Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Hindi

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_d)$ का मान $I_d = \frac{I}{2} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
डिस्क के तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I_{tangent} = I_d + MR^2$.
यहाँ $I_d = \frac{I}{2}$ और $MR^2 = 2I$ (चूंकि $I = \frac{1}{2}MR^2 \implies MR^2 = 2I$) रखने पर:
$I_{tangent} = \frac{I}{2} + 2I = \frac{5}{2}I$.

(B) छड़ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
यह अक्ष छड़ के केंद्र से $d = \frac{l}{4}$ की दूरी पर स्थित है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर,$I = I_{cm} + md^2$।
मान रखने पर,$I = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l}{4}\right)^2$।
$I = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16}$।
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7}{48}ml^2$।

(D) मान लीजिए कि तीन छड़ें $AB$ (बाएं ऊर्ध्वाधर),$CD$ (दाएं ऊर्ध्वाधर) और $EF$ (क्षैतिज छड़) हैं। हमें $AB$ छड़ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
$1$. छड़ $AB$ का अपनी ही अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 0$ है।
$2$. छड़ $CD$ का $AB$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा: $I_2 = M(l)^2 = Ml^2$ है।
$3$. छड़ $EF$ का $AB$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I_3 = I_{cm} + M(l/2)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2}{3}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 0 + Ml^2 + \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$ होगा।

(C) समानांतर अक्षों का प्रमेय समीकरण $I = I_g + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$I_g$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ पिंड का द्रव्यमान है,और $d$ दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है।
यह समीकरण $y = mx^2 + c$ के रूप में है,जहाँ $y = I$,$x = d$,$m = M$,और $c = I_g$ है।
चूंकि $M$ एक धनात्मक स्थिरांक है,यह $I$-अक्ष के सापेक्ष सममित परवलय को दर्शाता है।
$d = 0$ पर,$I$ का मान $I_g$ है,जो एक गैर-शून्य धनात्मक स्थिरांक है। इसलिए,ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से नहीं गुजरता है बल्कि $I$-अक्ष को $I = I_g$ पर काटता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $C$ एक परवलय को दर्शाता है जो $I$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और $I$-अक्ष पर एक धनात्मक अंतःखंड रखता है,जो भौतिक आवश्यकताओं से मेल खाता है।

(B) भुजा की लंबाई $= l$.
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $= \mu$.
कुल द्रव्यमान $M = \mu l^2$.
एक वर्गाकार शीट के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी किसी एक भुजा के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = I_y = \frac{M l^2}{12}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = I_x + I_y$ होता है।
$I_z = \frac{M l^2}{12} + \frac{M l^2}{12} = \frac{2 M l^2}{12} = \frac{M l^2}{6}$.
$M = \mu l^2$ रखने पर,हमें $I_z = \frac{(\mu l^2) l^2}{6} = \frac{\mu l^4}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) तार का कुल द्रव्यमान $M = \rho L$ है। चूंकि लूप की परिधि $L = 2\pi R$ है,इसलिए लूप की त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ है।
एक वृत्ताकार लूप का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ और $d = R$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
$M = \rho L$ और $R = \frac{L}{2\pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
यह दिया गया है कि यह मान $I$ है,इसलिए $MR^2 = 4I$ होगा।
डिस्क के तल के लंबवत और उसकी परिधि पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,डिस्क के तल के लंबवत और द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{rim} = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d = R$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है।
$I_{rim} = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
इस समीकरण में $MR^2 = 4I$ रखने पर:
$I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$.

(C) $l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ है।
अतः,$ml^2 = 12I$ है।
एक नियमित षट्कोण के लिए,केंद्र $O$ से प्रत्येक छड़ के केंद्र तक की दूरी $x$ षट्कोण की अपोथेम (apothem) है। चूंकि षट्कोण $l$ भुजा की लंबाई वाले छह समबाहु त्रिभुजों से बना है,इसलिए दूरी $x = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}l$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{rod}} = I_{\text{cm}} + mx^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l\right)^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{3ml^2}{4} = \frac{ml^2 + 9ml^2}{12} = \frac{10ml^2}{12} = \frac{5ml^2}{6}$ है।
छह छड़ों की प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{system}} = 6 \times I_{\text{rod}} = 6 \times \frac{5ml^2}{6} = 5ml^2$ है।
$ml^2 = 12I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\text{system}} = 5(12I) = 60I$ प्राप्त होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(M.I.)$ $I_{cm} = \frac{2}{5}Mr^2$ होता है।
वर्ग के केंद्र $(O)$ से प्रत्येक गोले के केंद्र की दूरी $d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,वर्ग के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण:
$I_O = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + M\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + \frac{MR^2}{2}$.
चूंकि ऐसे चार गोले हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण:
$I_{total} = 4 \times I_O = 4 \left( \frac{2}{5}Mr^2 + \frac{MR^2}{2} \right) = \frac{8}{5}Mr^2 + 2MR^2$.
$\frac{2}{5}M$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{total} = \frac{2}{5}M(4r^2 + 5R^2)$.

