Centre of mass (Point Mass) Questions in Hindi

(D) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
चूंकि तीनों गेंदें समान हैं और उनके केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए निकाय सममित है।
कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र व्यक्तिगत द्रव्यमान केंद्रों की स्थितियों का भारित औसत होता है।
एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन समान द्रव्यमानों के लिए,द्रव्यमान केंद्र त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) पर स्थित होता है।
समबाहु त्रिभुज का केंद्रक उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

(C) द्रव्यमान केंद्र कणों के निकाय या किसी दृढ़ पिंड के लिए परिभाषित एक विशिष्ट बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,यह वह बिंदु है जहाँ निकाय की स्थानांतरण गति का वर्णन करने के लिए पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहाँ स्थानांतरीय गति के लिए पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है। हालाँकि,जब क्रिकेट बैट जैसी असमान वस्तु को उसके द्रव्यमान केंद्र पर काटा जाता है,तो प्राप्त दोनों टुकड़ों का द्रव्यमान समान होना आवश्यक नहीं है।
क्रिकेट बैट में,द्रव्यमान हैंडल की तुलना में निचले हिस्से (ब्लेड) की ओर अधिक केंद्रित होता है। द्रव्यमान केंद्र भारी सिरे (ब्लेड) के करीब स्थित होता है। जब बैट को द्रव्यमान केंद्र पर काटा जाता है,तो ब्लेड वाला हिस्सा (निचला टुकड़ा) अधिक पदार्थ रखता है और इसलिए हैंडल वाले टुकड़े की तुलना में इसका द्रव्यमान अधिक होता है।

(B) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर,स्थिति $m_1 r_1 = m_2 r_2$ होती है।
इसका अर्थ है $r_1 / r_2 = m_2 / m_1$।
अतः,द्रव्यमान केंद्र की किसी कण से दूरी $r$ उस कण के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(r \propto 1/m)$।

(C) एक समान त्रिभुजाकार पटल (lamina) के लिए,द्रव्यमान केंद्र त्रिभुज के केंद्रक (centroid) पर स्थित होता है।
यदि त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,तो केंद्रक $(x_{cm}, y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार दिए जाते हैं:
$x_{cm} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ और $y_{cm} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$।
चित्र से,शीर्ष $(0, 0)$,$(b, 0)$ और $(0, h)$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{0 + b + 0}{3} = \frac{b}{3}$
$y_{cm} = \frac{0 + 0 + h}{3} = \frac{h}{3}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(\frac{b}{3}, \frac{h}{3})$ हैं।

(C) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के निकाय के लिए,जो अपने द्रव्यमान केंद्र से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर स्थित हैं,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $m_1 r_1 = m_2 r_2$ द्वारा दी जाती है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \frac{m_2}{m_1}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि द्रव्यमान केंद्र से कणों की दूरियों का अनुपात उनके द्रव्यमानों के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र दो कणों के बीच की दूरी को उनके द्रव्यमानों के व्युत्क्रमानुपात में विभाजित करता है।

(B) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta R_{cm} = 0$।
इसलिए,$m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$।
यहाँ,द्रव्यमान $m_1$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है। माना विस्थापन $\Delta x_1 = d$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $m_1 d + m_2 \Delta x_2 = 0$।
$\Delta x_2$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta x_2 = -\frac{m_1}{m_2} d$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि द्रव्यमान $m_2$ को $m_1$ की विपरीत दिशा में (अर्थात द्रव्यमान केंद्र की ओर) $\frac{m_1}{m_2} d$ दूरी तक विस्थापित किया जाना चाहिए।

(B) छड़ का रैखिक घनत्व दूरी के साथ $\lambda = 2 + x$ के अनुसार बदलता है।
$x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव के लिए,द्रव्यमान $dm = \lambda \ dx = (2 + x) \ dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm}$ इस प्रकार दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x \ dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \ dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \ dx}$
अंश की गणना:
$\int_{0}^{3} (2x + x^2) \ dx = [x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) - 0 = 9 + 9 = 18$.
हर की गणना (कुल द्रव्यमान $M$):
$\int_{0}^{3} (2 + x) \ dx = [2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) - 0 = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$.
अतः,$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{18 \times 2}{21} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$.

