Toppling and Instantaneous Axis of Rotation Questions in Hindi

(C) ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल ज्ञात करने के लिए,हम उस किनारे (pivot point $P$) के परितः आघूर्ण (torque) पर विचार करते हैं जहाँ से यह पलटना शुरू करेगा।
पलटने की क्रांतिक स्थिति में,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ धुरी बिंदु $P$ से होकर गुजरती है।
बिंदु $P$ के परितः गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के कारण आघूर्ण $\tau_{mg} = mg \times (L/2)$ है।
बिंदु $P$ के परितः लगाए गए क्षैतिज बल $F$ के कारण आघूर्ण $\tau_{F} = F \times L$ है।
ब्लॉक के पलटने के लिए,लगाए गए बल के कारण आघूर्ण,गुरुत्वाकर्षण के कारण आघूर्ण से अधिक होना चाहिए:
$\tau_{F} > \tau_{mg}$
$F \times L > mg \times (L/2)$
$F > mg/2$
अतः,ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F = mg/2$ है।

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष $O$ से $r'$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु का वेग $v = r' \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ डिस्क का कोणीय वेग है।
दी गई आकृति में,$O$ जमीन के साथ संपर्क बिंदु है,जो तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र है।
तात्क्षणिक केंद्र $O$ से बिंदुओं $P$,$C$ और $Q$ की दूरियाँ क्रमशः $r_P$,$r_C$ और $r_Q$ हैं।
डिस्क की ज्यामिति से यह स्पष्ट है कि $r_P < r_C < r_Q$ है।
चूँकि $v = r' \omega$ और डिस्क के सभी बिंदुओं के लिए $\omega$ स्थिर है,इसलिए वेग तात्क्षणिक केंद्र $O$ से दूरी के सीधे आनुपातिक होता है।
अतः,$v_P < v_C < v_Q$ या $v_Q > v_C > v_P$।

(C) ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल ज्ञात करने के लिए,हम किनारे $O$ (धुरी बिंदु) के परितः आघूर्ण (torque) पर विचार करते हैं जिसके परितः ब्लॉक पलटेगा।
चरण $1$: ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों की पहचान करें।
- लगाया गया क्षैतिज बल $F$ ऊपरी किनारे पर,आधार से $L$ ऊंचाई पर कार्य करता है।
- ब्लॉक का भार $mg$ गुरुत्वाकर्षण केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी बिंदु $O$ से $L/2$ की क्षैतिज दूरी पर है।
- पलटने के बिंदु पर अभिलंब बल $N$ किनारे $O$ पर स्थानांतरित हो जाता है।
चरण $2$: पलटने के लिए शर्त लागू करें।
ब्लॉक के पलटने की स्थिति में होने के लिए,धुरी बिंदु $O$ के परितः लगाए गए बल $F$ के कारण आघूर्ण,उसी बिंदु के परितः भार $mg$ के कारण आघूर्ण के बराबर होना चाहिए।
$F$ के कारण आघूर्ण (दक्षिणावर्त) = $F \times L$
भार $mg$ के कारण आघूर्ण (वामावर्त) = $mg \times \frac{L}{2}$
आघूर्णों की तुलना करने पर:
$F \times L = mg \times \frac{L}{2}$
$F = \frac{mg}{2}$
अतः,ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $\frac{mg}{2}$ है।

(A) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के मामले में,डिस्क का सबसे निचला बिंदु $O$ तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र $(ICR)$ होता है,जहाँ वेग शून्य होता है।
डिस्क पर किसी भी बिंदु का वेग $V = r \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ तात्क्षणिक केंद्र $O$ से बिंदु की दूरी है और $\omega$ डिस्क का कोणीय वेग है।
डिस्क की ज्यामिति से,तात्क्षणिक केंद्र $O$ से बिंदुओं $Q, C$ और $P$ की दूरियाँ $r_Q > r_C > r_P$ संबंध को संतुष्ट करती हैं।
चूंकि $V = r \omega$ और $\omega$ डिस्क के सभी बिंदुओं के लिए समान है,इसलिए $V_Q > V_C > V_P$ प्राप्त होता है।

