Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(B) दाब का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
दिया गया है: $M_1 = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$L_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$T_1 = 5 \ s$.
$SI$ इकाइयों में: $M_2 = 1 \ kg$,$L_2 = 1 \ m$,$T_2 = 1 \ s$.
रूपांतरण सूत्र $n_2 = n_1 [M_1/M_2]^1 [L_1/L_2]^{-1} [T_1/T_2]^{-2}$ है।
मान रखने पर: $n_2 = 1 \times [0.05/1]^1 \times [0.1/1]^{-1} \times [5/1]^{-2}$.
$n_2 = 0.05 \times (1/0.1) \times (1/25)$.
$n_2 = 0.05 \times 10 \times 0.04 = 0.5 / 25 = 1/50 \ \text{Pascal}$.

(D) त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क (argument) में,विमाएँ विमाहीन होनी चाहिए।
$\sin \left(\frac{2 \pi ct}{\lambda}\right)$ के लिए,पद $\frac{ct}{\lambda}$ विमाहीन होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[ct] = [\lambda]$। अतः,$ct$ की इकाई $\lambda$ के समान है।
$\cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ के लिए,पद $\frac{x}{\lambda}$ विमाहीन होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[x] = [\lambda]$। अतः,$x$ की इकाई $\lambda$ के समान है।
अब,विकल्प $C$ में पदों की विमाओं की जाँच करते हैं:
$\left[\frac{2 \pi c}{\lambda}\right] = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
$\left[\frac{2 \pi x}{\lambda t}\right] = \frac{[L]}{[L][T]} = [T^{-1}]$
चूंकि दोनों की विमा $[T^{-1}]$ है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
अब,विकल्प $D$ की जाँच करते हैं:
$\left[\frac{c}{\lambda}\right] = [T^{-1}]$
$\left[\frac{x}{\lambda}\right] = [M^0 L^0 T^0] = 1$ (विमाहीन)।
चूंकि $[T^{-1}] \neq 1$,इसलिए विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(D) विमीय विश्लेषण समीकरणों की संगति की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन इसकी सीमाएँ हैं।
$1$. यह घातांकीय (exponential),लघुगणकीय (logarithmic) या त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े समीकरणों को व्युत्पन्न नहीं कर सकता क्योंकि ये फलन विमाहीन होते हैं।
$2$. यह योग या घटाव वाले स्थिरांकों वाले समीकरणों को व्युत्पन्न नहीं कर सकता।
$3$. विकल्प $A$ में एक घातांकीय फलन शामिल है।
$4$. विकल्प $B$ में एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है।
$5$. विकल्प $C$ में दो पदों का योग है।
$6$. विकल्प $D$,$L = mvr$,भौतिक राशियों का गुणनफल है और इसे विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है क्योंकि यह कोणीय संवेग की परिभाषा से संबंधित है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया बल समीकरण: $F = a \sqrt{x} - bt$.
बल $F$ की विमाएँ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ हैं।
प्रथम पद के लिए: $[F] = [a \sqrt{x}]$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [a] [L^{1/2}]$
$[a] = [M^1 L^{1/2} T^{-2}]$
द्रव्यमान $(kg)$,लंबाई $(m)$ और समय $(s)$ के लिए $SI$ मात्रक रखने पर: $a$ का मात्रक = $kg\ m^{1/2}\ s^{-2}$.
द्वितीय पद के लिए: $[F] = [bt]$
$[M^1 L^1 T^{-2}] = [b] [T^1]$
$[b] = [M^1 L^1 T^{-3}]$
$SI$ मात्रक रखने पर: $b$ का मात्रक = $kg\ m\ s^{-3}$.
अतः,$a$ और $b$ के मात्रक क्रमशः $kg\ m^{1/2}\ s^{-2}$ और $kg\ m\ s^{-3}$ हैं।

(B) विमीय विश्लेषण समीकरणों की संगति की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन इसकी महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं।
$1$. यह योग या घटाव वाले पदों वाले सूत्रों (जैसे,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$) को व्युत्पन्न नहीं कर सकता है क्योंकि विमीय विश्लेषण केवल भौतिक राशियों के गुणन और भाग के साथ काम करता है।
$2$. यह विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $1, 2, \pi, e$,आदि) को निर्धारित नहीं कर सकता है क्योंकि इन स्थिरांकों की कोई विमा नहीं होती है और इसलिए ये विमीय सूत्र में दिखाई नहीं देते हैं।
दोनों कथन सत्य हैं। कारण यह बताता है कि विमीय विश्लेषण सीमित क्यों है,लेकिन योगात्मक संबंधों को व्युत्पन्न करने में असमर्थता पद्धति की संरचना का परिणाम है,जो सीधे तौर पर स्थिरांकों को खोजने में असमर्थता के कारण नहीं है। इसलिए,कारण एक सत्य कथन है लेकिन यह कथन की सीधी व्याख्या नहीं है।

