Torque and Couple Questions in Hindi

(B) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(4) - (3)(-3)] - \hat{j} [(3)(4) - (3)(2)] + \hat{k} [(3)(-3) - (2)(2)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [8 + 9] - \hat{j} [12 - 6] + \hat{k} [-9 - 4]$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 6\hat{j} - 13\hat{k} \text{ N m}$

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{F} = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$ दिया गया है,अतः सारणिक (determinant) की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(A) टॉर्क $\vec{T}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{T} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{T}$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें सदिश $\vec{r}$ और $\vec{F}$ स्थित होते हैं।
चूंकि $\vec{T}$,$\vec{r}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए: $\vec{r} \cdot \vec{T} = 0$.
इसी प्रकार,चूंकि $\vec{T}$,$\vec{F}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल भी शून्य होना चाहिए: $\vec{F} \cdot \vec{T} = 0$.

(B) एक बल-युग्म (couple) दो समान,समानांतर और विपरीत बलों की एक जोड़ी है जो एक दृढ़ पिंड पर अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं। चूंकि पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है $(F_{net} = F - F = 0)$,इसलिए इसमें कोई रेखीय त्वरण या रेखीय गति नहीं होती है। हालाँकि,क्योंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,वे किसी भी बिंदु के परितः एक कुल टॉर्क (आघूर्ण) उत्पन्न करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप केवल घूर्णन गति होती है।

(C) मूलबिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर कार्यरत बल $\vec{F}$ का बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।
दिया गया है:
$\vec{r} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ m}$
$\vec{F} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) \text{ N}$
सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}((2)(4) - (-3)(3)) - \hat{j}((3)(4) - (2)(3)) + \hat{k}((3)(-3) - (2)(2))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(8 + 9) - \hat{j}(12 - 6) + \hat{k}(-9 - 4)$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 6\hat{j} - 13\hat{k} \text{ N m}$।

(D) नट को ढीला करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ का मान $\tau = r F \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,$r_1 = 8 \, cm$,$F_1 = 6.0 \, N$,और $\theta_1 = 30^{\circ}$ है।
इसलिए,$\tau = 8 \, cm \times 6.0 \, N \times \sin(30^{\circ}) = 8 \times 6.0 \times 0.5 = 24 \, N \cdot cm$.
दूसरे मामले में,हमें $r_2 = 16 \, cm$ की दूरी पर लंबवत $(\theta_2 = 90^{\circ})$ बल $F_2$ लगाने की आवश्यकता है।
चूंकि आवश्यक टॉर्क समान रहता है,$\tau = r_2 F_2 \sin(90^{\circ})$.
$24 = 16 \times F_2 \times 1$.
$F_2 = \frac{24}{16} = 1.5 \, N$.

(B) पुस्तक का भार $W$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर कार्य करता है,जो पकड़ने के बिंदु से $\frac{a}{2}$ की क्षैतिज दूरी पर है।
पकड़ने के बिंदु के परितः भार द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau$,बल और लंबवत दूरी का गुणनफल है:
$\tau = \text{बल} \times \text{लंबवत दूरी}$
$\tau = W \times \frac{a}{2} = W \frac{a}{2}$
चूंकि भार नीचे की ओर कार्य करता है और धुरी बिंदु कोने पर है,इसलिए यह बल दक्षिणावर्त दिशा में घूर्णन की प्रवृत्ति पैदा करता है। पुस्तक को संतुलन में रखने के लिए,व्यक्ति को समान और विपरीत टॉर्क लगाना होगा,जो कि वामावर्त दिशा में होगा। अतः,व्यक्ति $W \frac{a}{2}$ का वामावर्त टॉर्क उत्पन्न कर रहा है।

(B) घन के किनारे $O$ के परितः झुकना शुरू करने के लिए,मेज से लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया को किनारे $O$ पर ही कार्य करना चाहिए।
किनारे $O$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
अनुप्रयुक्त बल $F$ के कारण टॉर्क $\tau_F = F \times \frac{3a}{4}$ है (जो दक्षिणावर्त घुमाने की प्रवृत्ति रखता है)।
घन के भार $mg$ के कारण टॉर्क $\tau_g = mg \times \frac{a}{2}$ है (जो वामावर्त घुमाने की प्रवृत्ति रखता है,क्योंकि भार द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है)।
घन के झुकने की स्थिति में होने के लिए,$O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$F \times \frac{3a}{4} = mg \times \frac{a}{2}$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = mg \times \frac{a}{2} \times \frac{4}{3a}$
$F = \frac{2}{3} mg$