(A) यह निकाय एक संयुक्त लोलक (compound pendulum) के रूप में कार्य करता है। संयुक्त लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_{total} g d}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M_{total}$ कुल द्रव्यमान है,और $d$ निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$1$. निलंबन बिंदु $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_0 = I_{rod} + I_{bob} = \frac{ML^2}{3} + mL^2 = \frac{(M + 3m)L^2}{3}$
$2$. निकाय का कुल द्रव्यमान:
$M_{total} = M + m$
$3$. निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $(d)$:
$d = \frac{M(L/2) + m(L)}{M + m} = \frac{(M/2 + m)L}{M + m} = \frac{(M + 2m)L}{2(M + m)}$
$4$. इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + 3m)L^2 / 3}{(M + m)g \cdot \frac{(M + 2m)L}{2(M + m)}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + 3m)L^2}{3} \cdot \frac{2(M + m)}{(M + m)g(M + 2m)L}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2(M + 3m)L}{3(M + 2m)g}}$

(C) लंब अक्ष प्रमेय केवल द्वि-आयामी (समतलीय) वस्तुओं पर लागू होता है।
यदि कोई वस्तु $X-Y$ तल में स्थित है,तो $Z$-अक्ष (जो तल के लंबवत है) के परितः जड़त्व आघूर्ण उसी तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों ($X$ और $Y$ अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $I_z = I_x + I_y$.

(A) लंबवत अक्ष प्रमेय केवल समतलीय (द्वि-आयामी) वस्तुओं पर लागू होता है। ये ऐसी वस्तुएं हैं जो चपटी होती हैं और जिनकी मोटाई नगण्य होती है।
यह प्रमेय बताता है कि किसी समतलीय वस्तु का उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_z)$,वस्तु के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों ($I_x$ और $I_y$) के योग के बराबर होता है: $I_z = I_x + I_y$।
गोला एक त्रि-आयामी वस्तु है और यह एक ही तल में स्थित नहीं होता है। इसलिए,गोले पर लंबवत अक्ष प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है।
अतः,सही उत्तर $A$ (गोला) है।

(D) छड़ को दो हिस्सों में विभाजित किया गया है,प्रत्येक की लंबाई $l = L/2$ है।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष छड़ के मध्य बिंदु से गुजरती है।
तांबे के आधे हिस्से (द्रव्यमान $m_c$,लंबाई $L/2$) का उसके अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm,c} = \frac{1}{12} m_c (L/2)^2 = \frac{m_c L^2}{48}$ है।
तांबे के आधे हिस्से के द्रव्यमान केंद्र की छड़ के मध्य बिंदु से दूरी $d = L/4$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,छड़ के मध्य बिंदु के परितः तांबे के आधे हिस्से का जड़त्व आघूर्ण $I_c = I_{cm,c} + m_c d^2 = \frac{m_c L^2}{48} + m_c (L/4)^2 = \frac{m_c L^2}{48} + \frac{m_c L^2}{16} = \frac{m_c L^2 + 3m_c L^2}{48} = \frac{4m_c L^2}{48} = \frac{m_c L^2}{12}$ है।
इसी प्रकार,चांदी के आधे हिस्से (द्रव्यमान $m_s$) के लिए,छड़ के मध्य बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{m_s L^2}{12}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_c + I_s = \frac{m_c L^2}{12} + \frac{m_s L^2}{12} = \frac{(m_c + m_s)L^2}{12}$ है।

(C) किसी अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या $K$ दी गई है,इसलिए $I_{cm} = mK^2$ होगा।
इस मान को समानांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर,$I = mK^2 + md^2 = m(K^2 + d^2)$ प्राप्त होता है।
अब,गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} [m(K^2 + d^2)] \omega^2 = \frac{1}{2} m(d^2 + K^2) \omega^2$।

