Rolling motion on horizontal Surface Questions in Hindi

(C) आधे चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी उसकी परिधि की आधी यानी $\pi R$ के बराबर होती है।
शुरू में जमीन के संपर्क में रहने वाले बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन पहिये के व्यास यानी $2R$ के बराबर होता है।
मान लीजिए बिंदु की प्रारंभिक स्थिति $A$ है और अंतिम स्थिति $A'$ है। विस्थापन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है।
विस्थापन का परिमाण $\sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 1 \text{ m}$ दिया गया है,इसलिए विस्थापन का परिमाण $\sqrt{(\pi \times 1)^2 + (2 \times 1)^2} = \sqrt{\pi^2 + 4} \text{ m}$ होगा।

(B) बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,किसी भी बिंदु का वेग उसके स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन वेग $(r\omega)$ का सदिश योग होता है। चूंकि यह बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए $v = r\omega$ होगा।
$1$. बिंदु $A$ (शीर्ष पर) पर: स्थानांतरण और घूर्णन दोनों वेग एक ही दिशा (आगे की ओर) में हैं। अतः,$v_A = v + r\omega = v + v = 2v$।
$2$. बिंदु $B$ (किनारे पर) पर: स्थानांतरण वेग क्षैतिज $(v)$ है और घूर्णन वेग नीचे की ओर $(v)$ है। परिणामी वेग $v_B = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ होगा।
$3$. बिंदु $C$ (नीचे) पर: स्थानांतरण वेग आगे की ओर $(v)$ है और घूर्णन वेग पीछे की ओर $(v)$ है। परिणामी वेग $v_C = v - v = 0$ होगा।
अतः,वेग के परिमाण $2v, \sqrt{2}v, 0$ हैं। सही विकल्प $B$ है।

(A) किसी निकाय की स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) को उन स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो निकाय की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक होते हैं।
एक नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले बेलन के लिए,गति प्रतिबंधित होती है।
बेलन समतल के अनुदिश स्थानांतरण गति और अपनी अक्ष के परितः घूर्णन गति करता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $v = r\omega$ की स्थिति स्थानांतरण वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ को जोड़ती है।
इस प्रकार,समतल पर स्थिति का वर्णन करने के लिए केवल एक निर्देशांक की आवश्यकता होती है,और घूर्णन लुढ़कने की स्थिति द्वारा स्वतः निर्धारित हो जाता है।
हालाँकि,दृढ़ पिंड गतिकी के संदर्भ में,एक समतल पर लुढ़कने वाले बेलन में $2$ स्वतंत्रता की कोटि होती है: एक समतल पर स्थिति $(x)$ के लिए और एक अपनी अक्ष के परितः घूर्णन $(\theta)$ के लिए।
अतः,लुढ़कते हुए बेलन के लिए स्वतंत्रता की कोटि $2$ मानी जाती है।

(B) बिना फिसले लुढ़कती हुई गेंद के लिए,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $I = MK^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}$ होता है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E$,घूर्णन और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग है:
$E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2} + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2}{R^2} + 1 \right) = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)$.
घूर्णन ऊर्जा से संबंधित कुल ऊर्जा का अंश $\frac{K_{rot}}{E}$ है:
$\text{अंश} = \frac{\frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}}{\frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$.

(C) जब एक साइकिल अपने द्रव्यमान केंद्र के स्थिर रैखिक वेग $v$ के साथ चलती है,तो पहिये की रिम पर किसी भी बिंदु का जमीन के सापेक्ष वेग,स्थानांतरीय वेग और घूर्णी वेग के सदिश योग के बराबर होता है।
पहिये के सबसे ऊपरी बिंदु पर,रैखिक वेग $v_{top} = v_{translational} + v_{rotational} = v + r\omega$ होता है।
चूंकि साइकिल एक कठोर पिंड के रूप में गति कर रही है,इसलिए दोनों पहियों के लिए द्रव्यमान केंद्र का स्थानांतरीय वेग $v$ समान रहता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$v = r\omega$,इसलिए $v_{top} = v + v = 2v$ होता है।
चूंकि दोनों पहिये साइकिल की समान स्थानांतरीय गति $v$ के साथ आगे बढ़ते हैं,इसलिए अगले पहिये $(v_F)$ और पिछले पहिये $(v_r)$ दोनों के सबसे ऊपरी बिंदु की गति $2v$ होती है।
अतः,$v_F = 2v$ और $v_r = 2v$,जिसका अर्थ है कि $v_F = v_r$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 500 \ g = 0.5 \ kg$,त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,वेग $v = 20 \ cm/s = 0.2 \ m/s$.
एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K.E._{total} = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
चूंकि $v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
समीकरण में $I$ और $\omega$ का मान रखने पर: $K.E._{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
मान रखने पर: $K.E._{total} = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.2)^2 = 0.7 \times 0.5 \times 0.04 = 0.35 \times 0.04 = 0.014 \ J$.

