Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Hindi

(D) केंद्रीय बल क्षेत्र में,बल उस रेखा के अनुदिश कार्य करता है जो बल के केंद्र और कण को जोड़ती है।
इसलिए,केंद्रीय बल द्वारा बल के केंद्र के परितः लगाया गया बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ शून्य होता है।
चूंकि टॉर्क कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है,इसलिए हमारे पास $\tau = \frac{dL}{dt} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $L$ समय के साथ स्थिर रहता है।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।
जब एक बच्चा घूमती हुई डिस्क पर बैठता है,तो बच्चे का भार ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,जो घूर्णन अक्ष से होकर गुजरता है या घूर्णन अक्ष के परितः कोई टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है।
चूंकि निकाय (डिस्क + बच्चा) पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(C) निकाय डिस्क और प्लास्टिसिन के टुकड़े से बना है।
चूंकि प्लास्टिसिन को लंबवत गिराया जाता है,इसलिए घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,तो निकाय का कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
हालाँकि,जब प्लास्टिसिन डिस्क पर चिपक जाता है,तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ और $L$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाएगा।
इसलिए,केवल कोणीय संवेग $L$ ही स्थिर रहता है।

(B) $1$. यह निकाय त्रिभुज और दो मनकों से बना है। चूँकि ऊर्ध्वाधर अक्ष $AO$ के परितः निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$2$. जैसे-जैसे मनके नीचे फिसलते हैं,मनकों की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय और घूर्णन दोनों) में परिवर्तित हो जाती है। चूँकि घर्षण नहीं है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) संरक्षित रहती है।
$3$. जैसे-जैसे मनके अक्ष से दूर जाते हैं,अक्ष $AO$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है। चूँकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाता है।
$4$. अतः,कुल कोणीय संवेग और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(B) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I\omega = Mr^2\omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I'$ वलय के जड़त्व आघूर्ण और दो बिंदु द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग हो जाता है: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,इसलिए $L_{initial} = L_{final}$ होगा।
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
नए कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$।

(C) गोलाकार पिंड का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$,इसलिए $3 \frac{\Delta R}{R} = 0.01$,जिसका अर्थ है $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.01}{3} \approx 0.0033$ या $0.33\%$.
चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है,जहाँ $L = I \omega$.
एक ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5} M R^{2}$,इसलिए $L = \frac{2}{5} M R^{2} \omega$.
चूंकि $L$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $R^{2} \omega = \text{स्थिरांक}$.
अवकलन लेने पर,$2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \omega}{\omega} = 0$.
इसलिए,$\frac{\Delta \omega}{\omega} = -2 \frac{\Delta R}{R} = -2(0.33\%) = -0.66\% \approx -0.67\%$.
अतः,कोणीय गति लगभग $0.67\%$ घट जाएगी।

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए घूर्णन अक्ष के परितः निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = (\frac{1}{2}MR^2)\omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान का टुकड़ा अलग हो जाता है,तो शेष डिस्क का द्रव्यमान $(M - m)$ हो जाता है।
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_f = \frac{1}{2}(M - m)R^2$ है।
चूंकि टुकड़ा $m$ टूटकर लंबवत ऊपर की ओर उड़ जाता है,यह घूर्णन अक्ष के परितः डिस्क पर कोई टॉर्क नहीं लगाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$ है।
$(\frac{1}{2}MR^2)\omega = (\frac{1}{2}(M - m)R^2)\omega'$।
$\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \frac{M\omega}{M - m}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
पहली डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ है और कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
जब $M/4$ द्रव्यमान की दूसरी डिस्क को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (M/4) R^2$ हो जाता है।
$I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{4+1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$.
कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} M R^2 \cdot \omega = \frac{5}{8} M R^2 \cdot \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(A) जब ब्लॉक $O$ पर उभार से टकराता है,तो यह $O$ से गुजरने वाली और गति के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर देता है। चूंकि प्रभाव के दौरान बिंदु $O$ के सापेक्ष ब्लॉक पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
बिंदु $O$ के सापेक्ष प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i$,रैखिक संवेग और द्रव्यमान केंद्र की गति की रेखा से $O$ तक की लंबवत दूरी के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$L_i = Mv \times (a/2) = \frac{Mva}{2}$
उभार से टकराने के बाद,ब्लॉक बिंदु $O$ के चारों ओर घूमता है। अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_O \omega$ है,जहाँ $I_O$ बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घन का जड़त्व आघूर्ण है।
द्रव्यमान केंद्र $C$ से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घन का जड़त्व आघूर्ण $I_C = \frac{Ma^2}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_O = I_C + Mr^2$,जहाँ $r$ द्रव्यमान केंद्र से बिंदु $O$ तक की दूरी है। यहाँ,$r^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$ है।
अतः,$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M(a^2/2) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर: $L_i = L_f$
$\frac{Mva}{2} = \frac{2}{3}Ma^2 \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$।