(B) एक खोखले शंकु के लिए,द्रव्यमान केंद्र आधार से समरूपता की धुरी पर $h_{cm} = H/3$ की ऊँचाई पर स्थित होता है।
दी गई ऊँचाई $H = 2R$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र आधार से $h_{cm} = (2R)/3 = 2R/3$ की दूरी पर है।
शंकु तब लुढ़केगा जब गुरुत्वाकर्षण बल की क्रिया रेखा (जो द्रव्यमान केंद्र से गुजरती है) शंकु के आधार से बाहर निकल जाएगी।
लुढ़कने की स्थिति में,भार की क्रिया रेखा आधार के किनारे से गुजरती है।
इस विन्यास में,समतल का झुकाव कोण $\theta$,ऊर्ध्वाधर और द्रव्यमान केंद्र को आधार के किनारे से जोड़ने वाली रेखा के बीच के कोण के बराबर होता है।
द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $(2R/3)$ और आधार की त्रिज्या $(R)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए,हमें $\tan \theta = \frac{\text{त्रिज्या}}{\text{CM की ऊँचाई}} = \frac{R}{2R/3} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3/2)$।

(B) एक दृढ़ पिंड के लिए,किन्हीं दो बिंदुओं $A$ और $B$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{\omega} \times \vec{r}_{AB}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि घूर्णन का केंद्र बिंदु $A$ से त्रिज्या की दिशा में $x$ दूरी पर है। बिंदु $A$ का वेग $v_A = \omega x$ और बिंदु $B$ का वेग $v_B = \omega (x+R)$ है।
यहाँ $v_A = v$ और $v_B = v$ दिया गया है,इसलिए:
$v = \omega x$ --- $(1)$
$v = \omega (x+R)$ --- $(2)$
हालाँकि,वेग की दिशाओं को देखने पर,वे परस्पर लंबवत हैं। तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र $(ICR)$ $A$ और $B$ पर वेग सदिशों के लंबवत रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।
चूंकि $v_A$ ऊर्ध्वाधर है और $v_B$ क्षैतिज है,इसलिए $ICR$ बिंदु $A$ से क्षैतिज रूप से $R$ दूरी पर और $B$ से ऊर्ध्वाधर रूप से $R$ दूरी पर है।
इस प्रकार,$ICR$ की बिंदु $A$ से दूरी $r_A = R$ और बिंदु $B$ से दूरी $r_B = R$ है।
अतः,$v = \omega R$,जिससे $\omega = \frac{v}{R}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष $v_1$ वेग से गति करने वाले सिरे से $x$ दूरी पर है।
चूंकि छड़ इस अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय वेग से घूम रही है,इसलिए अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु का वेग $v = \omega r$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों सिरों के लिए:
$v_1 = \omega x$ और $v_2 = \omega (l - x)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{x}{l - x}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$v_1(l - x) = v_2 x$
$v_1 l - v_1 x = v_2 x$
$v_1 l = x(v_1 + v_2)$
$x = \frac{v_1 l}{v_1 + v_2}$.

(D) मान लीजिए सीढ़ी $AB$ है जिसकी लंबाई $L$ है। सिरा $A$ फर्श पर है और $B$ दीवार पर है। तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष $(IAR)$ बिंदु $O$ पर है,जो $A$ और $B$ के वेगों के लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
सीढ़ी का कोणीय वेग $\omega = v / (L \cos \alpha)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\alpha = 30^o$,इसलिए $\cos 30^o = \sqrt{3}/2$,यानी $\omega = v / (L \cdot \sqrt{3}/2) = 2v / (L \sqrt{3})$.
द्रव्यमान केंद्र $C$,$IAR$ $O$ से $r = L/2$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र की गति $v_c = r \omega = (L/2) \cdot (2v / (L \sqrt{3})) = v / \sqrt{3}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में $v/\sqrt{3}$ नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'कोई नहीं' है।