(A) विमाओं की समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि एक भौतिक समीकरण विमीय रूप से तभी सही होता है जब समीकरण के दोनों पक्षों के सभी पदों की विमाएँ समान हों।
यह सिद्धांत किसी भी भौतिक समीकरण की विमीय स्थिरता की जाँच करने के लिए मूलभूत आधार है।
यदि पदों की विमाएँ समान नहीं हैं,तो समीकरण भौतिक रूप से सही नहीं हो सकता,क्योंकि हम अलग-अलग विमाओं वाली भौतिक राशियों को जोड़ या घटा नहीं सकते हैं।
इसलिए,अभिकथन सत्य है,और कारण सही ढंग से बताता है कि हम समीकरणों को सत्यापित करने के लिए समांगता के सिद्धांत का उपयोग क्यों करते हैं।

(A) शक्ति का विमीय सूत्र $[P] = [M L^2 T^{-3}]$ है।
माना नई इकाइयाँ $M' = a \ kg$,$L' = b \ m$,और $T' = c \ s$ हैं।
अतः,$1 \ kg = \frac{1}{a} M'$,$1 \ m = \frac{1}{b} L'$,और $1 \ s = \frac{1}{c} T'$ होगा।
दी गई शक्ति $P = 6 \ W = 6 \ kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}$ है।
शक्ति के समीकरण में नई इकाइयाँ रखने पर:
$P = 6 \times (\frac{1}{a} M') \times (\frac{1}{b} L')^2 \times (\frac{1}{c} T')^{-3}$
$P = 6 \times \frac{1}{a} \times \frac{1}{b^2} \times c^3 \times (M' L'^2 T'^{-3})$
$P = \frac{6 c^3}{a b^2}$ नई इकाइयाँ।
अतः,नई प्रणाली में $6 \ W$ शक्ति का परिमाण $\frac{6 c^3}{a b^2}$ है।

(B) माना ऊर्जा $E$ को $E = k P^x A^y T^z$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
संवेग का विमीय सूत्र $[P] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ है।
क्षेत्रफल का विमीय सूत्र $[A] = [L^2]$ है।
समय का विमीय सूत्र $[T] = [T^1]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^1 L^1 T^{-1}]^x [L^2]^y [T^1]^z$
$[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^x L^{x+2y} T^{-x+z}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $x + 2y = 2$
$T$ के लिए: $-x + z = -2$
$x = 1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर: $1 + 2y = 2 \implies 2y = 1 \implies y = 1/2$।
$x = 1$ को $T$ के समीकरण में रखने पर: $-1 + z = -2 \implies z = -1$।
अतः,ऊर्जा का विमीय सूत्र $[P^1 A^{1/2} T^{-1}]$ होगा।

(A) दिया गया संबंध $P = \frac{a - t^2}{bx}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$a$ की विमाएँ $t^2$ की विमाओं के समान होनी चाहिए।
अतः,$[a] = [T^2]$.
अब,पूरे व्यंजक $\frac{a - t^2}{bx}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$.
इसलिए,$[P] = \frac{[a]}{[b][x]} \implies [ML^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^2]}{[b][L]}$.
$[b]$ के लिए हल करने पर,$[b] = \frac{[T^2]}{[ML^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^2]}{[MT^{-2}]} = [M^{-1} T^4]$.
अंत में,$\frac{a}{b}$ की विमाएँ $\frac{[T^2]}{[M^{-1} T^4]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$ होंगी।

(A) दिए गए स्थिरांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
$h = [M L^{2} T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
माना व्यंजक $T = G^{a} h^{b} c^{d}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[T^{1}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{a} [M L^{2} T^{-1}]^{b} [L T^{-1}]^{d}$
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-a+b} L^{3a+2b+d} T^{-2a-b-d}]$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $-a + b = 0 \implies a = b$
$L$ के लिए: $3a + 2b + d = 0 \implies 3a + 2a + d = 0 \implies d = -5a$
$T$ के लिए: $-2a - b - d = 1 \implies -2a - a - (-5a) = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$
अतः,$a = 1/2, b = 1/2, d = -5/2$.
सही व्यंजक $\left[\frac{G h}{c^{5}}\right]^{\frac{1}{2}}$ है।