(B) बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का योग होती है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
दिया गया है कि $K_{rot} = 40\%$ of $K_{total}$,जिसका अर्थ है $K_{rot} = 0.4 K_{total}$,इसलिए $K_{trans} = 0.6 K_{total}$.
अतः,अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.
$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ और $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ में $v = R\omega$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2}I\omega^2}{\frac{1}{2}m(R\omega)^2} = \frac{2}{3} \implies \frac{I}{mR^2} = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$I = \frac{2}{3}mR^2$.
यह जड़त्व आघूर्ण एक खोखले गोले के लिए होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के लिए जो एक क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रहा है,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ $K_t = \frac{1}{2} M v^2$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I = \frac{2}{5} M R^2$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\omega = v/R$ कोणीय वेग है।
मान रखने पर: $K_r = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} M R^2) \times (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5} M v^2$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_t}{K_r} = \frac{\frac{1}{2} M v^2}{\frac{1}{5} M v^2} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{5}{2}$ है।

(D) बिना फिसले लुढ़कती हुई वलय के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $K$,स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
वलय के लिए $I = MR^2$ और $\omega = V/R$ होता है,इसलिए $K = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}(MR^2)(V/R)^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}MV^2 = MV^2$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = M(V)^2 = MV^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = M(3V)^2 = 9MV^2$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 9MV^2 - MV^2 = 8MV^2$.

(A) दिया गया है:
त्रिज्या $R = 1\,m$
द्रव्यमान $M = 4\,kg$
रैखिक वेग $v = 10\,cm/s = 0.1\,m/s$
बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
$I = \frac{1}{2}MR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}MR^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{4}Mv^2$.
$K_{rot} = \frac{1}{4} \times 4\,kg \times (0.1\,m/s)^2 = 1 \times 0.01 = 0.01\,J$.

(A) बिना फिसले लुढ़कते हुए गोले के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$K = K_{tr} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$ है,इसलिए:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
दिया गया है कि द्रव्यमान केंद्रों के वेग समान हैं $(v_1 = v_2)$,अतः गतिज ऊर्जाओं का अनुपात:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{7}{10}m_1v_1^2}{\frac{7}{10}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{1}$ होगा।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $2:1$ है।

(A) जब कोई पिंड किसी क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है,तो शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) की शर्त यह है कि सतह के साथ संपर्क बिंदु का वेग शून्य हो।
मान लीजिए $v$ द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग है और $\omega$ द्रव्यमान केंद्र के परितः पिंड की कोणीय गति है।
बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = r\omega$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ पिंड की त्रिज्या है।
यहाँ त्रिज्या $R$ दी गई है,इसलिए संबंध $v = R\omega$ हो जाता है।
अतः,कोणीय गति $\omega = v/R$ है।

(C) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$,उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का योग होती है।
$K = K_t + K_r = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ है और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{5} M v^2$
$K = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) M v^2 = \frac{7}{10} M v^2$
यहाँ $M = 1 \ kg$ और $v = 1 \ m/s$ दिया गया है:
$K = \frac{7}{10} \times 1 \times (1)^2 = 0.7 \ J$.

