$
$= 18\%$
अतः,$w$ में प्रतिशत त्रुटि $18\%$ है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमा समान होनी चाहिए।
$1$. पद $at$ के लिए: $[at] = [v] = [LT^{-1}]$.
अतः,$[a] = \frac{[LT^{-1}]}{[T]} = [LT^{-2}]$.
$2$. पद $\frac{b}{t + c}$ के लिए: चूँकि $c$ को $t$ में जोड़ा गया है,इसलिए $c$ की विमा $t$ की विमा के समान होनी चाहिए।
अतः,$[c] = [T]$.
$3$. पद $\frac{b}{t + c}$ के लिए: पूरे पद की विमा वेग $[v]$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[\frac{b}{t + c}] = [v] \implies \frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$.
अतः,$[b] = [LT^{-1}] \times [T] = [L]$.
इस प्रकार,विमाएँ $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,और $[c] = [T]$ हैं।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि $x$ दूरी को दर्शाता है,इसकी विमा $[L]$ है।
पद $b/t^2$ की विमा भी दूरी $[L]$ के समान होनी चाहिए।
अतः,$[b/t^2] = [L]$।
$[b] = [L] \times [t^2] = [L][T^2]$।
चूँकि $x$ मीटर $(m)$ में है और $t$ सेकंड $(s)$ में है,इसलिए $b$ की इकाई $m-s^2$ होगी।

(B) हम जानते हैं कि $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$LC$ की विमाएँ $[LC] = [T^{2}]$ हैं।
साथ ही,$LR$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ है,इसलिए $\frac{L}{R}$ की विमाएँ $[T]$ हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{R}{L}$ की विमाएँ $[T^{-1}]$ हैं।
अब,हमें $C^{2}LR$ की विमाएँ ज्ञात करनी हैं।
हम व्यंजक को $C^{2}LR = (LC) \cdot (RC)$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $RC$ एक $RC$ परिपथ का समय नियतांक है,इसकी विमाएँ $[T]$ हैं।
अतः,$[C^{2}LR] = [LC] \cdot [RC] = [T^{2}] \cdot [T] = [T^{3}]$।
वैकल्पिक रूप से,$[C^{2}LR] = [LC] \cdot [LC] \cdot [R/L] = [T^{2}] \cdot [T^{2}] \cdot [T^{-1}] = [T^{3}]$।
इसलिए,विमीय सूत्र $[M^{0}L^{0}T^{3}I^{0}]$ है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
हर (denominator) में,$x^2$ में $B$ जोड़ा गया है,इसलिए $[B] = [x^2] = [L^2]$।
ऊर्जा $U$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ होती हैं।
समीकरण $U = \frac{A\sqrt{x}}{x^2 + B}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M L^2 T^{-2}] = \frac{[A][L^{1/2}]}{[L^2]}$।
$[A]$ के लिए हल करने पर: $[A] = [M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L^2]}{[L^{1/2}]} = [M L^{2+2-1/2} T^{-2}] = [M L^{7/2} T^{-2}]$।
अब,$AB$ की विमाओं की गणना करने पर: $[AB] = [A][B] = [M L^{7/2} T^{-2}] \times [L^2] = [M L^{7/2+2} T^{-2}] = [M L^{11/2} T^{-2}]$।

(D) समीकरण $y = 2A \sin \left( \frac{2\pi ct}{\lambda} \right) \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$ में,त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क विमाहीन होने चाहिए।
इसलिए,$\left[ \frac{2\pi ct}{\lambda} \right] = M^0 L^0 T^0$ और $\left[ \frac{2\pi x}{\lambda} \right] = M^0 L^0 T^0$ है।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $ct$ और $\lambda$ की इकाइयाँ समान हैं,और $x$ और $\lambda$ की इकाइयाँ भी समान हैं।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\frac{2\pi c}{\lambda}$ की इकाई $T^{-1}$ (आवृत्ति) है,जबकि $\frac{2\pi x}{\lambda t}$ की इकाई $\frac{L}{L \cdot T} = T^{-1}$ है। अतः,उनकी इकाइयाँ समान हैं।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\frac{c}{\lambda}$ की इकाई $T^{-1}$ है,जबकि $\frac{x}{\lambda}$ की इकाई विमाहीन $(L/L = 1)$ है। चूँकि $T^{-1} \neq 1$,इसलिए कथन $D$ सत्य नहीं है।