(A) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[E] = [M L^{2} T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[L] = [M L^{2} T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
अब,इन मानों को व्यंजक $\left(\frac{E L^{2}}{G^{2} M^{5}}\right)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
विमा $= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M L^{2} T^{-1}]^{2}}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{2} \cdot [M]^{5}}$
$= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M^{2} L^{4} T^{-2}]}{[M^{-2} L^{6} T^{-4}] \cdot [M^{5}]}$
$= \frac{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}$
$= [M^{0} L^{0} T^{0}]$
चूंकि परिणामी राशि विमाहीन है,इसलिए यह कोण की विमाओं के समान है (कोण एक विमाहीन भौतिक राशि है)।

(B) अपवर्तनांक $\mu$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए इसकी विमा $[M^0 L^0 T^0]$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\frac{B}{\lambda^2}$ की विमाएँ $\mu$ की विमाओं (जो विमाहीन है) के बराबर होनी चाहिए।
$\left[ \frac{B}{\lambda^2} \right] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [\lambda^2] \times [M^0 L^0 T^0]$
चूँकि $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,इसकी विमा $[L]$ है।
$[B] = [L^2]$
विमा $[L^2]$ क्षेत्रफल की विमा के अनुरूप है।

(D) त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
दिया गया है $F = A \sin(Ct) + B \cos(Dx)$।
$\sin(Ct)$ पद के लिए,तर्क $Ct$ विमाहीन होना चाहिए।
$[Ct] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C][T] = [T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$।
$\cos(Dx)$ पद के लिए,तर्क $Dx$ विमाहीन होना चाहिए।
$[Dx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D][L] = [L^0] \implies [D] = [L^{-1}]$।
अब,$\frac{C}{D}$ की विमाएँ हैं:
$\left[ \frac{C}{D} \right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$।
ये वेग की विमाएँ हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $P = \frac{c - t^{2}}{DS}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$c$ की विमाएँ $t^{2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[c] = [t^{2}] = [T^{2}]$.
अब,दाब $P$ की विमा $[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$ है।
यहाँ $S$ दूरी है,इसलिए $[S] = [L]$.
समीकरण $P = \frac{c}{DS} - \frac{t^{2}}{DS}$ में मान रखने पर,हम पद $\frac{c}{DS}$ पर विचार करते हैं:
$[P] = \frac{[c]}{[D][S]} \Rightarrow [M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^{2}]}{[D][L]}$.
$[D]$ के लिए हल करने पर:
$[D] = \frac{[T^{2}]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^{2}]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^{4}]$.
हमें $\left(\frac{D}{c}\right)$ की विमाएँ ज्ञात करनी हैं:
$\left[\frac{D}{c}\right] = \frac{[M^{-1} T^{4}]}{[T^{2}]} = [M^{-1} T^{2}] = [L^{0} M^{-1} T^{2}]$.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
व्यंजक $A = B + \frac{C}{D+E}$ में,चूंकि $B$ को $\frac{C}{D+E}$ पद के साथ जोड़ा गया है,इसलिए $A$ की विमाएँ $B$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $[B] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$,इसलिए $[A] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$।
साथ ही,हर $(D+E)$ में,$D$ और $E$ की विमाएँ समान होनी चाहिए,इसलिए $[D] = [E]$।
पूरे पद $\frac{C}{D+E}$ की विमा $B$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[B] = \frac{[C]}{[D+E]} \implies [D+E] = \frac{[C]}{[B]}$।
दी गई विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[D+E] = \frac{[L^{1} M^{0} T^{0}]}{[L^{1} M^{0} T^{-1}]} = [T^{1}]$।
अतः $[D] = [T^{1}]$ और $[E] = [T^{1}]$ प्राप्त होता है।

(A) बल की विमा $[F] = [M L T^{-2}]$ है।
घनत्व की विमा $[d] = [M L^{-3} T^0]$ है।
दिए गए संबंध $F = \frac{y}{\sqrt{d}}$ से,हम लिख सकते हैं $y = F \sqrt{d}$।
$F$ और $d$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3}]^{1/2}$
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2}]$
$[y] = [M^{1 + 1/2} L^{1 - 3/2} T^{-2}]$
$[y] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.

(A) निर्वात में प्रकाश की चाल का सूत्र $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{c^{2}}$.
प्रकाश की चाल $c$ का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{(M^{0} L^{1} T^{-1})^{2}}$.
$\mu_{0} \varepsilon_{0} = \frac{1}{M^{0} L^{2} T^{-2}} = M^{0} L^{-2} T^{2}$.