(D) फिसलने से पहले पलटने के लिए:
पलटना तब होता है जब किनारे के परितः $mg \sin \theta$ के कारण लगने वाला टॉर्क $mg \cos \theta$ के कारण लगने वाले टॉर्क से अधिक हो जाता है। यह तब होता है जब $\tan \theta > \frac{a}{h}$ हो।
फिसलना तब होता है जब $mg \sin \theta > \mu mg \cos \theta$,अर्थात $\tan \theta > \mu$ हो।
यदि $\mu > \frac{a}{h}$ है,तो $\tan \theta$ के $\mu$ तक पहुँचने से पहले ही $\frac{a}{h}$ के मान तक पहुँचने की संभावना है। अतः,ब्लॉक पहले पलट जाएगा।
पलटने से पहले फिसलने के लिए:
यदि $\mu < \frac{a}{h}$ है,तो $\tan \theta$ के $\frac{a}{h}$ तक पहुँचने से पहले ही $\mu$ के मान तक पहुँचने की संभावना है। अतः,ब्लॉक पहले फिसल जाएगा।
इसलिए,दोनों कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) छड़ $AB$ की गति को तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र $(ICR)$ के परितः शुद्ध घूर्णन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
दो लंबवत दीवारों के बीच फिसलने वाली छड़ के लिए,सिरे $A$ का वेग ऊर्ध्वाधर है और सिरे $B$ का वेग क्षैतिज है।
$A$ और $B$ पर वेग सदिशों से खींची गई लंबवत रेखाएं बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए,इस क्षण पर बिंदु $D$ छड़ का $ICR$ है।
$ICR$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः शुद्ध घूर्णन में एक पिंड की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I_{ICR} \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $ICR$ बिंदु $D$ पर है,इसलिए गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} I_D \omega^2$ होगी।

(C) क्रेट को पलटने के लिए किया गया कार्य क्रेट के द्रव्यमान केंद्र की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
द्रव्यमान केंद्र ज्यामितीय केंद्र पर होता है। मान लीजिए आयाम $L = 80 \ cm = 0.8 \ m$,$H = 60 \ cm = 0.6 \ m$ हैं।
किनारे $AB$ के परितः घूर्णन के लिए,द्रव्यमान केंद्र में वृद्धि $\Delta h_1 = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2} - 0.3 = 0.5 - 0.3 = 0.2 \ m$ है।
कार्य $W_1 = mg \Delta h_1 = 100 \times 10 \times 0.2 = 200 \ J$.
किनारे $A_1B_1$ के परितः घूर्णन के लिए,द्रव्यमान केंद्र में वृद्धि $\Delta h_2 = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2} - 0.4 = 0.5 - 0.4 = 0.1 \ m$ है।
कार्य $W_2 = mg \Delta h_2 = 100 \times 10 \times 0.1 = 100 \ J$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 200 + 100 = 300 \ J$.

(A) प्रभाव के दौरान किनारे (lip) के सापेक्ष घन का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = M v_0 a$ है।
किनारे के सापेक्ष घन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{10}{3} M a^2$ है।
कोणीय संवेग को बराबर करने पर: $M v_0 a = I \omega = \frac{10}{3} M a^2 \omega$,जिससे $\omega = \frac{3 v_0}{10 a}$ प्राप्त होता है।
घन के पलटने के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र को किनारे से सबसे ऊँचे बिंदु तक पहुँचना चाहिए,जो किनारे से $a\sqrt{2}$ की दूरी पर है। स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = Mg(a\sqrt{2} - a) = Mga(\sqrt{2} - 1)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \Delta U$.
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $v_0 = \sqrt{\frac{16}{3} ga(\sqrt{2} - 1)}$ प्राप्त होता है।

