Centre of mass (Point Mass) Questions in Hindi

(C) माना प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda(x) = \lambda_0 + kx$ है।
कुल द्रव्यमान $M = \int_{0}^{L} (\lambda_0 + kx) dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$.
इससे,$k = \frac{2(M - \lambda_0 L)}{L^2} = \frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L}$.
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x (\lambda_0 + kx) dx$.
$x_{cm} = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 x^2}{2} + \frac{kx^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{1}{M} (\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3})$.
$k = \frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L}$ का मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{L^3}{3} (\frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L})] = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{2ML}{3} - \frac{2\lambda_0 L^2}{3}]$.
$x_{cm} = \frac{2L}{3} + \frac{\lambda_0 L^2}{M} (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{2L}{3} - \frac{\lambda_0 L^2}{6M}$.

(D) तीनों कणों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$m_1 = 50\, g$ बिंदु $(0, 0)$ पर
$m_2 = 100\, g$ बिंदु $(1, 0)$ पर
$m_3 = 150\, g$ बिंदु $(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ पर
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12}\, m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{300} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4}\, m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{7}{12}\,m, \frac{\sqrt{3}}{4}\,m \right)$ हैं।

(D) एक समान वर्गाकार प्लेट के लिए,द्रव्यमान केंद्र वर्ग के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होता है।
वर्ग का ज्यामितीय केंद्र उसके विकर्ण का मध्य बिंदु होता है।
दिया गया है कि विकर्ण के अंतिम बिंदु $(x_1, y_1) = (-2, 0)$ और $(x_2, y_2) = (2, 2)$ हैं।
मध्य बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(0, 1)$ हैं।

(A) शुद्ध स्थानांतरण गति के लिए,बल को वस्तु के द्रव्यमान केंद्र पर लगाया जाना चाहिए।
मान लीजिए कि क्षैतिज छड़ $AB$ का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि ऊर्ध्वाधर छड़ $CD$ की लंबाई $2\ell$ है और क्षैतिज छड़ $AB$ की लंबाई $\ell$ है,समान घनत्व मानते हुए,छड़ $CD$ का द्रव्यमान $2m$ होगा।
मान लीजिए $y_1$ छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र है और $y_2$ छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र है।
बिंदु $C$ को मूल बिंदु $(0,0)$ मानते हुए:
छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र $C$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $2\ell$ की दूरी पर है,इसलिए $y_1 = 2\ell$।
छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र $C$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $\ell$ की दूरी पर है,इसलिए $y_2 = \ell$।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थिति इस प्रकार दी गई है:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
यहाँ,$m_1 = m$ (छड़ $AB$ के लिए) और $m_2 = 2m$ (छड़ $CD$ के लिए)।
$y_{cm} = \frac{m(2\ell) + (2m)(\ell)}{m + 2m} = \frac{2m\ell + 2m\ell}{3m} = \frac{4m\ell}{3m} = \frac{4}{3}\ell$।
अतः,बल को $C$ से $\frac{4}{3}\ell$ की दूरी पर लगाया जाना चाहिए।

(C) एक समान आयताकार प्लेट के लिए,द्रव्यमान केंद्र आयत के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होता है। हालाँकि,प्रश्न में $3^{rd}$ शीर्ष पूछा गया है यदि द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
मान लीजिए कि प्लेट तीन शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ द्वारा परिभाषित एक त्रिभुज है,तो द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार दिया जाता है:
$(x_{CM}, y_{CM}) = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
यहाँ $(x_1, y_1) = (1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, -4)$,और $(x_{CM}, y_{CM}) = (0, 0)$ दिया गया है:
$0 = \frac{1 + 2 + x_3}{3} \implies 3 + x_3 = 0 \implies x_3 = -3$
$0 = \frac{3 - 4 + y_3}{3} \implies -1 + y_3 = 0 \implies y_3 = 1$
अतः,$3^{rd}$ शीर्ष की स्थिति $(-3, 1)$ है।

(D) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $2a$ है। वर्ग के केंद्र को मूल बिंदु $(0,0)$ पर रखें।
कोनों के निर्देशांक इस प्रकार हैं: $m_1$ $(-a, -a)$ पर,$m_2$ $(a, -a)$ पर,$m_3$ $(a, a)$ पर और $m_4$ $(-a, a)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$X_{cm} = \frac{m_1(-a) + m_2(a) + m_3(a) + m_4(-a)}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = 0$
दिए गए द्रव्यमानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2m(-a) + 4m(a) + m(a) + m_4(-a) = 0$
$-2ma + 4ma + ma - m_4a = 0$
$3ma - m_4a = 0 \implies m_4 = 3m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$Y_{cm} = \frac{m_1(-a) + m_2(-a) + m_3(a) + m_4(a)}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = 0$
दिए गए द्रव्यमानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2m(-a) + 4m(-a) + m(a) + m_4(a) = 0$
$-2ma - 4ma + ma + m_4a = 0$
$-5ma + m_4a = 0 \implies m_4 = 5m$
चूंकि $X_{cm}=0$ और $Y_{cm}=0$ दोनों को संतुष्ट करने के लिए $m_4$ के आवश्यक मान अलग-अलग ($3m$ और $5m$) हैं,इसलिए दिए गए द्रव्यमानों $m_1, m_2, m_3$ के लिए $m_4$ के किसी भी मान के लिए द्रव्यमान केंद्र का वर्ग के केंद्र पर होना असंभव है।