(A) किसी वस्तु के शुद्ध स्थानांतरण गति करने के लिए,लगाया गया बल उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से होकर गुजरना चाहिए।
मान लीजिए कि क्षैतिज छड़ $AB$ का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि ऊर्ध्वाधर छड़ $CD$ की लंबाई $2l$ है और क्षैतिज छड़ $AB$ की लंबाई $l$ है,समान घनत्व मानते हुए,छड़ $CD$ का द्रव्यमान $2m$ होगा।
छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु $D$ पर है,जो $C$ से $2l$ की दूरी पर है। मान लीजिए $y_1 = 2l$ है।
छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर है,जो $C$ से $l$ की दूरी पर है। मान लीजिए $y_2 = l$ है।
$C$ को मूल बिंदु मानते हुए,ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$y_{cm} = \frac{m(2l) + (2m)(l)}{m + 2m} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4l}{3}$
अतः,शुद्ध स्थानांतरण गति सुनिश्चित करने के लिए बल को $C$ से $\frac{4l}{3}$ की दूरी पर लगाया जाना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि चार पिंडों की स्थितियाँ $a(-x, -y)$,$b(x, -y)$,$c(x, y)$,और $d(-x, y)$ हैं।
समान द्रव्यमान $m$ के दो पिंडों का द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$,जिनकी स्थितियाँ $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं,इस प्रकार दिया जाता है: $X_{cm} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ और $Y_{cm} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर रहने के लिए,$x_1 + x_2 = 0$ और $y_1 + y_2 = 0$ होना चाहिए।
$1$. युग्म $a$ और $c$ के लिए: $a$ स्थिति $(-x, -y)$ पर है और $c$ स्थिति $(x, y)$ पर है। निर्देशांकों का योग $(-x+x, -y+y) = (0, 0)$ है। अतः,द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर रहेगा।
$2$. युग्म $b$ और $d$ के लिए: $b$ स्थिति $(x, -y)$ पर है और $d$ स्थिति $(-x, y)$ पर है। निर्देशांकों का योग $(x-x, -y+y) = (0, 0)$ है। अतः,द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर रहेगा।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$a$ और $c$ का संयोजन द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु पर बनाए रखता है।

(B) मान लीजिए कि तीनों गोलों के द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m_3 = 1 \ kg$ हैं।
मान लीजिए कि केंद्रों $P, Q, R$ की स्थिति $x$-अक्ष पर $x_P, x_Q, x_R$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु है,इसलिए $x_P = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र $(x_{cm})$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_P + m_2 x_Q + m_3 x_R}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{1 \times 0 + 1 \times PQ + 1 \times PR}{1 + 1 + 1} = \frac{PQ + PR}{3}$
चूंकि सभी केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = 0$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र की $P$ से दूरी $\frac{PQ + PR}{3}$ है।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है। द्रव्यमान केंद्र निचले सिरे से $L/2$ की दूरी पर है। माना फर्श के साथ कोण $\theta$ है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं: $x = (L/2) \cos \theta$ और $y = (L/2) \sin \theta$। इनका वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $x^2 + y^2 = (L/2)^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (L/2)^2$ प्राप्त होता है। यह मूल बिंदु (वह कोना जहाँ दीवार और फर्श मिलते हैं) पर केंद्रित $L/2$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है। अतः,द्रव्यमान केंद्र कोने पर केंद्रित एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश गति करता है।

(B) चूंकि दोनों पिंडों पर समान और विपरीत बल लगाए जाते हैं,इसलिए निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
इसलिए,दोनों पिंड अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र पर मिलेंगे।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $M x_A = m x_B$ संबंध द्वारा निर्धारित होती है,जहाँ $x_A$ और $x_B$ द्रव्यमान केंद्र से पिंडों की दूरियां हैं।
चूंकि $M > m$ है,इसलिए $x_A < x_B$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र अधिक द्रव्यमान वाले पिंड के करीब होता है,जो कि पिंड $A$ है।

(A) विस्फोट से पहले,कण $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा था,जिसका अर्थ है कि वेग का $y$-घटक शून्य था। परिणामस्वरूप,निकाय का द्रव्यमान केंद्र $y$-दिशा में गति नहीं करेगा,इसलिए $y_{CM} = 0$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 = \frac{(m/4)(+15) + (3m/4)(y)}{m}$.
इसे सरल करने पर: $0 = \frac{15}{4} + \frac{3y}{4}$.
$y$ के लिए हल करने पर: $\frac{3y}{4} = -\frac{15}{4}$,जिससे $y = -5 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर स्थित होता है,जो कीलक (pivot) से $l/2$ की दूरी पर है।
जब छड़ को $\theta = 60^o$ के कोण से विस्थापित किया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र $h$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई तक ऊपर उठता है।
चित्र की ज्यामिति से,विस्थापित स्थिति में कीलक से द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर दूरी $(l/2) \cos \theta$ है।
कीलक से द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर दूरी $l/2$ है।
इसलिए,ऊंचाई में वृद्धि $h$ इस प्रकार है:
$h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,$l = 1 \ m$,$\theta = 60^o$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर।
मान रखने पर:
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times \frac{1}{2}(1 - \cos 60^o)$
$\Delta U = 4 \times 0.5 \times (1 - 0.5)$
$\Delta U = 2 \times 0.5 = 1 \ J$.

(B) छड़ का रैखिक घनत्व दूरी $x$ के साथ $\lambda = \frac{dm}{dx} = 2 + x$ के रूप में बदलता है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x \lambda \, dx}{\int_{0}^{3} \lambda \, dx}$
$\lambda = 2 + x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx} = \frac{\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
समाकलन करने पर:
अंश: $\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx = [x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) - 0 = 9 + 9 = 18$
हर: $\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx = [2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) - 0 = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$
अतः,$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{18 \times 2}{21} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$.