(B) निर्वात में प्रकाश की चाल का संबंध $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ वेग को दर्शाता है,इसका विमीय सूत्र $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ का विमीय सूत्र वेग के विमीय सूत्र का वर्ग होगा:
$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} = [M^{0} L^{1} T^{-1}]^{2} = M^{0} L^{2} T^{-2}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-1}]$ होती हैं।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमाएँ $[M L^{2}]$ होती हैं।
प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात $\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^{2} T^{-1}]}{[M L^{2}]} = [T^{-1}]$ है।
आवृत्ति की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
वेग की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
कोणीय संवेग की विमा $[M L^{2} T^{-1}]$ होती है।
समय की विमा $[T]$ होती है।
अतः,प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात आवृत्ति की विमा के समान है।

(C) विमीय विश्लेषण भौतिक समीकरणों की संगति की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन इसकी सीमाएँ हैं। यह विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $6 \pi$) या त्रिकोणमितीय,घातांकीय या लघुगणकीय फलनों की उपस्थिति को निर्धारित नहीं कर सकता है क्योंकि उनके तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
$1$. $x=A \cos (\omega t)$: विमीय रूप से सुसंगत होने के बावजूद,$\cos$ फलन की उपस्थिति को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
$2$. $N=N_0 e^{-\lambda t}$: विमीय रूप से सुसंगत होने के बावजूद,घातांकीय रूप को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
$3$. $F=6 \pi \eta r \nu$ (स्टोक्स का नियम): दाईं ओर के आयाम $[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L] \cdot [L T^{-1}] = [M L T^{-2}]$ हैं,जो बल का आयाम है। विमीय विश्लेषण द्वारा $F$ को $\eta$,$r$,और $\nu$ के साथ $F \propto \eta^a r^b \nu^c$ के रूप में संबंधित किया जा सकता है। आयामों की तुलना करके,हम $a=1, b=1, c=1$ प्राप्त कर सकते हैं,जिससे $F \propto \eta r \nu$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,कार्यात्मक निर्भरता को व्युत्पन्न किया जा सकता है।
अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
$(A)$ $PQ/R$: अलग-अलग विमाओं वाली भौतिक राशियों का गुणा और भाग संभव है।
$(B)$ $(P-Q)/R$: चूंकि $P$ और $Q$ की विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए $(P-Q)$ का घटाव भौतिक रूप से अर्थहीन है।
$(C)$ $(PR-Q^2)/R$: यहाँ,घटाव मान्य होने के लिए $PR$ और $Q^2$ की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$(D)$ $PQ-R$: चूंकि $PQ$ और $R$ की विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए $(PQ-R)$ का घटाव भौतिक रूप से अर्थहीन है।
हालाँकि,मानक बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में,$(P-Q)$ विमीय समांगता के सिद्धांत का सबसे सीधा उल्लंघन है।

(B) दिया गया समीकरण $\text{Force} = \frac{\alpha}{\text{density} + \beta^3}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन भौतिक राशियों को जोड़ा जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\beta^3$ की विमा घनत्व (density) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
घनत्व की विमा = $[M L^{-3} T^0]$।
अतः,$[\beta^3] = [M L^{-3} T^0]$।
घनमूल लेने पर,$[\beta] = [M^{1/3} L^{-1} T^0]$।
अब,बल (force) की विमा $[M L T^{-2}]$ है।
समीकरण से,$\alpha = \text{Force} \times (\text{density} + \beta^3)$।
चूंकि $(\text{density} + \beta^3)$ की विमा घनत्व के समान है,इसलिए $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3} T^0] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$।
अतः,विमाएँ $[M^2 L^{-2} T^{-2}]$ और $[M^{1/3} L^{-1} T^0]$ हैं।

(A) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$m = [M]$
$L = [M L^2 T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को $\frac{E L^2}{m^5 G^2}$ व्यंजक में रखने पर:
$\left[\frac{E L^2}{m^5 G^2}\right] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2}$
$= \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]}$
$= \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]}$
$= [M^0 L^0 T^0]$
चूँकि विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ हैं,इसलिए यह राशि विमाहीन है,जो $\text{Angle}$ (कोण) की विमाओं के अनुरूप है।