(C) मान लीजिए शंकु का घनत्व $\rho$ है। तो इसका द्रव्यमान $m_1$ होगा:
$m_1 = \frac{1}{3} \pi (2R)^2 (4R) \rho = \frac{16}{3} \pi R^3 \rho$
शंकु का द्रव्यमान केंद्र उसके आधार से $h/4$ ऊंचाई पर होता है,जहाँ $h = 4R$ है। अतः,$O$ से $y_1 = \frac{4R}{4} = R$ की दूरी पर।
इसी प्रकार,$R$ त्रिज्या और $12\rho$ घनत्व वाले गोले का द्रव्यमान $m_2$ होगा:
$m_2 = \frac{4}{3} \pi R^3 (12\rho) = 16 \pi R^3 \rho = 3 m_1$
गोले का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र $O_2$ पर होता है। $O$ से $O_2$ की दूरी $y_2 = 4R + R = 5R$ है।
सममिति की रेखा को $y$-अक्ष और मूल बिंदु को $O$ मानने पर,खिलौने का द्रव्यमान केंद्र $Y_{CM}$ होगा:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1(R) + (3m_1)(5R)}{m_1 + 3m_1} = \frac{16 m_1 R}{4 m_1} = 4R$
अतः,खिलौने का द्रव्यमान केंद्र $O$ से $4R$ की दूरी पर स्थित है।

(C) प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = Ax$ दिया गया है।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म अवयव (element) लें।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = Ax dx$ है।
छड़ का कुल द्रव्यमान $M$,$0$ से $L$ तक $dm$ का समाकलन है:
$M = \int_{0}^{L} Ax dx = A [\frac{x^2}{2}]_{0}^{L} = \frac{AL^2}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm}$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm$.
मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{1}{(AL^2/2)} \int_{0}^{L} x (Ax dx) = \frac{2}{AL^2} \int_{0}^{L} Ax^2 dx$.
$x_{cm} = \frac{2}{AL^2} \cdot A [\frac{x^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{2}{L^2} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{2L}{3}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु से $2L/3$ की दूरी पर है।

(C) मान लीजिए कि हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_1 = 1$ इकाई है और क्लोरीन परमाणु का द्रव्यमान $m_2 = 35.5$ इकाई है।
हाइड्रोजन परमाणु को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर रखने पर,इसकी स्थिति $\vec{r}_1 = 0$ है।
क्लोरीन परमाणु x-अक्ष पर $1.27 \, \mathring{A}$ की दूरी पर है,इसलिए इसकी स्थिति $\vec{r}_2 = 1.27 \, \hat{i} \, \mathring{A}$ है।
द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{R} = \frac{1 \times 0 + 35.5 \times 1.27 \hat{i}}{1 + 35.5}$
$\vec{R} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \hat{i}$
$\vec{R} \approx 0.9726 \times 1.27 \hat{i} \approx 1.24 \hat{i} \, \mathring{A}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र हाइड्रोजन परमाणु से लगभग $1.24 \, \mathring{A}$ की दूरी पर स्थित है।

(D) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $A(0,0)$,$B(a,0)$,$C(a,a)$ और $D(0,a)$ हैं।
दिए गए द्रव्यमान $m_1=2m$ $(0,0)$ पर,$m_2=4m$ $(a,0)$ पर,$m_3=m$ $(a,a)$ पर और $m_4$ $(0,a)$ पर हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + m_4x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{2m(0) + 4m(a) + m(a) + m_4(0)}{2m + 4m + m + m_4} = \frac{5ma}{7m + m_4}$
द्रव्यमान केंद्र को वर्ग के केंद्र पर होने के लिए,$X_{cm} = \frac{a}{2}$ होना चाहिए।
$\frac{5ma}{7m + m_4} = \frac{a}{2} \implies 10m = 7m + m_4 \implies m_4 = 3m$.
अब $Y_{cm}$ के लिए जाँच करते हैं:
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 + m_4y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{2m(0) + 4m(0) + m(a) + m_4(a)}{2m + 4m + m + m_4} = \frac{ma + m_4a}{7m + m_4}$
$Y_{cm} = \frac{a}{2}$ के लिए:
$\frac{a(m + m_4)}{7m + m_4} = \frac{a}{2} \implies 2m + 2m_4 = 7m + m_4 \implies m_4 = 5m$.
चूँकि $m_4$ के मान अलग-अलग हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वर्ग के केंद्र पर होना संभव नहीं है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) किसी पिंड का $CM$ (द्रव्यमान केंद्र) वह बिंदु है जहाँ पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
यह एक ज्यामितीय गुण है जो द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।
गोले जैसी ठोस वस्तु के लिए,$CM$ अंदर स्थित होता है।
हालाँकि,एक वलय (ring) या अर्धवृत्ताकार तार जैसी वस्तुओं के लिए,$CM$ पिंड के पदार्थ से बाहर स्थित होता है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र पिंड के अंदर या बाहर कहीं भी हो सकता है।