(C) यंग मापांक $Y$ का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
$CGS$ पद्धति में,इकाई $g \cdot cm^{-1} \cdot s^{-2}$ है।
$MKS$ पद्धति में,इकाई $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ है।
रूपांतरण सूत्र $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^{-1} [T_1/T_2]^{-2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_1$ $CGS$ में मान है और $n_2$ $MKS$ में मान है:
$n_2/n_1 = [1 \ g / 10^3 \ g]^1 \cdot [1 \ cm / 10^2 \ cm]^{-1} \cdot [1 \ s / 1 \ s]^{-2}$.
$n_2/n_1 = [10^{-3}]^1 \cdot [10^{-2}]^{-1} \cdot [1]^{-2}$.
$n_2/n_1 = 10^{-3} \cdot 10^2 = 10^{-1} = 0.1$.
अतः,$CGS$ से $MKS$ में बदलने के लिए,हमें $0.1$ से गुणा करना होगा।

(A) शक्ति का विमीय सूत्र $[P] = [M^1 L^2 T^{-3}]$ है।
दो प्रणालियों के बीच रूपांतरण के लिए सूत्र: $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^a [L_1/L_2]^b [T_1/T_2]^c$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n_1 = 10^6 \; W$,$M_1 = 1 \; kg$,$L_1 = 1 \; m$,$T_1 = 1 \; s$ है।
नई प्रणाली में,$M_2 = 10 \; kg$,$L_2 = 1 \; dm = 0.1 \; m$,$T_2 = 1 \; \text{minute} = 60 \; s$ है।
मान रखने पर: $n_2 = 10^6 \times [1 \; kg / 10 \; kg]^1 \times [1 \; m / 0.1 \; m]^2 \times [1 \; s / 60 \; s]^{-3}$।
$n_2 = 10^6 \times [1/10] \times [10]^2 \times [1/60]^{-3}$।
$n_2 = 10^6 \times 0.1 \times 100 \times 60^3$।
$n_2 = 10^7 \times 216000 = 2.16 \times 10^{12} \; \text{units}$।

(B) दिए गए संबंध:
$v_2 = v_1 \frac{\alpha^2}{\beta} \Rightarrow [L_2 T_2^{-1}] = [L_1 T_1^{-1}] \frac{\alpha^2}{\beta} \dots (i)$
$a_2 = a_1 \alpha \beta \Rightarrow [L_2 T_2^{-2}] = [L_1 T_1^{-2}] \alpha \beta \dots (ii)$
$F_2 = \frac{F_1}{\alpha \beta} \Rightarrow [M_2 L_2 T_2^{-2}] = [M_1 L_1 T_1^{-2}] \frac{1}{\alpha \beta} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{[M_2 L_2 T_2^{-2}]}{[L_2 T_2^{-2}]} = \frac{[M_1 L_1 T_1^{-2}]}{[L_1 T_1^{-2}]} \times \frac{1}{(\alpha \beta)(\alpha \beta)} \Rightarrow M_2 = \frac{M_1}{\alpha^2 \beta^2}$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{[L_2 T_2^{-2}]}{[L_2 T_2^{-1}]} = \frac{[L_1 T_1^{-2}]}{[L_1 T_1^{-1}]} \times \frac{\alpha \beta}{\alpha^2 / \beta} \Rightarrow T_2^{-1} = T_1^{-1} \frac{\beta^2}{\alpha} \Rightarrow T_2 = T_1 \frac{\alpha}{\beta^2}$
$T_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$L_2 (T_1 \frac{\alpha}{\beta^2})^{-1} = L_1 T_1^{-1} \frac{\alpha^2}{\beta} \Rightarrow L_2 = L_1 \frac{\alpha^2}{\beta} \cdot \frac{\alpha}{\beta^2} = L_1 \frac{\alpha^3}{\beta^3}$
अतः,$M_2 = \frac{1}{\alpha^2 \beta^2} M_1, L_2 = \frac{\alpha^3}{\beta^3} L_1, T_2 = T_1 \frac{\alpha}{\beta^2}$.

