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Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi
Class 11 Physics · Units, Dimensions and Measurement · Dimensional Analysis, Uses and Limitations
326+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 326 questions in Hindi
201
DifficultMCQ
स्टोक्स का नियम बताता है कि $\eta$ श्यानता गुणांक वाले तरल में $v$ गति से चलने वाले $a$ त्रिज्या के गोले पर लगने वाला श्यान खिंचाव बल $F=6 \pi \eta a v$ द्वारा दिया जाता है। यदि यह तरल $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाले बेलनाकार पाइप से बह रहा है और इसके दो सिरों के बीच $p$ का दाबांतर है,तो $t$ समय में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन $V$ को $\frac{V}{t}=k\left(\frac{p}{l}\right)^a \eta^b r^c$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है। $a, b$ और $c$ के सही मान हैं
A
$a=1, b=-1, c=4$
B
$a=-1, b=1, c=4$
C
$a=2, b=-1, c=3$
D
$a=1, b=-2, c=-4$
Solution
(A) दिया गया समीकरण $\frac{V}{t} = k \left( \frac{p}{l} \right)^a \eta^b r^c$ है।
राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ के लिए: $-2a - b = -1$
$T$ के समीकरण में $b = -a$ रखने पर: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
चूंकि $b = -a$,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ और $b = -1$ रखने पर: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
अतः,$a=1, b=-1, c=4$ सही मान हैं।
राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ के लिए: $-2a - b = -1$
$T$ के समीकरण में $b = -a$ रखने पर: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
चूंकि $b = -a$,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ और $b = -1$ रखने पर: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
अतः,$a=1, b=-1, c=4$ सही मान हैं।
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View Solution202
MediumMCQ
यदि किसी वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $F$,तरल में डूबे उसके आयतन $V$,तरल के घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,तो $F$ के लिए सही व्यंजक क्या हो सकता है?
A
$V \rho g$
B
$\frac{\rho g}{V}$
C
$\rho g V^2$
D
$\sqrt{\rho g V}$
Solution
(A) विमीय समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,हम मानते हैं कि $F = k V^a \rho^b g^c$,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L T^{-2}] = [L^3]^a [M L^{-3}]^b [L T^{-2}]^c$
$[M L T^{-2}] = [M^b L^{3a - 3b + c} T^{-2c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $b = 1$
$T$ के लिए: $-2c = -2 \Rightarrow c = 1$
$L$ के लिए: $3a - 3b + c = 1$
$L$ के समीकरण में $b=1$ और $c=1$ रखने पर:
$3a - 3(1) + 1 = 1$
$3a - 2 = 1$
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$
अतः,व्यंजक $F = k V^1 \rho^1 g^1$ है। $k=1$ लेने पर,हमें $F = V \rho g$ प्राप्त होता है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[F] = [M L T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L T^{-2}] = [L^3]^a [M L^{-3}]^b [L T^{-2}]^c$
$[M L T^{-2}] = [M^b L^{3a - 3b + c} T^{-2c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $b = 1$
$T$ के लिए: $-2c = -2 \Rightarrow c = 1$
$L$ के लिए: $3a - 3b + c = 1$
$L$ के समीकरण में $b=1$ और $c=1$ रखने पर:
$3a - 3(1) + 1 = 1$
$3a - 2 = 1$
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$
अतः,व्यंजक $F = k V^1 \rho^1 g^1$ है। $k=1$ लेने पर,हमें $F = V \rho g$ प्राप्त होता है।
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View Solution203
MediumMCQ
किसी पदार्थ को गर्म करने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा $Q$ उसके द्रव्यमान $m$,उसकी विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s$ और पदार्थ के तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ पर निर्भर करती है। विमीय विधि का उपयोग करके,$s$ के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए। (दिया गया है कि $[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$)
A
$Q m \Delta T$
B
$\frac{Q}{m \Delta T}$
C
$\frac{Q m}{\Delta T}$
D
$\frac{m}{Q \Delta T}$
Solution
(B) ऊष्मा ऊर्जा $Q$ संबंध $Q = m^a s^b (\Delta T)^c$ द्वारा दी जाती है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[Q] = [M L^2 T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[\Delta T] = [K]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L^2 T^{-2}] = [M]^a [L^2 T^{-2} K^{-1}]^b [K]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{2b} T^{-2b} K^{-b+c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L, T,$ और $K$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $2b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ के लिए: $-2b = -2 \Rightarrow b = 1$
$K$ के लिए: $-b + c = 0 \Rightarrow c = b = 1$
अतः,व्यंजक $Q = m^1 s^1 (\Delta T)^1$ है,जिसे $Q = m s \Delta T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$s$ के लिए हल करने पर,हमें $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ प्राप्त होता है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[Q] = [M L^2 T^{-2}]$
$[m] = [M]$
$[s] = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[\Delta T] = [K]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M L^2 T^{-2}] = [M]^a [L^2 T^{-2} K^{-1}]^b [K]^c$
$[M L^2 T^{-2}] = [M^a L^{2b} T^{-2b} K^{-b+c}]$
दोनों पक्षों पर $M, L, T,$ और $K$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $2b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ के लिए: $-2b = -2 \Rightarrow b = 1$
$K$ के लिए: $-b + c = 0 \Rightarrow c = b = 1$
अतः,व्यंजक $Q = m^1 s^1 (\Delta T)^1$ है,जिसे $Q = m s \Delta T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$s$ के लिए हल करने पर,हमें $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ प्राप्त होता है।
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View Solution204
MediumMCQ
यदि $y$ दाब को दर्शाता है और $x$ वेग प्रवणता (velocity gradient) को दर्शाता है,तो $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की विमाएँ क्या हैं?
A
$[ML^{-1}T^{-2}]$
B
$[M^2L^{-2}T^{-2}]$
C
$[ML^{-1}T^0]$
D
$[M^2L^{-2}T^{-4}]$
Solution
(C) अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की विमाएँ $\frac{y}{x^2}$ की विमाओं के बराबर होती हैं।
दिया गया है कि $y$ दाब है,जिसका विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
दिया गया है कि $x$ वेग प्रवणता है,जिसका विमीय सूत्र $\frac{[v]}{[L]} = \frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की विमाएँ $\frac{[y]}{[x]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-1}]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-2}]} = [ML^{-1}T^0]$ होंगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।
दिया गया है कि $y$ दाब है,जिसका विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
दिया गया है कि $x$ वेग प्रवणता है,जिसका विमीय सूत्र $\frac{[v]}{[L]} = \frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की विमाएँ $\frac{[y]}{[x]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-1}]^2} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-2}]} = [ML^{-1}T^0]$ होंगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।
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View Solution205
MediumMCQ
समीकरण $F = \frac{\alpha - t^2}{\beta v^2}$ में $\frac{\alpha}{\beta}$ की विमाएँ ज्ञात कीजिए,जहाँ $F$ बल है,$v$ वेग है और $t$ समय है।
A
$[MLT^{-1}]$
B
$[ML^{-1}T^{-2}]$
C
$[ML^3T^{-4}]$
D
$[ML^2T^{-4}]$
Solution
(C) दिया गया समीकरण $F = \frac{\alpha - t^2}{\beta v^2}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$\alpha$ की विमाएँ $t^2$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
अतः,$[\alpha] = [T^2]$.
अब,पूरे समीकरण की विमाएँ $[F] = \frac{[\alpha]}{[\beta][v^2]}$ हैं।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][LT^{-1}]^2}$.
$[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][L^2T^{-2}]}$.
$[\beta]$ के लिए हल करने पर: $[\beta] = \frac{[T^2]}{[MLT^{-2}][L^2T^{-2}]} = \frac{[T^2]}{[ML^3T^{-4}]} = [M^{-1}L^{-3}T^6]$.
अब,$\frac{\alpha}{\beta}$ की विमाओं की गणना करने पर:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[T^2]}{[M^{-1}L^{-3}T^6]} = [ML^3T^{-4}]$.
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$\alpha$ की विमाएँ $t^2$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
अतः,$[\alpha] = [T^2]$.
अब,पूरे समीकरण की विमाएँ $[F] = \frac{[\alpha]}{[\beta][v^2]}$ हैं।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][LT^{-1}]^2}$.
$[MLT^{-2}] = \frac{[T^2]}{[\beta][L^2T^{-2}]}$.
$[\beta]$ के लिए हल करने पर: $[\beta] = \frac{[T^2]}{[MLT^{-2}][L^2T^{-2}]} = \frac{[T^2]}{[ML^3T^{-4}]} = [M^{-1}L^{-3}T^6]$.
अब,$\frac{\alpha}{\beta}$ की विमाओं की गणना करने पर:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[T^2]}{[M^{-1}L^{-3}T^6]} = [ML^3T^{-4}]$.
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View Solution206
EasyMCQ
यदि कोई भौतिक राशि तीन राशियों पर निर्भर करती है,जिनमें से दो विमीय रूप से समान हैं,तो विमीय विधि द्वारा सूत्र व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है। यह कथन
A
सत्य हो सकता है
B
असत्य हो सकता है
C
निश्चित रूप से सत्य है
D
निश्चित रूप से असत्य है
Solution
(C) यह कथन पूर्णतः सत्य है।
विमीय विश्लेषण विमाओं की समांगता के सिद्धांत पर निर्भर करता है,जो हमें अज्ञात घातांकों को हल करने के लिए मूल राशियों $(M, L, T)$ की विमाओं की तुलना करने की अनुमति देता है।
यदि कोई भौतिक राशि $X$ तीन राशियों $a, b,$ और $c$ पर निर्भर करती है,जहाँ $a$ और $b$ की विमाएँ समान हैं,तो संबंध $X = k \cdot a^x \cdot b^y \cdot c^z$ के रूप में होगा।
चूँकि $a$ और $b$ की विमाएँ समान हैं,मान लीजिए $[M^p L^q T^r]$,तो समीकरण $X = k \cdot ([M^p L^q T^r])^x \cdot ([M^p L^q T^r])^y \cdot c^z = k \cdot ([M^p L^q T^r])^{x+y} \cdot c^z$ हो जाता है।
यहाँ,हम विमीय विश्लेषण द्वारा केवल $(x+y)$ और $z$ का मान ज्ञात कर सकते हैं,लेकिन $x$ और $y$ के अलग-अलग मान निर्धारित नहीं कर सकते।
इसलिए,इस विधि का उपयोग करके सटीक सूत्र व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
विमीय विश्लेषण विमाओं की समांगता के सिद्धांत पर निर्भर करता है,जो हमें अज्ञात घातांकों को हल करने के लिए मूल राशियों $(M, L, T)$ की विमाओं की तुलना करने की अनुमति देता है।
यदि कोई भौतिक राशि $X$ तीन राशियों $a, b,$ और $c$ पर निर्भर करती है,जहाँ $a$ और $b$ की विमाएँ समान हैं,तो संबंध $X = k \cdot a^x \cdot b^y \cdot c^z$ के रूप में होगा।
चूँकि $a$ और $b$ की विमाएँ समान हैं,मान लीजिए $[M^p L^q T^r]$,तो समीकरण $X = k \cdot ([M^p L^q T^r])^x \cdot ([M^p L^q T^r])^y \cdot c^z = k \cdot ([M^p L^q T^r])^{x+y} \cdot c^z$ हो जाता है।
यहाँ,हम विमीय विश्लेषण द्वारा केवल $(x+y)$ और $z$ का मान ज्ञात कर सकते हैं,लेकिन $x$ और $y$ के अलग-अलग मान निर्धारित नहीं कर सकते।
इसलिए,इस विधि का उपयोग करके सटीक सूत्र व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
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View Solution207
MediumMCQ
एक व्यावहारिक इकाई प्रणाली में,यदि द्रव्यमान की इकाई दोगुनी और समय की इकाई आधी हो जाती है,तो $8 \text{ joule}$ कार्य की .............. इकाई के बराबर होगा।
A
$6$
B
$4$
C
$1$
D
$10$
Solution
(C) कार्य का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n_1[M_1L_1^2T_1^{-2}] = n_2[M_2L_2^2T_2^{-2}]$.