(C) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$,जो $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ स्थितियों पर स्थित हैं,निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{R}_{CM} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
यह सूत्र दोनों कणों के स्थिति सदिशों का भारित औसत दर्शाता है।
चूंकि $\vec{R}_{CM}$,$\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ का एक रैखिक संयोजन है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश हमेशा उन दो कणों को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए।
अतः,द्रव्यमान केंद्र हमेशा दो कणों को जोड़ने वाली रेखा पर ही स्थित होता है।

(A) वस्तु की शुद्ध स्थानांतरण गति के लिए,बल को उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ पर कार्य करना चाहिए।
मान लीजिए कि क्षैतिज पट्टी $AB$ का द्रव्यमान $m$ है और ऊर्ध्वाधर पट्टी का द्रव्यमान $2m$ है (क्योंकि इसकी लंबाई $2l$ है)।
दोनों पट्टियों के मिलन बिंदु को मूल बिंदु $(0,0)$ मानिए।
क्षैतिज पट्टी का द्रव्यमान केंद्र $(0,0)$ पर है।
ऊर्ध्वाधर पट्टी का द्रव्यमान केंद्र $(0, -l)$ पर है।
वस्तु का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m = 3m$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{CM} = \frac{m(0) + 2m(-l)}{3m} = \frac{-2ml}{3m} = -\frac{2l}{3}$.
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र मिलन बिंदु से $C$ की ओर $\frac{2l}{3}$ दूरी पर है।
चूंकि ऊर्ध्वाधर पट्टी की कुल लंबाई $2l$ है,इसलिए $C$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $2l - \frac{2l}{3} = \frac{4l}{3}$ होगी।

(A) द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश का सूत्र है: $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$।
दिया गया है: $m_1 = 10\,kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
दिया गया है: $m_2 = 30\,kg$,$\vec{r}_2 = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$।
मान रखने पर:
$\vec{r}_{cm} = \frac{10(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 30(-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})}{10 + 30}$।
$\vec{r}_{cm} = \frac{10(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 30(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{40}$।
$\vec{r}_{cm} = \frac{-20(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{40}$।
$\vec{r}_{cm} = -\frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{2}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ एक ऐसा बिंदु है जो किसी पिंड या निकाय में पदार्थ की औसत स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
यह आवश्यक नहीं है कि यह वस्तु के भौतिक पदार्थ के भीतर ही स्थित हो।
एक ठोस गोले के लिए,$COM$ पिंड के भीतर स्थित होता है।
एक खोखली वस्तु या $L$-आकार की पट्टिका (lamina) के लिए,$COM$ पिंड के पदार्थ के बाहर स्थित हो सकता है।
इसलिए,$COM$ पिंड के भीतर,बाहर या सतह पर स्थित हो सकता है।

(A) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 2\,kg$,$m_2 = 4\,kg$ और $m_3 = 4\,kg$ हैं।
उनके स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = (1, 0, 0) = \hat{i}$,$\vec{r}_2 = (1, 1, 0) = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{r}_3 = (0, 1, 0) = \hat{j}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{r}_{cm} = \frac{2(\hat{i}) + 4(\hat{i} + \hat{j}) + 4(\hat{j})}{2 + 4 + 4}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{2\hat{i} + 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{j}}{10} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j}}{10}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{6}{10}\hat{i} + \frac{8}{10}\hat{j} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$.

(B) प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान,यानी रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$,$\mu \propto x$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\mu = \lambda x$,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
एक सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \mu dx = \lambda x dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x (\lambda x dx)}{\int_{0}^{3} \lambda x dx}$
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x^2 dx}{\int_{0}^{3} x dx} = \frac{[x^3/3]_0^3}{[x^2/2]_0^3}$
$x_{cm} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2\, m$.

(A) शुद्ध स्थानांतरीय गति के लिए,बल को वस्तु के द्रव्यमान केंद्र पर लगाया जाना चाहिए। इसलिए,हमें $T$-आकार की वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति की गणना करनी होगी।
मान लीजिए छड़ $AB$ का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि छड़ $CD$ की लंबाई $2l$ है,इसलिए इसका द्रव्यमान $2m$ होगा (समान घनत्व मानते हुए)।
मान लीजिए $y_1$ छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र है और $y_2$ छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र है।
बिंदु $C$ को मूल बिंदु $(0,0)$ मानते हुए:
छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र $C$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $2l$ की दूरी पर है,इसलिए $\vec{r}_1 = 2l\hat{j}$।
छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र $C$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $l$ की दूरी पर है,इसलिए $\vec{r}_2 = l\hat{j}$।
द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ हैं।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति:
$\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{m(2l\hat{j}) + (2m)(l\hat{j})}{m + 2m} = \frac{2ml\hat{j} + 2ml\hat{j}}{3m} = \frac{4ml\hat{j}}{3m} = \frac{4}{3}l\hat{j}$।
अतः,$C$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{4}{3}l$ है।