(D) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। $m$ द्रव्यमान की गेंद $v$ वेग से छड़ के सिरे से टकराती है और स्थिर हो जाती है।
$1$. रैखिक संवेग का संरक्षण: $mv = MV$,जहाँ $V$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग है। अतः,$V = \frac{mv}{M}$.
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण: $mv(L/2) = I\omega$,जहाँ $I = \frac{ML^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है। अतः,$mv(L/2) = \frac{ML^2}{12} \omega$,जिससे $\omega = \frac{6mv}{ML}$ प्राप्त होता है।
$3$. गतिज ऊर्जा का संरक्षण (प्रत्यास्थ टक्कर): $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$V$ और $\omega$ के मान रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}M(\frac{mv}{M})^2 + \frac{1}{2}(\frac{ML^2}{12})(\frac{6mv}{ML})^2$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2v^2}{M} + \frac{1}{2}(\frac{ML^2}{12})(\frac{36m^2v^2}{M^2L^2})$.
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{3m^2v^2}{M}$.
$1 = \frac{m}{M} + \frac{3m}{M} = \frac{4m}{M}$.
अतः,$m = M/4$.

(C) निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग बच्चे द्वारा मैरी-गो-राउंड की परिधि के स्पर्शरेखीय दौड़ने से प्राप्त होता है। मैरी-गो-राउंड शुरू में स्थिर है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = mvr$,जहाँ $m = 30\ kg$,$v = 5\ m/s$,और $r = 4\ m$ है।
$L_i = 30 \times 5 \times 4 = 600\ kg \cdot m^2/s$.
बच्चे के कूदने के बाद,निकाय कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमता है। कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_{merry-go-round} + I_{child}$ है।
$I_{merry-go-round} = Mk^2 = 120 \times (3)^2 = 120 \times 9 = 1080\ kg \cdot m^2$.
$I_{child} = mr^2 = 30 \times (4)^2 = 30 \times 16 = 480\ kg \cdot m^2$.
$I_{total} = 1080 + 480 = 1560\ kg \cdot m^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f = I_{total} \omega$.
$600 = 1560 \times \omega$.
$\omega = 600 / 1560 = 60 / 156 = 10 / 26 = 5 / 13 \approx 0.3846\ rad/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.4\ rad/s$ है।

(A) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की चार वस्तुओं को वलय पर रखा जाता है,तो अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$MR^2 \omega = (M + 4m)R^2 \omega'$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 4m)R^2} = \frac{M\omega}{M + 4m}$.

(B) निकाय का कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है क्योंकि घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है। अतः, $L = I\omega = \text{नियत}$.
जब कछुआ वृत्ताकार प्लेटफॉर्म की जीवा के अनुदिश चलता है, तो घूर्णन केंद्र से उसकी दूरी $(r)$ बदलती है। विशेष रूप से, कछुआ किनारे से शुरू होकर केंद्र की ओर चलता है (जिससे $r$ घटता है), जीवा पर केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु तक पहुँचता है, और फिर वापस किनारे की ओर चलता है (जिससे $r$ बढ़ता है)।
निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ सूत्र $I = I_{\text{platform}} + m r^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ कछुए का द्रव्यमान है। जैसे-जैसे कछुआ केंद्र की ओर चलता है, $r$ घटता है, इसलिए $I$ घटता है। जैसे-जैसे वह दूर जाता है, $r$ बढ़ता है, इसलिए $I$ बढ़ता है。
चूँकि $L = I\omega$ नियत है, इसलिए $\omega = L/I$ होगा। जब $I$ घटता है, तो $\omega$ बढ़ता है, और जब $I$ बढ़ता है, तो $\omega$ घटता है। अतः, कोणीय वेग $\omega(t)$ पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा। समय $t$ और $r$ के बीच संबंध $r^2 = r_{\text{min}}^2 + (vt)^2$ है, जो $I$ को समय का एक द्विघात फलन बनाता है, जिसका अर्थ है कि $\omega(t) = L / (I_0 + m(r_{\text{min}}^2 + v^2t^2))$ समय का एक अरैखिक फलन है। यह एक चिकने वक्र ग्राफ के अनुरूप है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,जब दो डिस्क को जोड़ा जाता है तो कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है:
$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = (I_1 + I_2)\omega$
जहाँ $\omega$ अंतिम उभयनिष्ठ कोणीय वेग है।
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2}$
निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार दी जाती है:
$KE = \frac{1}{2}(I_1 + I_2)\omega^2$
$\omega$ का मान रखने पर:
$KE = \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \left( \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$
$KE = \frac{(I_1\omega_1 + I_2\omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,जब मनके छड़ के केंद्र में होते हैं,तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = I_1{\omega _0} = \left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0}$ है।
जब मनके छड़ के सिरों पर पहुँचते हैं,तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{12} + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{4} + \frac{mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = I_2\omega ' = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L_1 = L_2$:
$\left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0} = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$
$\omega ' = \frac{M{\omega _0}}{M + 6m}$.