यहाँ $n_1 = 8$,$M_2 = 2M_1$,$L_2 = L_1$,और $T_2 = \frac{1}{2}T_1$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$n_2 = n_1 \left[\frac{M_1}{M_2}\right] \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^2 \left[\frac{T_1}{T_2}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \left[\frac{M_1}{2M_1}\right] \times \left[\frac{L_1}{L_1}\right]^2 \times \left[\frac{T_1}{0.5T_1}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 1$.
अतः,नई प्रणाली में $8 \text{ joule}$,$1$ कार्य की इकाई के बराबर है।
विमीय समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n_1[M_1L_1^2T_1^{-2}] = n_2[M_2L_2^2T_2^{-2}]$.
यहाँ $n_1 = 8$,$M_2 = 2M_1$,$L_2 = L_1$,और $T_2 = \frac{1}{2}T_1$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$n_2 = n_1 \left[\frac{M_1}{M_2}\right] \left[\frac{L_1}{L_2}\right]^2 \left[\frac{T_1}{T_2}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \left[\frac{M_1}{2M_1}\right] \times \left[\frac{L_1}{L_1}\right]^2 \times \left[\frac{T_1}{0.5T_1}\right]^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{-2}$
$n_2 = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 1$.
अतः,नई प्रणाली में $8 \text{ joule}$,$1$ कार्य की इकाई के बराबर है।
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View Solution208
MediumMCQ
इकाई की एक नई प्रणाली में,ऊर्जा $(E)$,घनत्व $(d)$ और शक्ति $(P)$ को मूल इकाइयों के रूप में लिया जाता है,तो सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र ....... होगा।
A
$[E^{-1} d^{-2} P^2]$
B
$[E^{-2} d^{-1} P^2]$
C
$[E^2 d^{-1} P^{-1}]$
D
$[E^{-1} d^{-2} P^{-2}]$
Solution
(B) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
माना $G = [E^a d^b P^c]$ है।
मूल इकाइयों की विमाएँ हैं:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$d = [M L^{-3}]$
$P = [M L^2 T^{-3}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-3}]^c$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^{a+b+c} L^{2a-3b+2c} T^{-2a-3c}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1) a + b + c = -1$
$2) 2a - 3b + 2c = 3$
$3) -2a - 3c = -2 \Rightarrow 2a + 3c = 2$
समीकरण $(3)$ से,$c = (2 - 2a)/3$ प्राप्त होता है। $c$ और $b = -1 - a - c$ के मान को $(2)$ में रखने पर:
इन समीकरणों को हल करने पर $a = -2, b = -1, c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$G = [E^{-2} d^{-1} P^2]$।
माना $G = [E^a d^b P^c]$ है।
मूल इकाइयों की विमाएँ हैं:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$d = [M L^{-3}]$
$P = [M L^2 T^{-3}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]^a [M L^{-3}]^b [M L^2 T^{-3}]^c$
$[M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^{a+b+c} L^{2a-3b+2c} T^{-2a-3c}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1) a + b + c = -1$
$2) 2a - 3b + 2c = 3$
$3) -2a - 3c = -2 \Rightarrow 2a + 3c = 2$
समीकरण $(3)$ से,$c = (2 - 2a)/3$ प्राप्त होता है। $c$ और $b = -1 - a - c$ के मान को $(2)$ में रखने पर:
इन समीकरणों को हल करने पर $a = -2, b = -1, c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$G = [E^{-2} d^{-1} P^2]$।
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MediumMCQ
समीकरण $y = x^2 \cos^2 \left( 2 \pi \frac{\beta \gamma}{\alpha} \right)$ में,$x, \alpha, \beta$ के मात्रक क्रमशः $m, s^{-1}$ और $(ms^{-1})^{-1}$ हैं। $y$ और $\gamma$ के मात्रक क्या हैं?
A
$m^2, ms^{-2}$
B
$m, ms^{-1}$
C
$m^2, m$
D
$m, ms^{-2}$
Solution
(A) त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,पद $\frac{\beta \gamma}{\alpha}$ विमाहीन होना चाहिए,अर्थात $[\beta][\gamma] = [\alpha]$।
दिए गए मात्रक: $[x] = L$,$[\alpha] = T^{-1}$,और $[\beta] = (LT^{-1})^{-1} = L^{-1}T$।
इन मानों को विमा समीकरण में रखने पर: $(L^{-1}T) \cdot [\gamma] = T^{-1}$।
$[\gamma]$ के लिए हल करने पर: $[\gamma] = T^{-1} \cdot L \cdot T^{-1} = LT^{-2}$।
अतः $\gamma$ का मात्रक $ms^{-2}$ है।
समीकरण $y = x^2$ से,$y$ का मात्रक $x$ के मात्रक का वर्ग है।
चूंकि $[x] = L$ (मीटर),इसलिए $[y] = L^2$ (मीटर$^2$)।
इस प्रकार,$y$ और $\gamma$ के मात्रक क्रमशः $m^2$ और $ms^{-2}$ हैं।
इसलिए,पद $\frac{\beta \gamma}{\alpha}$ विमाहीन होना चाहिए,अर्थात $[\beta][\gamma] = [\alpha]$।
दिए गए मात्रक: $[x] = L$,$[\alpha] = T^{-1}$,और $[\beta] = (LT^{-1})^{-1} = L^{-1}T$।
इन मानों को विमा समीकरण में रखने पर: $(L^{-1}T) \cdot [\gamma] = T^{-1}$।
$[\gamma]$ के लिए हल करने पर: $[\gamma] = T^{-1} \cdot L \cdot T^{-1} = LT^{-2}$।
अतः $\gamma$ का मात्रक $ms^{-2}$ है।
समीकरण $y = x^2$ से,$y$ का मात्रक $x$ के मात्रक का वर्ग है।
चूंकि $[x] = L$ (मीटर),इसलिए $[y] = L^2$ (मीटर$^2$)।
इस प्रकार,$y$ और $\gamma$ के मात्रक क्रमशः $m^2$ और $ms^{-2}$ हैं।
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MediumMCQ
$\eta$ श्यानता गुणांक वाले द्रव का आयतन $V$,जो $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाली नली से प्रति सेकंड बह रहा है,जिसके सिरों पर दाबांतर $P$ है,के लिए विमीय रूप से सुसंगत संबंध है:
A
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
B
$V = \frac{\pi \eta}{8 P r^4}$
C
$V = \frac{8 P \eta}{\pi r^4}$
D
$V = \frac{\pi P \eta}{8 r^4}$
Solution
(A) आयतन प्रवाह दर $V$ (पॉइज़ुइल का नियम) सूत्र $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दिया जाता है।
विमीय रूप से इसकी जाँच करने पर:
$V$ की विमा = $[L^3 T^{-1}]$.
$P$ की विमा = $[M L^{-1} T^{-2}]$.
$r$ की विमा = $[L]$.
$\eta$ की विमा = $[M L^{-1} T^{-1}]$.
$l$ की विमा = $[L]$.
इन मानों को दाईं ओर $(RHS)$ रखने पर: $\frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
चूँकि बाईं ओर $(LHS)$ और दाईं ओर $(RHS)$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए सही संबंध $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ है।
विमीय रूप से इसकी जाँच करने पर:
$V$ की विमा = $[L^3 T^{-1}]$.
$P$ की विमा = $[M L^{-1} T^{-2}]$.
$r$ की विमा = $[L]$.
$\eta$ की विमा = $[M L^{-1} T^{-1}]$.
$l$ की विमा = $[L]$.
इन मानों को दाईं ओर $(RHS)$ रखने पर: $\frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M T^{-1}]} = [L^3 T^{-1}]$.
चूँकि बाईं ओर $(LHS)$ और दाईं ओर $(RHS)$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए सही संबंध $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ है।
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DifficultMCQ
एक तरंग पल्स वायलिन के तार जैसे तने हुए तार पर यात्रा कर सकती है। प्रयोगों की एक श्रृंखला ने दिखाया कि पल्स का तरंग वेग $V$ निम्नलिखित राशियों पर निर्भर करता है: तार का तनाव $T$,तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और तार का घनत्व $\rho$ (प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान)। विमीय विश्लेषण का उपयोग करके $T$,$A$ और $\rho$ के पदों में $V$ के लिए व्यंजक प्राप्त करें।
A
$V = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
B
$V = k \sqrt{\frac{A \rho}{T}}$
C
$V = k \sqrt{\frac{T}{A \rho^2}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) मान लीजिए कि वेग का व्यंजक $V = k T^a A^b \rho^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ लिखने पर:
$[V] = [LT^{-1}]$,$[T] = [MLT^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[LT^{-1}] = [MLT^{-2}]^a [L^2]^b [ML^{-3}]^c = [M^{a+c} L^{a+2b-3c} T^{-2a}]$.
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + c = 0 \Rightarrow c = -a$.
$T$ के लिए: $-2a = -1 \Rightarrow a = 1/2$.
अतः,$c = -1/2$.
$L$ के लिए: $a + 2b - 3c = 1$.
$a = 1/2$ और $c = -1/2$ रखने पर: $1/2 + 2b - 3(-1/2) = 1 \Rightarrow 1/2 + 2b + 3/2 = 1 \Rightarrow 2 + 2b = 1 \Rightarrow 2b = -1 \Rightarrow b = -1/2$.
$a, b, c$ के मानों को व्यंजक में रखने पर: $V = k T^{1/2} A^{-1/2} \rho^{-1/2} = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
प्रत्येक राशि की विमाएँ लिखने पर:
$[V] = [LT^{-1}]$,$[T] = [MLT^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[\rho] = [ML^{-3}]$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[LT^{-1}] = [MLT^{-2}]^a [L^2]^b [ML^{-3}]^c = [M^{a+c} L^{a+2b-3c} T^{-2a}]$.
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + c = 0 \Rightarrow c = -a$.
$T$ के लिए: $-2a = -1 \Rightarrow a = 1/2$.
अतः,$c = -1/2$.
$L$ के लिए: $a + 2b - 3c = 1$.
$a = 1/2$ और $c = -1/2$ रखने पर: $1/2 + 2b - 3(-1/2) = 1 \Rightarrow 1/2 + 2b + 3/2 = 1 \Rightarrow 2 + 2b = 1 \Rightarrow 2b = -1 \Rightarrow b = -1/2$.
$a, b, c$ के मानों को व्यंजक में रखने पर: $V = k T^{1/2} A^{-1/2} \rho^{-1/2} = k \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
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MediumMCQ
यदि $\varepsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता (permittivity) है,$e$ प्रोटॉन का आवेश है,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है,तो $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ का विमीय सूत्र क्या है?
A
$[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$
B
$[M^0 L^0 T^0 A^0]$
C
$[M^1 L^3 T^{-3} A^{-1}]$
D
$[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
Solution
(B) $r$ दूरी पर स्थित दो प्रोटॉनों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m_p^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी $r$ पर स्थित दो प्रोटॉनों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों बलों का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{F_e}{F_g} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}{\frac{G m_p^2}{r^2}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$.