(B) मान लीजिए कि मूल इकाइयाँ $L_1 = 1 \; m$,$T_1 = 1 \; s$,$M_1 = 1 \; kg$ हैं। नई इकाइयाँ $L_2 = 100 \; m$,$T_2 = 100 \; s$,$M_2 = 0.1 \; kg$ हैं।
$1$. वेग $(v = L T^{-1})$: नई इकाई $v_2 = L_2 T_2^{-1} = 100 \; m / 100 \; s = 1 \; m/s$। अतः,वेग समान रहता है।
$2$. बल $(F = M L T^{-2})$: नई इकाई $F_2 = M_2 L_2 T_2^{-2} = (0.1 \; kg) \times (100 \; m) / (100 \; s)^2 = 0.1 \times 100 / 10000 = 0.001 \; N = \frac{1}{1000} \; N$। बल की नई इकाई मूल इकाई की $\frac{1}{1000}$ गुना है।
$3$. ऊर्जा $(E = M L^2 T^{-2})$: नई इकाई $E_2 = M_2 L_2^2 T_2^{-2} = (0.1 \; kg) \times (100 \; m)^2 / (100 \; s)^2 = 0.1 \times 10000 / 10000 = 0.1 \; J = \frac{1}{10} \; J$।
$4$. दाब $(P = M L^{-1} T^{-2})$: नई इकाई $P_2 = M_2 L_2^{-1} T_2^{-2} = (0.1 \; kg) / (100 \; m \times (100 \; s)^2) = 0.1 / (100 \times 10000) = 0.1 / 10^6 = 10^{-7} \; Pa$।

(D) माना संबंध $m = K \rho^a v^b g^c$ है,जहाँ $K$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$m = [M^1 L^0 T^0]$
$\rho = [M^1 L^{-3} T^0]$
$v = [M^0 L^1 T^{-1}]$
$g = [M^0 L^1 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^{-3} T^0]^a [M^0 L^1 T^{-1}]^b [M^0 L^1 T^{-2}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{-3a+b+c} T^{-b-2c}]$
$M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$T$ के लिए: $-b - 2c = 0 \Rightarrow b = -2c$
$L$ के लिए: $-3a + b + c = 0$
$a=1$ और $b=-2c$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$-3(1) + (-2c) + c = 0$
$-3 - c = 0 \Rightarrow c = -3$
अब,$b = -2(-3) = 6$
अतः,$m \propto \rho^1 v^6 g^{-3} = \frac{\rho v^6}{g^3}$.

(A) दिया गया सूत्र $P = \frac{a^3 b^2}{cd}$ है।
$P$ में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( 3 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = [3(1\%) + 2(2\%) + 3\% + 4\%]$
$= [3\% + 4\% + 3\% + 4\%]$
$= 14\%$
अतः,$P$ में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(D) माना द्रव्यमान $m \propto F^a V^b T^c$.
अतः $m = k F^a V^b T^c$,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
दोनों पक्षों की विमाएँ लिखने पर:
$[M L^0 T^0] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$
$[M L^0 T^0] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1$
$T$ के लिए: $-2a - b + c = 0 \implies -2(1) - (-1) + c = 0 \implies -2 + 1 + c = 0 \implies c = 1$
$a, b,$ और $c$ के मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[m] = [F^1 V^{-1} T^1] = [F V^{-1} T]$.