(B) दिया गया है: बल $\overrightarrow{F} = (2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \ N$ और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = (3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) \ m$.
टॉर्क $\overrightarrow{\tau}$ को सदिश गुणनफल $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & 2 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2 \times 2 - (-4) \times (-4)) - \hat{j}(3 \times 2 - (-4) \times 2) + \hat{k}(3 \times (-4) - 2 \times 2)$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(4 - 16) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-12 - 4)$
$\overrightarrow{\tau} = -12\hat{i} - 14\hat{j} - 16\hat{k} \ N-m$
टॉर्क का परिमाण $|\overrightarrow{\tau}| = \sqrt{(-12)^2 + (-14)^2 + (-16)^2}$
$|\overrightarrow{\tau}| = \sqrt{144 + 196 + 256} = \sqrt{596} \approx 24.41 \ N-m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) निकाय का परिणामी बल $F_{res} = 5 \ N + 3 \ N = 8 \ N$ है,जो बिंदु $R$ से नीचे की ओर कार्य करता है।
निकाय के बिंदु $R$ के परितः घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,$R$ के परितः बलों के आघूर्ण का योग शून्य होना चाहिए।
$P$ पर $5 \ N$ का बल $R$ के परितः दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्ण उत्पन्न करता है और $Q$ पर $3 \ N$ का बल $R$ के परितः वामावर्त (counter-clockwise) आघूर्ण उत्पन्न करता है।
$R$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$5 \times PR - 3 \times RQ = 0$
$5 \times PR = 3 \times RQ$
$PR = \frac{3}{5} RQ$

(B) दोनों बल एक बल-युग्म (couple) बनाते हैं। बल-युग्म द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \times d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $F = 0.1\ N$ प्रत्येक बल का परिमाण है और $d = 0.05\ m$ बलों के बीच की लंबवत दूरी (पहिये का व्यास) है।
$\tau = 0.1\ N \times 0.05\ m = 0.005\ N\cdot m$.
जब पहिया $\theta$ कोण से घूमता है तो किया गया कार्य $W = \tau \theta$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण घूर्णन के लिए, $\theta = 2\pi\ \text{रेडियन}$.
$W = 0.005\ N\cdot m \times 2\pi\ \text{rad} = 0.01\pi\ J$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $W = 0.01 \times 3.14 = 0.0314\ J$.
अतः, किया गया कार्य लगभग $0.031\ J$ है।

(D) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\vec{\tau}$,$\vec{r}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = |\vec{r}| |\vec{\tau}| \cos(90^{\circ}) = 0$ होगा।
इसी प्रकार,चूंकि $\vec{\tau}$,$\vec{F}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = |\vec{F}| |\vec{\tau}| \cos(90^{\circ}) = 0$ होगा।
अतः,दोनों अदिश गुणनफल शून्य के बराबर हैं।

(D) केंद्रीय बल वह बल है जो हमेशा एक निश्चित बिंदु (केंद्र) की ओर या उससे दूर निर्देशित होता है।
केंद्रीय बल के प्रभाव में वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण के लिए,बल सदिश वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेखीय होते हैं (उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ या $0^{\circ}$ होता है)।
इसलिए,सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य है।
संबंध $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ के अनुसार,यदि बाह्य टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर शून्य होती है,जिसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।

(C) बल $\vec{F} = F\,\hat{k}$ दिया गया है।
बिंदु $P(1, -1, 0)$ के सापेक्ष मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j}$ है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & F \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \cdot F - 0 \cdot 0) - \hat{j}((-1) \cdot F - 0 \cdot 0) + \hat{k}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 0)$.
$\vec{\tau} = F\,\hat{i} + F\,\hat{j} = F\,(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) मान लीजिए कि केंद्र $O$ से समबाहु त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d$ है।
किसी बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau$,बल और घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
वामावर्त (counter-clockwise) दिशा को धनात्मक लेने पर,बिंदु $O$ के परितः $F_1$,$F_2$,और $F_3$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क हैं:
$\tau_1 = F_1 \times d$ (वामावर्त)
$\tau_2 = F_2 \times d$ (वामावर्त)
$\tau_3 = F_3 \times d$ (दक्षिणावर्त)
दिया गया है कि $O$ पर कुल टॉर्क शून्य है:
$\sum \tau = \tau_1 + \tau_2 - \tau_3 = 0$
$F_1 d + F_2 d - F_3 d = 0$
$d$ से विभाजित करने पर (चूंकि $d \neq 0$):
$F_1 + F_2 - F_3 = 0$
$F_3 = F_1 + F_2$