(B) माना $\lambda$ घनत्व वाली अर्धवृत्ताकार रिंग का द्रव्यमान $M_1 = \lambda (\pi R) = M$ है।
तब,$3\lambda$ घनत्व वाली अर्धवृत्ताकार रिंग का द्रव्यमान $M_2 = 3\lambda (\pi R) = 3M$ है।
$R$ त्रिज्या वाली अर्धवृत्ताकार रिंग का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र से सममिति की अक्ष पर $\frac{2R}{\pi}$ की दूरी पर होता है।
माना ज्यामितीय केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
पहली रिंग (द्रव्यमान $M$) को बाईं ओर रखने पर,इसका द्रव्यमान केंद्र $x_1 = -\frac{2R}{\pi}$ पर है।
दूसरी रिंग (द्रव्यमान $3M$) को दाईं ओर रखने पर,इसका द्रव्यमान केंद्र $x_2 = \frac{2R}{\pi}$ पर है।
संयुक्त निकाय का द्रव्यमान केंद्र $X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$ है।
$X_{cm} = \frac{M(-\frac{2R}{\pi}) + 3M(\frac{2R}{\pi})}{M + 3M} = \frac{\frac{4MR}{\pi}}{4M} = \frac{R}{\pi}$।
अतः,ज्यामितीय केंद्र से दूरी $\frac{R}{\pi}$ है।

(D) मान लीजिए पहले निकाय का कुल द्रव्यमान $M_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \, kg$ और द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_1 = (1, 2, 3) \, m$ है।
मान लीजिए दूसरे निकाय का कुल द्रव्यमान $M_2 = 2 + 3 = 5 \, kg$ और द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_2 = (-1, 3, -2) \, m$ है।
मान लीजिए तीसरे कण का द्रव्यमान $m_3 = 5 \, kg$ और स्थिति $\vec{r} = (x, y, z)$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 6 + 5 + 5 = 16 \, kg$ है।
संयुक्त निकाय का द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm} = \frac{M_1\vec{R}_1 + M_2\vec{R}_2 + m_3\vec{r}}{M}$ है।
हम चाहते हैं कि $\vec{R}_{cm} = \vec{R}_1 = (1, 2, 3)$ हो।
मान रखने पर: $\frac{6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z)}{16} = (1, 2, 3)$.
$6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z) = 16(1, 2, 3)$.
$(6, 12, 18) + (-5, 15, -10) + 5(x, y, z) = (16, 32, 48)$.
$(1, 27, 8) + 5(x, y, z) = (16, 32, 48)$.
$5(x, y, z) = (16-1, 32-27, 48-8) = (15, 5, 40)$.
$(x, y, z) = (3, 1, 8) \, m$.

(B) गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड का कुल गुरुत्वाकर्षण बल (भार) कार्य करता है।
$(b)$ यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान है तो द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ और $C.G.$ संपाती होते हैं। यदि पृथ्वी की त्रिज्या अनंत है,तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान रहता है,इसलिए $(b)$ सही है।
$(c)$ गोलाकार सममित पिंड के लिए,बाहरी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की गणना के लिए द्रव्यमान को $C.G.$ पर केंद्रित माना जा सकता है। हालाँकि,यह सभी पिंडों के लिए सत्य नहीं है।
$(d)$ घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है। यह केवल $C.G.$ से अक्ष तक की लंबवत दूरी नहीं है।

(D) माना रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho = kx$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot dx = kx \cdot dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की स्थिति सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm}$
मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(kx \cdot dx)}{\int_{0}^{3} kx \cdot dx} = \frac{\int_{0}^{3} x^2 \cdot dx}{\int_{0}^{3} x \cdot dx}$
समाकलन का मान निकालने पर:
$x_{cm} = \frac{[x^3/3]_{0}^{3}}{[x^2/2]_{0}^{3}} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2 \; m$.

(C) किसी पिंड के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति पिंड के आकार,माप और द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है।
इसलिए,$Assertion$ सही है।
पिंड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा पिंड के ज्यामितीय केंद्र पर स्थित हो,यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक असमान पिंड में,द्रव्यमान केंद्र भारी हिस्से की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
इसके अलावा,द्रव्यमान केंद्र का पिंड के भीतर स्थित होना भी आवश्यक नहीं है,जैसे कि एक रिंग या घोड़े की नाल (horseshoe) के मामले में।
इसलिए,$Reason$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि $1.0 \; kg$ द्रव्यमान मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है।
तीनों द्रव्यमानों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$m_1 = 1.0 \; kg$,$(0, 0) \; cm$ पर
$m_2 = 1.5 \; kg$,$(3, 0) \; cm$ पर
$m_3 = 2.5 \; kg$,$(0, 4) \; cm$ पर
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1.0(0) + 1.5(3) + 2.5(0)}{1.0 + 1.5 + 2.5} = \frac{4.5}{5.0} = 0.9 \; cm$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1.0(0) + 1.5(0) + 2.5(4)}{1.0 + 1.5 + 2.5} = \frac{10.0}{5.0} = 2.0 \; cm$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $1.0 \; kg$ द्रव्यमान से $0.9 \; cm$ दाईं ओर और $2.0 \; cm$ ऊपर स्थित है।

