L लंबाई की एक छड़ का असमान रैखिक द्रव्यमान घन | vedclass

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Question

(D) द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।दिया गया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho(x) = \lambda(x) = a + b\left(\frac

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$\frac{3}{4}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L$

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(D) द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।दिया गया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho(x) = \lambda(x) = a + b\left(\frac{x}{L}\right)^2$ है,इसलिए द्रव्यमान अवयव $dm = \lambda(x) dx = \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx$ होगा।कुल द्रव्यमान $M = \int_0^L dm = \int_0^L \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \left[ ax + \frac{b x^3}{3 L^2} \right]_0^L = aL + \frac{bL}{3} = L\left(a + \frac{b}{3}\right) = L\left(\frac{3a+b}{3}\right)$ प्राप्त होता है।मूल बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का आघूर्ण $\int_0^L x dm = \int_0^L x \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \int_0^L \left(ax + \frac{b x^3}{L^2}\right) dx = \left[ \frac{a x^2}{2} + \frac{b x^4}{4 L^2} \right]_0^L = \frac{a L^2}{2} + \frac{b L^2}{4} = L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)$ होता है।अतः,$x_{cm} = \frac{L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)}{L\left(\frac{3a+b}{3}\right)} = \frac{3}{4} \left(\frac{2a+b}{3a+b}\right) L$ प्राप्त होता है।

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समान द्रव्यमान की तीन छड़ों को चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। निकाय के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक हैं:

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