चूंकि दो बलों का अनुपात एक विमाहीन राशि है,इसलिए $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^0 A^0]$ है।
समान दूरी $r$ पर स्थित दो प्रोटॉनों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों बलों का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{F_e}{F_g} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}{\frac{G m_p^2}{r^2}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$.
चूंकि दो बलों का अनुपात एक विमाहीन राशि है,इसलिए $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 G m_p^2}$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^0 A^0]$ है।
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MediumMCQ
एक दोलन करते द्रव की बूंद की आवृत्ति $(v)$,बूंद की त्रिज्या $(r)$,द्रव के घनत्व $(\rho)$ और द्रव के पृष्ठ तनाव $(s)$ पर $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$ के रूप में निर्भर करती है। $a, b$ और $c$ के मान क्रमशः क्या हैं?
A
$(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B
$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C
$(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
D
$(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Solution
(A) आवृत्ति $(v)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ है।
त्रिज्या $(r)$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र $[ML^{-3}]$ है।
पृष्ठ तनाव $(s)$ का विमीय सूत्र $[MT^{-2}]$ है।
दिया गया संबंध: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ के लिए: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ के लिए: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
अतः,$a, b$ और $c$ के मान क्रमशः $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
त्रिज्या $(r)$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र $[ML^{-3}]$ है।
पृष्ठ तनाव $(s)$ का विमीय सूत्र $[MT^{-2}]$ है।
दिया गया संबंध: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ के लिए: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ के लिए: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
अतः,$a, b$ और $c$ के मान क्रमशः $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
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MediumMCQ
एक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $a$ त्रिज्या है। यदि समीकरण को $(0,0)$ के अलावा किसी अन्य बिंदु पर मूल बिंदु बदलने के लिए संशोधित किया जाता है,तो नए समीकरण $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ में $A$ और $B$ के सही आयाम ज्ञात कीजिए। $t$ के आयाम $[T^{-1}]$ के रूप में दिए गए हैं।
A
$A=[L^{-1}T], B=[LT^{-1}]$
B
$A=[LT], B=[L^{-1}T^{-1}]$
C
$A=[L^{-1}T^{-1}], B=[LT^{-1}]$
D
$A=[L^{-1}T^{-1}], B=[LT]$
Solution
(B) दिया गया समीकरण $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ है।
आयामों की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$x$ और $y$ से घटाए गए पदों के आयाम लंबाई $[L]$ के समान होने चाहिए।
पद $At$ के लिए:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
पद $\frac{t}{B}$ के लिए:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
अतः,$A$ और $B$ के आयाम $[LT]$ और $[L^{-1}T^{-1}]$ हैं।
आयामों की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$x$ और $y$ से घटाए गए पदों के आयाम लंबाई $[L]$ के समान होने चाहिए।
पद $At$ के लिए:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
पद $\frac{t}{B}$ के लिए:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
अतः,$A$ और $B$ के आयाम $[LT]$ और $[L^{-1}T^{-1}]$ हैं।
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DifficultMCQ
$(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ कुछ गैसों के अवस्था समीकरण को दर्शाता है। जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$T$ तापमान है और $a, b, R$ स्थिरांक हैं। वह भौतिक राशि,जिसका विमीय सूत्र $\frac{b^2}{a}$ के समान है,होगी
A
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk modulus)
B
दृढ़ता गुणांक (Modulus of rigidity)
C
संपीड्यता (Compressibility)
D
ऊर्जा घनत्व
Solution
(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि $b$ को $V$ से घटाया गया है,इसलिए $b$ की विमाएँ आयतन $V$ की विमाओं के बराबर हैं:
$[b] = [V] = [L^3]$
इसी प्रकार,$\frac{a}{V^2}$ को $P$ में जोड़ा गया है,इसलिए $\frac{a}{V^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर हैं:
$[\frac{a}{V^2}] = [P] \implies [a] = [P][V^2] = [ML^{-1}T^{-2}][L^6] = [ML^5T^{-2}]$
अब,हम $\frac{b^2}{a}$ की विमाएँ ज्ञात करते हैं:
$[\frac{b^2}{a}] = \frac{[L^3]^2}{[ML^5T^{-2}]} = \frac{[L^6]}{[ML^5T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
हम जानते हैं कि संपीड्यता (Compressibility) $K$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk modulus) $B$ का व्युत्क्रम है:
$[K] = \frac{1}{[B]} = \frac{1}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
अतः,$\frac{b^2}{a}$ का विमीय सूत्र संपीड्यता के विमीय सूत्र के समान है।
चूँकि $b$ को $V$ से घटाया गया है,इसलिए $b$ की विमाएँ आयतन $V$ की विमाओं के बराबर हैं:
$[b] = [V] = [L^3]$
इसी प्रकार,$\frac{a}{V^2}$ को $P$ में जोड़ा गया है,इसलिए $\frac{a}{V^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर हैं:
$[\frac{a}{V^2}] = [P] \implies [a] = [P][V^2] = [ML^{-1}T^{-2}][L^6] = [ML^5T^{-2}]$
अब,हम $\frac{b^2}{a}$ की विमाएँ ज्ञात करते हैं:
$[\frac{b^2}{a}] = \frac{[L^3]^2}{[ML^5T^{-2}]} = \frac{[L^6]}{[ML^5T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
हम जानते हैं कि संपीड्यता (Compressibility) $K$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk modulus) $B$ का व्युत्क्रम है:
$[K] = \frac{1}{[B]} = \frac{1}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
अतः,$\frac{b^2}{a}$ का विमीय सूत्र संपीड्यता के विमीय सूत्र के समान है।
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DifficultMCQ
यदि प्रकाश का वेग $c$,सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ और प्लांक नियतांक $h$ को मूल राशियाँ माना जाए,तो नई प्रणाली में द्रव्यमान की विमाएँ क्या होंगी?
A
$[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$
B
$[h^1 c^1 G^{-1}]$
C
$[h^{-1/2} c^{1/2} G^{1/2}]$
D
$[h^{1/2} c^{-1/2} G^{1/2}]$
Solution
(A) माना द्रव्यमान का विमीय सूत्र $M = h^x c^y G^z$ है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
अतः $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ और $z = -1/2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
इस प्रकार,द्रव्यमान की विमाएँ $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ हैं।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
अतः $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ और $z = -1/2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
इस प्रकार,द्रव्यमान की विमाएँ $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ हैं।
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MediumMCQ
यदि बल $(F)$,वेग $(V)$ और समय $(T)$ को मूलभूत भौतिक राशियाँ माना जाए,तो घनत्व का विमीय सूत्र क्या होगा?
A
$F V^{-2} T^2$
B
$F V^{-4} T^{-2}$
C
$F V^{-4} T^2$
D
$F^2 V^{-2} T^6$
Solution
(B) घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3}]$ है।
माना विमीय सूत्र $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$.
$L$ के लिए: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ के लिए: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
अतः,विमीय सूत्र $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ होगा।
माना विमीय सूत्र $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$.
$L$ के लिए: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ के लिए: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
अतः,विमीय सूत्र $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ होगा।
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MediumMCQ
समीकरण $[X+\frac{a}{Y^2}][Y-b]= RT$ में,$X$ दाब है,$Y$ आयतन है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है। अनुपात $\frac{a}{b}$ के समतुल्य भौतिक राशि है
A
ऊर्जा
B
आवेग
C
दाब प्रवणता
D
श्यानता गुणांक
Solution
(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
पद $[X + \frac{a}{Y^2}]$ में,$X$ दाब है,इसलिए $\frac{a}{Y^2}$ की विमाएँ भी दाब के समान होनी चाहिए।
$[X] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$[Y] = [L^3]$
$[\frac{a}{Y^2}] = [ML^{-1}T^{-2}] \implies [a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5T^{-2}]$
पद $[Y - b]$ में,$Y$ आयतन है,इसलिए $b$ की विमाएँ भी आयतन के समान होनी चाहिए।
$[b] = [L^3]$
अब,अनुपात $\frac{a}{b}$ की विमाएँ:
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[ML^5T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^2T^{-2}]$
ये विमाएँ ऊर्जा (या कार्य/आघूर्ण) की हैं।
पद $[X + \frac{a}{Y^2}]$ में,$X$ दाब है,इसलिए $\frac{a}{Y^2}$ की विमाएँ भी दाब के समान होनी चाहिए।
$[X] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$[Y] = [L^3]$
$[\frac{a}{Y^2}] = [ML^{-1}T^{-2}] \implies [a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5T^{-2}]$
पद $[Y - b]$ में,$Y$ आयतन है,इसलिए $b$ की विमाएँ भी आयतन के समान होनी चाहिए।
$[b] = [L^3]$
अब,अनुपात $\frac{a}{b}$ की विमाएँ:
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[ML^5T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^2T^{-2}]$
ये विमाएँ ऊर्जा (या कार्य/आघूर्ण) की हैं।
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MediumMCQ
पानी में उत्पन्न तरंग की गति $v = \lambda^a g^b \rho^c$ द्वारा दी जाती है। जहाँ $\lambda$,$g$ और $\rho$ क्रमशः तरंग की तरंगदैर्ध्य,गुरुत्वीय त्वरण और पानी का घनत्व हैं। $a$,$b$ और $c$ के मान क्रमशः हैं:
A
$\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0$
B
$1, 1, 0$
C
$1, -1, 0$
D
$\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$
Solution
(A) दिया गया समीकरण $v = \lambda^a g^b \rho^c$ है।
विमीय विश्लेषण विधि का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक राशि के विमीय सूत्र लिखते हैं:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[\lambda] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 0$
$T$ के लिए: $-2b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
$L$ के लिए: $a + b - 3c = 1$
$b = \frac{1}{2}$ और $c = 0$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$a + \frac{1}{2} - 3(0) = 1$
$a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
अतः,$a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{2}$ और $c = 0$ प्राप्त होता है।
विमीय विश्लेषण विधि का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक राशि के विमीय सूत्र लिखते हैं:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[\lambda] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 0$
$T$ के लिए: $-2b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
$L$ के लिए: $a + b - 3c = 1$
$b = \frac{1}{2}$ और $c = 0$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$a + \frac{1}{2} - 3(0) = 1$
$a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
अतः,$a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{2}$ और $c = 0$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक वास्तविक गैस के लिए अवस्था का समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $P, V$ और $T$ क्रमशः दाब,आयतन और तापमान हैं और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है। $\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ किसके समान हैं:
A
$PV$
B
$P$
C
$RT$
D
$R$
Solution
(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण में जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ पद में,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ पद में,$V$ की विमाएँ $b$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. अब,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ ज्ञात कीजिए:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
अतः,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के समान हैं।
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ पद में,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ पद में,$V$ की विमाएँ $b$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. अब,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ ज्ञात कीजिए:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
अतः,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के समान हैं।
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DifficultMCQ
यदि द्रव्यमान को $m=kc^{p} G^{-1 / 2} \,h^{1 / 2}$ के रूप में लिखा जाता है,तो $P$ का मान क्या होगा? (स्थिरांकों का अपना सामान्य अर्थ है और $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है)
A
$1 / 2$
B
$1 / 3$
C
$2$
D
$-1 / 3$
Solution
(A) द्रव्यमान के लिए दिया गया सूत्र: $m = k c^{P} G^{-1/2} h^{1/2}$ है।
प्रत्येक स्थिरांक के लिए हम विमीय सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$c$ (प्रकाश की गति) $= [L T^{-1}]$
$G$ (गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक) $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$h$ (प्लांक स्थिरांक) $= [M L^2 T^{-1}]$
इन विमाओं को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^{P} [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-1/2} [M L^2 T^{-1}]^{1/2}$
$[M^1 L^0 T^0] = [L^P T^{-P}] [M^{1/2} L^{-3/2} T^1] [M^{1/2} L^1 T^{-1/2}]$
दाहिनी ओर $M$,$L$,और $T$ की घातों को संयोजित करने पर:
$M: 1/2 + 1/2 = 1$
$L: P - 3/2 + 1 = P - 1/2$
$T: -P + 1 - 1/2 = -P + 1/2$
दोनों पक्षों में $L$ की घातों की तुलना करने पर:
$P - 1/2 = 0 \implies P = 1/2$.