(D) लैमिना को दो आयताकार प्लेटों में विभाजित करें: प्लेट-$1$ और प्लेट-$2$।
प्लेट-$1$ के आयाम $1 \; m \times 3 \; m$ हैं,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_{1} = 3 \; m^{2}$ है।
प्लेट-$2$ के आयाम $1 \; m \times 1 \; m$ हैं,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_{2} = 1 \; m^{2}$ है।
चूंकि लैमिना समान है,द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। कुल क्षेत्रफल $A = A_{1} + A_{2} = 4 \; m^{2}$ है।
दिया गया कुल द्रव्यमान $M = 4 \; kg$ है,इसलिए प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $m_{1} = 3 \; kg$ और $m_{2} = 1 \; kg$ है।
प्लेट-$1$ का द्रव्यमान केंद्र $(x_{1}, y_{1}) = (0.5 \; m, 1.5 \; m)$ पर है।
प्लेट-$2$ का द्रव्यमान केंद्र $(x_{2}, y_{2}) = (1.5 \; m, 2.5 \; m)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $x_{cm} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{3 \times 0.5 + 1 \times 1.5}{4} = \frac{1.5 + 1.5}{4} = 0.75 \; m$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = \frac{m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{3 \times 1.5 + 1 \times 2.5}{4} = \frac{4.5 + 2.5}{4} = \frac{7}{4} = 1.75 \; m$ है।
अतः,निर्देशांक $(0.75 \; m, 1.75 \; m)$ हैं।

(D) द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।
दिया गया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho(x) = \lambda(x) = a + b\left(\frac{x}{L}\right)^2$ है,इसलिए द्रव्यमान अवयव $dm = \lambda(x) dx = \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx$ होगा।
कुल द्रव्यमान $M = \int_0^L dm = \int_0^L \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \left[ ax + \frac{b x^3}{3 L^2} \right]_0^L = aL + \frac{bL}{3} = L\left(a + \frac{b}{3}\right) = L\left(\frac{3a+b}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का आघूर्ण $\int_0^L x dm = \int_0^L x \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \int_0^L \left(ax + \frac{b x^3}{L^2}\right) dx = \left[ \frac{a x^2}{2} + \frac{b x^4}{4 L^2} \right]_0^L = \frac{a L^2}{2} + \frac{b L^2}{4} = L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)$ होता है।
अतः,$x_{cm} = \frac{L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)}{L\left(\frac{3a+b}{3}\right)} = \frac{3}{4} \left(\frac{2a+b}{3a+b}\right) L$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(0.5,0)$ और $B(0.25, 0.25\sqrt{3})$ हैं।
द्रव्यमान $m_1 = 100 \; g$ बिंदु $O$ पर,$m_2 = 150 \; g$ बिंदु $A$ पर और $m_3 = 200 \; g$ बिंदु $B$ पर स्थित हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(X, Y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{100(0) + 150(0.5) + 200(0.25)}{100 + 150 + 200} = \frac{75 + 50}{450} = \frac{125}{450} = \frac{5}{18} \; m$
$Y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{100(0) + 150(0) + 200(0.25\sqrt{3})}{450} = \frac{50\sqrt{3}}{450} = \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \; m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(\frac{5}{18}, \frac{1}{3\sqrt{3}}) \; m$ पर स्थित है।

(N/A) त्रिभुजाकार लैमिना $(\Delta LMN)$ को आधार $(MN)$ के समानांतर संकीर्ण पट्टियों में विभाजित किया जा सकता है।
समरूपता के कारण,प्रत्येक पट्टी का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है।
यदि हम ऐसी सभी पट्टियों के मध्य बिंदुओं को जोड़ते हैं,तो हमें माध्यिका $LP$ प्राप्त होती है।
इसलिए,पूरे त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र माध्यिका $LP$ पर स्थित होना चाहिए।
इसी प्रकार,अन्य भुजाओं के समानांतर पट्टियों पर विचार करके,हम यह तर्क दे सकते हैं कि द्रव्यमान केंद्र माध्यिकाओं $MQ$ और $NR$ पर भी स्थित होना चाहिए।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र तीनों माध्यिकाओं पर स्थित है,इसलिए यह उनके संगामी बिंदु,यानी त्रिभुज के केंद्रक $G$ पर स्थित होता है।