(C) $v$ गति से बिना फिसले लुढ़कते पहिये के लिए,उच्चतम बिंदु $B$ का वेग क्षैतिज दिशा में $2v$ होता है।
जब कीचड़ बिंदु $B$ से अलग होता है,तो यह प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 2v$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ के साथ एक प्रक्षेप्य के रूप में कार्य करता है।
जमीन से बिंदु $B$ की ऊँचाई $2r$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$,हमें $2r = 0 + \frac{1}{2} g t^2$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{4r}{g}} = 2\sqrt{\frac{r}{g}}$ प्राप्त होता है।
इस समय के दौरान कीचड़ द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $AC = u_x \times t$ है।
मान रखने पर,$AC = (2v) \times (2\sqrt{\frac{r}{g}}) = 4v\sqrt{\frac{r}{g}}$।

(B) लुढ़कने की गति (rolling motion) के लिए घूर्णन हेतु आवश्यक टॉर्क प्रदान करने के लिए घर्षण की उपस्थिति अनिवार्य है।
चिकनी सतह पर घर्षण गुणांक $\mu = 0$ होता है।
घर्षण के अभाव में,गोले को उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः घुमाने के लिए कोई टॉर्क नहीं मिलता है।
इसलिए,यदि किसी गोले को चिकनी क्षैतिज या चिकनी ढलान वाली सतह पर रखा जाता है,तो वह लुढ़कने के बजाय शुद्ध स्थानांतरीय गति (फिसलना) करेगा।

(D) माना कि पिंड का द्रव्यमान $m$,रैखिक वेग $v$,त्रिज्या $R$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(TKE)$ का सूत्र है: $TKE = \frac{1}{2}mv^2$
घूर्णन गतिज ऊर्जा $(RKE)$ का सूत्र है: $RKE = \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
इस मान को $RKE$ के सूत्र में रखने पर: $RKE = \frac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{Iv^2}{R^2}$
दिया गया है कि $TKE = RKE$,इसलिए: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \frac{Iv^2}{R^2}$
इसे सरल करने पर: $m = \frac{I}{R^2}$,अर्थात $I = mR^2$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ एक रिंग (या खोखले बेलन) के लिए उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः होता है।
अतः,वह पिंड एक रिंग है।

(B) स्थिति $1$: जब खोखला बेलन बिना घूमे फिसलता है,तो इसमें केवल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा होती है।
$K_{slide} = \frac{1}{2}mv^2$
स्थिति $2$: जब यह बिना फिसले लुढ़कता है,तो इसमें स्थानांतरण और घूर्णन दोनों प्रकार की गतिज ऊर्जा होती है।
कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{roll} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
एक पतले खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है,इसलिए $mk^2 = mR^2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k^2}{R^2} = 1$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $K_{roll} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$.
अब,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात:
$\frac{K_{slide}}{K_{roll}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1 : 2$ होगा।

(A) माना $\vec{\omega}$ गोले का कोणीय वेग है और $R$ इसकी त्रिज्या है। गोले पर किसी भी बिंदु $P$ का वेग $\vec{V}_P = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{BP}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{V}_B$ केंद्र का वेग है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए संपर्क बिंदु $A$ का वेग शून्य है,अर्थात $\vec{V}_A = 0$.
बिंदु $B$ (केंद्र) के लिए,$\vec{V}_B = \vec{V}_B$.
बिंदु $C$ (सबसे ऊपरी बिंदु) के लिए,$\vec{V}_C = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{R}_{BC}$। चूंकि $\vec{V}_B = \vec{\omega} \times \vec{R}_{BA}$ (जहाँ $\vec{R}_{BA}$ बिंदु $A$ से $B$ तक का सदिश है),इसलिए हमें $\vec{V}_C = 2\vec{V}_B$ प्राप्त होता है।
अब,परिमाणों का मूल्यांकन करते हैं:
$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_B - 0| = 2|\vec{V}_B|$.
$|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = |\vec{V}_B - 2\vec{V}_B| = |-\vec{V}_B| = |\vec{V}_B|$.
इनकी तुलना करने पर,हमें $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2 |\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ प्राप्त होता है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति में,डिस्क पर किसी भी बिंदु का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग $(V_C)$ और केंद्र के परितः घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(V_{rot} = \omega r)$ का सदिश योग होता है।
मान लीजिए $r$ केंद्र $C$ से बिंदुओं $P$ और $Q$ की दूरी है। केंद्र का वेग $V_C = \omega R$ है,जहाँ $R$ डिस्क की त्रिज्या है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु का वेग $\vec{V} = \vec{V_C} + \vec{V_{rot}}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ के लिए,जो ऊपरी आधे भाग में है,घूर्णन वेग सदिश $\vec{V_{rot,P}}$ का एक घटक $V_C$ की दिशा में होता है। अतः,इसका परिमाण $V_P = \sqrt{V_C^2 + V_{rot}^2 + 2 V_C V_{rot} \cos \theta}$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है। चूँकि घटकों का योग होता है,इसलिए $V_P > V_C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $Q$ के लिए,जो निचले आधे भाग में है,घूर्णन वेग सदिश $\vec{V_{rot,Q}}$ का एक घटक $V_C$ के विपरीत दिशा में होता है। अतः,इसका परिमाण $V_Q = \sqrt{V_C^2 + V_{rot}^2 - 2 V_C V_{rot} \cos \phi}$ है। चूँकि घटकों का अंतर होता है,इसलिए $V_Q < V_C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $V_P > V_C > V_Q$ है।