अतः,$P$ का मान $1/2$ है।
प्रत्येक स्थिरांक के लिए हम विमीय सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$c$ (प्रकाश की गति) $= [L T^{-1}]$
$G$ (गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक) $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$h$ (प्लांक स्थिरांक) $= [M L^2 T^{-1}]$
इन विमाओं को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^{P} [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-1/2} [M L^2 T^{-1}]^{1/2}$
$[M^1 L^0 T^0] = [L^P T^{-P}] [M^{1/2} L^{-3/2} T^1] [M^{1/2} L^1 T^{-1/2}]$
दाहिनी ओर $M$,$L$,और $T$ की घातों को संयोजित करने पर:
$M: 1/2 + 1/2 = 1$
$L: P - 3/2 + 1 = P - 1/2$
$T: -P + 1 - 1/2 = -P + 1/2$
दोनों पक्षों में $L$ की घातों की तुलना करने पर:
$P - 1/2 = 0 \implies P = 1/2$.
अतः,$P$ का मान $1/2$ है।
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DifficultMCQ
एक बल $F = ax^2 + bt^{1/2}$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $x$ दूरी है और $t$ समय है। $b^2/a$ की विमाएँ क्या हैं?
A
$[ML^3 T^{-3}]$
B
$[MLT^{-2}]$
C
$[ML^{-1} T^{-1}]$
D
$[ML^2 T^{-3}]$
Solution
(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ बल $F$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
$1$. पद $ax^2$ के लिए:
$[ax^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [F] / [x^2] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$2$. पद $bt^{1/2}$ के लिए:
$[bt^{1/2}] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [F] / [t^{1/2}] = [MLT^{-2}] / [T^{1/2}] = [MLT^{-5/2}]$
$3$. $b^2/a$ की विमाओं की गणना:
$[b^2/a] = [b]^2 / [a] = ([MLT^{-5/2}])^2 / [ML^{-1}T^{-2}]$
$[b^2/a] = [M^2 L^2 T^{-5}] / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{2-1} L^{2-(-1)} T^{-5-(-2)}] = [ML^3 T^{-3}]$
$1$. पद $ax^2$ के लिए:
$[ax^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [F] / [x^2] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$2$. पद $bt^{1/2}$ के लिए:
$[bt^{1/2}] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [F] / [t^{1/2}] = [MLT^{-2}] / [T^{1/2}] = [MLT^{-5/2}]$
$3$. $b^2/a$ की विमाओं की गणना:
$[b^2/a] = [b]^2 / [a] = ([MLT^{-5/2}])^2 / [ML^{-1}T^{-2}]$
$[b^2/a] = [M^2 L^2 T^{-5}] / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{2-1} L^{2-(-1)} T^{-5-(-2)}] = [ML^3 T^{-3}]$
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DifficultMCQ
दो भौतिक राशियों $A$ और $B$ पर विचार करें जो एक-दूसरे से $E = \frac{B - x^2}{At}$ के रूप में संबंधित हैं,जहाँ $E, x$ और $t$ क्रमशः ऊर्जा,लंबाई और समय की विमाएँ हैं। $AB$ की विमा क्या है?
A
$L^{-2} M^1 T^0$
B
$L^2 M^{-1} T^1$
C
$L^{-2} M^{-1} T^1$
D
$L^0 M^{-1} T^1$
Solution
(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन राशियों को जोड़ा या घटाया जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूंकि $B$ में से $x^2$ घटाया गया है,इसलिए $B$ की विमा $x^2$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[B] = [x^2] = L^2$.
अब,समीकरण $E = \frac{B - x^2}{At}$ है। $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{B - x^2}{Et}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[A] = \frac{[L^2]}{[E][t]}$.
दिया गया है $[E] = M^1 L^2 T^{-2}$ और $[t] = T^1$,इसलिए $[A] = \frac{L^2}{(M^1 L^2 T^{-2})(T^1)} = \frac{L^2}{M^1 L^2 T^{-1}} = M^{-1} T^1$.
अंत में,$AB$ की विमा $[A][B] = (M^{-1} T^1)(L^2) = L^2 M^{-1} T^1$ है।
चूंकि $B$ में से $x^2$ घटाया गया है,इसलिए $B$ की विमा $x^2$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[B] = [x^2] = L^2$.
अब,समीकरण $E = \frac{B - x^2}{At}$ है। $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{B - x^2}{Et}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[A] = \frac{[L^2]}{[E][t]}$.
दिया गया है $[E] = M^1 L^2 T^{-2}$ और $[t] = T^1$,इसलिए $[A] = \frac{L^2}{(M^1 L^2 T^{-2})(T^1)} = \frac{L^2}{M^1 L^2 T^{-1}} = M^{-1} T^1$.
अंत में,$AB$ की विमा $[A][B] = (M^{-1} T^1)(L^2) = L^2 M^{-1} T^1$ है।
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DifficultMCQ
एक स्थिर तरंग का समीकरण $y = 2a \sin \left( \frac{2 \pi nt}{\lambda} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?
A
$nt$ की विमा $[L]$ है।
B
$n$ की विमा $[LT^{-1}]$ है।
C
$n/\lambda$ की विमा $[T^{-1}]$ है।
D
$x$ की विमा $[L]$ है।
Solution
(C) साइन फलन के तर्क में,$\frac{2 \pi nt}{\lambda}$ विमाहीन होना चाहिए। चूंकि $2\pi$ विमाहीन है,इसलिए $\frac{nt}{\lambda}$ की विमा $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $[nt] = [\lambda] = [L]$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
दिया गया है कि $[nt] = [L]$ और $[t] = [T]$,इसलिए $[n] = [L/T] = [LT^{-1}]$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
कोसाइन फलन के लिए,$\frac{2 \pi x}{\lambda}$ विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[x] = [\lambda] = [L]$। अतः,विकल्प $D$ सही है।
अब,$n/\lambda$ की विमा पर विचार करें। चूंकि $[n] = [LT^{-1}]$ और $[\lambda] = [L]$,इसलिए $[n/\lambda] = [LT^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ होता है।
विकल्प $C$ में विमा $[T]$ दी गई है,जो गलत है। इसलिए,विकल्प $C$ सही उत्तर है।
इसका अर्थ है कि $[nt] = [\lambda] = [L]$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
दिया गया है कि $[nt] = [L]$ और $[t] = [T]$,इसलिए $[n] = [L/T] = [LT^{-1}]$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
कोसाइन फलन के लिए,$\frac{2 \pi x}{\lambda}$ विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $[x] = [\lambda] = [L]$। अतः,विकल्प $D$ सही है।
अब,$n/\lambda$ की विमा पर विचार करें। चूंकि $[n] = [LT^{-1}]$ और $[\lambda] = [L]$,इसलिए $[n/\lambda] = [LT^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ होता है।
विकल्प $C$ में विमा $[T]$ दी गई है,जो गलत है। इसलिए,विकल्प $C$ सही उत्तर है।
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DifficultMCQ
विमाओं की समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निर्धारित करें कि कौन सा सही है। जहाँ $T$ आवर्तकाल है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ द्रव्यमान है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
A
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r}{GM^2}$
B
$T^2 = 4 \pi^2 r^3$
C
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
D
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{GM}$
Solution
(C) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$LHS$ की विमाएँ $RHS$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ की विमा = $[T^2]$
$RHS$ की विमा = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
चूँकि $LHS$ और $RHS$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
विकल्प $C$ के लिए: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ की विमा = $[T^2]$
$RHS$ की विमा = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
चूँकि $LHS$ और $RHS$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
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DifficultMCQ
समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ में $ab^{-1}$ का विमीय सूत्र क्या है,जहाँ अक्षरों का अपना सामान्य अर्थ है?
A
$[M L^5 T^{-2}]$
B
$[M L^2 T^{-2}]$
C
$[M^{-1} L^5 T^3]$
D
$[M^6 L^7 T^4]$
Solution
(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
पद $(V-b)$ में,चूँकि $V$ आयतन है,इसलिए $b$ की विमा $V$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[b] = [L^3]$.
पद $(P + \frac{a}{V^2})$ में,$\frac{a}{V^2}$ की विमा दाब $P$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
इसलिए,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
अब,हमें $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ का विमीय सूत्र ज्ञात करना है।
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.
पद $(V-b)$ में,चूँकि $V$ आयतन है,इसलिए $b$ की विमा $V$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[b] = [L^3]$.
पद $(P + \frac{a}{V^2})$ में,$\frac{a}{V^2}$ की विमा दाब $P$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
इसलिए,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
अब,हमें $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ का विमीय सूत्र ज्ञात करना है।
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.
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MediumMCQ
$F = \alpha t^2 + \beta t$ द्वारा परिभाषित एक बल किसी कण पर दिए गए समय $t$ पर कार्य करता है। यदि $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक हैं,तो वह कारक जो विमाहीन है,वह है:
A
$\alpha t / \beta$
B
$\alpha \beta t$
C
$\alpha \beta / t$
D
$\beta t / \alpha$
Solution
(A) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$[F] = [\alpha t^2] = [\beta t]$।
$[\alpha t^2] = [\beta t]$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[t]}{[t^2]} = \frac{1}{[t]}$।
दोनों पक्षों को $[t]$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{[\alpha][t]}{[\beta]} = 1$।
यह दर्शाता है कि राशि $\frac{\alpha t}{\beta}$ विमाहीन है।
इसलिए,$[F] = [\alpha t^2] = [\beta t]$।
$[\alpha t^2] = [\beta t]$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{[\alpha]}{[\beta]} = \frac{[t]}{[t^2]} = \frac{1}{[t]}$।
दोनों पक्षों को $[t]$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{[\alpha][t]}{[\beta]} = 1$।
यह दर्शाता है कि राशि $\frac{\alpha t}{\beta}$ विमाहीन है।
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AdvancedMCQ
एक लंबाई-पैमाना $(l)$ एक परावैद्युत पदार्थ की विद्युतशीलता $(\varepsilon)$,बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $(k_B)$,निरपेक्ष तापमान $(T)$,कुछ आवेशित कणों के प्रति इकाई आयतन संख्या $(n)$,और प्रत्येक कण पर आवेश $(q)$ पर निर्भर करता है। $l$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा/से व्यंजक विमीय रूप से सही है/हैं?