(A) दिया गया समीकरण: $F = a \sqrt{x} + b t^2$.
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$[F] = [a \sqrt{x}]$ और $[F] = [b t^2]$.
$[F] = [a \sqrt{x}]$ से,हमें प्राप्त होता है $[a] = \frac{[F]}{[\sqrt{x}]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^{1/2}]} = [ML^{1/2}T^{-2}]$.
$[F] = [b t^2]$ से,हमें प्राप्त होता है $[b] = \frac{[F]}{[t^2]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[T^2]} = [MLT^{-4}]$.
अब,$\frac{a}{b}$ के लिए विमीय सूत्र ज्ञात करते हैं:
$\left[\frac{a}{b}\right] = \frac{[ML^{1/2}T^{-2}]}{[MLT^{-4}]} = [M^{1-1} L^{1/2-1} T^{-2-(-4)}] = [M^0 L^{-1/2} T^2]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि आवर्तकाल $T$,$R^a M^b G^c$ के समानुपाती है,अतः $T = K R^a M^b G^c$ है।
प्रत्येक राशि के लिए विमीय सूत्र लिखने पर:
$[T] = [T]^1$
$[R] = [L]^1$
$[M] = [M]^1$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[T]^1 = [L]^a [M]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^c = [M]^{b-c} [L]^{a+3c} [T]^{-2c}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$।
$M$ के लिए: $b - c = 0 \Rightarrow b = c = -1/2$।
$L$ के लिए: $a + 3c = 0 \Rightarrow a = -3c = -3(-1/2) = 3/2$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $T = K R^{3/2} M^{-1/2} G^{-1/2} = K \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$।

(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
दिए गए समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ में,पद $\frac{a}{V^2}$ को दाब $P$ में जोड़ा गया है।
इसलिए,$\frac{a}{V^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$।
दाब $P$ की विमा $[ML^{-1} T^{-2}]$ है और आयतन $V$ की विमा $[L^3]$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $[a] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [ML^5 T^{-2}]$।

(D) प्रकाश की चाल $c$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}]$ है।
दिया गया है $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ ... $(1)$
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[L T^{-2}]$ है।
दिया गया है $g = 10 \,m/s^2$ ... $(2)$
समय का मात्रक $[T]$ ज्ञात करने के लिए, हम चाल की विमाओं को त्वरण की विमाओं से विभाजित करते हैं:
$\frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-2}]} = [T]$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[T] = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \,s$
अतः, इस प्रणाली में समय का मात्रक $3 \times 10^7 \,s$ है।

(C) दिया गया सूत्र $X = \frac{\pi}{3}(a^2 - b^2) h d$ है।
चूंकि $a, b,$ और $h$ लंबाइयाँ हैं,इसलिए उनका विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,$(a^2 - b^2)$ की विमा $[L^2]$ है।
पद $h$ की विमा $[L]$ है।
पद $d$ घनत्व है,जिसे $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसकी विमा $[M L^{-3}]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$[X] = [L^2] \cdot [L] \cdot [M L^{-3}] = [L^3] \cdot [M L^{-3}] = [M]$.
चूंकि परिणामी विमा $[M]$ है,इसलिए यह भौतिक राशि द्रव्यमान है।

(C) प्रणाली की ऊर्जा समीकरण $E(t) = \alpha t - \beta t^3$ द्वारा दी गई है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
प्रथम पद के लिए,$\alpha t$ की विमा ऊर्जा की विमा के बराबर होनी चाहिए:
$[\alpha][T] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\alpha] = [ML^2 T^{-2}] / [T] = [ML^2 T^{-3}]$
दूसरे पद के लिए,$\beta t^3$ की विमा ऊर्जा की विमा के बराबर होनी चाहिए:
$[\beta][T^3] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\beta] = [ML^2 T^{-2}] / [T^3] = [ML^2 T^{-5}]$
अतः,$\alpha$ और $\beta$ की विमाएँ क्रमशः $[ML^2 T^{-3}]$ और $[ML^2 T^{-5}]$ हैं।

(A) ऊर्जा (Energy) का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ होता है।
चाल (speed) का विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ होता है।
इन दोनों का गुणा करने पर:
$[\text{Energy} \times \text{speed}] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^0 L^1 T^{-1}]$
$= [M^{1+0} L^{2+1} T^{-2-1}]$
$= [M^1 L^3 T^{-3}]$
इसे $[M^a L^b T^c]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 3, c = -3$ प्राप्त होता है।

(C) समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण विमीय रूप से तभी सही होता है जब समीकरण के दोनों पक्षों के सभी पदों की विमाएँ समान हों। घातांकीय फलन का घातांक विमाहीन होना चाहिए। दिए गए सभी विकल्पों में,पद $\frac{V}{V_0}$ विमाहीन है,इसलिए घातांकीय पद मान्य हैं।
अब,हम गुणांकों की विमाओं की जाँच करते हैं:
$(A)$ के लिए: $[I] = [I_0]$,जो सही है।
$(B)$ के लिए: $[I] = [I_0]$,जो सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = [I_0 V_0]$। चूँकि $[V_0]$ विभव है,$[I] \neq [I_0 V_0]$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से गलत है।
$(D)$ के लिए: $[I] = [I_0] \times [\frac{V}{V_0}]$। चूँकि $[\frac{V}{V_0}]$ विमाहीन है,$[I] = [I_0]$,जो सही है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ विमीय रूप से गलत व्यंजक है।