(B) जब $R$ त्रिज्या का एक पहिया बिना फिसले लुढ़कता है,तो आधे चक्कर में पहिये के केंद्र द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $\pi R$ के बराबर होती है।
बिंदु $P$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन (जो शुरू में संपर्क बिंदु $A$ पर था और सबसे ऊपरी बिंदु $A'$ पर चला जाता है) पहिये के व्यास के बराबर होता है,जो $2R$ है।
कुल विस्थापन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है,जो $\pi R$ और $2R$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
विस्थापन $= \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$.
चूंकि $R = 1 \ m$ दिया गया है,इसलिए विस्थापन $= 1 \times \sqrt{\pi^2 + 4} = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$.

(A) बिना फिसले लुढ़कते हुए पहिये के लिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = 2 \ m/s$ है।
रिम पर किसी भी बिंदु पर,वेग,स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन वेग $(v = r\omega)$ का सदिश योग होता है।
$v$ गति से लुढ़कते पहिये के लिए,रिम पर घूर्णन वेग का परिमाण भी $v$ होता है।
क्षैतिज व्यास के अंतिम बिंदुओं पर,स्थानांतरण वेग सदिश क्षैतिज (दाहिनी ओर $v$) होता है और घूर्णन वेग सदिश ऊर्ध्वाधर (ऊपर या नीचे की ओर $v$) होता है।
चूंकि ये दोनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी वेग $v_{res}$ इस प्रकार होगा:
$v_{res} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$.
$v = 2 \ m/s$ का मान रखने पर:
$v_{res} = 2\sqrt{2} \ m/s$.

(C) रैखिक गति के लिए:
$F - f = Ma$ ---$(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए:
$\tau = I \alpha$
$f \cdot R = (\frac{2}{5} M R^2) \cdot (\frac{a}{R})$
$f = \frac{2}{5} Ma$ ---$(2)$
$(2)$ से,$Ma = \frac{5}{2} f$। इस मान को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$F - f = \frac{5}{2} f$
$F = \frac{7}{2} f$
गोले के न फिसलने के लिए,घर्षण बल $f$ को शर्त $f \le \mu N$ को पूरा करना चाहिए,जहाँ $N = Mg$ है।
अतः,$f \le \mu Mg$।
$f$ का अधिकतम मान $(f_{max} = \mu Mg)$ रखने पर:
$F_{max} = \frac{7}{2} \mu Mg$।

(D) जब पहिया आधा चक्कर पूरा करता है,तो कण बिंदु $P$ से सबसे ऊपरी बिंदु $P'$ पर चला जाता है।
पहिये के केंद्र द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $\pi R$ है,इसलिए कण का क्षैतिज विस्थापन $\Delta x = \pi R$ है।
कण का ऊर्ध्वाधर विस्थापन पहिये का व्यास है,अर्थात $\Delta y = 2R$ है।
कुल विस्थापन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है:
$S = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R \sqrt{\pi^2 + 4}$.
चूंकि $R = 5 \ m$ दिया गया है,इसलिए विस्थापन $S = 5 \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$ होगा।

(B) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का योग होती है।
$K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
डिस्क के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ होता है। चूंकि यह बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = v/r$।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$
अब,कुल गतिज ऊर्जा की गणना करें:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
कुल गतिज ऊर्जा का घूर्णन गतिज ऊर्जा वाला भाग है:
$\frac{K_r}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{4}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1}{3}$