(A) मान लीजिए कि डिस्क $xy$-समतल में है और इसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है। डिस्क प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
$y=x$ रेखा के सापेक्ष सममिति के कारण,द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ इसी रेखा पर स्थित होना चाहिए,इसलिए $X_{cm} = Y_{cm}$ होगा।
$R$ त्रिज्या वाली अर्ध-वृत्ताकार डिस्क के लिए,द्रव्यमान केंद्र सममिति की अक्ष पर व्यास से $\frac{4R}{3\pi}$ की दूरी पर होता है।
एक चौथाई डिस्क के लिए,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $X_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$ और $Y_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$ हैं।
मूल बिंदु $O$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \sqrt{\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2 + \left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{4R}{3\pi}$.

(D) मान लीजिए कि क्षैतिज छड़ का द्रव्यमान $m_1$ है और ऊर्ध्वाधर छड़ का द्रव्यमान $m_2$ है।
क्षैतिज छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$ पर है और ऊर्ध्वाधर छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(0, L/2)$ पर है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$X_{cm} = \frac{m_1(L/2) + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 L}{2(m_1 + m_2)}$
$Y_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(L/2)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 L}{2(m_1 + m_2)}$
चूंकि छड़ें अलग-अलग पदार्थों से बनी हैं,इसलिए $m_1 \neq m_2$ है। मान लीजिए $\lambda = m_2/m_1$ है। तब $X_{cm} = \frac{L}{2(1+\lambda)}$ और $Y_{cm} = \frac{\lambda L}{2(1+\lambda)}$ होगा।
यहाँ $X_{cm} + Y_{cm} = \frac{L}{2(1+\lambda)} + \frac{\lambda L}{2(1+\lambda)} = \frac{L}{2}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,केवल $(L/3, L/6)$ ही $X_{cm} + Y_{cm} = L/2$ की शर्त को पूरा करता है (अर्थात $L/3 + L/6 = L/2$)।
अतः,सही विकल्प $(L/3, L/6)$ है।

(D) वलय का द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
जीवा $AB$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु $(R/2, R/2)$ पर स्थित है।
संयुक्त निकाय का $C.M.$ वलय के $C.M.$ और जीवा के $C.M.$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
यह रेखाखंड $0 \le x \le R/2$ के लिए रेखा $y = x$ है।
इसलिए,निकाय के $C.M.$ के निर्देशांक $(x, x)$ होने चाहिए जहाँ $0 \le x \le R/2$ हो।
विकल्प $(A)$ $(R/3, R/3)$ इस शर्त को पूरा करता है।
विकल्प $(B)$ $(R/3, R/2)$ में $x = y$ शर्त पूरी नहीं होती है।
विकल्प $(C)$ $(R/\sqrt{2}, R/\sqrt{2})$ में $x = R/\sqrt{2} \approx 0.707R$ है,जो $R/2 = 0.5R$ से अधिक है,इसलिए यह संभव सीमा से बाहर है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों द्रव्यमान केंद्र नहीं हो सकते हैं।

(C) $R$ त्रिज्या वाली वस्तुओं के लिए उनके ज्यामितीय केंद्र से द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ की सही स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$[1]$ एक समान अर्धवृत्ताकार डिस्क के लिए,$CM$ $\frac{4R}{3\pi}$ पर है।
$[2]$ एक समान अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,$CM$ $\frac{2R}{\pi}$ पर है।
$[3]$ एक ठोस अर्धगोले के लिए,$CM$ $\frac{3R}{8}$ पर है।
$[4]$ एक अर्धगोलीय खोल के लिए,$CM$ $\frac{R}{2}$ पर है।
इन कथनों की तुलना करने पर,केवल कथन $[4]$ सही है।

(D) अक्ष $AA$ (जो $m_A$ से गुजरती है) के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_{AA} = m_B l^2$ है।
अक्ष $BB$ (जो $m_B$ से गुजरती है) के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_{BB} = m_A l^2$ है।
दिया गया है कि $\frac{I_{BB}}{I_{AA}} = 3$,इसलिए $\frac{m_A l^2}{m_B l^2} = 3$,जिसका अर्थ है $\frac{m_A}{m_B} = 3$ या $m_A = 3 m_B$ है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_A$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $x_A$ है। तब $m_B$ से इसकी दूरी $(l - x_A)$ होगी।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_A x_A = m_B (l - x_A)$ है।
$m_A = 3 m_B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 m_B x_A = m_B (l - x_A)$ प्राप्त होता है।
$m_B$ से विभाजित करने पर,$3 x_A = l - x_A$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4 x_A = l$ मिलता है।
अतः,$x_A = \frac{l}{4}$।