(N/A) आकृति में दिखाए गए अनुसार $X$ और $Y$ अक्षों को चुनने पर,हमारे पास $L$-आकार की लैमिना के शीर्षों के निर्देशांक हैं। हम $L$-आकार को $1 \; m$ भुजा की लंबाई वाले $3$ वर्गों से बना मान सकते हैं। चूंकि लैमिना एकसमान है,इसलिए प्रत्येक वर्ग का द्रव्यमान $1 \; kg$ है। वर्गों के द्रव्यमान केंद्र $C_{1}$,$C_{2}$ और $C_{3}$ समरूपता के कारण उनके ज्यामितीय केंद्र हैं। उनके निर्देशांक क्रमशः $(0.5, 0.5) \; m$,$(1.5, 0.5) \; m$ और $(0.5, 1.5) \; m$ हैं। हम मानते हैं कि वर्गों का द्रव्यमान इन बिंदुओं पर केंद्रित है। पूरे $L$-आकार का द्रव्यमान केंद्र $(X, Y)$ इन द्रव्यमान बिंदुओं का द्रव्यमान केंद्र है।
अतः,
$X = \frac{[1(0.5) + 1(1.5) + 1(0.5)] \; kg \cdot m}{(1 + 1 + 1) \; kg} = \frac{2.5}{3} \; m = \frac{5}{6} \; m$
$Y = \frac{[1(0.5) + 1(0.5) + 1(1.5)] \; kg \cdot m}{(1 + 1 + 1) \; kg} = \frac{2.5}{3} \; m = \frac{5}{6} \; m$

(N/A) समान द्रव्यमान घनत्व वाले पिंड का द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
$(i)$ गोले के लिए,$C.M.$ उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
$(ii)$ बेलन के लिए,$C.M.$ उसके ज्यामितीय केंद्र (अक्ष का मध्य बिंदु) पर होता है।
$(iii)$ वलय के लिए,$C.M.$ उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
$(iv)$ घन के लिए,$C.M.$ उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
नहीं,किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र आवश्यक रूप से पिंड के भीतर ही स्थित हो,यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए,एक वलय या खोखले गोले के मामले में,$C.M.$ उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है,जो कि पिंड के पदार्थ के बाहर खाली स्थान में होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $H$ परमाणु की स्थिति $x_H = 0$ है और $Cl$ परमाणु की स्थिति $x_{Cl} = 1.27 \; \mathring{A}$ है।
मान लीजिए हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_H = m$ है।
अतः,क्लोरीन परमाणु का द्रव्यमान $m_{Cl} = 35.5 \; m$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र $(X_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$X_{CM} = \frac{m_H x_H + m_{Cl} x_{Cl}}{m_H + m_{Cl}}$
मान रखने पर:
$X_{CM} = \frac{m(0) + (35.5 \; m)(1.27 \; \mathring{A})}{m + 35.5 \; m}$
$X_{CM} = \frac{35.5 \; m \times 1.27 \; \mathring{A}}{36.5 \; m}$
$X_{CM} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \; \mathring{A} \approx 1.235 \; \mathring{A}$
यह दूरी हाइड्रोजन परमाणु से मापी गई है।
वैकल्पिक रूप से,क्लोरीन परमाणु से दूरी $1.27 \; \mathring{A} - 1.235 \; \mathring{A} = 0.035 \; \mathring{A}$ (राउंडिंग के आधार पर लगभग $0.037 \; \mathring{A}$) है।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र क्लोरीन परमाणु से लगभग $0.037 \; \mathring{A}$ की दूरी पर स्थित है।

(B) किसी वस्तु को बिंदु कण के रूप में तब माना जा सकता है जब गति के दौरान उसकी स्थिति में परिवर्तन उसके अपने आकार की तुलना में बहुत अधिक हो।
दो वस्तुओं के निकाय के लिए,उन्हें बिंदु कण के रूप में तब माना जा सकता है जब वस्तुओं के आयाम (आकार) उनके बीच की दूरी की तुलना में नगण्य हों।

(B) परिभाषा के अनुसार, एक कण वह वस्तु है जिसका द्रव्यमान तो होता है लेकिन कोई आयाम (आकार) नहीं होता।
भौतिकी में, हम एक कण को बिंदु द्रव्यमान के रूप में मानते हैं, जिसका अर्थ है कि यह अंतरिक्ष में केवल एक बिंदु पर स्थित होता है।
इसलिए, एक कण का आयतन शून्य होता है, न कि 'बिंदु आयतन'।
'बिंदु आयतन' शब्द भौतिक रूप से अर्थहीन है क्योंकि एक बिंदु का कोई आयतन नहीं होता है।
अतः, यह कथन असत्य है।

(N/A) कणों का निकाय दो या दो से अधिक कणों का एक ऐसा समूह है जो एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं या जिनकी सामूहिक गति,द्रव्यमान केंद्र और गतिकी का विश्लेषण करने के लिए उन्हें एक साथ माना जाता है।

(B) किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र वह विशिष्ट बिंदु है जहाँ उसकी स्थानांतरण गति का वर्णन करने के उद्देश्य से निकाय या पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
इसे गणितीय रूप से $\vec{R} = \frac{1}{M} \sum m_i \vec{r}_i$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसे सामान्यतः $C.M.$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