(C) बल-युग्म का आघूर्ण मूल बिंदु के सापेक्ष व्यक्तिगत बलों के आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
$\vec{\tau} = (\vec{r_1} \times \vec{F_1}) + (\vec{r_2} \times \vec{F_2})$
यहाँ $\vec{r_1} = 3\hat{i}$,$\vec{F_1} = 1\hat{j}$ और $\vec{r_2} = 3\hat{j}$,$\vec{F_2} = -1\hat{j}$ है।
$\vec{\tau} = (3\hat{i} \times 1\hat{j}) + (3\hat{j} \times -1\hat{j})$
चूँकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,इसलिए:
$\vec{\tau} = 3\hat{k} + 0 = 3\hat{k} \ Nm$.

(D) टॉर्क को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सदिश गुणन (cross product) के गुणों के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{\tau}$,$\vec{r}$ और $\vec{F}$ दोनों के लंबवत होता है।
इसलिए,$\vec{\tau}$ का $\vec{r}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = \vec{r} \cdot (\vec{r} \times \vec{F}) = 0$ होगा।
इसी प्रकार,$\vec{\tau}$ का $\vec{F}$ के साथ अदिश गुणन $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = \vec{F} \cdot (\vec{r} \times \vec{F}) = 0$ होगा।
अतः,दोनों अदिश गुणन शून्य हैं।

(D) जिस बिंदु पर बल लगाया गया है उसका स्थिति सदिश $\vec{r_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
जिस बिंदु के परितः टॉर्क की गणना करनी है उसका स्थिति सदिश $\vec{r_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{r_1} - \vec{r_2} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 4 & 6 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(4 \times 3 - 6 \times (-5)) - \hat{j}((-2) \times 3 - 6 \times 4) + \hat{k}((-2) \times (-5) - 4 \times 4)$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(12 + 30) - \hat{j}(-6 - 24) + \hat{k}(10 - 16)$.
$\vec{\tau} = 42\hat{i} + 30\hat{j} - 6\hat{k} \text{ Nm}$.

(A) बल-आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \times (4\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(4) - (3)(-3)] - \hat{j} [(3)(4) - (3)(4)] + \hat{k} [(3)(-3) - (2)(4)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [8 + 9] - \hat{j} [12 - 12] + \hat{k} [-9 - 8]$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 0\hat{j} - 17\hat{k}$
$\vec{\tau} = 17(\hat{i} - \hat{k}) \, N \cdot m$

(D) बल आघूर्ण $\overrightarrow \tau$,स्थिति सदिश $\overrightarrow r$ और बल सदिश $\overrightarrow F$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\overrightarrow \tau = \overrightarrow r \times \overrightarrow F$
$\overrightarrow \tau = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 7 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\overrightarrow \tau = \hat i(3 \times 4 - 1 \times 1) - \hat j(7 \times 4 - 1 \times 2) + \hat k(7 \times 1 - 3 \times 2)$
$\overrightarrow \tau = \hat i(12 - 1) - \hat j(28 - 2) + \hat k(7 - 6)$
$\overrightarrow \tau = 11\hat i - 26\hat j + \hat k$

(C) दिया गया है: $\vec{r} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{F} = 4\hat{i} - 10\hat{j} + 0\hat{k}$.
टॉर्क सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((5)(-10) - (-3)(4))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-50 + 12)$
$\vec{\tau} = -38\hat{k}$.