(D) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। छड़ को घर्षण वाली क्षैतिज सतह पर ऊर्ध्वाधर रखा गया है।
चूंकि सतह में घर्षण है,इसलिए छड़ के गिरने पर संपर्क बिंदु $P$ स्थिर रहता है।
छड़-सतह निकाय पर क्षैतिज दिशा में कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है (यह मानते हुए कि घर्षण फिसलने से रोकने के लिए पर्याप्त है)।
संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,छड़ के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ की क्षैतिज स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
प्रारंभ में,छड़ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए इसका $CM$ संपर्क बिंदु $P$ के ठीक ऊपर है।
अतः,$CM$ का क्षैतिज निर्देशांक $P$ पर है।
जब छड़ क्षैतिज हो जाती है,तो इसका $CM$ अभी भी उसी क्षैतिज स्थिति में होना चाहिए जहाँ यह शुरू में था।
इस प्रकार,$CM$ बिंदु $P$ पर स्थित है।

(D) मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर है। प्रारंभ में,कणों की स्थिति $-x_1$ और $x_2$ है,जिससे $m_1(-x_1) + m_2(x_2) = 0$,जिसका अर्थ है $m_1 x_1 = m_2 x_2$ (समीकरण $1$)।
जब पहले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक ले जाया जाता है,तो उसकी नई स्थिति $-(x_1 - d)$ हो जाती है। मान लीजिए कि दूसरे कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d'$ दूरी तक ले जाया जाता है,तो उसकी नई स्थिति $(x_2 - d')$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु पर बनाए रखने के लिए,नई स्थिति है:
$m_1(-(x_1 - d)) + m_2(x_2 - d') = 0$
$-m_1 x_1 + m_1 d + m_2 x_2 - m_2 d' = 0$
चूंकि समीकरण $1$ से $m_1 x_1 = m_2 x_2$ है,इसलिए $m_1 x_1$ और $m_2 x_2$ पद कट जाते हैं:
$m_1 d - m_2 d' = 0$
$m_2 d' = m_1 d$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$

(A) $h$ ऊँचाई और $R$ आधार त्रिज्या वाले एक ठोस शंकु पर विचार करें। पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
शीर्ष को मूल बिंदु $(0,0)$ पर और शंकु के अक्ष को $y$-अक्ष पर रखें।
शीर्ष से $y$ दूरी पर,$dy$ मोटाई और $r$ त्रिज्या वाली एक पतली डिस्क पर विचार करें।
समरूप त्रिभुजों के नियम से,$\frac{r}{y} = \frac{R}{h}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{h}y$।
इस डिस्क का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot \pi r^2 dy = \rho \pi \left(\frac{R}{h}y\right)^2 dy$ है।
द्रव्यमान केंद्र $z_0$ (या $y_{cm}$) इस प्रकार दिया जाता है:
$z_0 = \frac{\int y dm}{\int dm} = \frac{\int_0^h y \cdot \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}{\int_0^h \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}$
$z_0 = \frac{\int_0^h y^3 dy}{\int_0^h y^2 dy} = \frac{[y^4/4]_0^h}{[y^3/3]_0^h} = \frac{h^4/4}{h^3/3} = \frac{3h}{4}$।

(A) एक सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{k x^3}{L^3} dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
$dm$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x (\frac{k x^3}{L^3} dx)}{\int_0^L (\frac{k x^3}{L^3} dx)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{k}{L^3} \int_0^L x^4 dx}{\frac{k}{L^3} \int_0^L x^3 dx}$
$X_{cm} = \frac{[\frac{x^5}{5}]_0^L}{[\frac{x^4}{4}]_0^L} = \frac{L^5 / 5}{L^4 / 4} = \frac{4}{5} L$

(D) मान लीजिए कि तीन द्रव्यमानों की स्थिति $m_1 = M$ बिंदु $(L, 0)$ पर, $m_2 = M$ बिंदु $(-L, 0)$ पर, और $m_3 = M$ बिंदु $(L \cos \theta, L \sin \theta)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $(X, Y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{M(L) + M(-L) + M(L \cos \theta)}{3M} = \frac{L \cos \theta}{3}$
$Y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{M(0) + M(0) + M(L \sin \theta)}{3M} = \frac{L \sin \theta}{3}$
$X$ और $Y$ के समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$X^2 + Y^2 = (\frac{L \cos \theta}{3})^2 + (\frac{L \sin \theta}{3})^2 = \frac{L^2}{9} (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \frac{L^2}{9}$
अतः, $COM$ द्वारा अनुरेखित पथ $x^2 + y^2 = L^2/9$ है।

(C) सबसे पहले,हम प्रत्येक घन का द्रव्यमान केंद्र ज्ञात करते हैं। चूंकि प्रत्येक घन की भुजा की लंबाई $1$ इकाई है और वे अक्षों पर स्थित हैं,इसलिए उनके केंद्र निम्नलिखित हैं:
घन $1$ (मूल बिंदु पर): $(0.5, 0.5, 0.5)$
घन $2$ ($x$-अक्ष पर): $(1.5, 0.5, 0.5)$
घन $3$ ($y$-अक्ष पर): $(0.5, 1.5, 0.5)$
घन $4$ ($z$-अक्ष पर): $(0.5, 0.5, 1.5)$
चूंकि चारों घन समान हैं,हम प्रत्येक घन के द्रव्यमान केंद्र को उसके केंद्र पर स्थित समान द्रव्यमान $m$ के बिंदु कण के रूप में मान सकते हैं।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(1.5) + m(0.5) + m(0.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
$y_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(0.5) + m(1.5) + m(0.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
$z_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(0.5) + m(0.5) + m(1.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(0.75, 0.75, 0.75)$ या $(3/4, 3/4, 3/4)$ है।