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग उसके अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए $m = 0.5 \ kg$ कण का द्रव्यमान है,$v = 5 \ m/s$ उसका वेग है,$r = 0.2 \ m$ बेलन की त्रिज्या है,$M = 2 \ kg$ बेलन का द्रव्यमान है,और $\omega = 0 \ rad/s$ बेलन का प्रारंभिक कोणीय वेग है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = mvr + I_{cylinder}\omega = mvr + 0 = 0.5 \times 5 \times 0.2 = 0.5 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{cylinder} + I_{particle} = \frac{1}{2}Mr^2 + mr^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 + 0.5 \times (0.2)^2 = 0.04 + 0.02 = 0.06 \ kg \cdot m^2$.
$L_i = I_f \omega'$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $0.5 = 0.06 \times \omega'$.
$\omega' = \frac{0.5}{0.06} = 8.33 \ rad/s$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $10.3 \ rad/s$ है (संदर्भित समस्या की प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर)।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाला बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है (अभिकेंद्र बल)।
चूंकि बल वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र के परितः टॉर्क $\tau = r \times F$ शून्य होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
इसलिए,कण का कोणीय संवेग वृत्त के केंद्र के परितः संरक्षित रहता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{constant}$.
जब व्यक्ति प्लेटफॉर्म के किनारे से केंद्र की ओर चलता है, तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूंकि $I = \sum mr^2$ और दूरी $r$ कम हो रही है, इसलिए $I$ में कमी आती है।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ स्थिर है, यदि $I$ घटता है, तो कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ना चाहिए।
अतः, कोणीय वेग बढ़ेगा।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,तो कोणीय संवेग $L = I\omega$ नियत रहता है।
जब बर्फ पिघलती है,तो पानी मेज पर फैल जाता है।
इससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है क्योंकि द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से दूर वितरित हो जाता है।
सूत्र $L = I\omega$ में,यदि $L$ नियत है और $I$ बढ़ता है,तो कोणीय वेग $\omega$ को कम होना चाहिए।
अतः,निकाय की घूर्णन गति $\omega$ से कम हो जाएगी।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,तो कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
$1$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$: एक ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है। जैसे-जैसे त्रिज्या $(r)$ बढ़ती है,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ता है।
$2$. कोणीय संवेग $(L)$: चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,इसलिए कोणीय संवेग $(L = I\omega)$ स्थिर रहता है।
$3$. कोणीय वेग $(\omega)$: चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है और $I$ बढ़ता है,इसलिए कोणीय वेग $(\omega = L/I)$ कम हो जाएगा।
$4$. घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$: घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $L$ स्थिर है और $I$ बढ़ता है,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा कम हो जाएगी।
अतः,कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है।

(C) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_1 = L_2$।
डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
जब $m$ द्रव्यमान के दो गोलों को व्यास के विपरीत सिरों पर (केंद्र से $R$ दूरी पर) रखा जाता है,तो अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + mR^2 + mR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + 2mR^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
$\left( \frac{1}{2}MR^2 \right) \omega_1 = \left( \frac{1}{2}MR^2 + 2mR^2 \right) \omega_2$।
दोनों पक्षों को $R^2$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर: $M \omega_1 = (M + 4m) \omega_2$।
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = \left( \frac{M}{M + 4m} \right) \omega_1$ होगा।