(C) माना पृष्ठ तनाव $(S)$ का विमीय सूत्र $S = E^x V^y T^z$ है।
पृष्ठ तनाव की विमाएँ $[S] = [MT^{-2}]$ होती हैं।
मूल राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[V] = [LT^{-1}]$
$[T] = [T]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[MT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]^x [LT^{-1}]^y [T]^z$
$[MT^{-2}] = [M^x L^{2x+y} T^{-2x-y+z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $2x + y = 0 \Rightarrow 2(1) + y = 0 \Rightarrow y = -2$
$T$ के लिए: $-2x - y + z = -2 \Rightarrow -2(1) - (-2) + z = -2 \Rightarrow -2 + 2 + z = -2 \Rightarrow z = -2$
अतः,पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[EV^{-2}T^{-2}]$ होगा।

(B) दिया गया विमीय संबंध: $[v_c] = [\eta^x \rho^y r^z]$ $(i)$
भौतिक राशियों की विमाएँ लिखने पर:
$[v_c] = [M^0 L T^{-1}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
$[r] = [M^0 L T^0]$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-1}]^x [M L^{-3} T^0]^y [M^0 L T^0]^z$
$[M^0 L T^{-1}] = [M^{x+y} L^{-x-3y+z} T^{-x}]$
विमाओं की समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$x + y = 0$ $(ii)$
$-x - 3y + z = 1$ $(iii)$
$-x = -1$ $(iv)$
समीकरण $(iv)$ से,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$1 + y = 0$,अतः $y = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ और $y = -1$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर,$-1 - 3(-1) + z = 1 \implies -1 + 3 + z = 1 \implies 2 + z = 1 \implies z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 1, y = -1, z = -1$ है।

(C) माना लंबाई $l$ की विमा को $l \propto h^p c^q G^r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
प्रत्येक नियतांक की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[L] = [ML^2T^{-1}]^p [LT^{-1}]^q [M^{-1}L^3T^{-2}]^r$
$[M^0 L^1 T^0] = M^{p-r} L^{2p+q+3r} T^{-p-q-2r}$
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$p - r = 0 \implies p = r$
$2p + q + 3r = 1$
$-p - q - 2r = 0$
तीसरे समीकरण में $p = r$ रखने पर: $-r - q - 2r = 0 \implies q = -3r$.
दूसरे समीकरण में $p = r$ और $q = -3r$ रखने पर: $2r - 3r + 3r = 1 \implies 2r = 1 \implies r = 1/2$.
अतः,$p = 1/2$ और $q = -3/2$.
इसलिए,$l \propto h^{1/2} c^{-3/2} G^{1/2} = \sqrt{\frac{hG}{c^3}} = \frac{\sqrt{hG}}{c^{3/2}}$.

(C) माना लंबाई $l$ की भौतिक राशि को $l = k \left( \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right)^p G^q c^r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}$ के आयाम $= [F \cdot d^2] = [ML^3T^{-2}]$.
$G$ के आयाम $= [M^{-1}L^3T^{-2}]$.
$c$ के आयाम $= [LT^{-1}]$.
आयामों की तुलना करने पर: $[L^1] = [ML^3T^{-2}]^p [M^{-1}L^3T^{-2}]^q [LT^{-1}]^r$.
$M$ के घातों की तुलना करने पर: $p - q = 0 \implies p = q$.
$T$ के घातों की तुलना करने पर: $-2p - 2q - r = 0 \implies -4p = r$.
$L$ के घातों की तुलना करने पर: $3p + 3q + r = 1 \implies 6p - 4p = 1 \implies 2p = 1 \implies p = 1/2$.
अतः,$q = 1/2$ और $r = -2$.
इसलिए,$l = \frac{1}{c^2} \sqrt{\frac{Ge^2}{4\pi \varepsilon_0}}$.