(C) लुढ़कते हुए गोले की कुल ऊर्जा $E$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$E = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,$\omega = \frac{v}{R}$ और जड़त्व आघूर्ण $I = mK^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mK^2)\left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{K^2}{R^2}\right) = \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{R^2 + K^2}{R^2}\right)$
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)\left(\frac{v^2}{R^2}\right) = \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{K^2}{R^2}\right)$
कुल ऊर्जा में घूर्णन गतिज ऊर्जा का भाग:
$\text{भाग} = \frac{K_{rot}}{E} = \frac{\frac{1}{2}mv^2 (K^2/R^2)}{\frac{1}{2}mv^2 (R^2 + K^2)/R^2} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$

(B) जब $R$ त्रिज्या वाली एक रिंग आधा चक्कर पूरा करती है,तो रिंग का केंद्र परिधि की आधी दूरी के बराबर आगे बढ़ता है,जो $\pi R$ है।
संपर्क बिंदु,जो शुरू में नीचे था,रिंग के शीर्ष पर पहुँच जाता है। इस बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन रिंग के व्यास के बराबर यानी $2R$ होता है।
बिंदु का क्षैतिज विस्थापन $\pi R$ है।
कुल विस्थापन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है:
$\text{विस्थापन} = \sqrt{(\text{क्षैतिज विस्थापन})^2 + (\text{ऊर्ध्वाधर विस्थापन})^2}$
$\text{विस्थापन} = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$\text{विस्थापन} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$\text{विस्थापन} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$

(B) अधिकतम संपीड़न पर,ठोस बेलन क्षण भर के लिए रुक जाएगा।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
बेलन की गतिज ऊर्जा में कमी = स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि।
लुढ़कते हुए बेलन की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
इसे स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर,$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x^2 = \frac{3mv^2}{2k}$।
दिया गया है $m = 3 \, kg$,$v = 4 \, m s^{-1}$,और $k = 200 \, N m^{-1}$।
$x^2 = \frac{3 \times 3 \times (4)^2}{2 \times 200} = \frac{9 \times 16}{400} = \frac{144}{400} = 0.36$।
अतः,$x = \sqrt{0.36} = 0.6 \, m$।

(B) स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और रैखिक तथा कोणीय वेग के बीच संबंध $v = r\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
$K_t : (K_t + K_r)$ का अनुपात $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ है।

(C) $v = 2 \, m/s$ की गति से जमीन पर लुढ़कते हुए पहिये के लिए,पहिये के प्रत्येक बिंदु का आगे की दिशा में स्थानांतरीय वेग $v_t = v$ होता है।
इसके अतिरिक्त,द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण,रिम पर स्थित प्रत्येक बिंदु का केंद्र के सापेक्ष स्पर्शरेखीय वेग $v_R = v$ होता है।
क्षैतिज व्यास के सिरों पर,स्थानांतरीय वेग $v_t$ क्षैतिज होता है और घूर्णी वेग $v_R$ ऊर्ध्वाधर (अगले बिंदु पर नीचे की ओर,पिछले बिंदु पर ऊपर की ओर) होता है।
चूंकि ये दोनों वेग सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी वेग $v_N$ इस प्रकार होगा:
$v_N = \sqrt{v_t^2 + v_R^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$
$v = 2 \, m/s$ रखने पर:
$v_N = 2\sqrt{2} \, m/s$.

(D) बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा,उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = mk^2$ और $\omega = v/R$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)$
दिया गया है: $m = 10 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$v = 2 \ m/s$,$K.E. = 32.8 \ J$.
मान रखने पर:
$32.8 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 \left(1 + \frac{k^2}{(0.5)^2}\right)$
$32.8 = 20 \left(1 + 4k^2\right)$
$1.64 = 1 + 4k^2$
$0.64 = 4k^2$
$k^2 = 0.16$
$k = 0.4 \ m$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,वेग $v = 20 \ cm/s = 0.2 \ m/s$।
बिना फिसले लुढ़कते हुए ठोस गोले के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total}$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $\omega = v/R$।
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$।
मान रखने पर:
$K_{total} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.2)^2 \times 1.4 = 0.25 \times 0.04 \times 1.4 = 0.01 \times 1.4 = 0.014 \ J$।