(A) लहरों की गति $v$ पृष्ठ तनाव $\sigma$,घनत्व $\rho$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करती है।
हम इस संबंध को $v = k \sigma^a \rho^b \lambda^c$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
गति $v$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^{-1}]$ है।
पृष्ठ तनाव $\sigma$ का विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ है।
घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3} T^0]$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का विमीय सूत्र $[M^0 L T^0]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^0 T^{-2}]^a [M L^{-3} T^0]^b [L]^c$
$[M^0 L T^{-1}] = [M]^{a+b} [L]^{-3b+c} [T]^{-2a}$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + b = 0$
$-3b + c = 1$
$-2a = -1$
$-2a = -1$ से,हमें $a = 1/2$ प्राप्त होता है।
$a = 1/2$ को $a + b = 0$ में रखने पर,हमें $b = -1/2$ प्राप्त होता है।
$b = -1/2$ को $-3b + c = 1$ में रखने पर,हमें $-3(-1/2) + c = 1 \Rightarrow 1.5 + c = 1 \Rightarrow c = -0.5 = -1/2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v \propto \sigma^{1/2} \rho^{-1/2} \lambda^{-1/2}$।
अतः,$v \propto \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \lambda}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 \propto \frac{\sigma}{\rho \lambda}$।

(C) निर्वात की पारगम्यता को $\mu_0 \propto e^a m^b c^c h^d$ या $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$ ...$(i)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$\mu_0 = [M L T^{-2} A^{-2}]$
$e = [A T]$
$m = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M]^{b+d} [L]^{c+2d} [T]^{a-c-d} [A]^a$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$a = -2$
$b + d = 1$
$c + 2d = 1$
$a - c - d = -2$
$a = -2$ को $a - c - d = -2$ में रखने पर $-2 - c - d = -2$ प्राप्त होता है,अतः $c + d = 0$,जिसका अर्थ है $c = -d$.
$c = -d$ को $c + 2d = 1$ में रखने पर $-d + 2d = 1$ प्राप्त होता है,अतः $d = 1$.
इसके बाद $c = -1$ और $b = 1 - d = 1 - 1 = 0$.
अतः,$\mu_0 = k e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = k \frac{h}{c e^2}$.
इसलिए,$\mu_0$ को $\frac{h}{c e^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(D) ऊष्मीय चालकता गुणांक $[k]$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]$ है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $[G]$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{[k]}{[G]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]}{[M^{-1} L^3 T^{-2}]} = [M^{1-(-1)} L^{1-3} T^{-3-(-2)} K^{-1}] = [M^2 L^{-2} T^{-1} K^{-1}]$.
इसकी तुलना दिए गए विमीय सूत्र $[M^{2a} L^{4b} T^{2c} K^d]$ से करने पर:
$2a = 2 \implies a = 1$
$4b = -2 \implies b = -\frac{1}{2}$
$2c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}$
$d = -1$
अब,आवश्यक व्यंजक की गणना करने पर: $\frac{a+b}{c+b} - d = \frac{1 + (-1/2)}{-1/2 + (-1/2)} - (-1) = \frac{1/2}{-1} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(D) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
कोणीय संवेग का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-1}]$ है।
चूंकि प्रति इकाई आयतन ऊर्जा और कोणीय संवेग की विमाएं अलग-अलग हैं,इसलिए उन्हें जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
विमीय समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(D) विद्युत पारगम्यता $\epsilon_0$ के लिए विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ है।
लंबाई $L$ के लिए विमीय सूत्र $[L]$ है।
विभवांतर $\Delta V$ के लिए विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है।
समय अंतराल $\Delta t$ के लिए विमीय सूत्र $[T]$ है।
इन मानों को $P = \epsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[T]}$
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot [M L^2 T^{-3} A^{-1} T^{-1}]$
$[P] = [M^{-1+1} L^{-3+1+2} T^{4-3-1} A^{2-1}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0 A^1] = [A]$
चूंकि $P$ का विमीय सूत्र $[A]$ है,जो विद्युत धारा को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया सूत्र: $r = \sqrt{\frac{64 IA}{\pi Bv}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r^2 = \frac{64 IA}{\pi Bv}$.
'$A$' के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{r^2 \pi Bv}{64 I}$.
अब,प्रत्येक भौतिक राशि के आयामों को प्रतिस्थापित करें:
$[r] = [L]$,$[B] = [M T^{-2} I^{-1}]$,$[v] = [L T^{-1}]$,$[I] = [I]$.
'$A$' के व्यंजक में इन्हें रखने पर:
$[A] = \frac{[L]^2 [M T^{-2} I^{-1}] [L T^{-1}]}{[I]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
इसकी तुलना विशिष्ट प्रतिरोध $(\rho)$ के आयामों से करने पर:
प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{Area} \implies \rho = R \frac{Area}{L}$.
$[R] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}]$,$[Area] = [L^2]$,$[L] = [L]$.
$[\rho] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}] \cdot \frac{[L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
चूंकि '$A$' के आयाम विशिष्ट प्रतिरोध के आयामों से मेल खाते हैं,इसलिए '$A$' विशिष्ट प्रतिरोध (Resistivity) को दर्शाता है।