(D) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{\tau}$ हमेशा उन दोनों सदिशों $\vec{r}$ और $\vec{F}$ के लंबवत होता है जो इसे बनाते हैं।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) हमेशा शून्य होता है,इसलिए हमारे पास $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = 0$ और $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = 0$ है।

(C) बल आघूर्ण (टॉर्क) घूर्णन बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल होता है:
$\overrightarrow{\tau} = (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0}) \times \overrightarrow{F}$
यहाँ,घूर्णन बिंदु $\overrightarrow{r_0} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है और बल का अनुप्रयोग बिंदु $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सापेक्ष स्थिति सदिश की गणना करें:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0} = (2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}) - (2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{\tau} = (0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}) \times (4\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k})$ की गणना करें:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & -6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2(-6) - (-1)(5)) - \hat{j}(0(-6) - (-1)(4)) + \hat{k}(0(5) - 2(4))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-12 + 5) - \hat{j}(0 + 4) + \hat{k}(0 - 8)$
$\overrightarrow{\tau} = -7\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.

(A) बल आघूर्ण $\overrightarrow{\tau}$ को स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ और बल सदिश $\overrightarrow{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\overrightarrow{\tau}$ हमेशा सदिश $\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{F}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होता है,इसलिए हमारे पास $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{\tau} = 0$ और $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{\tau} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) जब हम दो अँगुलियों का उपयोग करके नल पर बल लगाते हैं,तो हम हैंडल पर अलग-अलग बिंदुओं पर दो समान और विपरीत बल लगाते हैं। बलों की इस व्यवस्था को 'बलयुग्म' (couple) कहा जाता है। बलयुग्म नल की धुरी के चारों ओर एक घूर्णी प्रभाव (टॉर्क) उत्पन्न करता है,जिससे एक ही बल लगाने की तुलना में नल को घुमाना आसान हो जाता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,व्यास $D = 0.2 \, m$,त्रिज्या $r = D/2 = 0.1 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
चूंकि पिण्ड स्थिर है,रस्सी में तनाव $T$ पिण्ड के भार के बराबर होगा: $T = mg = 10 \times 9.8 = 98 \, N$.
बेलन के क्षैतिज अक्ष के परित: आरोपित बल आघूर्ण $\tau$ निम्न प्रकार है: $\tau = r \times T$.
मान रखने पर: $\tau = 0.1 \times 98 = 9.8 \, N-m$.

(C) सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
कार्य $(W = \vec{F} \cdot \vec{d})$ एक अदिश राशि है।
शक्ति $(P = \vec{F} \cdot \vec{v})$ एक अदिश राशि है।
बल आघूर्ण $(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F})$ एक सदिश राशि है क्योंकि इसे स्थिति सदिश और बल सदिश के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया गया है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ एक अदिश राशि है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) बलयुग्म दो समान और विपरीत बलों से मिलकर बना होता है जो अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं। परिणामी बल शून्य होता है,इसलिए कोई रेखीय गति नहीं होती है। हालाँकि,परिणामी टॉर्क शून्य नहीं होता है,जो केवल घूर्णी गति उत्पन्न करता है।

(A) घूर्णी गति (rotational motion) टॉर्क या बलयुग्म द्वारा उत्पन्न होती है।
बलयुग्म दो समान और विपरीत बलों से बना होता है जो अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,जिससे बिना किसी स्थानांतरीय गति के शुद्ध घूर्णी गति उत्पन्न होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) रैखिक गति में,गतिशीलता न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ द्वारा नियंत्रित होती है,जहाँ $F$ बल है और $a$ रैखिक त्वरण है।
घूर्णन गति में,संबंधित समीकरण $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $\tau$ बल आघूर्ण (टॉर्क) है,$I$ जड़त्व आघूर्ण है,और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
दोनों की तुलना करने पर,रैखिक गति में बल $(F)$ घूर्णन गति में बल आघूर्ण $(\tau)$ के समरूप है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बल आघूर्ण $\overrightarrow{\tau}$,स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ और बल सदिश $\overrightarrow{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$
$\overrightarrow{\tau} = (7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \times (-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$
सारणिक विधि का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\overrightarrow{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(D) जिस बिंदु पर बल आरोपित है उसका स्थिति सदिश $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
बिंदु $\overrightarrow{r_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ के परितः बल आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम सापेक्ष स्थिति सदिश $\overrightarrow{r'} = \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}$ की गणना करेंगे।
$\overrightarrow{r'} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
बल आघूर्ण $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r'} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 4 & 6 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix}$.
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(12 + 30) - \hat{j}(-6 - 24) + \hat{k}(10 - 16)$.
$\overrightarrow{\tau} = 42\hat{i} + 30\hat{j} - 6\hat{k}$.