(A) दी गई राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[l] = [ML^2T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
इन विमाओं को व्यंजक $\frac{El^2}{m^5G^2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[ML^2T^{-2}] \cdot [ML^2T^{-1}]^2}{[M]^5 \cdot [M^{-1}L^3T^{-2}]^2} = \frac{[ML^2T^{-2}] \cdot [M^2L^4T^{-2}]}{[M^5] \cdot [M^{-2}L^6T^{-4}]} = \frac{[M^3L^6T^{-4}]}{[M^3L^6T^{-4}]} = [M^0L^0T^0]$
चूंकि विमाएँ $[M^0L^0T^0]$ हैं,इसलिए यह राशि विमाहीन है। दिए गए विकल्पों में से,कोण एक विमाहीन राशि है।

(C) $\tan \theta$ की विमा $[M^0 L^0 T^0]$ है क्योंकि यह एक विमाहीन राशि है।
दाहिनी ओर के लिए,विमाएँ हैं: $[r] = [L]$,$[g] = [L T^{-2}]$,और $[v^2] = [L^2 T^{-2}]$।
इस प्रकार,$\frac{rg}{v^2}$ की विमा $\frac{[L] [L T^{-2}]}{[L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ है।
चूंकि दोनों पक्षों की विमाएँ समान हैं,इसलिए समीकरण विमीय रूप से सही है।
हालाँकि,बैंकिंग कोण के लिए सही भौतिक सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
इसलिए,दिया गया समीकरण संख्यात्मक रूप से गलत है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. पद $c$ के लिए: चूँकि $c$ को $t$ (समय) में जोड़ा गया है,इसलिए $c$ की विमा $t$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[c] = [T]$.
$2$. पद $at$ के लिए: $at$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। अतः,$[a][T] = [LT^{-1}]$,जिससे $[a] = [LT^{-2}]$ प्राप्त होता है।
$3$. पद $\frac{b}{t+c}$ के लिए: पूरे पद की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[t+c] = [T]$,हमारे पास $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$ है। अतः,$[b] = [L]$.
इस प्रकार,विमाएँ $a = LT^{-2}, b = L, c = T$ हैं।

(A) समीकरण $T = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $ की विमीय शुद्धता की जाँच करने के लिए:
$1$. आवर्तकाल $T$ की विमा $[T]$ है।
$2$. त्रिज्या $R$ की विमा $[L]$ है। अतः,$R^3$ की विमा $[L^3]$ है।
$3$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ की विमा $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ है।
$4$. द्रव्यमान $M$ की विमा $[M]$ है।
$5$. गुणनफल $GM$ की विमा $[M^{-1}L^3T^{-2}] \times [M] = [L^3T^{-2}]$ है।
$6$. इन मानों को वर्गमूल के अंदर रखने पर: $\sqrt{\frac{R^3}{GM}} = \sqrt{\frac{L^3}{L^3T^{-2}}} = \sqrt{T^2} = [T]$.
$7$. चूंकि बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष की विमाएँ समान हैं,इसलिए यह समीकरण विमीय रूप से सही है।

(A) चरघातांकी फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$\alpha t$ की विमा $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूंकि $[t] = [T]$,इसलिए $[\alpha] [T] = [1]$,जिससे $[\alpha] = [T^{-1}]$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x(t) = (v_0 / \alpha) (1 - e^{-\alpha t})$ में,पद $(1 - e^{-\alpha t})$ विमाहीन है।
इसलिए,$x(t)$ की विमा $(v_0 / \alpha)$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[x] = [L]$,इसलिए $[v_0 / \alpha] = [L]$.
$[v_0] = [L] \times [\alpha] = [L] \times [T^{-1}] = [L T^{-1}]$.
अतः,$v_0$ और $\alpha$ की विमाएँ क्रमशः $[M^0 L^1 T^{-1}]$ और $[T^{-1}]$ हैं।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में जोड़े या घटाए गए प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $(P + \frac{a}{V^2}) = \frac{b\theta}{l}$ में,पद $P$ को $\frac{a}{V^2}$ में जोड़ा गया है।
इसलिए,$[P] = [\frac{a}{V^2}]$.
हम जानते हैं कि दाब $P$ का विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है और आयतन $V$ का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
अतः,$[a] = [P] \times [V^2]$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$.
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$.
$[a] = [ML^5T^{-2}]$.