(C) मान लीजिए कि $1^{st}$ ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = m$ है और इसकी लंबाई $x_1 = x$ है। $n^{th}$ ब्लॉक का द्रव्यमान $m_n = m/4^{n-1}$ है और इसकी लंबाई $x_n = x/2^{n-1}$ है।
बाईं ओर के किनारे (अक्ष $AA'$) के सापेक्ष निकाय के द्रव्यमान केंद्र को खोजने के लिए,हम प्रत्येक ब्लॉक के द्रव्यमान केंद्र का भारित औसत निकालते हैं।
अक्ष $AA'$ से $n^{th}$ ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र $x_{cm,n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2^{n-1}} = \frac{x}{2^n}$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{m}{4^{n-1}} = m \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots \right) = m \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \frac{4m}{3}$ है।
पूरे निकाय का द्रव्यमान केंद्र $X_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{n=1}^{\infty} m_n x_{cm,n} = \frac{3}{4m} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{m}{4^{n-1}} \cdot \frac{x}{2^n} \right) = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot 4^{n-1}} = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot 2^{2n-2}} = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{3n-2}} = \frac{3x}{4} \left( \frac{1/2}{1 - 1/8} \right) = \frac{3x}{4} \left( \frac{1/2}{7/8} \right) = \frac{3x}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3x}{7}$ है।
निकाय के गिरने की स्थिति में होने के लिए,द्रव्यमान केंद्र को मेज के किनारे पर होना चाहिए,इसलिए $L = X_{CM} = 3x/7$।

(D) माना प्रत्येक ईंट का द्रव्यमान $m$ है। प्रत्येक ईंट का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
निचली ईंट (ईंट $1$) के बाएं किनारे पर मूल बिंदु $O$ लेने पर:
$x_1 = \frac{L}{2}$
$x_2 = \frac{L}{2} + \frac{L}{10}$
$x_3 = \frac{L}{2} + \frac{2L}{10}$
$x_4 = \frac{L}{2} + \frac{3L}{10}$
$x_5 = \frac{L}{2} + \frac{2L}{10}$
$x_6 = \frac{L}{2} + \frac{L}{10}$
$x_7 = \frac{L}{2}$
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 7m$ है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7)}{7m}$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [(\frac{L}{2}) + (\frac{L}{2} + \frac{L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{2L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{3L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{2L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{L}{10}) + (\frac{L}{2})]$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [7(\frac{L}{2}) + 2(\frac{L}{10} + \frac{2L}{10} + \frac{3L}{10})]$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [\frac{7L}{2} + \frac{6L}{5}] = \frac{47L}{70}$

(C) दो कणों (या दो पिंडों) के निकाय का द्रव्यमान केंद्र हमेशा उनके व्यक्तिगत द्रव्यमान केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।
इस मामले में,दोनों छड़ों के द्रव्यमान केंद्र बिंदु $A$ और $B$ पर हैं।
इसलिए,संयुक्त निकाय का द्रव्यमान केंद्र रेखाखंड $AB$ पर स्थित होना चाहिए।
चूंकि रेखा $AB$ क्षेत्र $1$ और क्षेत्र $2$ के बीच की सीमा है,और द्रव्यमान केंद्र को इस रेखा पर स्थित होना चाहिए,इसलिए विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm}$ को $\frac{\int \vec{r} \, dm}{\int dm}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समान घनत्व $\rho$ वाले पिंड के लिए,एक छोटे आयतन अवयव $dV$ का द्रव्यमान $dm = \rho \, dV$ होता है।
इस मान को द्रव्यमान केंद्र के सूत्र में रखने पर:
$\vec{R}_{cm} = \frac{\int \vec{r} \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}$.
चूंकि समान घनत्व वाले पिंड के लिए $\rho$ स्थिर है,इसे समाकलन से बाहर निकाला जा सकता है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{\rho \int \vec{r} \, dV}{\rho \int dV} = \frac{\int \vec{r} \, dV}{\int dV}$.
यह व्यंजक प्रश्न में दी गई आयतन केंद्र की परिभाषा के समान है।
अतः,समान घनत्व वाले पिंड के लिए,आयतन केंद्र और द्रव्यमान केंद्र एक ही होते हैं।

(D) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को सूत्र $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि द्रव्यमान केंद्र कणों के द्रव्यमान $(m_i)$ और उनकी स्थिति $(\vec{r}_i)$ पर निर्भर करता है।
कणों के बीच की सापेक्ष दूरी उनकी स्थितियों का एक फलन है।
हालाँकि,द्रव्यमान केंद्र द्रव्यमान के वितरण का एक ज्यामितीय गुण है और यह कणों पर कार्य करने वाले बाहरी या आंतरिक बलों पर निर्भर नहीं करता है।

(D) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।
दिया गया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = kx^2$ है,इसलिए द्रव्यमान अवयव $dm = \lambda dx = kx^2 dx$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x (kx^2 dx)}{\int_{0}^{L} kx^2 dx} = \frac{k \int_{0}^{L} x^3 dx}{k \int_{0}^{L} x^2 dx}$.
समाकलन का मान निकालने पर:
$x_{cm} = \frac{[x^4/4]_{0}^{L}}{[x^3/3]_{0}^{L}} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{L^4}{4} \times \frac{3}{L^3} = \frac{3L}{4}$.