(C) आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
आघूर्ण का परिमाण $\tau = r F \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के बीच का कोण है।
इस व्यंजक में,$F \sin \phi$ स्थिति सदिश के लंबवत बल के घटक को दर्शाता है,जिसे अनुप्रस्थ घटक (transverse component) कहा जाता है।
त्रिज्यीय घटक $F \cos \phi$ स्थिति सदिश की रेखा के अनुदिश कार्य करता है और घूर्णन प्रभाव (टॉर्क) में कोई योगदान नहीं देता है।
अतः,घूर्णन प्रभाव बल के अनुप्रस्थ घटक द्वारा उत्पन्न होता है।

(C) टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $\vec{r} = b \hat{j} - c \hat{k}$ और $\vec{F} = a \hat{k}$.
$\vec{\tau} = (b \hat{j} - c \hat{k}) \times (a \hat{k}) = ab(\hat{j} \times \hat{k}) - ac(\hat{k} \times \hat{k}) = ab \hat{i}$. यहाँ $z$-घटक $0$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $\vec{r} = -b \hat{j} - c \hat{k}$ और $\vec{F} = -a \hat{k}$.
$\vec{\tau} = (-b \hat{j} - c \hat{k}) \times (-a \hat{k}) = ab(\hat{j} \times \hat{k}) + ac(\hat{k} \times \hat{k}) = ab \hat{i}$. यहाँ $z$-घटक $0$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $\vec{r} = -b \hat{i} - c \hat{k}$ और $\vec{F} = a \hat{j}$.
$\vec{\tau} = (-b \hat{i} - c \hat{k}) \times (a \hat{j}) = -ab(\hat{i} \times \hat{j}) - ac(\hat{k} \times \hat{j}) = -ab \hat{k} - ac(-\hat{i}) = ac \hat{i} - ab \hat{k}$.
यहाँ $z$-घटक $-ab$ है,जो ऋणात्मक है क्योंकि $a, b > 0$ है।

(D) बिंदु $P(1, -1)$ के सापेक्ष मूल बिंदु $O(0, 0)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$ है।
मूल बिंदु पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -F\hat{k}$ है।
बिंदु $P$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$.
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = F(\hat{i} \times \hat{k}) - F(\hat{j} \times \hat{k})$
$\vec{\tau} = F(-\hat{j}) - F(\hat{i})$
$\vec{\tau} = -F(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) बलाघूर्ण $\tau$ को $\tau = rF \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से दूरी है और $\theta$ स्थिति सदिश और बल सदिश के बीच का कोण है।
$1$. स्पर्शरेखा के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर रिम पर कार्य करने वाले बल $F$ के लिए: केंद्र से लंबवत दूरी $R$ है। बलाघूर्ण $\tau_1 = F \cdot R \cos(45^{\circ}) = F \cdot R \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \ FR$ है।
$2$. $R/2$ त्रिज्या की धुरी पर कार्य करने वाले बल $F$ के लिए: बल स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है,इसलिए बलाघूर्ण $\tau_2 = F \cdot (R/2) = 0.5 \ FR$ है।
$3$. $R$ त्रिज्या की रिम पर कार्य करने वाले बल $2F$ के लिए: बल स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है,इसलिए बलाघूर्ण $\tau_3 = 2F \cdot R = 2.0 \ FR$ है।
ये सभी बलाघूर्ण एक ही घूर्णन दिशा (वामावर्त) में कार्य करते हैं।
कुल बलाघूर्ण $\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = 0.707 \ FR + 0.5 \ FR + 2.0 \ FR = 3.207 \ FR$ है।
अतः,कुल बलाघूर्ण का परिमाण लगभग $3.2 \ FR$ है।