(A) लुढ़कते हुए गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_T = K_{translational} + K_{rotational} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़क रहा है,$v = R\omega$,अतः $\omega = v/R$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ और $\omega$ का मान रखने पर: $K_R = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_T = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_R}{K_T} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(D) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ का सूत्र $K_{total} = K_{translational} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ है।
चकती के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$ होती है।
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{1 + \frac{K^2}{R^2}}{\frac{K^2}{R^2}}$ है।
$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1 + 1/2}{1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(D) घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (Mk^2) (\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{k^2}{R^2})$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
दिया गया है कि $K_R = K_T$,इसलिए $\frac{1}{2} Mv^2 (\frac{k^2}{R^2}) = \frac{1}{2} Mv^2$।
इसे सरल करने पर $\frac{k^2}{R^2} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k^2 = R^2$।
एक वलय (ring) के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है,इसलिए $k^2 = R^2$ होता है।
अतः,वह वस्तु एक वलय है।

(A) लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ उसकी स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का योग होती है।
$K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ है और लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ (या $\omega = v/R$) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mv^2)$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5})$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5}) = \frac{7}{10}mv^2$.

(B) ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total}$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_T$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ का योग है।
$K_T = \frac{1}{2}Mv^2$ और $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$।
चूंकि गेंद बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = R\omega$,इसलिए $\omega = v/R$।
$I$ और $\omega$ का मान रखने पर: $K_R = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_T + K_R = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ है।
घूर्णन गति से संबंधित ऊर्जा का भाग $\frac{K_R}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(B) चूँकि जमीन के साथ संपर्क बिंदु पर घर्षण बल कार्य कर रहा है,अतः कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहेगी।
हालाँकि,संपर्क बिंदु के परित: इस घर्षण बल का बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य होगा क्योंकि बल ठीक उसी बिंदु पर कार्य करता है।
इसलिए,संपर्क बिंदु के परित: गोले का कोणीय संवेग नियत रहेगा।
गणितीय रूप से,$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$। यदि $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\vec{L} = \text{नियत}$।

(C) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
यहाँ $m = 1 \ kg$ और $v = 1 \ m/s$ दिया गया है:
$K_{total} = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 \times \frac{7}{5} = \frac{7}{10} = 0.7 \ J$.

(D) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
खोखले गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{3}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{5}{3})$.
दिया गया है: $m = 2 \, kg$,$v = 0.5 \, m/s$.
$K = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 \times \frac{5}{3} = 0.25 \times \frac{5}{3} = 0.4166... \approx 0.42 \, J$.

(B) बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K_T)$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक वृत्तीय चकती के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है और लुढ़कने की स्थिति $v = R\omega$ है,इसलिए $\omega = v/R$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
यहाँ $m = 0.41 \ kg$ और $v = 2 \ m/s$ दिया गया है:
$K_T = \frac{3}{4} \times 0.41 \times (2)^2 = \frac{3}{4} \times 0.41 \times 4 = 3 \times 0.41 = 1.23 \ J$.

(C) संपर्क बिंदु (मूल बिंदु $O$) के परितः लुढ़कती हुई वस्तु का कोणीय संवेग,रैखिक गति के कारण कोणीय संवेग और उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण कोणीय संवेग का योग होता है।
$L = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}}$
$L = MvR + I_c\omega$
चूंकि चकती बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v = R\omega$ है।
चकती का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(C) बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K_T)$ का सूत्र $K_T = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ होता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
यहाँ $m = 50 \, g$,$v = 5 \, cm/s$ दिया गया है,अतः $K_T = \frac{1}{2} \times 50 \times (5)^2 \times \frac{7}{5} = 25 \times 25 \times 1.4 = 875 \, erg$.

(D) बिना फिसले लुढ़कते हुए पहिये के लिए,संपर्क बिंदु $M$ से $r'$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ का वेग $v_P = \omega \cdot MP$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = v/r$ है। अतः,वेग $MP$ के समानुपाती है। इसलिए कथन $A$ सही है।
संपर्क बिंदु $M$ का जमीन के सापेक्ष वेग $0$ है,इसलिए यह क्षणिक रूप से स्थिर है। इसलिए कथन $C$ सही है।
केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित बिंदु का वेग $v_d = \sqrt{v^2 + (\omega d)^2 + 2v\omega d \cos \theta}$ होता है। चूंकि यह ऊर्ध्वाधर के सापेक्ष कोण $\theta$ पर निर्भर करता है,इसलिए केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के वेग समान होना आवश्यक नहीं है। अतः,कथन $D$ गलत है।
कथन $B$ के संदर्भ में,$v$ से अधिक वेग वाले बिंदु पहिये के ऊपरी आधे हिस्से में होते हैं और $v$ से कम वेग वाले बिंदु निचले आधे हिस्से में होते हैं। गतिशीलता के अनुसार कथन $B$ सही है।