(B) माना कि $\rho$ डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। समान मोटाई और पदार्थ होने के कारण,$\rho$ दोनों के लिए स्थिर है।
बड़ी डिस्क का द्रव्यमान $(M_1)$ = $\pi(2R)^2 \rho = 4\pi R^2 \rho$.
बड़ी डिस्क का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर है,इसलिए $x_1 = 0$.
छोटी डिस्क का द्रव्यमान $(M_2)$ = $\pi R^2 \rho$.
छोटी डिस्क का केंद्र मूल बिंदु से $R$ की दूरी पर है,इसलिए $x_2 = R$.
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm})$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$
$X_{cm} = \frac{(4\pi R^2 \rho)(0) + (\pi R^2 \rho)(R)}{4\pi R^2 \rho + \pi R^2 \rho}$
$X_{cm} = \frac{\pi R^3 \rho}{5\pi R^2 \rho} = \frac{R}{5}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु से छोटी डिस्क की ओर $\frac{R}{5}$ की दूरी पर स्थित है।

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान $M$ मूल बिंदु $(x_1 = 0)$ पर है और द्रव्यमान $4M$ बिंदु $x_2 = 10 \ m$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$
$X_{cm} = \frac{M(0) + 4M(10)}{M + 4M} = \frac{40M}{5M} = 8 \ m$.
कण द्रव्यमान केंद्र पर टकराएंगे।
अतः,छोटे कण (द्रव्यमान $M$) से दूरी $8 \ m$ है।

(B) मान लीजिए कि छड़ों का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। $y-$ अक्ष से शुरू होने वाली $l_i$ लंबाई की छड़ के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र का $x-$ निर्देशांक $x_i = l_i / 2$ है।
प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान $m_i = \lambda l_i$ है।
लंबाइयाँ $L, L/2, L/4, \dots$ हैं,इसलिए द्रव्यमान $M_1 = \lambda L, M_2 = \lambda L/2, M_3 = \lambda L/4, \dots$ हैं।
द्रव्यमान केंद्रों के $x-$ निर्देशांक $x_1 = L/2, x_2 = L/4, x_3 = L/8, \dots$ हैं।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x-$ निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{(\lambda L)(L/2) + (\lambda L/2)(L/4) + (\lambda L/4)(L/8) + \dots}{\lambda L + \lambda L/2 + \lambda L/4 + \dots}$
$X_{CM} = \frac{\lambda L^2 (1/2 + 1/8 + 1/32 + \dots)}{\lambda L (1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$
$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{(1 + 1/4 + 1/16 + \dots)}{(1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:
अंश का योग $= \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = 4/3$.
हर का योग $= \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{4/3}{2} = \frac{L}{2} \cdot \frac{2}{3} = L/3$.

(D) सतत पिंड के लिए द्रव्यमान केंद्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया घनत्व $\rho(x) = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ है,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के लिए द्रव्यमान अवयव $dm = \rho(x) A dx = \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A dx$ है।
कुल द्रव्यमान $M = \int_0^L dm = \int_0^L \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{\rho_0 A L}{3}$ है।
मूल बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का आघूर्ण $\int_0^L x dm = \int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A \right) dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \int_0^L x^3 dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^L = \frac{\rho_0 A L^2}{4}$ है।
अतः,$x_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 A L^2}{4}}{\frac{\rho_0 A L}{3}} = \frac{3L}{4}$।

(A) चित्र के आधार पर वर्ग के कोनों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$2\,kg$ के लिए $(0,0)$,$3\,kg$ के लिए $(2,0)$,$5\,kg$ के लिए $(2,2)$,और $8\,kg$ के लिए $(0,2)$।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
$X_{CM} = \frac{2 \times 0 + 3 \times 2 + 5 \times 2 + 8 \times 0}{2 + 3 + 5 + 8} = \frac{0 + 6 + 10 + 0}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}\,m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
$Y_{CM} = \frac{2 \times 0 + 3 \times 0 + 5 \times 2 + 8 \times 2}{2 + 3 + 5 + 8} = \frac{0 + 0 + 10 + 16}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}\,m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{8}{9}, \frac{13}{9} \right)$ हैं।

(D) द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश का सूत्र $\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r}_{1} + m_{2} \overrightarrow{r}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ है।
यहाँ $m_{1} = 1\,kg$,$\overrightarrow{r}_{1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $m_{2} = 3\,kg$,$\overrightarrow{r}_{2} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + 3(-2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k})}{1 + 3}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} - 6\hat{i} + 9\hat{j} - 12\hat{k}}{4}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{-4\hat{i} + 12\hat{j} - 8\hat{k}}{4}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.