(C) छड़ पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = 6 \ N + 3 \ N = 9 \ N$ है।
तुल्य एकल बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम छड़ के केंद्र $C$ के परितः कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) की गणना करते हैं।
दक्षिणावर्त टॉर्क को धनात्मक लेने पर,$6 \ N$ बल के कारण टॉर्क $\tau_1 = 6 \ N \times 2 \ m = 12 \ N \cdot m$ है।
$3 \ N$ बल के कारण टॉर्क $\tau_2 = -3 \ N \times 1 \ m = -3 \ N \cdot m$ (वामावर्त) है।
कुल टॉर्क $\tau_{net} = 12 - 3 = 9 \ N \cdot m$ है।
एक एकल बल $F_{net}$ का समान प्रभाव होने के लिए,इसे केंद्र $C$ से $x$ दूरी पर समान कुल टॉर्क उत्पन्न करना चाहिए:
$\tau_{net} = F_{net} \times x$
$9 \ N \cdot m = 9 \ N \times x$
$x = 1 \ m$.

(B) मान लीजिए कि $20 \, cm$ और $60 \, cm$ पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर $(-F)$ हैं और $40 \, cm$ और $80 \, cm$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर $(+F)$ हैं।
कुल बल $F_{net} = (-F) + (+F) + (-F) + (+F) = 0$.
चूंकि कुल बल शून्य है,इसलिए छड़ कोई रैखिक गति का अनुभव नहीं करती है।
अब,छड़ के सिरे $(x = 0)$ के परितः कुल आघूर्ण की गणना करें:
$\tau_{net} = \sum (F_i \times r_i) = (-F \times 20) + (F \times 40) + (-F \times 60) + (F \times 80)$
$\tau_{net} = F(-20 + 40 - 60 + 80) = F(40) = 40F \neq 0$.
चूंकि कुल आघूर्ण शून्य नहीं है,इसलिए छड़ एक आघूर्ण का अनुभव करती है और घूर्णन करेगी।

(B) बल आघूर्ण $\vec \tau$ को स्थिति सदिश $\vec r$ और बल सदिश $\vec F$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec \tau = \vec r \times \vec F$.
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec \tau$,$\vec r$ और $\vec F$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य होता है,इसलिए हमारे पास $\vec \tau \cdot \vec r = 0$ और $\vec \tau \cdot \vec F = 0$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मूलबिंदु के सापेक्ष बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{F} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ दिया गया है।
सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}[(-2)(3) - (1)(2)] - \hat{j}[(1)(3) - (1)(-2)] + \hat{k}[(1)(2) - (-2)(-2)]$
$\vec{\tau} = \hat{i}[-6 - 2] - \hat{j}[3 + 2] + \hat{k}[2 - 4]$
$\vec{\tau} = -8\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}$
अतः,बल आघूर्ण का मान $-8\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}$ है।

(B) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के क्रॉस गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = rF \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के बीच का कोण है।
दिया गया है:
$F = 2.0\,N$
$r = 3\,m$
चूंकि बल $F$,$x-$ अक्ष के समानांतर है और स्थिति सदिश $\vec{r}$,$x-$ अक्ष के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए $\vec{r}$ और $\vec{F}$ के बीच का कोण $\theta = 30^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = (3\,m)(2.0\,N) \sin 30^\circ$
$\tau = (3\,m)(2.0\,N) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\tau = 3\,N-m$.

(B) बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ को बल $F$ और घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी $r$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
बल $F = 10\,N$
त्रिज्या $r = 0.5\,m$
चूंकि बल परिधि पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,इसलिए लंबवत दूरी डिस्क की त्रिज्या के बराबर होती है।
अतः,बल आघूर्ण $\tau = F \times r = 10\,N \times 0.5\,m = 5\,N-m.$

(C) किसी बिंदु के परितः बल का आघूर्ण $\tau = rF \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ धुरी बिंदु $A$ से बल के अनुप्रयोग बिंदु $B$ तक का स्थिति सदिश है,$F$ बल का परिमाण है,और $\phi$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के बीच का कोण है।
बल के निश्चित परिमाण के लिए आघूर्ण को अधिकतम करने हेतु,बल को स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{AB}$ के लंबवत लगाया जाना चाहिए।
मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(0, 4)$ हैं और $B$ के निर्देशांक $(2, 0)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (2 - 0)\hat{i} + (0 - 4)\hat{j} = 2\hat{i} - 4\hat{j}$ होगा।
रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ है।
बल के $AB$ के लंबवत होने के लिए,बल सदिश की ढाल $m_F$ को $m_F \cdot m_{AB} = -1$ की शर्त को पूरा करना चाहिए,अतः $m_F = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
बल सदिश क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\tan \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$।