(A) सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए,हम विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हैं।
गति $v$ की विमा $[LT^{-1}]$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$\sqrt{g\lambda}$ की विमा $\sqrt{[LT^{-2}] \cdot [L]} = \sqrt{[L^2T^{-2}]} = [LT^{-1}]$ है,जो गति की विमा से मेल खाती है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$\sqrt{g/h}$ की विमा $\sqrt{[LT^{-2}] / [L]} = \sqrt{[T^{-2}]} = [T^{-1}]$ है,जो गलत है।
विकल्प $(C)$ के लिए,$\sqrt{\rho gh}$ की विमा $\sqrt{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}] \cdot [L]} = \sqrt{[MT^{-2}]}$ है,जो गलत है।
विकल्प $(D)$ के लिए,$\sqrt{g/\rho}$ की विमा $\sqrt{[LT^{-2}] / [ML^{-3}]} = \sqrt{[M^{-1}L^4T^{-2}]}$ है,जो गलत है।
अतः,केवल $\sqrt{g\lambda}$ ही विमीय रूप से सुसंगत व्यंजक है।

(D) प्रति इकाई द्रव्यमान गतिज ऊर्जा $(KE/m)$ की विमाएँ वेग के वर्ग के समान होती हैं,जो $[L^2 T^{-2}]$ है।
हम दिए गए विकल्पों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
विकल्प $D$ के लिए,व्यंजक $\frac{\alpha \sigma}{\rho}$ है।
तन्य शक्ति $\sigma$ (दबाव) की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।
घनत्व $\rho$ की विमाएँ $[M L^{-3}]$ हैं।
इसलिए,$\frac{\sigma}{\rho}$ की विमाएँ $\frac{[M L^{-1} T^{-2}]}{[M L^{-3}]} = [L^2 T^{-2}]$ हैं।
चूंकि $\alpha$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए व्यंजक $\frac{\alpha \sigma}{\rho}$ प्रति इकाई द्रव्यमान गतिज ऊर्जा की विमाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) $\cos \left( \frac{t}{p} - qx \right)$ व्यंजक में,त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$\frac{t}{p}$ की विमाएँ $1$ (विमाहीन) की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $t$ की विमाएँ $p$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
इसी प्रकार,$qx$ की विमाएँ $1$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $q$ की विमाएँ $1/x$ (लंबाई का व्युत्क्रम) हैं।
अतः,$t$ की इकाई $p$ की इकाई के समान है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{dV}{dt} = At - BV$
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$\frac{dV}{dt}$ (त्वरण) की विमा $[LT^{-2}]$ है।
$At$ पद के लिए:
$[At] = [LT^{-2}]$
$[A] [T] = [LT^{-2}]$
$[A] = [LT^{-2}] / [T] = [LT^{-3}]$
$BV$ पद के लिए:
$[BV] = [LT^{-2}]$
$[B] [LT^{-1}] = [LT^{-2}]$
$[B] = [LT^{-2}] / [LT^{-1}] = [T^{-1}]$
अतः,$A$ और $B$ की विमाएँ क्रमशः $[LT^{-3}]$ और $[T^{-1}]$ हैं।