(C) दिया गया है: $A = [LT^{-1}]$ (वेग),$B = [LT^{-2}]$ (त्वरण),$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$ (प्रेरकत्व),$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ (धारिता)।
हमें $A^{-1} BCD$ की विमाएँ ज्ञात करनी हैं।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A^{-1} = [L^{-1}T]$
$B = [LT^{-2}]$
$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$
$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
अब,गुणनफल की गणना करें:
$A^{-1} BCD = [L^{-1}T] \cdot [LT^{-2}] \cdot [ML^2T^{-2}A^{-2}] \cdot [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
पदों को समूहित करने पर:
$= [L^{-1} \cdot L \cdot L^2 \cdot L^{-2}] \cdot [T \cdot T^{-2} \cdot T^{-2} \cdot T^4] \cdot [M \cdot M^{-1}] \cdot [A^{-2} \cdot A^2]$
$= [L^0] \cdot [T^1] \cdot [M^0] \cdot [A^0]$
$= [T]$
अतः,इस व्यंजक की विमाएँ समय के समान हैं।

(B) माना द्रव्यमान $M$ को $M = C^a h^b G^c$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
विमीय सूत्र:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
समीकरण में मान रखने पर:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}$
दोनों पक्षों में $M, L, T$ के घातों की तुलना करने पर:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $b + c = 0$,अतः $b = -c$.
$b = -c$ को $(i)$ में रखने पर: $-c - c = 1 \implies -2c = 1 \implies c = -1/2$.
अतः $b = 1/2$.
$b = 1/2$ और $c = -1/2$ को (iii) में रखने पर: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \implies -a - 1/2 + 1 = 0 \implies a = 1/2$.
इस प्रकार,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(B) $\text{बल का विमीय सूत्र } [M L T^{-2}] \text{ है।}$
$\text{दिया गया है,} N_1 = 10, M_1 = 1 \,kg, L_1 = 1 \,m, T_1 = 1 \,s$.
$\text{नई प्रणाली में,} M_2 = A \,kg, L_2 = B \,m, T_2 = C \,s$.
$\text{रूपांतरण सूत्र } N_2 = N_1 \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^1 \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^1 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{-2} \text{ का उपयोग करने पर।}$
$\text{मान रखने पर:}$
$N_2 = 10 \left( \frac{1}{A} \right)^1 \left( \frac{1}{B} \right)^1 \left( \frac{1}{C} \right)^{-2}$.
$N_2 = 10 \cdot A^{-1} \cdot B^{-1} \cdot C^2$.
$\text{अतः,नई प्रणाली में } 10 \,N \text{ का मान } 10 A^{-1} B^{-1} C^2 \text{ है।}$

(B) दिया गया समीकरण $10 \ g \ cm \ s^{-1} = x \ N \ s$ है।
सबसे पहले,$CGS$ इकाई $g \ cm \ s^{-1}$ को $SI$ इकाइयों $(kg \ m \ s^{-1})$ में बदलें:
$1 \ g = 10^{-3} \ kg$
$1 \ cm = 10^{-2} \ m$
अतः,$1 \ g \ cm \ s^{-1} = 10^{-3} \ kg \times 10^{-2} \ m \times s^{-1} = 10^{-5} \ kg \ m \ s^{-1}$.
इस प्रकार,$10 \ g \ cm \ s^{-1} = 10 \times 10^{-5} \ kg \ m \ s^{-1} = 10^{-4} \ kg \ m \ s^{-1}$.
हम जानते हैं कि $1 \ N = 1 \ kg \ m \ s^{-2}$,इसलिए $1 \ N \ s = 1 \ kg \ m \ s^{-1}$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $x \ N \ s = 10^{-4} \ kg \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = 10^{-4}$.