(A) मान लीजिए कि तारों $AB$ और $AC$ का रैखिक घनत्व $\lambda$ है। तब तार $BC$ का रैखिक घनत्व $2\lambda$ होगा।
$AB$ का द्रव्यमान $= 5\lambda$,$AC$ का द्रव्यमान $= 5\lambda$,$BC$ का द्रव्यमान $= 6 \times 2\lambda = 12\lambda$ है।
त्रिभुज $ABC$ की $BC$ से $A$ तक की ऊँचाई $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,cm$ है।
मान लीजिए कि $BC$,$x$-अक्ष पर स्थित है जहाँ $B(0,0)$ और $C(6,0)$ है। तब $A$ के निर्देशांक $(3,4)$ होंगे।
$AB$ का द्रव्यमान केंद्र $(1.5, 2)$ पर,$AC$ का $(4.5, 2)$ पर और $BC$ का $(3, 0)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{m_{AB}y_{AB} + m_{AC}y_{AC} + m_{BC}y_{BC}}{m_{AB} + m_{AC} + m_{BC}} = \frac{5\lambda(2) + 5\lambda(2) + 12\lambda(0)}{5\lambda + 5\lambda + 12\lambda} = \frac{20\lambda}{22\lambda} = \frac{10}{11}\,cm$ है।
यह आधार $BC$ से दूरी है। $A$ से दूरी $h - Y_{cm} = 4 - \frac{10}{11} = \frac{44-10}{11} = \frac{34}{11}\,cm$ होगी।

(A) माना कि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। वृत्ताकार प्लेट का व्यास $\ell$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = \ell/2$ है। वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2 = \pi(\ell/2)^2 = \pi \ell^2/4$ है। वृत्ताकार प्लेट का द्रव्यमान $m_1 = \sigma A_1 = \sigma(\pi \ell^2/4)$ है।
वर्गाकार प्लेट की भुजा की लंबाई $\ell$ है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_2 = \ell^2$ है। वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $m_2 = \sigma A_2 = \sigma \ell^2$ है।
माना कि वृत्ताकार प्लेट का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। वृत्ताकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $x_1 = 0$ पर है। वर्गाकार प्लेट का केंद्र मूल बिंदु से $R + \ell/2 = \ell/2 + \ell/2 = \ell$ की दूरी पर है। अतः,$x_2 = \ell$.
संयुक्त निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{\sigma(\pi \ell^2/4)(0) + \sigma \ell^2(\ell)}{\sigma(\pi \ell^2/4) + \sigma \ell^2} = \frac{\ell^3}{\ell^2(\pi/4 + 1)} = \frac{\ell}{\pi/4 + 1} = \frac{4\ell}{\pi + 4}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$,$\pi + 4 \approx 7.14$ है। अतः,$x_{cm} = \frac{4\ell}{7.14} \approx 0.56\ell$.
वर्गाकार प्लेट $x = \ell/2 = 0.5\ell$ से $x = 3\ell/2 = 1.5\ell$ तक फैली हुई है। चूंकि $0.5\ell < 0.56\ell < 1.5\ell$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र वर्गाकार प्लेट के अंदर स्थित है।

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = \frac{3}{2}\,kg$ और $m_3 = 2\,kg$ क्रमशः शीर्षों $A(0, 0)$,$B(a, 0)$ और $C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$ पर स्थित हैं।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + \frac{3}{2}(a) + 2(\frac{a}{2})}{1 + \frac{3}{2} + 2} = \frac{\frac{3a}{2} + a}{\frac{2+3+4}{2}} = \frac{\frac{5a}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{5a}{9}$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + \frac{3}{2}(0) + 2(\frac{\sqrt{3}a}{2})}{1 + \frac{3}{2} + 2} = \frac{\sqrt{3}a}{\frac{9}{2}} = \frac{2\sqrt{3}a}{9} = \frac{2a}{3\sqrt{3}}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{5a}{9}, \frac{2a}{3\sqrt{3}} \right)$ हैं।

(A) चूंकि कण विलगित है और $x-$अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए $y-$दिशा में उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र $y = 0$ ($x-$अक्ष) पर ही बना रहेगा।
मान लीजिए कि $m_1 = m/4$ और $m_2 = 3m/4$ द्रव्यमान के टुकड़ों के $y-$निर्देशांक क्रमशः $y_1$ और $y_2$ हैं।
$y-$दिशा में द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान रखने पर: $\frac{(m/4)(15) + (3m/4)(y_2)}{m} = 0$.
इसे सरल करने पर: $\frac{15}{4} + \frac{3}{4}y_2 = 0$.
$4$ से गुणा करने पर: $15 + 3y_2 = 0$.
$y_2$ के लिए हल करने पर: $3y_2 = -15$,जिससे $y_2 = -5 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) समान द्रव्यमान घनत्व और उच्च स्तर की समरूपता वाली किसी भी वस्तु के लिए,द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होता है।
चूंकि एक घन समान घनत्व वाली एक अत्यधिक सममित त्रि-आयामी वस्तु है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है,जो वह बिंदु है जहाँ इसके मुख्य विकर्ण एक-दूसरे को काटते हैं।