(C) आवर्तकाल $T$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^1]$ है।
दी गई भौतिक राशियों के विमीय सूत्र हैं:
दाब $P = [M L^{-1} T^{-2}]$
घनत्व $d = [M L^{-3}]$
ऊर्जा $E = [M L^2 T^{-2}]$
संबंध $T = k P^a d^b E^c$ से,हम विमीय समीकरण लिखते हैं:
$[M^0 L^0 T^1] = [M L^{-1} T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b+2c} T^{-2a-2c}$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $a + b + c = 0$
$2$) $-a - 3b + 2c = 0$
$3$) $-2a - 2c = 1$
समीकरण $(3)$ से,$-2(a + c) = 1$,इसलिए $a + c = -1/2$।
$a + c = -1/2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $(-1/2) + b = 0$,जिससे $b = 1/2$ प्राप्त होता है।
$b = 1/2$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \Rightarrow -a + 2c = 3/2$।
अब हमारे पास दो समीकरण हैं:
$a + c = -1/2$
$-a + 2c = 3/2$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $3c = 1$,इसलिए $c = 1/3$।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,भौतिक राशियों को केवल तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनकी विमाएँ समान हों।
चूँकि $A$ और $B$ के विमीय सूत्र असमान हैं,इसलिए $(A - B)$ संक्रिया भौतिक रूप से अर्थहीन है और संभव नहीं है।
$log(A - B)$ व्यंजक में,लघुगणक का तर्क विमाहीन होना चाहिए,लेकिन $(A - B)$ का घटाव ही अमान्य है क्योंकि उनकी विमाएँ अलग-अलग हैं।
अतः,$log(A - B)$ संक्रिया संभव नहीं है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,भौतिक राशियों को केवल तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनकी विमाएँ समान हों।
हालाँकि,भौतिक राशियों का गुणा और भाग इस बात पर ध्यान दिए बिना किया जा सकता है कि उनकी विमाएँ समान हैं या भिन्न।
इसलिए,यदि $A$ और $B$ की विमाएँ भिन्न हैं,तब भी $\frac{A}{B}$ संक्रिया की जा सकती है।

(B) विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
बल $F = [MLT^{-2}] = 10\, N \dots (i)$
ऊर्जा $E = [ML^2T^{-2}] = 100\, J \dots (ii)$
वेग $v = [LT^{-1}] = 5\, m/s \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{[ML^2T^{-2}]}{[MLT^{-2}]} = \frac{100\, J}{10\, N} \implies [L] = 10\, m$
$[L] = 10\, m$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$10\, m / [T] = 5\, m/s \implies [T] = \frac{10\, m}{5\, m/s} = 2\, s$
$[L] = 10\, m$ और $[T] = 2\, s$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$[M][10\, m][2\, s]^{-2} = 10\, N$
$[M][10\, m][0.25\, s^{-2}] = 10\, kg\cdot m/s^2$
$[M] = \frac{10}{2.5} = 4\, kg$
अतः,मात्रक लंबाई $= 10\, m$,द्रव्यमान $= 4\, kg$,और समय $= 2\, s$ हैं।

(B) ऊर्जा $(E)$ को बल $(F)$ और विस्थापन $(L)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$E = F \times L$
हम जानते हैं कि वेग $(V)$ विस्थापन बटा समय $(T)$ होता है,इसलिए $V = L/T$,जिसका अर्थ है $L = V \times T$।
इस मान को ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = F \times (V \times T)$
$E = [V^1 F^1 T^1]$
अतः,वेग,बल और समय के पदों में ऊर्जा की विमाएँ $[V^1 F^1 T^1]$ हैं।

(A) बल का विमीय सूत्र $[F] = [MLT^{-2}]$ होता है।
दी गई मूल विमाएँ घनत्व $[D] = [ML^{-3}]$,वेग $[V] = [LT^{-1}]$,और क्षेत्रफल $[A] = [L^2]$ हैं।
माना बल को $[F] = [A^x V^y D^z]$ के रूप में निरूपित किया जाता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[MLT^{-2}] = [L^2]^x [LT^{-1}]^y [ML^{-3}]^z$
$[MLT^{-2}] = [M^z L^{2x+y-3z} T^{-y}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $z = 1$
$T$ के लिए: $-y = -2 \implies y = 2$
$L$ के लिए: $2x + y - 3z = 1$
$y=2$ और $z=1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$2x + 2 - 3(1) = 1$
$2x - 1 = 1$
$2x = 2 \implies x = 1$
अतः,बल का निरूपण $[A^1 V^2 D^1]$ अर्थात $[AV^2D]$ होगा।

(D) दो इकाई प्रणालियों के बीच रूपांतरण के लिए सूत्र $n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^a \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^b \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^c$ है।
घनत्व का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-3} T^0]$ है,इसलिए $a=1, b=-3, c=0$ है।
दिया गया है: $n_1 = 4$,$M_1 = 1\,g$,$L_1 = 1\,cm$.
नई प्रणाली: $M_2 = 100\,g$,$L_2 = 10\,cm$.
मान रखने पर: $n_2 = 4 \left[ \frac{1\,g}{100\,g} \right]^1 \left[ \frac{1\,cm}{10\,cm} \right]^{-3}$.
$n_2 = 4 \times \left( \frac{1}{100} \right) \times (10)^3$.
$n_2 = 4 \times 0.01 \times 1000 = 40$.
अतः,नई प्रणाली में घनत्व का मान $40$ होगा।