(A) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा $K = K_{tr} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
यह देखते हुए कि दोनों गोलों का वेग समान $(v_1 = v_2)$ है,उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{7}{10}m_1v_1^2}{\frac{7}{10}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$.
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = 2:1$,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = 2:1$.
इस विशिष्ट मामले में त्रिज्या का अनुपात अप्रासंगिक है क्योंकि दोनों गोलों के लिए वेग समान है।

(C) लुढ़कते हुए लूप के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(KE_{roll})$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE_{roll} = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $I = mr^2$ और $\omega = V/r$,हमें प्राप्त होता है $KE_{roll} = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(V/r)^2 = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}mV^2 = mV^2$.
फिसलते हुए लूप के लिए,गतिज ऊर्जा $(KE_{slide})$ केवल स्थानांतरण होती है: $KE_{slide} = \frac{1}{2}mv^2$.
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए हम उन्हें बराबर करते हैं: $mV^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
इसे सरल करने पर $V^2 = v^2 / 2$,या $V^2 / v^2 = 1 / 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,उनकी गति का अनुपात $V / v = \sqrt{1/2} = 1 / \sqrt{2} = \sqrt{2} / 2$ है।

(B) डिस्क पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu mg$ है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \frac{f}{m} = \mu g$ है।
केंद्र के परितः घर्षण के कारण बल आघूर्ण $\tau = f r = \mu mgr$ है।
कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu mgr}{\frac{1}{2}mr^2} = \frac{2\mu g}{r}$ है।
$t$ समय पर,रैखिक वेग $v = at = \mu gt$ है।
कोणीय वेग $\omega = \omega_0 - \alpha t = \omega_0 - \frac{2\mu g}{r}t$ है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$v = r\omega$ शर्त पूरी होनी चाहिए।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\mu gt = r(\omega_0 - \frac{2\mu g}{r}t)$.
$\mu gt = r\omega_0 - 2\mu gt$.
$3\mu gt = r\omega_0$.
$t = \frac{\omega_0 r}{3\mu g}$.

(D) जब एक गोले को खुरदरी क्षैतिज सतह पर रखा जाता है,तो घर्षण बल लुढ़कने (rolling) की स्थिति पर निर्भर करता है।
यदि गोले को इस प्रकार रखा जाता है कि संपर्क बिंदु का वेग $v_p = v - r\omega = 0$ हो,तो गोले और सतह के बीच सापेक्ष वेग शून्य होता है।
इस विशिष्ट स्थिति में,संपर्क बिंदु और सतह के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है,इसलिए गोले पर कार्य करने वाला घर्षण बल शून्य होता है।
चूंकि प्रश्न में यह निर्दिष्ट नहीं है कि $v \neq r\omega$,इसलिए घर्षण बल का शून्य होना संभव है।
अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी (जो यह दावा करते हैं कि बल आगे,पीछे होना चाहिए या शून्य नहीं हो सकता) सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(D) एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर गति करने वाले गोले के लिए,घर्षण बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है।
चूंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है,इसलिए संपर्क बिंदु के परितः घर्षण के कारण बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी बिंदु के परितः कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,तो उस बिंदु के परितः कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,समतल के साथ संपर्क बिंदु के परितः गोले का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(C) जब बेलन को सतह पर रखा जाता है,तो घर्षण बल $f = \mu mg$ संपर्क बिंदु के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
यह घर्षण बल एक रैखिक त्वरण $a = \frac{f}{m} = \mu g$ और एक मंदक कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{fR}{\frac{1}{2}mR^2} = \frac{2\mu g}{R}$ प्रदान करता है।
$t$ समय पर,रैखिक वेग $v = at = \mu gt$ है।
कोणीय वेग $\omega = \omega_0 - \alpha t = \omega_0 - \frac{2\mu g t}{R}$ है।
बिना फिसले लुढ़कना तब शुरू होता है जब $v = R\omega$ होता है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu gt = R(\omega_0 - \frac{2\mu gt}{R}) = \omega_0 R - 2\mu gt$.
$3\mu gt = \omega_0 R \Rightarrow t = \frac{\omega_0 R}{3\mu g}$.