(A) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
दिया गया है:
$m_1 = 1\,kg, \vec{r}_1 = (\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k})\,m$
$m_2 = 2\,kg, \vec{r}_2 = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\,m$
$m_3 = 3\,kg, \vec{r}_3 = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})\,m$
मान रखने पर:
$\vec{R}_{cm} = \frac{1(\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})}{1 + 2 + 3}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (6\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k})}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(1 + 2 + 6)\hat{i} + (4 + 2 - 3)\hat{j} + (1 + 2 - 6)\hat{k}}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{9\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{3(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})}{6} = \frac{1}{2}(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})\,m$

(B) चित्र में दर्शाई गई निर्देशांक प्रणाली के अनुसार:
- $D$ (मूल बिंदु) पर स्थित कण का द्रव्यमान $m_D = 4\,kg$ है,जो $(0, 0)$ पर है।
- $C$ पर स्थित कण का द्रव्यमान $m_C = 3\,kg$ है,जो $(1, 0)$ पर है।
- $B$ पर स्थित कण का द्रव्यमान $m_B = 2\,kg$ है,जो $(1, 1)$ पर है।
- $A$ पर स्थित कण का द्रव्यमान $m_A = 1\,kg$ है,जो $(0, 1)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$X_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1) + 4(0)}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{5}{10} = 0.5\,m$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$Y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{1(1) + 2(1) + 3(0) + 4(0)}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{3}{10} = 0.3\,m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(0.5\,m, 0.3\,m)$ हैं।

(C) एक सतत निकाय के द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र है: $X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$।
यहाँ $\lambda = \frac{M_0 x}{l}$ दिया गया है,इसलिए द्रव्यमान अवयव $dm = \lambda dx = \frac{M_0 x}{l} dx$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_{cm} = \frac{\int_{0}^{l} x (\frac{M_0 x}{l} dx)}{\int_{0}^{l} (\frac{M_0 x}{l} dx)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{M_0}{l} \int_{0}^{l} x^2 dx}{\frac{M_0}{l} \int_{0}^{l} x dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^3/3]_{0}^{l}}{[x^2/2]_{0}^{l}}$
$X_{cm} = \frac{l^3/3}{l^2/2} = \frac{l^3}{3} \times \frac{2}{l^2} = \frac{2l}{3}$।

(C) माना तार $AB$ की लंबाई $x$ और $BC$ की लंबाई $y$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
$BC$ का द्रव्यमान केंद्र $(y/2, 0)$ पर है और इसका द्रव्यमान $m_1 = \lambda y$ है।
$AB$ का द्रव्यमान केंद्र $(x/2 \cos 60^{\circ}, x/2 \sin 60^{\circ}) = (x/4, x\sqrt{3}/4)$ पर है और इसका द्रव्यमान $m_2 = \lambda x$ है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$X_{cm} = \frac{m_1(y/2) + m_2(x/4)}{m_1 + m_2} = \frac{\lambda y(y/2) + \lambda x(x/4)}{\lambda(x + y)} = \frac{y^2/2 + x^2/4}{x + y}$.
चूंकि द्रव्यमान केंद्र $A$ के नीचे स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $A$ के $x$-निर्देशांक यानी $x \cos 60^{\circ} = x/2$ के बराबर होना चाहिए।
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{y^2/2 + x^2/4}{x + y} = \frac{x}{2} \Rightarrow y^2/2 + x^2/4 = x^2/2 + xy/2$.
$4$ से गुणा करने पर:
$2y^2 + x^2 = 2x^2 + 2xy \Rightarrow 2y^2 - 2xy - x^2 = 0$.
$x^2$ से भाग देने पर और $r = y/x$ मानने पर:
$2r^2 - 2r - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $r = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 + 1.732}{2} = 1.366 \approx 1.37$.

(B) परिवर्ती रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu(x)$ वाली छड़ का द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \mu(x) dx}{\int_{0}^{L} \mu(x) dx}$
$\mu(x) = a + \frac{bx}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x(a + \frac{bx}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx} = \frac{\int_{0}^{L} (ax + \frac{bx^2}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx}$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
अंश: $[\frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3L}]_{0}^{L} = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^2}{3} = L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})$
हर: $[ax + \frac{bx^2}{2L}]_{0}^{L} = aL + \frac{bL}{2} = L(a + \frac{b}{2})$
अतः,$x_{cm} = \frac{L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})}{L(a + \frac{b}{2})} = L \frac{(\frac{3a + 2b}{6})}{(\frac{2a + b}{2})} = L \frac{3a + 2b}{3(2a + b)}$
दिया गया है कि $x_{cm} = \frac{7}{12}L$,इसलिए:
$\frac{3a + 2b}{3(2a + b)} = \frac{7}{12}$
$\frac{3a + 2b}{2a + b} = \frac{7}{4}$
$4(3a + 2b) = 7(2a + b)$
$12a + 8b = 14a + 7b$
$b = 2a$.