(D) ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है।
मान लीजिए कि $SI$ प्रणाली प्रणाली $1$ है और नई प्रणाली प्रणाली $2$ है।
$SI$ प्रणाली में: $M_1 = 1 \, kg$,$L_1 = 1 \, m$,$T_1 = 1 \, s$.
नई प्रणाली में: $M_2 = 10 \, kg$,$L_2 = 10 \, m$,$T_2 = 1 \, minute = 60 \, s$.
रूपांतरण सूत्र $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^2 [T_1/T_2]^{-2}$ का उपयोग करने पर:
$n_2 = 1 \times [1 \, kg / 10 \, kg]^1 \times [1 \, m / 10 \, m]^2 \times [1 \, s / 60 \, s]^{-2}$
$n_2 = (1/10) \times (1/10)^2 \times (1/60)^{-2}$
$n_2 = (1/10) \times (1/100) \times (60)^2$
$n_2 = (1/1000) \times 3600 = 3.6 = 36 \times 10^{-1}$.

(B) प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{M}{A t} \propto P^{x} v^{y}$ द्वारा दी जाती है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M L^{-2} T^{-1}]$ है।
दाब $P$ का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है और वेग $v$ का $[L T^{-1}]$ है।
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[M L^{-2} T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y$
$[M L^{-2} T^{-1}] = M^x L^{-x+y} T^{-2x-y}$
$M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $-x + y = -2$
$T$ के लिए: $-2x - y = -1$
$L$ के समीकरण में $x = 1$ रखने पर: $-1 + y = -2 \Rightarrow y = -1$.
अतः,$x = 1$ और $y = -1$ होने के कारण,$x = -y$ है।

(D) दाब का सूत्र $P = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$ होता है।
यहाँ बल $= F$ है,इसलिए हमें क्षेत्रफल को $F, V$ और $T$ के पदों में व्यक्त करना होगा।
हम जानते हैं कि वेग $(V) = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$,इसलिए दूरी $= V \times T$।
अतः,क्षेत्रफल $= (\text{दूरी})^2 = (V \times T)^2 = V^2 T^2$।
इन मानों को दाब के सूत्र में रखने पर: $P = \frac{F}{V^2 T^2} = F^1 V^{-2} T^{-2}$।
दाब में बल की विमा $F$ का घातांक है,जो कि $1$ है।

(B) चरघातांकी फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
अतः,घातांक $[\alpha t^2]$ की विमा एक विमाहीन राशि यानी $1$ के बराबर होनी चाहिए।
$[\alpha t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
यहाँ $t$ समय को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमा $[T]$ है।
इस प्रकार,$[\alpha] [T^2] = 1$.
$[\alpha] = \frac{1}{[T^2]} = [T^{-2}]$.
अतः,नियतांक $\alpha$ की विमा $T^{-2}$ है।

(A) एक विमीय नियतांक वह भौतिक राशि है जिसका मान स्थिर होता है और जिसकी विमाएँ होती हैं।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ एक सार्वत्रिक नियतांक है जिसका मान $6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2 \ kg^{-2}$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
सापेक्ष घनत्व,अपवर्तनांक और पॉइसन अनुपात समान भौतिक राशियों के अनुपात हैं,जो उन्हें विमाहीन नियतांक बनाते हैं।

(D) निर्वात में प्रकाश की चाल का संबंध $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $C^2 = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल $\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{C^2}$ है।
चूँकि $C$ वेग को दर्शाता है,इसलिए $\mu_{0} \varepsilon_{0}$ की विमाएँ वेग से $1/(velocity)^2$ के रूप में संबंधित हैं।