(C) समांतर अक्ष प्रमेय का समीकरण $I = I_C + Mx^2$ है,जहाँ $I_C$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $M$ वस्तु का द्रव्यमान है।
यह समीकरण $y = mx^2 + c$ के रूप में है,जो $I$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जब $x = 0$ होता है,तो $I = I_C$ होता है,जो एक अशून्य नियत मान है।
इसलिए,ग्राफ एक ऐसा परवलय होना चाहिए जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से न गुजरे,बल्कि जिसका शीर्ष $I$-अक्ष पर $(0, I_C)$ बिंदु पर स्थित हो।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दर्शाया गया ग्राफ एक परवलय है जिसका शीर्ष धनात्मक $I$-अक्ष पर है,जो हमारे व्युत्पन्न समीकरण से मेल खाता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किनारे से गुजरने वाली (केंद्र से $d = R$ की दूरी पर) और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2$.
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले एक ठोस बेलन का उसकी अपनी अक्ष (अनुदैर्ध्य अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
उसी बेलन का उसके गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष (अनुप्रस्थ अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = I_2$.
अतः,$\frac{1}{2} MR^2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{R^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\frac{R^2}{4}$ घटाने पर,$\frac{R^2}{4} = \frac{L^2}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर,$3R^2 = L^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$L = \sqrt{3} R$ प्राप्त होता है।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास से $x$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Mx^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{cm}$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{2}{5}MR^2 + Mx^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $I = Mx^2 + C$ के रूप में है,जहाँ $C = \frac{2}{5}MR^2$ एक स्थिरांक है।
यह एक परवलय (parabola) को दर्शाता है जो ऊपर की ओर खुलता है और जिसका शीर्ष $(0, \frac{2}{5}MR^2)$ पर है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,किसी समतलीय वस्तु का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उसी तल में स्थित और उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
दी गई आकृति में,$I_3$ और $I_4$ वर्गाकार प्लेट के तल में स्थित और उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली दो परस्पर लंबवत अक्ष हैं।
इसलिए,तल के लंबवत और $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = I_3 + I_4$ है।
चूंकि प्लेट एक वर्ग है,समरूपता के कारण,तल में केंद्र से गुजरने वाली किन्हीं भी दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है। अतः,$I_3 = I_4$ है।
साथ ही,$I_1$ और $I_2$ विकर्ण अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं। एक वर्गाकार प्लेट के लिए,तल में केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है। इसलिए,$I_1 = I_2 = I_3 = I_4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_z = I_3 + I_4 = I_1 + I_2$ प्राप्त होता है।

(D) माना वलय का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
$1$. केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$: $I_z = MR^2$.
$2$. व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_d)$: लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_x + I_y = I_z$. चूँकि $I_x = I_y = I_d$,इसलिए $2I_d = MR^2$,यानी $I_d = \frac{1}{2}MR^2$.
$3$. तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_t)$: समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_t = I_d + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$4$. तल के लंबवत स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_p)$: समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_p = I_z + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$.
अतः,$MR^2$,$0.5MR^2$,$1.5MR^2$ और $2MR^2$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $2MR^2$ प्राप्त होता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{diameter}} = \frac{2}{3}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{tangent}} = I_{\text{cm}} + Md^2$ होता है,जहाँ $d = R$ द्रव्यमान केंद्र और स्पर्श रेखा के बीच की दूरी है।
इसलिए,$I_{\text{tangent}} = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2$ होगा।
अतः,$I_{\text{tangent}} = \frac{5}{3}MR^2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दो छल्ले $R_1$ और $R_2$ हैं,जिनका द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $r$ है।
छल्ले $R_1$ के लिए,अक्ष उसके तल के लंबवत है और उसके केंद्र से गुजरता है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = mr^2$ है।
छल्ले $R_2$ के लिए,अक्ष उसके तल में स्थित है और उसके केंद्र (व्यास) से गुजरता है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} mr^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = mr^2 + \frac{1}{2} mr^2 = \frac{3}{2} mr^2$ होगा।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है और इसका द्रव्यमान $M$ है।
वर्ग फ्रेम के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = Ma^2$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$। चूंकि वर्ग सममित है,$I_x = I_y$,इसलिए $I_x = I_y = \frac{1}{2} I_z = \frac{1}{2} Ma^2$।
यहाँ,$I_{EF}$ विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I_x$ या $I_y$ के बराबर है। अतः,$I_{EF} = \frac{1}{2} Ma^2$।
$I_{AC}$ विकर्ण $AC$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है। एक वर्ग के लिए,उसके तल में केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है। इसलिए,$I_{AC} = I_{EF} = \frac{1}{2} Ma^2$।