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
A
$A, B$
B
$B, C$
C
$C, A$
D
$B, D$
Solution
(D) विमीय रूप से सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए,हम दी गई भौतिक राशियों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
सबसे पहले,पद $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ पर विचार करें:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(B)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(A)$ और $(C)$ के परिणामी विमाएँ क्रमशः $[L^{-2}]$ और $[L^{3/2}]$ हैं,जो लंबाई के लिए गलत हैं। अतः,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
सबसे पहले,पद $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ पर विचार करें:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(B)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(A)$ और $(C)$ के परिणामी विमाएँ क्रमशः $[L^{-2}]$ और $[L^{3/2}]$ हैं,जो लंबाई के लिए गलत हैं। अतः,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
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EasyMCQ
यंग के प्रत्यास्थता गुणांक $Y$ को तीन व्युत्पन्न राशियों,अर्थात् गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$,प्लांक नियतांक $h$,और प्रकाश की गति $c$ के पदों में $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?
A
$\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$
B
$\alpha = -7, \beta = -1, \gamma = -2$
C
$\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = 2$
D
$\alpha = -7, \beta = 1, \gamma = -2$
Solution
(A) यंग के प्रत्यास्थता गुणांक $Y$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
दिए गए नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
प्लांक नियतांक $h = [M L^2 T^{-1}]$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
संबंध $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ को देखते हुए,हम विमाओं की तुलना करते हैं:
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [L T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-1}]^\beta [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\gamma$
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [M^{\beta - \gamma} L^{\alpha + 2\beta + 3\gamma} T^{-\alpha - \beta - 2\gamma}]$
$M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $\beta - \gamma = 1$
$2$) $\alpha + 2\beta + 3\gamma = -1$
$3$) $-\alpha - \beta - 2\gamma = -2$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(\alpha + 2\beta + 3\gamma) + (-\alpha - \beta - 2\gamma) = -1 + (-2)$
$\beta + \gamma = -3$
अब,$\beta - \gamma = 1$ और $\beta + \gamma = -3$ को हल करने पर:
जोड़ने पर $2\beta = -2 \Rightarrow \beta = -1$ प्राप्त होता है।
$\beta = -1$ को $\beta - \gamma = 1$ में रखने पर $-1 - \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = -2$ प्राप्त होता है।
$\beta = -1$ और $\gamma = -2$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\alpha + 2(-1) + 3(-2) = -1$
$\alpha - 2 - 6 = -1$
$\alpha - 8 = -1 \Rightarrow \alpha = 7$.
अतः,सही मान $\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$ हैं।
दिए गए नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
प्लांक नियतांक $h = [M L^2 T^{-1}]$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
संबंध $Y = c^\alpha h^\beta G^\gamma$ को देखते हुए,हम विमाओं की तुलना करते हैं:
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [L T^{-1}]^\alpha [M L^2 T^{-1}]^\beta [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\gamma$
$[M^1 L^{-1} T^{-2}] = [M^{\beta - \gamma} L^{\alpha + 2\beta + 3\gamma} T^{-\alpha - \beta - 2\gamma}]$
$M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $\beta - \gamma = 1$
$2$) $\alpha + 2\beta + 3\gamma = -1$
$3$) $-\alpha - \beta - 2\gamma = -2$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(\alpha + 2\beta + 3\gamma) + (-\alpha - \beta - 2\gamma) = -1 + (-2)$
$\beta + \gamma = -3$
अब,$\beta - \gamma = 1$ और $\beta + \gamma = -3$ को हल करने पर:
जोड़ने पर $2\beta = -2 \Rightarrow \beta = -1$ प्राप्त होता है।
$\beta = -1$ को $\beta - \gamma = 1$ में रखने पर $-1 - \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = -2$ प्राप्त होता है।
$\beta = -1$ और $\gamma = -2$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\alpha + 2(-1) + 3(-2) = -1$
$\alpha - 2 - 6 = -1$
$\alpha - 8 = -1 \Rightarrow \alpha = 7$.
अतः,सही मान $\alpha = 7, \beta = -1, \gamma = -2$ हैं।
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AdvancedMCQ
समान संख्या में इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों के घने संग्रह को उदासीन प्लाज्मा कहा जाता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों से घिरे निश्चित धनात्मक आयनों वाले कुछ ठोस पदार्थों को उदासीन प्लाज्मा के रूप में माना जा सकता है। मान लीजिए $N$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। जब इलेक्ट्रॉनों पर एक विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो वे भारी धनात्मक आयनों से अपेक्षाकृत दूर विस्थापित हो जाते हैं। यदि विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन धनात्मक आयनों के चारों ओर एक प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_p$ के साथ दोलन करना शुरू कर देते हैं, जिसे प्लाज्मा आवृत्ति कहा जाता है। दोलनों को बनाए रखने के लिए, एक समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र को लागू करने की आवश्यकता होती है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega$ हो, जहाँ ऊर्जा का एक हिस्सा अवशोषित हो जाता है और एक हिस्सा परावर्तित हो जाता है। जैसे ही $\omega$, $\omega_p$ के करीब पहुंचता है, सभी मुक्त इलेक्ट्रॉन एक साथ अनुनाद में आ जाते हैं और सारी ऊर्जा परावर्तित हो जाती है। यह धातुओं की उच्च परावर्तकता की व्याख्या है।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
A
$(B, D)$
B
$(C, B)$
C
$(A, C)$
D
$(B, A)$
Solution
(B) $1.$ कोणीय आवृत्ति का आयाम $[\omega] = T^{-1}$ है।
पारगम्यता का आयाम $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ है। चूंकि $I = Q/T$, हम $[e] = Q = AT$ का उपयोग करते हैं।
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$।
इस प्रकार, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ में $T^{-1}$ के आयाम हैं, जो $\omega$ है।
$2.$ अनुनाद पर, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$।
दिया गया है $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$।
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$।
पारगम्यता का आयाम $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ है। चूंकि $I = Q/T$, हम $[e] = Q = AT$ का उपयोग करते हैं।
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$।
इस प्रकार, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ में $T^{-1}$ के आयाम हैं, जो $\omega$ है।
$2.$ अनुनाद पर, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$।
दिया गया है $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$।
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$।
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AdvancedMCQ
विद्युतचुंबकीय सिद्धांत में, विद्युत और चुंबकीय घटनाएं एक-दूसरे से संबंधित हैं। इसलिए, विद्युत और चुंबकीय राशियों के आयाम भी एक-दूसरे से संबंधित होने चाहिए। नीचे दिए गए प्रश्नों में, $[E]$ और $[B]$ क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयामों को दर्शाते हैं, जबकि $[\varepsilon_0]$ और $[\mu_0]$ क्रमशः मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) और पारगम्यता (permeability) के आयामों को दर्शाते हैं। $[L]$ और $[T]$ क्रमशः लंबाई और समय के आयाम हैं। सभी राशियाँ $SI$ इकाइयों में दी गई हैं।
$(1)$ $[E]$ और $[B]$ के बीच का संबंध है:
$(A)$ $[E] = [B][L][T]$
$(B)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]$
$(C)$ $[E] = [B][L][T]^{-1}$
$(D)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]^{-1}$
$(2)$ $[\varepsilon_0]$ और $[\mu_0]$ के बीच का संबंध है:
$(A)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^2[T]^{-2}$
$(B)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^{-2}[T]^2$
$(C)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^2[T]^{-2}$
$(D)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें।
$(1)$ $[E]$ और $[B]$ के बीच का संबंध है:
$(A)$ $[E] = [B][L][T]$
$(B)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]$
$(C)$ $[E] = [B][L][T]^{-1}$
$(D)$ $[E] = [B][L]^{-1}[T]^{-1}$
$(2)$ $[\varepsilon_0]$ और $[\mu_0]$ के बीच का संबंध है:
$(A)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^2[T]^{-2}$
$(B)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0][L]^{-2}[T]^2$
$(C)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^2[T]^{-2}$
$(D)$ $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें।
A
$C, D$
B
$C, A$
C
$C, B$
D
$B, C, D$
Solution
$(C, D)$ $(1)$ वेग $v$ से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $F = qE + q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है। आयामों की संगति के लिए, विद्युत बल $qE$ का परिमाण चुंबकीय बल $qvB$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
अतः, $qE = qvB$, जिसका अर्थ है $E = vB$।
चूंकि वेग $v$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए हमारे पास $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ है। यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$(2)$ मुक्त स्थान में प्रकाश की गति $c$, विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ और पारगम्यता $\mu_0$ के साथ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा जुड़ी हुई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है, या $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$।
चूंकि $c$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए $c^2$ का आयाम $[L]^2[T]^{-2}$ है।
अतः, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
अतः, $qE = qvB$, जिसका अर्थ है $E = vB$।
चूंकि वेग $v$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए हमारे पास $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ है। यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$(2)$ मुक्त स्थान में प्रकाश की गति $c$, विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ और पारगम्यता $\mu_0$ के साथ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा जुड़ी हुई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है, या $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$।
चूंकि $c$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए $c^2$ का आयाम $[L]^2[T]^{-2}$ है।
अतः, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
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EasyMCQ
मान लीजिए कि हम इकाइयों की एक ऐसी प्रणाली पर विचार करते हैं जिसमें द्रव्यमान और कोणीय संवेग विमाहीन हैं। यदि लंबाई की विमा $L$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(1)$ बल की विमा $L^{-3}$ है।
$(2)$ ऊर्जा की विमा $L^{-2}$ है।
$(3)$ शक्ति की विमा $L^{-5}$ है।
$(4)$ रैखिक संवेग की विमा $L^{-1}$ है।
$(1)$ बल की विमा $L^{-3}$ है।
$(2)$ ऊर्जा की विमा $L^{-2}$ है।
$(3)$ शक्ति की विमा $L^{-5}$ है।
$(4)$ रैखिक संवेग की विमा $L^{-1}$ है।
A
$1, 2, 4$
B
$1, 2, 3$
C
$1, 2$
D
$1, 3$
Solution
(A) दिया गया है कि द्रव्यमान $(M)$ और कोणीय संवेग $(L_{ang} = Mvr)$ विमाहीन हैं,इसलिए:
$M = M^0 L^0 T^0$
$L_{ang} = M^1 L^2 T^{-1} = M^0 L^0 T^0$
चूंकि $M$ विमाहीन है,$L^2 T^{-1} = 1$,जिसका अर्थ है $T = L^2$.
$(1)$ बल $(F = M L T^{-2})$: चूंकि $M$ विमाहीन है और $T = L^2$,$F = L^1 (L^2)^{-2} = L^1 L^{-4} = L^{-3}$. (सही)
$(2)$ ऊर्जा $(E = M L^2 T^{-2})$: $E = L^2 (L^2)^{-2} = L^2 L^{-4} = L^{-2}$. (सही)
$(3)$ शक्ति $(P = E/T = M L^2 T^{-3})$: $P = L^2 (L^2)^{-3} = L^2 L^{-6} = L^{-4}$. (गलत)
$(4)$ रैखिक संवेग $(p = M L T^{-1})$: $p = L^1 (L^2)^{-1} = L^1 L^{-2} = L^{-1}$. (सही)
अतः,कथन $(1), (2),$ और $(4)$ सही हैं।
$M = M^0 L^0 T^0$
$L_{ang} = M^1 L^2 T^{-1} = M^0 L^0 T^0$
चूंकि $M$ विमाहीन है,$L^2 T^{-1} = 1$,जिसका अर्थ है $T = L^2$.