(N/A) $X$-अक्ष पर मूल बिंदु $O$ से $x_1$ और $x_2$ दूरियों पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के निकाय पर विचार करें। इस निकाय का द्रव्यमान केंद्र $C$,$X$ दूरी पर स्थित है,जो इस प्रकार दिया गया है:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
यहाँ,$X$ (जिसे $r_{cm}$ भी कहा जाता है) स्थितियों का द्रव्यमान-भारित माध्य है। यदि दोनों कणों का द्रव्यमान समान $(m_1 = m_2 = m)$ है,तो:
$X = \frac{m x_1 + m x_2}{m + m} = \frac{x_1 + x_2}{2}$
यह दर्शाता है कि समान द्रव्यमान वाले दो कणों के लिए,द्रव्यमान केंद्र ठीक उनके मध्य बिंदु पर स्थित होता है। $n$ कणों के निकाय के लिए,जिनके द्रव्यमान $m_1, m_2, \dots, m_n$ और स्थितियाँ $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं,द्रव्यमान केंद्र $X$ की स्थिति भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$X = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
निकाय के कुल द्रव्यमान को $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ के रूप में परिभाषित करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$X = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$

(N/A) $n$ कणों के एक निकाय के लिए,जिनके द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$ हैं और जो द्विविमीय तल में स्थिति सदिश $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, ..., \vec{r}_{n}$ पर स्थित हैं,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r}_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ के संदर्भ में,जहाँ $\vec{r}_{i} = (x_{i}, y_{i})$ और $\vec{R} = (X, Y)$ है,इसके घटक निम्नलिखित हैं:
$X = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
$Y = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R} = (X, Y) = \left( \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}, \frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ द्रव्यमान वाले $n$ कणों के निर्देशांक क्रमशः $(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}), \ldots, (x_{n}, y_{n}, z_{n})$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(X, Y, Z)$ की स्थिति इस प्रकार दी जाती है:
$(X, Y, Z) = \frac{m_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) + m_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) + \ldots + m_{n}(x_{n}, y_{n}, z_{n})}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
$= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}, y_{i}, z_{i})}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
इसे व्यक्तिगत निर्देशांकों के संदर्भ में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$X = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{M}, Y = \frac{\sum m_{i} y_{i}}{M}, Z = \frac{\sum m_{i} z_{i}}{M}$
जहाँ $M = \sum m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
स्थिति सदिशों का उपयोग करते हुए,यदि $\vec{r}_{i} = x_{i}\hat{i} + y_{i}\hat{j} + z_{i}\hat{k}$ $i$-वें कण का स्थिति सदिश है,तो द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ होगा:
$\vec{R} = \frac{\sum m_{i} \vec{r}_{i}}{M}$
यदि निर्देशांक प्रणाली का मूल बिंदु द्रव्यमान केंद्र पर स्थित हो,तो $\sum m_{i} \vec{r}_{i} = 0$ होता है।

(N/A) एक दृढ़ पिंड बड़ी संख्या में कणों (परमाणुओं या अणुओं) से बना होता है और इन कणों के बीच की दूरी अत्यंत कम होती है। चूंकि पिंड सतत (continuous) होता है,इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत परमाणु के लिए द्रव्यमान और स्थिति के गुणनफल का योग करना गणितीय रूप से असंभव है। इसलिए,पिंड को $n$ छोटे द्रव्यमान तत्वों $(dm)$ से बना माना जाता है,जो हमें द्रव्यमान केंद्र निर्धारित करने के लिए समाकलन (integration) का उपयोग करने की अनुमति देता है: $\vec{R}_{cm} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$.

(N/A) एक ठोस पिंड सूक्ष्म कणों (अणुओं,आयनों,परमाणुओं) से बना होता है जो इसके आयतन में निरंतर वितरित होते हैं।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक ठोस पिंड पर विचार करें जिसे छोटे द्रव्यमान तत्वों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $dm$ और स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
$m_1, m_2, \ldots, m_n$ द्रव्यमान वाले और $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_n$ स्थिति सदिश वाले कणों के निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ इस प्रकार है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
एक निरंतर ठोस पिंड के लिए,हम योग को समाकलन (integral) से प्रतिस्थापित करते हैं। मान लीजिए कि पिंड का कुल द्रव्यमान $M$ है,जहाँ $M = \int dm$ है।
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश:
$\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$
कार्तीय निर्देशांक $(X, Y, Z)$ के संदर्भ में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$X = \frac{1}{M} \int x dm$
$Y = \frac{1}{M} \int y dm$
$Z = \frac{1}{M} \int z dm$
ये समीकरण हमें पिंड के पूरे आयतन पर समाकलन करके किसी भी ठोस पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गणना करने की अनुमति देते हैं।

(N/A) एक समांगी पिंड वह पिंड है जिसमें द्रव्यमान समान रूप से वितरित होता है।
$L$ लंबाई और $M$ कुल द्रव्यमान वाली एक पतली छड़ पर विचार करें। मूल बिंदु को छड़ के एक सिरे पर लें और $X$-अक्ष को छड़ की लंबाई के अनुदिश रखें।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{M}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ की स्थिति इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x dm$
$dm$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$
अतः,एक समान पतली छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है,जो किसी भी सिरे से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर स्थित है।

कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र वह विशिष्ट बिंदु है जहाँ निकाय की स्थानांतरण गति का वर्णन करने के उद्देश्य से निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है।
गणितीय रूप से,$m_1, m_2, ..., m_n$ द्रव्यमान वाले और $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ स्थिति सदिशों पर स्थित $n$ कणों के निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i$
जहाँ $M = \sum m_i$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।

(A) समान द्रव्यमान $m$ के $n$ कणों की प्रणाली के लिए,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
चूंकि सभी द्रव्यमान समान हैं $(m_1 = m_2 = ... = m_n = m)$,सूत्र सरल होकर इस प्रकार हो जाता है:
$\vec{R} = \frac{m \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i}{nm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i$
यह व्यंजक कणों के स्थिति सदिशों का अंकगणितीय माध्य दर्शाता है।
अतः,समान द्रव्यमान वाले कणों का द्रव्यमान केंद्र प्रणाली के ज्यामितीय केंद्र (या औसत स्थिति) पर स्थित होता है।

(N/A) मान लीजिए कि तीनों कणों का द्रव्यमान समान है,अर्थात $m_1 = m_2 = m_3 = m$।
मान लीजिए कि उनके स्थिति सदिश $\vec{r}_1$,$\vec{r}_2$ और $\vec{r}_3$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
चूंकि $m_1 = m_2 = m_3 = m$ है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m(\vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3)}{3m} = \frac{\vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3}{3}$
यह परिणाम दर्शाता है कि समान द्रव्यमान वाले तीन कणों का द्रव्यमान केंद्र उन तीनों कणों की स्थितियों द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक (centroid) होता है।

(N/A) $n$ कणों के एक निकाय के लिए,जिनके द्रव्यमान $m_1, m_2, ..., m_n$ हैं और जो स्थिति सदिश $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ पर स्थित हैं,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ निकाय के सभी कणों के स्थिति सदिशों के भारित औसत (weighted average) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + ... + m_n \vec{r}_n}{M}$
जहाँ $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।

(N/A) एक दृढ़ पिंड पदार्थ के निरंतर वितरण से बना होता है,जिसमें प्रभावी रूप से कणों की एक अनंत संख्या होती है।
चूंकि कणों की संख्या अनंत है,इसलिए प्रत्येक कण के लिए उसके द्रव्यमान $m_i$ और स्थिति सदिश $\vec{r}_i$ को मापना या ट्रैक करना भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,असतत योग $\sum m_i \vec{r}_i$ का उपयोग करने के बजाय,हम एक निरंतर पिंड के लिए द्रव्यमान केंद्र निर्धारित करने के लिए समाकलन (integration) की विधि $\int \vec{r} \, dm$ का उपयोग करते हैं।

(N/A) एक समांग पिंड वह पिंड है जिसका द्रव्यमान घनत्व उसके पूरे आयतन में एकसमान होता है। इसका अर्थ है कि पिंड के भीतर किसी भी बिंदु पर,प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान स्थिर रहता है। गणितीय रूप से,यदि $\rho$ घनत्व है,तो पिंड के अंदर सभी बिंदुओं के लिए $\rho = \frac{dm}{dV} = \text{स्थिरांक}$ होता है। ऐसे पिंडों के लिए,द्रव्यमान केंद्र पिंड के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होता है।

(N/A) समरूप वस्तु का द्रव्यमान केंद्र उसकी समरूपता के कारण उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
$1$. एक समान रिंग के लिए: द्रव्यमान केंद्र रिंग के केंद्र पर होता है।
$2$. एक समान डिस्क के लिए: द्रव्यमान केंद्र डिस्क के केंद्र पर होता है।
$3$. एक समान ठोस गोले के लिए: द्रव्यमान केंद्र गोले के केंद्र पर होता है।
$4$. एक समान खोखले गोले के लिए: द्रव्यमान केंद्र गोले के केंद्र पर होता है।

(A) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}$ की स्थिति को समीकरण $\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
यदि हम अपनी निर्देशांक प्रणाली का मूल बिंदु द्रव्यमान केंद्र पर चुनते हैं,तो $\vec{R} = 0$ होगा।
इस मान को परिभाषा में रखने पर,हमें $0 = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\int \vec{r} dm = 0$ है।
अतः,जब मूल बिंदु पिंड के द्रव्यमान केंद्र पर स्थित होता है,तब समाकलन $\int \vec{r} dm$ शून्य होता है।

(A) जो पिंड सममित और समांग (समान द्रव्यमान वितरण वाले) होते हैं,उनका द्रव्यमान केंद्र पिंड के ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
इसका कारण यह है कि द्रव्यमान ज्यामितीय केंद्र के चारों ओर समान रूप से वितरित होता है,जिससे उस बिंदु पर द्रव्यमान का कुल आघूर्ण शून्य हो जाता है।