(B) चूंकि गोला मुक्त आकाश में घूम रहा है,इसलिए उस पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
जैसे-जैसे त्रिज्या $(r)$ बढ़ती है,जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{2}{5}mr^2)$ बढ़ता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,यदि $I$ बढ़ता है,तो कोणीय वेग $(\omega)$ कम हो जाएगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{\text{rot}} = \frac{L^2}{2I})$ भी कम हो जाएगी क्योंकि $I$ हर (denominator) में है और $L$ स्थिर है।
इसलिए,कोणीय संवेग वह राशि है जो प्रभावित नहीं होगी।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग स्थिर रहता है: $L_1 = L_2$.
वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = mR^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = I_1 \omega = mR^2 \omega$ है।
जब $M$ द्रव्यमान के दो कणों को व्यास के सिरों पर रखा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2$ वलय के जड़त्व आघूर्ण और दोनों कणों के जड़त्व आघूर्ण का योग होता है: $I_2 = mR^2 + MR^2 + MR^2 = (m + 2M)R^2$.
कोणीय संवेगों की तुलना करने पर: $I_1 \omega = I_2 \omega'$.
$mR^2 \omega = (m + 2M)R^2 \omega'$.
$\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\omega' = \frac{m \omega}{m + 2M}$.

(C) निकाय (प्लेटफॉर्म + कछुआ) पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए घूर्णन अक्ष के परितः निकाय का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$L = I(t) \omega(t) = \text{नियत}$
यहाँ, $I(t)$ समय $t$ पर निकाय का जड़त्व आघूर्ण है।
माना प्लेटफॉर्म की त्रिज्या $R$, इसका द्रव्यमान $M$ और कछुए का द्रव्यमान $m$ है।
प्लेटफॉर्म का जड़त्व आघूर्ण $I_p = \frac{1}{2}MR^2$ है।
कछुआ एक जीवा पर चलता है। माना केंद्र से जीवा की दूरी $d$ है। समय $t$ पर, केंद्र से कछुए की दूरी $r(t) = \sqrt{d^2 + (vt)^2}$ है, जहाँ $v$ प्लेटफॉर्म के सापेक्ष कछुए की नियत चाल है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I(t) = I_p + mr(t)^2 = I_p + m(d^2 + v^2t^2)$ है।
चूँकि $L = I(t) \omega(t)$, इसलिए $\omega(t) = \frac{L}{I_p + m(d^2 + v^2t^2)}$ है।
जैसे-जैसे कछुआ किनारे से केंद्र की ओर (या इसके विपरीत) चलता है, दूरी $r(t)$ पहले घटती है जब तक कि वह केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु तक नहीं पहुँच जाता और फिर बढ़ती है।
जब $r(t)$ न्यूनतम होता है, तो $I(t)$ न्यूनतम होता है, और इसलिए $\omega(t)$ अधिकतम होता है।
अतः, कोणीय वेग $\omega(t)$ पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

(B) किसी बिंदु के परितः कणों के निकाय के कुल कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर उस बिंदु के परितः निकाय पर कार्य करने वाले बाह्य बल आघूर्णों (टॉर्क) के योग के बराबर होती है,जिसे $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण $\vec{\tau}_{ext}$ शून्य है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि निकाय का कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर या संरक्षित रहता है।

(B) जब एक बच्चा घूमती हुई डिस्क पर बैठता है,तो निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है $(τ_{ext} = 0)$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग $(L = Iω)$ स्थिर रहता है।
जैसे ही बच्चा डिस्क पर बैठता है,निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है,जिससे कोणीय वेग $(ω)$ कम हो जाता है,लेकिन कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,किसी भी बाहरी टॉर्क की अनुपस्थिति में,कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब एक तैराक अपने शरीर को सिकोड़ता है,तो वह अपने द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष के करीब लाता है,जिससे उसका जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ को स्थिर रहना चाहिए,इसलिए $I$ में कमी आने से कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ जाता है,जिससे तैराक तेजी से घूम पाता है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
$L = I_0 \omega_0 = I_1 \omega_1$
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण दोगुना हो जाता है,$I_1 = 2I_0$।
इसे संरक्षण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I_0 \omega_0 = (2I_0) \omega_1$,जिससे $\omega_1 = \omega_0 / 2$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I_0 \omega_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2$ है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $K' = \frac{1}{2} (2I_0) (\omega_0 / 2)^2 = \frac{1}{2} (2I_0) (\omega_0^2 / 4) = \frac{1}{2} (I_0 \omega_0^2 / 2) = K / 2$।
अतः,नई गतिज ऊर्जा $K/2$ होगी।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{constant}$, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
जैसे-जैसे चींटी किनारे से केंद्र की ओर चलती है, निकाय (डिस्क + चींटी) का जड़त्व आघूर्ण $I$ घटता है, जिससे कोणीय वेग $\omega$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे चींटी केंद्र से दूसरे किनारे की ओर चलती है, जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है, जिससे कोणीय वेग $\omega$ घट जाता है।
अतः, डिस्क का कोणीय वेग पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा।