$(1)$ बल $(F = M L T^{-2})$: चूंकि $M$ विमाहीन है और $T = L^2$,$F = L^1 (L^2)^{-2} = L^1 L^{-4} = L^{-3}$. (सही)
$(2)$ ऊर्जा $(E = M L^2 T^{-2})$: $E = L^2 (L^2)^{-2} = L^2 L^{-4} = L^{-2}$. (सही)
$(3)$ शक्ति $(P = E/T = M L^2 T^{-3})$: $P = L^2 (L^2)^{-3} = L^2 L^{-6} = L^{-4}$. (गलत)
$(4)$ रैखिक संवेग $(p = M L T^{-1})$: $p = L^1 (L^2)^{-1} = L^1 L^{-2} = L^{-1}$. (सही)
अतः,कथन $(1), (2),$ और $(4)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
कभी-कभी इकाइयों की एक ऐसी प्रणाली बनाना सुविधाजनक होता है कि सभी राशियों को केवल एक भौतिक राशि के संदर्भ में व्यक्त किया जा सके। ऐसी ही एक प्रणाली में, विभिन्न राशियों के आयामों को एक राशि $X$ के संदर्भ में इस प्रकार दिया गया है: $[\text{स्थिति}] = [X^\alpha]$; $[\text{गति}] = [X^\beta]$; $[\text{त्वरण}] = [X^p]$; $[\text{रैखिक संवेग}] = [X^q]$; $[\text{बल}] = [X^r]$। तो -
$(A)$ $\alpha + p = 2\beta$
$(B)$ $p + q - r = \beta$
$(C)$ $p - q + r = \alpha$
$(D)$ $p + q + r = \beta$
$(A)$ $\alpha + p = 2\beta$
$(B)$ $p + q - r = \beta$
$(C)$ $p - q + r = \alpha$
$(D)$ $p + q + r = \beta$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$B, C$
Solution
(A) मान लीजिए कि मूल राशि $X$ के आयाम $[X] = [M^a L^b T^c]$ हैं।
दिया गया है:
$[L] = [X^\alpha] = [M^{a\alpha} L^{b\alpha} T^{c\alpha}] \implies a\alpha = 0, b\alpha = 1, c\alpha = 0 \implies a=0, c=0, b=1/\alpha$.
$[LT^{-1}] = [X^\beta] = [M^{a\beta} L^{b\beta} T^{c\beta}] \implies b\beta = 1, c\beta = -1 \implies \beta = 1/\alpha$.
$[LT^{-2}] = [X^p]$ से, हमारे पास $b p = 1$ और $c p = -2$ है। चूंकि $b = 1/\alpha$, इसलिए $p = \alpha$। साथ ही $c = -2/p = -2/\alpha$।
$[MLT^{-1}] = [X^q]$ से, हमारे पास $a q = 1, b q = 1, c q = -1$ है।
$[MLT^{-2}] = [X^r]$ से, हमारे पास $a r = 1, b r = 1, c r = -2$ है।
इन संबंधों का उपयोग करते हुए:
$1$) $\alpha + p = 2\beta$ सही है क्योंकि $[L] [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}] = [LT^{-1}]^2$।
$2$) $p + q - r = \beta$ सही है क्योंकि $[LT^{-2}] [MLT^{-1}] / [MLT^{-2}] = [LT^{-1}]$।
अतः, विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।
दिया गया है:
$[L] = [X^\alpha] = [M^{a\alpha} L^{b\alpha} T^{c\alpha}] \implies a\alpha = 0, b\alpha = 1, c\alpha = 0 \implies a=0, c=0, b=1/\alpha$.
$[LT^{-1}] = [X^\beta] = [M^{a\beta} L^{b\beta} T^{c\beta}] \implies b\beta = 1, c\beta = -1 \implies \beta = 1/\alpha$.
$[LT^{-2}] = [X^p]$ से, हमारे पास $b p = 1$ और $c p = -2$ है। चूंकि $b = 1/\alpha$, इसलिए $p = \alpha$। साथ ही $c = -2/p = -2/\alpha$।
$[MLT^{-1}] = [X^q]$ से, हमारे पास $a q = 1, b q = 1, c q = -1$ है।
$[MLT^{-2}] = [X^r]$ से, हमारे पास $a r = 1, b r = 1, c r = -2$ है।
इन संबंधों का उपयोग करते हुए:
$1$) $\alpha + p = 2\beta$ सही है क्योंकि $[L] [LT^{-2}] = [L^2 T^{-2}] = [LT^{-1}]^2$।
$2$) $p + q - r = \beta$ सही है क्योंकि $[LT^{-2}] [MLT^{-1}] / [MLT^{-2}] = [LT^{-1}]$।
अतः, विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
कोहरे की स्थिति में सिग्नल को कितनी दूरी $d$ तक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है,यह पता लगाने के लिए एक रेलवे इंजीनियर आयामी विश्लेषण का उपयोग करता है और मानता है कि दूरी कोहरे के द्रव्यमान घनत्व $\rho$,सिग्नल से प्रकाश की तीव्रता (शक्ति/क्षेत्रफल) $S$ और इसकी आवृत्ति $f$ पर निर्भर करती है। इंजीनियर पाता है कि $d$,$S^{1/n}$ के समानुपाती है। $n$ का मान है:
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(A) माना कि दूरी $d = k \rho^a S^b f^c$ द्वारा दी गई है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[d] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[S] = [\text{Power/Area}] = [M L^2 T^{-3} / L^2] = [M T^{-3}]$
$[f] = [T^{-1}]$
इन विमाओं को समीकरण में रखने पर:
$[L]^1 = [M L^{-3}]^a [M T^{-3}]^b [T^{-1}]^c$
$[L]^1 = M^{a+b} L^{-3a} T^{-3b-c}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$L$ के लिए: $-3a = 1 \Rightarrow a = -1/3$
अतः,$b = 1/3$
$T$ के लिए: $-3b - c = 0 \Rightarrow c = -3b = -3(1/3) = -1$
चूंकि $d \propto S^b$ और $b = 1/3$,इसलिए $d \propto S^{1/3}$ है।
इसकी तुलना $d \propto S^{1/n}$ से करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[d] = [L]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
$[S] = [\text{Power/Area}] = [M L^2 T^{-3} / L^2] = [M T^{-3}]$
$[f] = [T^{-1}]$
इन विमाओं को समीकरण में रखने पर:
$[L]^1 = [M L^{-3}]^a [M T^{-3}]^b [T^{-1}]^c$
$[L]^1 = M^{a+b} L^{-3a} T^{-3b-c}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$
$L$ के लिए: $-3a = 1 \Rightarrow a = -1/3$
अतः,$b = 1/3$
$T$ के लिए: $-3b - c = 0 \Rightarrow c = -3b = -3(1/3) = -1$
चूंकि $d \propto S^b$ और $b = 1/3$,इसलिए $d \propto S^{1/3}$ है।
इसकी तुलना $d \propto S^{1/n}$ से करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
प्लांक नियतांक $h$,प्रकाश की गति $c$,और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का उपयोग लंबाई की एक इकाई $L$ और द्रव्यमान की एक इकाई $M$ बनाने के लिए किया जाता है। तो सही विकल्प है/हैं:
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G^d$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
घातों की तुलना करने पर:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
अतः $a = 1/2$ और $b = 1/2$.
इस प्रकार,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
इसी प्रकार लंबाई $L = k h^x c^y G^z$ के लिए:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
अतः $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
इन संबंधों से:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
अतः,विकल्प $(A), (C), (D)$ सही हैं।
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G^d$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
घातों की तुलना करने पर:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
अतः $a = 1/2$ और $b = 1/2$.
इस प्रकार,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
इसी प्रकार लंबाई $L = k h^x c^y G^z$ के लिए:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
अतः $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
इन संबंधों से:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
अतः,विकल्प $(A), (C), (D)$ सही हैं।
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MediumMCQ
विभवांतर $V$,विद्युत धारा $I$,परमिटिविटी $\varepsilon_0$,पारगम्यता $\mu_0$ और प्रकाश की गति $c$ के संदर्भ में,विमीय रूप से सही समीकरण है:
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र में $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
चूंकि $u_E = u_B$,हमारे पास $\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$।
विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$।
$(A)$ के लिए: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$। $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$। अतः,$(A)$ विमीय रूप से सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = A$। $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
चूंकि $u_E = u_B$,हमारे पास $\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$।
विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$।
$(A)$ के लिए: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$। $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$। अतः,$(A)$ विमीय रूप से सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = A$। $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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DifficultMCQ
इकाइयों की एक विशेष प्रणाली में,एक भौतिक राशि को विद्युत आवेश $e$,इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान $m_e$,प्लांक नियतांक $h$,और कूलम्ब नियतांक $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ के पदों में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है। इन भौतिक नियतांकों के संदर्भ में,चुंबकीय क्षेत्र की विमा $[B] = [e]^\alpha [m_e]^\beta [h]^\gamma [k]^\delta$ है। $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ का मान . . . . . है।
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ का विमीय सूत्र $[M^1 T^{-2} A^{-1}]$ है।
नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[e] = [A^1 T^1]$
$[m_e] = [M^1]$
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[k] = [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]$
विमाओं की तुलना करने पर:
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = [A^1 T^1]^\alpha [M^1]^\beta [M^1 L^2 T^{-1}]^\gamma [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]^\delta$
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = M^{\beta + \gamma + \delta} L^{2\gamma + 3\delta} T^{\alpha - \gamma - 4\delta} A^{\alpha - 2\delta}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T, A$ के घातों की तुलना करने पर:
$1) \beta + \gamma + \delta = 1$
$2) 2\gamma + 3\delta = 0$
$3) \alpha - \gamma - 4\delta = -2$
$4) \alpha - 2\delta = -1$
$(4)$ से,$\alpha = 2\delta - 1$. इसे $(3)$ में रखने पर:
$(2\delta - 1) - \gamma - 4\delta = -2 \implies -\gamma - 2\delta = -1 \implies \gamma + 2\delta = 1$.
$(2)$ $(2\gamma + 3\delta = 0)$ के साथ हल करने पर:
$2(1 - 2\delta) + 3\delta = 0 \implies 2 - 4\delta + 3\delta = 0 \implies \delta = 2$.
अतः $\gamma = 1 - 2(2) = -3$.
अतः $\alpha = 2(2) - 1 = 3$.
अतः $\beta = 1 - (-3) - 2 = 2$.
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 3 + 2 - 3 + 2 = 4$.
नियतांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[e] = [A^1 T^1]$
$[m_e] = [M^1]$
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[k] = [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]$
विमाओं की तुलना करने पर:
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = [A^1 T^1]^\alpha [M^1]^\beta [M^1 L^2 T^{-1}]^\gamma [M^1 L^3 T^{-4} A^{-2}]^\delta$
$[M^1 T^{-2} A^{-1}] = M^{\beta + \gamma + \delta} L^{2\gamma + 3\delta} T^{\alpha - \gamma - 4\delta} A^{\alpha - 2\delta}$
दोनों पक्षों पर $M, L, T, A$ के घातों की तुलना करने पर:
$1) \beta + \gamma + \delta = 1$
$2) 2\gamma + 3\delta = 0$
$3) \alpha - \gamma - 4\delta = -2$
$4) \alpha - 2\delta = -1$
$(4)$ से,$\alpha = 2\delta - 1$. इसे $(3)$ में रखने पर:
$(2\delta - 1) - \gamma - 4\delta = -2 \implies -\gamma - 2\delta = -1 \implies \gamma + 2\delta = 1$.
$(2)$ $(2\gamma + 3\delta = 0)$ के साथ हल करने पर:
$2(1 - 2\delta) + 3\delta = 0 \implies 2 - 4\delta + 3\delta = 0 \implies \delta = 2$.