(A) अक्ष $BB'$ वर्ग के केंद्र से होकर गुजरती है और वर्ग के तल के लंबवत है।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $a$ है (क्योंकि व्यास $2a$ है)।
अपने स्वयं के द्रव्यमान केंद्र अक्ष के परितः प्रत्येक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{2}{5}Ma^2$ है।
अक्ष $BB'$ से प्रत्येक गोले की दूरी $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
प्रत्येक गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$BB'$ के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Mr^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + M(\frac{b}{\sqrt{2}})^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}$ है।
चूंकि ऐसे चार गोले हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{BB'} = 4 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}) = 4M [\frac{2}{5}a^2 + \frac{b^2}{2}]$ होगा।

(D) $m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{12}$ है।
चार छड़ों के वर्गाकार फ्रेम के लिए,प्रत्येक छड़ का वर्ग के केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
छड़ के केंद्र से वर्ग के केंद्र तक की दूरी $d = \frac{L}{2}$ है।
वर्ग के केंद्र के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 3mL^2}{12} = \frac{4mL^2}{12} = \frac{mL^2}{3}$ है।
चूंकि ऐसी चार छड़ें हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I' = 4 \times \frac{mL^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ होगा।
चूंकि $I = \frac{mL^2}{12}$ है,इसलिए $mL^2 = 12I$ होगा।
इस मान को $I'$ के व्यंजक में रखने पर,$I' = \frac{4}{3} \times (12I) = 16I$ प्राप्त होता है।

(A) एक समान वलयाकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष (तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ होता है।
केंद्र से गुजरने वाली और डिस्क के तल में स्थित अक्ष (व्यास) के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2} I_{cm} = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2)$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{diameter} + Md^2$,जहाँ $d = R_1$ व्यास और स्पर्शरेखा अक्ष के बीच की दूरी है।
अतः,$I = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2) + MR_1^2$।

(A) रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{dia} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$AB$ अक्ष रिंग के व्यास के समानांतर है और रिंग के केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB} = I_{cm} + Md^2$ होता है,जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है (जो इस मामले में व्यास है) और $d = R$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{AB} = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2$
$I_{AB} = \frac{3}{2} MR^2$

(D) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = \frac{ML^2}{12}$
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक सिरे से गुजरने वाली और केंद्रीय अक्ष के समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I'$ है:
$I' = I + Md^2$
यहाँ,दोनों अक्षों के बीच की दूरी $d = L/2$ है।
मान रखने पर:
$I' = \frac{ML^2}{12} + M(L/2)^2$
$I' = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$
चूँकि $I = \frac{ML^2}{12}$ है,इसलिए $ML^2 = 12I$ होगा।
इस मान को $I'$ के व्यंजक में रखने पर:
$I' = \frac{12I}{3} = 4I$

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{2}{5} MR^2 = 40 \ kg \cdot m^2$ दिया गया है।
इससे,हमें $MR^2 = \frac{40 \times 5}{2} = 100 \ kg \cdot m^2$ प्राप्त होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + MR^2$ होता है।
मान रखने पर,$I = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{7}{5} \times 100 = 140 \ kg \cdot m^2$।

(A) एक गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M (2R)^2$ दिया गया है,जहाँ $2R$ गोले का व्यास है। इससे हमें $M (2R)^2 = \frac{5}{2} I$ प्राप्त होता है।
निकाय में चार गोले हैं। दो गोले $XX'$ अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए $XX'$ अक्ष के परितः उनका जड़त्व आघूर्ण उनके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण के बराबर यानी $I$ होगा।
अन्य दो गोले $XX'$ अक्ष से $2R$ की दूरी पर स्थित हैं। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$XX'$ अक्ष के परितः इन गोलों में से प्रत्येक का जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = I_{cm} + M d^2$ होगा,जहाँ $I_{cm} = I$ और $d = 2R$ है।
अतः,$I_{sphere} = I + M (2R)^2 = I + \frac{5}{2} I = \frac{7}{2} I$।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{system} = I + I + (I + M(2R)^2) + (I + M(2R)^2) = 2I + 2(I + \frac{5}{2} I) = 2I + 2(\frac{7}{2} I) = 2I + 7I = 9I$ होगा।