(B) $1$. यह निकाय त्रिभुज और दो मनकों से बना है। निकाय पर कार्य करने वाले एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण और $A$ पर धुरी (pivot) से लगने वाला अभिलंब बल हैं। चूंकि धुरी का बल घूर्णन अक्ष पर कार्य करता है,इसलिए इसका टॉर्क शून्य है। गुरुत्वाकर्षण बल भी ऊर्ध्वाधर अक्ष $AO$ के परितः कोई टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है। इसलिए,घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,जिसका अर्थ है कि कुल कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$2$. चूंकि कोई घर्षण नहीं है और केवल गुरुत्वाकर्षण (जो एक संरक्षी बल है) कार्य कर रहा है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$3$. जैसे-जैसे मनके नीचे फिसलते हैं,घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी बढ़ती है,जिससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है। चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है और $I$ बढ़ता है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम होना चाहिए। इस प्रकार,न तो $\omega$ और न ही $I$ संरक्षित रहते हैं।

(C) केंद्रीय बल हमेशा कण और बल के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
चूंकि स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेखीय हैं,इसलिए टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।
संबंध $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ के अनुसार,यदि बाह्य टॉर्क $\vec{\tau}$ शून्य है,तो कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर $\frac{d\vec{L}}{dt}$ शून्य होती है।
अतः,कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,तो कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब नर्तक अपनी भुजाओं को अंदर की ओर खींचता है,तो जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए $I$ में कमी के कारण कोणीय वेग $\omega$ में वृद्धि होनी चाहिए ताकि $L$ स्थिर रहे।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $L$ स्थिर है और $I$ घटता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K$ बढ़ जाती है क्योंकि नर्तक अपकेंद्री बल के विरुद्ध अपनी भुजाओं को अंदर खींचकर कार्य करता है।

(C) अवधारणा $1$: घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$I \propto r^2$। जब नर्तकी गोलों को गिरा देती है,तो $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ सिस्टम से हट जाता है,जिससे नर्तकी का कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
अवधारणा $2$: यदि सिस्टम पर कार्य करने वाला कुल बाह्य टॉर्क $\tau$ शून्य है,तो सिस्टम का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है। चूँकि $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$,यदि $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
अवधारणा $3$: हम जानते हैं कि $L = I\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{L}{I}$। चूँकि $L$ स्थिर है,इसलिए $\omega \propto \frac{1}{I}$।
निष्कर्ष: जब नर्तकी गोलों को गिरा देती है,तो जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है। चूँकि कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है,इसलिए $I$ में कमी आने से कोणीय वेग $\omega$ में वृद्धि होती है।

(A) ब्लॉक के '$O$' बिंदु से टकराने के बाद उसकी कोणीय गति ज्ञात करने के लिए,हम '$O$' बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करेंगे।
'$O$' बिंदु के परितः ब्लॉक का प्रारंभिक कोणीय संवेग उसके रैखिक संवेग और द्रव्यमान केंद्र से '$O$' बिंदु तक की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
$L_i = Mv \times \left(\frac{a}{2}\right)$
'$O$' से गुजरने वाले किनारे के परितः घन का जड़त्व आघूर्ण समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है:
$I_O = I_{cm} + Mr^2$
जहाँ घन के केंद्र के परितः $I_{cm} = \frac{Ma^2}{6}$ है,और $r$ द्रव्यमान केंद्र से किनारे '$O$' तक की दूरी है,जो $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2} = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$
कोणीय संवेग संरक्षण के अनुसार:
$L_i = L_f$
$Mv\left(\frac{a}{2}\right) = I_O \omega$
$\frac{Mva}{2} = \left(\frac{2}{3}Ma^2\right)\omega$
$\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया जाता है,तो कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
$L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = MK^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $K$ घूर्णन त्रिज्या है,इसलिए:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}}$

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि दक्षिणावर्त दिशा धनात्मक है।
डिस्क का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{disc} = I\omega$ है।
वामावर्त दिशा में गति कर रहे कण का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{particle} = -mvR$ है।
कुल प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I\omega - mvR$ है।
जब कण गति करना बंद कर देता है,तो वह डिस्क का हिस्सा बन जाता है। निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + mR^2$ है।
मान लीजिए कि अंतिम कोणीय वेग $\omega'$ है। अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I + mR^2)\omega'$ है।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$.
$I\omega - mvR = (I + mR^2)\omega'$.
अतः,$\omega' = \frac{I\omega - mvR}{I + mR^2}$.