अतः $\gamma = 1 - 2(2) = -3$.
अतः $\alpha = 2(2) - 1 = 3$.
अतः $\beta = 1 - (-3) - 2 = 2$.
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 3 + 2 - 3 + 2 = 4$.
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AdvancedMCQ
एक विमाहीन राशि को इलेक्ट्रॉनिक आवेश $e$,मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$,प्लांक नियतांक $h$,और प्रकाश की गति $c$ के पदों में निर्मित किया गया है। यदि विमाहीन राशि को $e^\alpha \varepsilon_0^\beta h^\gamma c^\delta$ के रूप में लिखा जाता है और $n$ एक शून्येतर पूर्णांक है,तो $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ का मान क्या होगा?
A
$(2n, -n, -n, -n)$
B
$(n, -n, -2n, -n)$
C
$(n, -n, -n, -2n)$
D
$(2n, -n, -2n, -2n)$
Solution
(A) राशि के विमाहीन होने के लिए,$e^\alpha \varepsilon_0^\beta h^\gamma c^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[e] = AT$
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
$[c] = L T^{-1}$
$(AT)^\alpha (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)^\beta (M L^2 T^{-1})^\gamma (L T^{-1})^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$
$M, L, T, A$ की घातों की तुलना करने पर:
$M: -\beta + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \beta$
$A: \alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$
$L: -3\beta + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow -3\beta + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \delta = \beta$
$T: \alpha + 4\beta - \gamma - \delta = 0 \Rightarrow -2\beta + 4\beta - \beta - \beta = 0$ (संगत)
मान लीजिए $\beta = -n$,तो $\alpha = 2n, \gamma = -n, \delta = -n$.
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (2n, -n, -n, -n)$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[e] = AT$
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
$[c] = L T^{-1}$
$(AT)^\alpha (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)^\beta (M L^2 T^{-1})^\gamma (L T^{-1})^\delta = M^0 L^0 T^0 A^0$
$M, L, T, A$ की घातों की तुलना करने पर:
$M: -\beta + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \beta$
$A: \alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$
$L: -3\beta + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow -3\beta + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \delta = \beta$
$T: \alpha + 4\beta - \gamma - \delta = 0 \Rightarrow -2\beta + 4\beta - \beta - \beta = 0$ (संगत)
मान लीजिए $\beta = -n$,तो $\alpha = 2n, \gamma = -n, \delta = -n$.
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (2n, -n, -n, -n)$.
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MediumMCQ
$x-$अक्ष पर गति कर रहे एक कण की स्थिति $x(t) = A \sin t + B \cos^2 t + Ct^2 + D$ द्वारा दी गई है,जहाँ $t$ समय है। $\frac{ABC}{D}$ की विमा $-$ है।
A
$L$
B
$L^3 T^{-2}$
C
$L^2 T^{-2}$
D
$L^2$
Solution
(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। चूँकि $x(t)$ स्थिति को दर्शाता है,इसकी विमा $[L]$ है।
$1$. $A \sin t$ पद के लिए: त्रिकोणमितीय फलन का कोण विमाहीन होता है। अतः,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ पद के लिए: इसी प्रकार,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ पद के लिए: चूँकि $[Ct^2] = [x] = [L]$,इसलिए $[C] [T^2] = [L]$,जिसका अर्थ है $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ पद के लिए: चूँकि $D$ को $x(t)$ में जोड़ा गया है,$[D] = [x] = [L]$.
अब,$\frac{ABC}{D}$ की विमा की गणना करते हैं:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.
$1$. $A \sin t$ पद के लिए: त्रिकोणमितीय फलन का कोण विमाहीन होता है। अतः,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ पद के लिए: इसी प्रकार,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ पद के लिए: चूँकि $[Ct^2] = [x] = [L]$,इसलिए $[C] [T^2] = [L]$,जिसका अर्थ है $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ पद के लिए: चूँकि $D$ को $x(t)$ में जोड़ा गया है,$[D] = [x] = [L]$.
अब,$\frac{ABC}{D}$ की विमा की गणना करते हैं:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.
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MediumMCQ
एक मापन में,सिस्टम पर लागू प्रति इकाई टॉर्क के लिए प्रत्यास्थता गुणांक (modulus of elasticity) ज्ञात करने के लिए कहा गया है। मापी गई राशि का विमीय सूत्र $[M^a L^b T^c]$ है। यदि $b = 3$ है,तो $c$ का मान . . . . . . . है।
A
$1$
B
$2$
C
$0$
D
$7$
Solution
(C) प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ की विमा प्रतिबल (stress) के समान होती है,जो $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
टॉर्क $( au)$ की विमा बल $\times$ दूरी होती है,जो $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
मापी जाने वाली राशि $\frac{Y}{\tau}$ है।
$\frac{Y}{\tau}$ की विमा = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
इसे $[M^a L^b T^c]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 0$,$b = -3$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न में $b = 3$ दिया गया है,जो परिमाण की तुलना को दर्शाता है। मानक विमीय विश्लेषण के अनुसार,$c$ का मान $0$ ही रहता है।
टॉर्क $( au)$ की विमा बल $\times$ दूरी होती है,जो $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
मापी जाने वाली राशि $\frac{Y}{\tau}$ है।
$\frac{Y}{\tau}$ की विमा = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
इसे $[M^a L^b T^c]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 0$,$b = -3$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न में $b = 3$ दिया गया है,जो परिमाण की तुलना को दर्शाता है। मानक विमीय विश्लेषण के अनुसार,$c$ का मान $0$ ही रहता है।
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MediumMCQ
नीचे दिया गया व्यंजक वेग $(v)$ और समय $(t)$ के बीच संबंध को दर्शाता है,$v=At^2+\frac{Bt}{C+t}$. तो $ABC$ की विमा क्या है?
A
$[M^0 L^2 T^{-3}]$
B
$[M^0 L^1 T^{-3}]$
C
$[M^0 L^1 T^{-2}]$
D
$[M^0 L^2 T^{-2}]$
Solution
(A) दिया गया समीकरण $v = At^2 + \frac{Bt}{C+t}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े गए प्रत्येक पद की विमा वेग की विमा $[LT^{-1}]$ के समान होनी चाहिए।
पद $\frac{Bt}{C+t}$ के लिए,$C$ की विमा $t$ की विमा के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[C] = [T]$।
अब,पद $\frac{Bt}{C+t}$ की विमा $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ है। चूंकि यह $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[B] = [LT^{-1}]$ प्राप्त होता है।
पद $At^2$ के लिए,विमा $[A][T^2]$ है। चूंकि यह भी $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[A] = [LT^{-3}]$ प्राप्त होता है।
अंत में,$ABC$ की विमा $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े गए प्रत्येक पद की विमा वेग की विमा $[LT^{-1}]$ के समान होनी चाहिए।
पद $\frac{Bt}{C+t}$ के लिए,$C$ की विमा $t$ की विमा के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[C] = [T]$।
अब,पद $\frac{Bt}{C+t}$ की विमा $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ है। चूंकि यह $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[B] = [LT^{-1}]$ प्राप्त होता है।
पद $At^2$ के लिए,विमा $[A][T^2]$ है। चूंकि यह भी $[LT^{-1}]$ के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $[A] = [LT^{-3}]$ प्राप्त होता है।
अंत में,$ABC$ की विमा $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ है।
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MediumMCQ
वास्तविक गैस के लिए समीकरण $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $P, V, T$ और $R$ क्रमशः दाब,आयतन,तापमान और गैस नियतांक हैं। $ab^{-2}$ की विमा किसके समतुल्य है?
A
प्लांक नियतांक
B
संपीड्यता (Compressibility)
C
विकृति (Strain)
D
ऊर्जा घनत्व
Solution
(D) दिया गया समीकरण $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$।
चूँकि $[P] = ML^{-1}T^{-2}$ और $[V] = L^3$ है,इसलिए $[a] = (ML^{-1}T^{-2})(L^6) = ML^5T^{-2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$[b] = [V] = L^3$ है।
अब,$ab^{-2}$ की विमा $[a][b]^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^3)^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^{-6}) = ML^{-1}T^{-2}$ होगी।
यह विमा $ML^{-1}T^{-2}$ दाब या ऊर्जा घनत्व (ऊर्जा/आयतन = $ML^2T^{-2} / L^3 = ML^{-1}T^{-2}$) की विमा के समान है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$।
चूँकि $[P] = ML^{-1}T^{-2}$ और $[V] = L^3$ है,इसलिए $[a] = (ML^{-1}T^{-2})(L^6) = ML^5T^{-2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$[b] = [V] = L^3$ है।
अब,$ab^{-2}$ की विमा $[a][b]^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^3)^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^{-6}) = ML^{-1}T^{-2}$ होगी।
यह विमा $ML^{-1}T^{-2}$ दाब या ऊर्जा घनत्व (ऊर्जा/आयतन = $ML^2T^{-2} / L^3 = ML^{-1}T^{-2}$) की विमा के समान है।
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MediumMCQ
एक आवेश $q$,धारा $I$ और निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ दी गई है। निम्नलिखित में से किस राशि का विमीय सूत्र संवेग के समान है?
A
$qI / \mu_0$
B
$q \mu_0 I$
C
$q^2 \mu_0 I$
D
$q \mu_0 / I$
Solution
(B) संवेग $P$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-1}]$ होता है।
दी गई विमाएँ हैं: $[q] = [AT]$,$[I] = [A]$,और $[\mu_0] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
माना कि राशि की विमा $[P] = [q]^x [\mu_0]^y [I]^z$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[MLT^{-1}] = [AT]^x [MLT^{-2}A^{-2}]^y [A]^z$.
$[MLT^{-1}] = [M^y L^y T^{x-2y} A^{x-2y+z}]$.
दोनों पक्षों पर $M, L, T,$ और $A$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $y = 1$.
$L$ के लिए: $y = 1$.
$T$ के लिए: $x - 2y = -1 \Rightarrow x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$.
$A$ के लिए: $x - 2y + z = 0 \Rightarrow 1 - 2(1) + z = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1$.
अतः,अभीष्ट राशि $[q^1 \mu_0^1 I^1] = [q \mu_0 I]$ है।
दी गई विमाएँ हैं: $[q] = [AT]$,$[I] = [A]$,और $[\mu_0] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
माना कि राशि की विमा $[P] = [q]^x [\mu_0]^y [I]^z$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[MLT^{-1}] = [AT]^x [MLT^{-2}A^{-2}]^y [A]^z$.
$[MLT^{-1}] = [M^y L^y T^{x-2y} A^{x-2y+z}]$.
दोनों पक्षों पर $M, L, T,$ और $A$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $y = 1$.
$L$ के लिए: $y = 1$.
$T$ के लिए: $x - 2y = -1 \Rightarrow x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$.
$A$ के लिए: $x - 2y + z = 0 \Rightarrow 1 - 2(1) + z = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1$.
अतः,अभीष्ट राशि $[q^1 \mu_0^1 I^1] = [q \mu_0 I]$ है।
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MediumMCQ
यदि $\mu_0$ और $\varepsilon_0$ क्रमशः मुक्त आकाश (free space) की पारगम्यता (permeability) और विद्युतशीलता (permittivity) हैं,तो $\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ की विमा क्या है?