(B) बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क $\vec \tau_O$ व्यक्तिगत बलों के कारण टॉर्क का योग है: $\vec \tau_O = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2$
बल $\vec F_1$ के लिए: स्थिति सदिश $\vec r_1 = 2\hat i + 3\hat j$ है और बल $\vec F_1 = F\hat k$ है। अतः,$\vec r_1 \times \vec F_1 = (2\hat i + 3\hat j) \times F\hat k = 2F(\hat i \times \hat k) + 3F(\hat j \times \hat k) = -2F\hat j + 3F\hat i = 3F\hat i - 2F\hat j$
बल $\vec F_2$ के लिए: स्थिति सदिश $\vec r_2 = 6\hat j$ है। बल $\vec F_2$,$XY$-तल में $y$-अक्ष के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है। अतः,$\vec F_2 = F(-\cos 30^\circ \hat i - \sin 30^\circ \hat j) = F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j)$
टॉर्क की गणना करने पर: $\vec r_2 \times \vec F_2 = (6\hat j) \times F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j) = 3\sqrt{3}F\hat k$
अतः,कुल टॉर्क $\vec \tau_O = (3\hat i - 2\hat j + 3\hat k)F$ प्राप्त होता है।

(A) टॉर्क के परिमाण का सूत्र $\tau = rF \sin \theta$ है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश का परिमाण है,$F$ बल का परिमाण है,और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दिया गया है: $\tau = 2.5\,Nm$,$F = 1\,N$,और $r = 5\,m$.
सूत्र में मान रखने पर: $2.5 = 5 \times 1 \times \sin \theta$.
इसे सरल करने पर $\sin \theta = \frac{2.5}{5} = 0.5$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए कोण $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ रेडियन होगा।

(A) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = (x_0 + a \cos \omega_1 t) \hat{i} + (y_0 + b \sin \omega_2 t) \hat{j}$ है।
$t = 0$ पर,$\vec{r} = (x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (-a \omega_1^2 \cos \omega_1 t) \hat{i} + (-b \omega_2^2 \sin \omega_2 t) \hat{j}$ है।
$t = 0$ पर,$\vec{a} = -a \omega_1^2 \hat{i}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = m \vec{a} = -m a \omega_1^2 \hat{i}$ है।
मूल बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ है।
$\vec{\tau} = [(x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}] \times [-m a \omega_1^2 \hat{i}]$.
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = y_0 (-m a \omega_1^2) (\hat{j} \times \hat{i}) = y_0 (-m a \omega_1^2) (-\hat{k}) = m y_0 a \omega_1^2 \hat{k}$.

(B) बल-युग्म को एक दृढ़ पिंड पर अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बलों के जोड़े के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि बलों का सदिश योग शून्य होता है $(F_{net} = F + (-F) = 0)$,इसलिए स्थानांतरीय गति उत्पन्न करने के लिए कोई नेट बल नहीं होता है।
हालाँकि,क्योंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,वे किसी भी बिंदु के परितः एक नेट टॉर्क उत्पन्न करते हैं,जो पिंड को घुमाता है।
इसलिए,एक बल-युग्म केवल घूर्णन गति उत्पन्न करता है।

(B) मूल बिंदु के परितः बल-आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है,$\vec{r} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{F} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((2)(3) - (-3)(-1)) - \hat{j}((-1)(3) - (-3)(2)) + \hat{k}((-1)(-1) - (2)(2))$
$= \hat{i}(6 - 3) - \hat{j}(-3 + 6) + \hat{k}(1 - 4)$
$= 3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$= 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}\,\text{m}$.

(A) दिया गया है:
स्थिति सदिश $\vec{r} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
बल सदिश $\vec{F} = 7\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$
बलाघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) होता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
सारणिक (डिटरमिनेंट) विधि का उपयोग करके क्रॉस प्रोडक्ट की गणना:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-1)(-5) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(7)) + \hat{k}((1)(3) - (-1)(7))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(5 - 3) - \hat{j}(-5 - 7) + \hat{k}(3 + 7)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - \hat{j}(-12) + 10\hat{k}$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} + 12\hat{j} + 10\hat{k}$