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग = $L_i = I_A \omega_A + I_B(0) = I_A \omega_A$.
निकाय का अंतिम कोणीय संवेग = $L_f = (I_A + I_B) \omega$.
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर:
$I_A \omega_A = (I_A + I_B) \omega$
$I_A \omega_A = I_A \omega + I_B \omega$
$I_B \omega = I_A \omega_A - I_A \omega$
$I_B = \frac{I_A \omega_A - I_A \omega}{\omega}$.

(B) निकाय के लिए,घूर्णन अक्ष $AO$ के परितः कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए बाह्य बल आघूर्ण $\tau = 0$ है। कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कुल कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जैसे-जैसे मनके $AB$ और $AC$ के अनुदिश नीचे की ओर गति करते हैं,घूर्णन अक्ष $AO$ से उनकी दूरी बढ़ती जाती है। परिणामस्वरूप,निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है। चूँकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाता है।
चूँकि निकाय पर कोई घर्षण या अन्य कोई असंरक्षी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग और अंतिम कोणीय संवेग समान रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega$ है।
जब दूसरी डिस्क को पहली डिस्क पर रखा जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2$ हो जाता है।
माना कि नया कोणीय वेग $\omega'$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के अनुसार: $I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega'$.
अतः,संयुक्त कोणीय वेग $\omega' = \frac{I_1}{I_1 + I_2} \omega$ होगा।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,तो कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है $(L_1 = L_2)$।
कोणीय संवेग का सूत्र $L = I\omega$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
अतः,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
जड़त्व आघूर्ण $I = MK^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
यह मान रखने पर,$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर: $K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$।
घूर्णन त्रिज्या के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \frac{\sqrt{\omega_2}}{\sqrt{\omega_1}}$।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{स्थिरांक}$.
चूंकि पृथ्वी को एक ठोस गोले के रूप में माना जाता है, इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है।
प्रारंभ में, $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ और $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ है।
त्रिज्या आधी करने पर, $R_2 = \frac{R}{2}$ हो जाता है, इसलिए नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5}M(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{4}I_1$ होगा।
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ का उपयोग करने पर, हमें $I_1(\frac{2\pi}{T_1}) = (\frac{1}{4}I_1)(\frac{2\pi}{T_2})$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{T_1} = \frac{1}{4T_2}$ मिलता है, जिसका अर्थ है $T_2 = \frac{T_1}{4}$।
चूंकि $T_1 = 24 \ hr$ दिया गया है, इसलिए दिन की नई अवधि $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \ hr$ होगी।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
यहाँ,$I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ और $\omega_1 = \omega$ है।
जब दूसरी डिस्क को रखा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2$ दोनों डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग होता है:
$I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{4}) R^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{5}{4}) = \frac{5}{8} M R^2$.
अब,संरक्षण नियम लागू करने पर:
$(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{5}{8} M R^2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \times \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग और अंतिम कोणीय संवेग समान होना चाहिए।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega$ है।
संयुक्त निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_1 + I_2$ है।
माना कि अंतिम कोणीय वेग $\omega_f$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I_1 + I_2) \omega_f$ है।
चूंकि $L_i = L_f$,इसलिए $I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega_f$ होगा।
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = \frac{I_1 \omega}{I_1 + I_2}$ होगा।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियतांक}$.
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ त्रिज्या $R$ के साथ बदलता है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $R$ है और अंतिम त्रिज्या $R' = R/n$ है।
माना प्रारंभिक समय अवधि $T_1 = 24 \; \text{hr}$ है और अंतिम समय अवधि $T_2$ है।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{5}MR^2 \left( \frac{2\pi}{T_1} \right) = \frac{2}{5}M(R/n)^2 \left( \frac{2\pi}{T_2} \right)$.
इसे सरल करने पर,हमें $R^2 / T_1 = (R^2 / n^2) / T_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_2 = T_1 / n^2$.
$T_1 = 24 \; \text{hr}$ रखने पर,हमें $T_2 = 24/n^2 \; \text{hr}$ प्राप्त होता है।