(D) छड़ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी है।
द्रव्यमान केंद्र सिरे से $L/2$ की दूरी पर होता है। अक्ष सिरे से $L/4$ की दूरी पर है।
इसलिए,दूरी $d = |L/2 - L/4| = L/4$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{4})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली छड़ को केंद्र से मोड़ा जाता है। प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $l = L/2$ और द्रव्यमान $m = M/2$ है।
जब इसे $90^{\circ}$ पर मोड़ा जाता है,तो प्रत्येक आधे छड़ के द्रव्यमान केंद्र से घूर्णन अक्ष की लंबवत दूरी $d = L/4$ होती है।
प्रत्येक आधे छड़ के लिए उसके अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{12}m l^2 = \frac{1}{12} (M/2) (L/2)^2 = \frac{ML^2}{96}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक आधे छड़ के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_{half} = I_{cm} + m d^2 = \frac{ML^2}{96} + (M/2) (L/4)^2 = \frac{ML^2}{96} + \frac{ML^2}{32} = \frac{ML^2}{24}$ होता है।
चूंकि ऐसे दो भाग हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{2}{5}Ma^2$ होता है।
अक्ष $AA'$ वर्ग के केंद्र से होकर गुजरती है और वर्ग के तल में स्थित है। यह गोलों $1$ और $3$ के केंद्रों से होकर गुजरती है।
गोलों $1$ और $3$ के लिए,अक्ष $AA'$ उनका व्यास है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण में उनका योगदान $2 \times I_{CM} = 2 \times \frac{2}{5}Ma^2 = \frac{4}{5}Ma^2$ है।
गोलों $2$ और $4$ (अन्य दो कोने) के लिए,अक्ष $AA'$ से लंबवत दूरी $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इन गोलों में से प्रत्येक के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Mr^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + M\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{AA'} = (2 \times I_{CM}) + 2 \times (I_{CM} + Mr^2) = 4I_{CM} + 2Mr^2$ है।
$I_{AA'} = 4 \left( \frac{2}{5}Ma^2 \right) + 2M \left( \frac{b^2}{2} \right) = \frac{8}{5}Ma^2 + Mb^2$.

(C) वलयाकार डिस्क की उसके केंद्रीय अक्ष (तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}I_{cm} = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2)$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,बाहरी वृत्त को स्पर्श करने वाली और डिस्क के तल में स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diam} + MR_2^2$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2) + MR_2^2$।

(C) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक समतलीय वस्तु के लिए,तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$Y$ अक्ष तल के लंबवत है,जबकि $X$ और $Z$ अक्ष तल में स्थित हैं।
अतः,प्रमेय के अनुसार: $I_Y = I_X + I_Z$.
दिया गया है: $I_X = 30 \ kg \ m^2$ और $I_Y = 40 \ kg \ m^2$.
मान रखने पर: $40 = 30 + I_Z$.
$I_Z$ के लिए हल करने पर: $I_Z = 40 - 30 = 10 \ kg \ m^2$.

(C) यह प्रणाली $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले तीन समान गोलों से बनी है। मान लीजिए कि शीर्ष गोला $S_1$ है और नीचे के दो गोले $S_2$ और $S_3$ हैं।
$1$. शीर्ष गोले $S_1$ के लिए,अक्ष $XX'$ उसके केंद्र (व्यास) से होकर गुजरता है। एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
$2$. निचले गोलों $S_2$ और $S_3$ के लिए,अक्ष $XX'$ उन्हें स्पर्श करता है। प्रत्येक निचले गोले के केंद्र से $XX'$ अक्ष तक की दूरी $R$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $I_{cm} = \frac{2}{5} M R^2$ और $d = R$ है।
अतः,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} M R^2 + M R^2 = \frac{7}{5} M R^2$ है।
$3$. $XX'$ अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3$ है।
$I_{total} = \frac{2}{5} M R^2 + \frac{7}{5} M R^2 + \frac{7}{5} M R^2 = \frac{16}{5} M R^2$।