(C) दी गई भौतिक राशि $X = \frac{2 k^3 l^2}{m \sqrt{n}}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta X}{X} = 3 \left( \frac{\Delta k}{k} \right) + 2 \left( \frac{\Delta l}{l} \right) + 1 \left( \frac{\Delta m}{m} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta n}{n} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियां $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1 \%) + 2(2 \%) + 1(3 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 3 \% + 2 \% = 12 \%$.
अतः,$X$ के मान में प्रतिशत अनिश्चितता $12 \%$ है।

(D) दिया गया संबंध: $z = a b^2 c^{-2}$।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,$z$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$।
दी गई प्रतिशत त्रुटियों के मान रखने पर:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2(1.3 \%) + 2(2.2 \%)$।
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2.6 \% + 4.4 \% = 9.1 \%$।
अतः,$z$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $9.1 \%$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $Q V = k P T L^\alpha$ है।
भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[Q] = M L^{-1} T^{-1}$
$[V] = L^3$
$[P] = M L^{-1} T^{-2}$
$[T] = T$
$[L] = L$
$k$ एक विमाहीन नियतांक है,अतः $[k] = 1$ है।
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[Q][V] = [k][P][T][L]^\alpha$
$(M L^{-1} T^{-1})(L^3) = (1)(M L^{-1} T^{-2})(T)(L^\alpha)$
$M L^2 T^{-1} = M L^{-1+\alpha} T^{-1}$
दोनों पक्षों में $L$ की घातों की तुलना करने पर:
$2 = -1 + \alpha$
$\alpha = 3$.

(D) किसी समीकरण के विमीय रूप से सही होने के लिए,घातांकीय फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
$E=E_0 e^{-t / t_0}$ व्यंजक में,पद $-t / t_0$ दो समयों का अनुपात है,जो विमाहीन है।
चूंकि $E$ और $E_0$ दोनों ऊर्जा को दर्शाते हैं,इसलिए उनका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ समान है।
अतः,समीकरण $E=E_0 e^{-t / t_0}$ विमीय रूप से सुसंगत है क्योंकि घातांकीय कारक $e^{-t / t_0}$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
अन्य विकल्प विमीय रूप से गलत हैं क्योंकि उनके घातांक विमाहीन नहीं हैं या दोनों पक्षों की विमाएं समान नहीं हैं।

(A) वान डर वाल्स गैस समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ है।
समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $\frac{a}{V^2}$ की विमा $P$ (दाब) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ और $[V] = [L^3]$.
अतः,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ की विमा $V$ (आयतन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. अब,अनुपात $\frac{b}{a}$ की विमाएँ:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
यह दिया गया है कि $A, B$ और $C$ के विमीय सूत्र अलग-अलग हैं,इसलिए $(A-C)$ और $(AC-B)$ जैसे व्यंजक भौतिक रूप से अर्थहीन हैं क्योंकि इनमें अलग-अलग विमाओं वाली राशियों की घटाव की गई है।
प्रश्न के अनुसार,विकल्प $(C)$ में $(A-C)$ पद विमीय रूप से अमान्य है। इसी प्रकार विकल्प $(D)$ में $(AC-B)$ भी अमान्य है। सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में,$\frac{A-C}{B}$ को अमान्य माना जाता है क्योंकि अंश $(A-C)$ परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$m \frac{d^2 x}{dt^2}$,$b \frac{dx}{dt}$,और $kx$ की विमाएँ समान हैं।
$b \frac{dx}{dt}$ और $kx$ की विमाओं की तुलना करने पर:
$[b] [v] = [k] [x] \implies [b] = [k] [x] / [v] = [k] [x] / ([x] / [t]) = [k] [t]$।
इसलिए,$[b] = [k] [T]$।
अब,व्यंजक $\frac{b}{\sqrt{km}}$ पर विचार करें।
इस व्यंजक में $[b] = [k] [T]$ रखने पर:
$\frac{[b]}{\sqrt{[k][m]}} = \frac{[k][T]}{\sqrt{[k][m]}}$।
चूँकि $k = F/x = ma/x$,इसलिए $k$ की विमाएँ $[M T^{-2}]$ हैं।
साथ ही,अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ से संबंधित है,इसलिए $\sqrt{k/m}$ की विमाएँ $[T^{-1}]$ होती हैं।
वैकल्पिक रूप से,$[b] = [k] [T]$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{b}{\sqrt{km}} = \frac{k T}{\sqrt{km}} = \sqrt{\frac{k}{m}} T = [T^{-1}] [T] = [M^0 L^0 T^0]$।