A
$L^2 / T^2$
B
$L / T^2$
C
$T^2 / L^2$
D
$L^2 / T$
Solution
(A) मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c$ को $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
इसलिए,$c^2$ की विमा $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ होगी।
अतः,$\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ की विमा $L^2 / T^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
इसलिए,$c^2$ की विमा $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ होगी।
अतः,$\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ की विमा $L^2 / T^2$ है।
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MediumMCQ
एक विद्युतचुंबकीय प्रणाली में,विद्युत फ्लक्स और चुंबकीय फ्लक्स के अनुपात को दर्शाने वाली राशि का विमीय सूत्र $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ है,जहाँ $Q$ और $R$ के मान हैं:
A
$(3, -5)$
B
$(-2, 2)$
C
$(-2, 1)$
D
$(1, -1)$
Solution
(D) विद्युत फ्लक्स $\phi_{E}$ और चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{M}$ का अनुपात $\frac{\phi_{E}}{\phi_{M}} = \frac{E \cdot A}{B \cdot A} = \frac{E}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E = c \cdot B$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है),इसलिए अनुपात $\frac{E}{B} = c$ होता है।
गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
इसे $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = 1$ और $R = -1$ है।
चूंकि $E = c \cdot B$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है),इसलिए अनुपात $\frac{E}{B} = c$ होता है।
गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
इसे $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = 1$ और $R = -1$ है।
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DifficultMCQ
त्वरण,वेग और लंबाई के विमीय सूत्र क्रमशः $\alpha \beta^{-2}$,$\alpha \beta^{-1}$ और $\alpha \gamma$ हैं। घर्षण गुणांक का विमीय सूत्र क्या होगा?
A
$\alpha \beta \gamma$
B
$\alpha^0 \beta^{-1} \gamma^0$
C
$\alpha^{-1} \beta^0 \gamma^0$
D
$\alpha^0 \beta^0 \gamma^0$
Solution
(D) दिए गए विमीय सूत्र:
$[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$
$[\ell] = \alpha \gamma = L$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ और $[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$ से,दोनों को विभाजित करने पर:
$\frac{[v]}{[a]} = \frac{\alpha \beta^{-1}}{\alpha \beta^{-2}} = \frac{LT^{-1}}{LT^{-2}} = T$
अतः,$[\beta] = T$.
$[\beta] = T$ को $[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ में रखने पर:
$\alpha T^{-1} = LT^{-1} \Rightarrow [\alpha] = L$.
$[\alpha] = L$ को $[\ell] = \alpha \gamma = L$ में रखने पर:
$L \gamma = L \Rightarrow [\gamma] = 1$ (विमाहीन).
घर्षण गुणांक दो बलों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है,जिसे $[M^0 L^0 T^0]$ द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ $\alpha^0 \beta^0 \gamma^0 = 1$ है,जो विमाहीन है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।
$[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$
$[\ell] = \alpha \gamma = L$
$[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ और $[a] = \alpha \beta^{-2} = LT^{-2}$ से,दोनों को विभाजित करने पर:
$\frac{[v]}{[a]} = \frac{\alpha \beta^{-1}}{\alpha \beta^{-2}} = \frac{LT^{-1}}{LT^{-2}} = T$
अतः,$[\beta] = T$.
$[\beta] = T$ को $[v] = \alpha \beta^{-1} = LT^{-1}$ में रखने पर:
$\alpha T^{-1} = LT^{-1} \Rightarrow [\alpha] = L$.
$[\alpha] = L$ को $[\ell] = \alpha \gamma = L$ में रखने पर:
$L \gamma = L \Rightarrow [\gamma] = 1$ (विमाहीन).
घर्षण गुणांक दो बलों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है,जिसे $[M^0 L^0 T^0]$ द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ $\alpha^0 \beta^0 \gamma^0 = 1$ है,जो विमाहीन है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।
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View Solution247
MediumMCQ
दिया गया है कि एक दोलन करने वाले कण का विस्थापन $y = A \sin(Bx + Ct + D)$ द्वारा दिया जाता है। $ABCD$ के लिए विमीय सूत्र क्या है? (यहाँ $x$ स्थिति है,$t$ समय है)
A
$[M^0 L^{-1} T^0]$
B
$[M^0 L^0 T^0]$
C
$[M^0 L^{-1} T^{-1}]$
D
$[M^0 L^0 T^{-1}]$
Solution
(D) साइन फलन का तर्क $(Bx + Ct + D)$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,प्रत्येक पद विमाहीन होना चाहिए।
$Bx$ के लिए: $[B][x] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [L^{-1}]$.
$Ct$ के लिए: $[C][t] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$D$ के लिए: $[D] = [M^0 L^0 T^0]$ (विमाहीन)।
$A$ के लिए: चूँकि $y$ विस्थापन है,$[A] = [L]$.
अब,$ABCD$ की विमाओं की गणना करें:
$[ABCD] = [A][B][C][D] = [L] \cdot [L^{-1}] \cdot [T^{-1}] \cdot [1] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
इसलिए,प्रत्येक पद विमाहीन होना चाहिए।
$Bx$ के लिए: $[B][x] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [L^{-1}]$.
$Ct$ के लिए: $[C][t] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$D$ के लिए: $[D] = [M^0 L^0 T^0]$ (विमाहीन)।
$A$ के लिए: चूँकि $y$ विस्थापन है,$[A] = [L]$.
अब,$ABCD$ की विमाओं की गणना करें:
$[ABCD] = [A][B][C][D] = [L] \cdot [L^{-1}] \cdot [T^{-1}] \cdot [1] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
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View Solution248
DifficultMCQ
पानी के नीचे हुए विस्फोट से बना एक गैस का बुलबुला $T$ आवर्तकाल के साथ दोलन करता है,जो $P^{a} d^{b} E^{c}$ के समानुपाती है,जहाँ $P$ स्थिर दबाव है,$d$ पानी का घनत्व है और $E$ विस्फोट की ऊर्जा है। तो $a, b, c$ क्रमशः हैं:
A
$1, 1, 1$
B
$\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{-5}{6}$
C
$\frac{-5}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$
D
$\frac{1}{2}, \frac{-5}{6}, \frac{1}{3}$
Solution
(C) आवर्तकाल $T$ को $T \propto P^{a} d^{b} E^{c}$ द्वारा दिया जाता है।
विमीय सूत्र हैं: $[T] = [T^1]$,$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$,$[d] = [M^1 L^{-3}]$,और $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{a} [M^1 L^{-3}]^{b} [M^1 L^2 T^{-2}]^{c}$.
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b + c = 0$ (समी. $1$)
$L$ के लिए: $-a - 3b + 2c = 0$ (समी. $2$)
$T$ के लिए: $-2a - 2c = 1$ (समी. $3$)
समी. $3$ से,$a + c = -1/2$,इसलिए $c = -1/2 - a$.
$c$ का मान समी. $1$ में रखने पर: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$.
$b = 1/2$ का मान समी. $2$ में रखने पर: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \implies -a + 2c = 3/2$.
इसमें $c = -1/2 - a$ रखने पर: $-a + 2(-1/2 - a) = 3/2 \implies -a - 1 - 2a = 3/2 \implies -3a = 5/2 \implies a = -5/6$.
अंत में,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$.
अतः,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$.
विमीय सूत्र हैं: $[T] = [T^1]$,$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$,$[d] = [M^1 L^{-3}]$,और $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^{a} [M^1 L^{-3}]^{b} [M^1 L^2 T^{-2}]^{c}$.
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a + b + c = 0$ (समी. $1$)
$L$ के लिए: $-a - 3b + 2c = 0$ (समी. $2$)
$T$ के लिए: $-2a - 2c = 1$ (समी. $3$)
समी. $3$ से,$a + c = -1/2$,इसलिए $c = -1/2 - a$.
$c$ का मान समी. $1$ में रखने पर: $a + b + (-1/2 - a) = 0 \implies b = 1/2$.
$b = 1/2$ का मान समी. $2$ में रखने पर: $-a - 3(1/2) + 2c = 0 \implies -a + 2c = 3/2$.
इसमें $c = -1/2 - a$ रखने पर: $-a + 2(-1/2 - a) = 3/2 \implies -a - 1 - 2a = 3/2 \implies -3a = 5/2 \implies a = -5/6$.
अंत में,$c = -1/2 - (-5/6) = -3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3$.
अतः,$a = -5/6, b = 1/2, c = 1/3$.
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MediumMCQ
यदि $z = xP + G$ है,जहाँ $P$ दाब है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है; तो $x$ और $z$ के विमीय सूत्र क्रमशः क्या होंगे? (यहाँ,$G = \frac{Fr^2}{m_1 m_2}$,$P = \frac{\text{Thrust}}{\text{Area}}$).
A
$MLT^{-2}, M^2 L^3 T$
B
$MLT, M^{-1} L^{-1} T$
C
$M^{-2} L^4 T^0, M^{-1} L^3 T^{-2}$
D
$M^2 L^4 T^0, M^1 L^3 T^2$
Solution
(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $z = xP + G$ से,$[z] = [xP] = [G]$ होता है।
सबसे पहले,$G$ (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक) की विमा ज्ञात करें:
$[G] = \frac{[F][r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$.
अतः,$z$ की विमा $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
अब,$P$ (दाब) की विमा ज्ञात करें:
$[P] = \frac{[Thrust]}{[Area]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
समीकरण $[z] = [xP]$ से,$[x] = \frac{[z]}{[P]} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[ML^{-1} T^{-2}]} = [M^{-2} L^4 T^0]$.
इस प्रकार,$x$ और $z$ की विमाएँ क्रमशः $[M^{-2} L^4 T^0]$ और $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ हैं।
दिए गए समीकरण $z = xP + G$ से,$[z] = [xP] = [G]$ होता है।
सबसे पहले,$G$ (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक) की विमा ज्ञात करें:
$[G] = \frac{[F][r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$.
अतः,$z$ की विमा $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
अब,$P$ (दाब) की विमा ज्ञात करें:
$[P] = \frac{[Thrust]}{[Area]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
समीकरण $[z] = [xP]$ से,$[x] = \frac{[z]}{[P]} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[ML^{-1} T^{-2}]} = [M^{-2} L^4 T^0]$.
इस प्रकार,$x$ और $z$ की विमाएँ क्रमशः $[M^{-2} L^4 T^0]$ और $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ हैं।
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MediumMCQ
एक परमाणु ऊर्जा संयंत्र में,मुक्त ऊर्जा यूरेनियम नमूने के द्रव्यमान $(m)$,ऑसिलेटर की लंबाई $(\ell)$ और दोलन की आवृत्ति $(f)$ पर $E = m^{x} \ell^{y} f^{z}$ के रूप में निर्भर करती है। तो $x + y + z$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$5$
C
$2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
दिए गए संबंध $E = m^x \ell^y f^z$ के लिए,हम विमीय समीकरण लिखते हैं:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M]^x [L]^y [T^{-1}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^y T^{-z}]$
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $y = 2$
$T$ के लिए: $-z = -2 \Rightarrow z = 2$
अतः,$x + y + z = 1 + 2 + 2 = 5$.
दिए गए संबंध $E = m^x \ell^y f^z$ के लिए,हम विमीय समीकरण लिखते हैं:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M]^x [L]^y [T^{-1}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^y T^{-z}]$
दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $y = 2$
$T$ के लिए: $-z = -2 \Rightarrow z = 2$
अतः,$x + y + z = 1 + 2 + 2 = 5$.
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View SolutionUnits, Dimensions and Measurement — Dimensional Analysis, Uses and Limitations · Frequently Asked Questions
1Are these Units, Dimensions and Measurement questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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