(C) निचली डिस्क के लिए,$xx'$ अक्ष एक व्यास है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{4} M R^2$ होगा।
ऊपरी दो डिस्क के लिए,अक्ष उनके केंद्र से गुजरता है,इसलिए समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार $I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$ होगा।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{1}{4} M R^2 + 2 \times (\frac{5}{4} M R^2) = \frac{1}{4} M R^2 + \frac{10}{4} M R^2 = \frac{11}{4} M R^2$।

(A) $m$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ma^2}{6}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष,तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के जड़त्व आघूर्ण का योग है: $I_{cm} = I_x + I_y$। यहाँ $I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ होने के कारण,$I_{cm} = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$ प्राप्त होता है।
अब,शीर्ष से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं। केंद्र से शीर्ष की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$d^2 = \frac{a^2}{2}$ होगा।
शीर्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2 = \frac{ma^2}{6} + m(\frac{a^2}{2}) = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$ प्राप्त होता है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक छड़ के लिए उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,त्रिभुज के केंद्रक से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = I_{CM} + M x^2$ है,जहाँ $x$ छड़ के केंद्र से त्रिभुज के केंद्रक तक की दूरी है।
$L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $x = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ होती है।
अतः,$I_{rod} = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{2 \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{12} = \frac{2 M L^2}{12} = \frac{M L^2}{6}$।
चूँकि तीन छड़ें हैं,कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{M L^2}{6} = \frac{M L^2}{2}$ होगा।

(B) एक पतली छड़ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और नई अक्ष के बीच की दूरी है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $L/2$ की दूरी पर होता है। दी गई अक्ष उसी सिरे से $L/3$ की दूरी पर है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र और अक्ष के बीच की दूरी $d = |L/2 - L/3| = L/6$ होगी।
इन मानों को समांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/6)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(C) वलय के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = MR^2$ होता है।
हालाँकि,$PQ$ अक्ष वलय के व्यास $DD'$ के समानांतर है।
वलय के व्यास $DD'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{DD'} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{PQ} = I_{DD'} + Md^2$,जहाँ $d = R$ समानांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I_{PQ} = \frac{MR^2}{2} + MR^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_{PQ} = \frac{3}{2}MR^2$ होगा।

(D) पहले गोलीय कोश का उसके केंद्र से गुजरने वाली $xx'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{3} M R^2$ है।
दूसरा गोलीय कोश $xx'$ अक्ष से $d = R + R = 2R$ की दूरी पर है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,दूसरे कोश का $xx'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + M d^2 = \frac{2}{3} M R^2 + M(2R)^2 = \frac{2}{3} M R^2 + 4 M R^2 = \frac{14}{3} M R^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{system} = I_1 + I_2 = \frac{2}{3} M R^2 + \frac{14}{3} M R^2 = \frac{16}{3} M R^2$ है।

(D) दिया गया है,रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho = \frac{M}{L}$,अतः कुल द्रव्यमान $M = \rho L$ है।
चूंकि तार को एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा गया है,इसकी परिधि $2\pi R = L$ है,जिससे त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ प्राप्त होती है।
अक्ष $XX'$ वृत्ताकार लूप के तल में एक स्पर्शरेखा है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र (लूप के तल में व्यास के परितः) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $d = R$ है।
एक वृत्ताकार वलय के लिए,$I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
अतः,$I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
$M = \rho L$ और $R = \frac{L}{2\pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$।

(C) माना कि वर्गाकार फ्रेम की भुजा की लंबाई $a$ और द्रव्यमान $M$ है।
वर्गाकार फ्रेम के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{Ma^2}{6} = 20$ है,इसलिए $Ma^2 = 120 \ kg \cdot m^2$।
अब,भुजा को स्पर्श करने वाली और तल में स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार $I = I_{cm} + Md^2$ होगा।
यहाँ $I_{cm} = \frac{Ma^2}{12}$ और $d = a/2$ है।
अतः,$I = \frac{Ma^2}{12} + M(a/2)^2 = \frac{Ma^2}{12} + \frac{Ma^2}{4} = \frac{Ma^2}{3}$।
मान रखने पर,$I = \frac{120}{3} = 40 \ kg \cdot m^2$।

(D) माना वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $b$ है। $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या के चार गोले कोनों $A, B, C$ और $D$ पर रखे गए हैं।
हम वर्ग की एक भुजा,मान लीजिए $BC$,को अक्ष मानकर जड़त्व आघूर्ण की गणना करेंगे।
$M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ होता है।
गोलों $B$ और $C$ के लिए,अक्ष $BC$ उनके केंद्रों से होकर गुजरती है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उनका जड़त्व आघूर्ण $I_B = I_C = \frac{2}{5}Ma^2$ होगा।
गोलों $A$ और $D$ के लिए,अक्ष $BC$ से उनकी लंबवत दूरी $b$ है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_A = I_D = I_{cm} + Mb^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$ होगा।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_A + I_B + I_C + I_D$ है।
$I = (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2)$.
$I = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{2}{5}M(4a^2 + 5b^2)$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली एक छड़ का उसके केंद्र $P$ से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस छड़ का वर्ग के केंद्र $O$ (जो $P$ से $d = l/2$ की दूरी पर है) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण होगा:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
चूंकि वर्ग चार ऐसी समान छड़ों से बना है,इसलिए $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total}$ होगा:
$I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$.

(A) वर्गाकार प्लेट के केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार है:
$I_O = I_x + I_y$
चूंकि वर्गाकार प्लेट के लिए $I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ होता है,
$I_O = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$
अब,किसी कोने (जैसे बिंदु $C$) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$I = I_O + md^2$
यहाँ,केंद्र $O$ से कोने $C$ तक की दूरी $d$ वर्ग के विकर्ण की आधी है:
$d = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
मान रखने पर:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2} = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(A) मूल डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{9M}{\pi R^2}$ है।
काटी गई डिस्क का द्रव्यमान $m = \sigma \times \pi (R/3)^2 = \frac{9M}{\pi R^2} \times \frac{\pi R^2}{9} = M$ है।
काटी गई डिस्क के केंद्र की मूल डिस्क के केंद्र से दूरी $d = R - R/3 = 2R/3$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके मूल डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः काटी गई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = I_{cm} + md^2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 + m (2R/3)^2 = \frac{1}{2} M (R^2/9) + M (4R^2/9) = \frac{MR^2}{18} + \frac{8MR^2}{18} = \frac{9MR^2}{18} = \frac{1}{2} MR^2$ है।
मूल पूर्ण डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} MR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_2 - I_1 = \frac{9}{2} MR^2 - \frac{1}{2} MR^2 = 4 MR^2$ होगा।

(C) $YY'$ अक्ष के परितः पूरे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3$ होगा।
छल्ले $1$ के लिए,$YY'$ अक्ष उसके व्यास से होकर गुजरती है। अतः,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
छल्लों $2$ और $3$ के लिए,$YY'$ अक्ष उनके व्यास के समानांतर $R$ दूरी पर स्थित है। समानांतर अक्ष प्रमेय $I = I_{cm} + Md^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ और $d = R$ है।
अतः,$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
इसी प्रकार,$I_3 = \frac{3}{2}MR^2$।
इसलिए,कुल जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{3}{2}MR^2 + \frac{3}{2}MR^2 = \frac{7}{2}MR^2$ होगा।

(B) वर्गाकार प्लेट का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{(4R)^2} = \frac{M}{16R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $m = \sigma (\pi R^2) = \frac{M}{16R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{\pi M}{16}$ है।
मूल वर्गाकार प्लेट का $z$-अक्ष (केंद्र से गुजरने वाली) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{square} = \frac{M}{12} (a^2 + a^2) = \frac{M}{12} ((4R)^2 + (4R)^2) = \frac{M}{12} (32R^2) = \frac{8}{3} MR^2$ है।
प्रत्येक वृत्ताकार छिद्र का केंद्र वर्ग के केंद्र से $d = \sqrt{2}R$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,एक छिद्र का $z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{hole} = I_{cm} + md^2 = \frac{mR^2}{2} + m(\sqrt{2}R)^2 = \frac{mR^2}{2} + 2mR^2 = \frac{5}{2} mR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{square} - 4 I_{hole} = \frac{8}{3} MR^2 - 4 \left( \frac{5}{2} mR^2 \right) = \frac{8}{3} MR^2 - 10 mR^2$ है।
$m = \frac{\pi M}{16}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{8}{3} MR^2 - 10 \left( \frac{\pi M}{16} \right) R^2 = \left[ \frac{8}{3} - \frac{10\pi}{16} \right] MR^2$ प्राप्त होता है।