(C) मेज को पलटने से रोकने के लिए,यह दो निकटतम पैरों को जोड़ने वाली रेखा के परितः घूमेगी। मान लीजिए मेज का केंद्र $C$ है और वह बिंदु जहाँ द्रव्यमान $m$ किनारे पर रखा गया है,$A$ है। दो निकटतम पैरों को जोड़ने वाली रेखा धुरी (pivot axis) के रूप में कार्य करती है,जो बिंदु $B$ से होकर गुजरती है।
क्रांतिक स्थिति में,धुरी के परितः द्रव्यमान $m$ के कारण लगने वाला टॉर्क,मेज के भार $(M)$ के कारण लगने वाले टॉर्क द्वारा संतुलित होना चाहिए।
मान लीजिए $R$ मेज की त्रिज्या है। केंद्र $C$ से धुरी $B$ तक की दूरी $BC = R \cos 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।
किनारे $A$ से धुरी $B$ तक की दूरी $AB = R - BC = R - \frac{R}{\sqrt{2}} = R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
धुरी के परितः टॉर्क को संतुलित करने पर:
$m g (AB) = M g (BC)$
$m (R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})) = M (\frac{R}{\sqrt{2}})$
$m = M \frac{1/\sqrt{2}}{1 - 1/\sqrt{2}} = M \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$
यहाँ $M = 20 \,kg$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ दिया गया है:
$m = \frac{20}{1.414 - 1} = \frac{20}{0.414} \approx 48.3 \,kg$.
दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम मान $47 \,kg$ है।

(A) प्रिज्म को पलटने के लिए, इसे किनारे $C$ के परितः घूमना होगा।
बल $F$ को शीर्ष $A$ पर आधार से $h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ की ऊँचाई पर लगाया जाता है।
भार $mg$ द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो किनारे $C$ से $a/2$ की क्षैतिज दूरी पर है।
प्रिज्म के पलटने की स्थिति में होने के लिए, बिंदु $C$ के परितः बल $F$ के कारण आघूर्ण (टॉर्क), बिंदु $C$ के परितः गुरुत्वाकर्षण $mg$ के कारण आघूर्ण को संतुलित करना चाहिए।
$C$ के परितः $F$ के कारण टॉर्क = $F \times h = F \times a\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$C$ के परितः $mg$ के कारण टॉर्क = $mg \times \frac{a}{2}$.
टॉर्क को बराबर करने पर: $F \times a\frac{\sqrt{3}}{2} = mg \times \frac{a}{2}$.
$F$ के लिए हल करने पर, हमें $F = \frac{mg}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) घन को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F$ ज्ञात करने के लिए,हम उस किनारे (बिंदु $D$) के परितः आघूर्ण (टॉर्क) पर विचार करते हैं जिसके परितः यह पलटेगा।
बिंदु $D$ के परितः लगाए गए बल $F$ के कारण आघूर्ण $\tau_F = F \times \frac{3a}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (जो घन के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो किनारे $D$ से $\frac{a}{2}$ की क्षैतिज दूरी पर है) के कारण बिंदु $D$ के परितः आघूर्ण $\tau_g = mg \times \frac{a}{2}$ है।
घन के पलटना शुरू करने के लिए,लगाए गए बल के कारण आघूर्ण गुरुत्वाकर्षण के कारण आघूर्ण के बराबर होना चाहिए:
$F \times \frac{3a}{4} = mg \times \frac{a}{2}$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = mg \times \frac{a}{2} \times \frac{4}{3a}$
$F = \frac{2}{3} mg$
अतः,आवश्यक न्यूनतम बल $\frac{2}{3} mg$ है।

(D) माना छड़ का कोणीय वेग $\omega$ है। तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र $I$ से $r$ दूरी पर स्थित छड़ के किसी भी बिंदु $P$ का वेग $v = \omega r$ द्वारा दिया जाता है।
सिरे $A$ का वेग न्यूनतम होने के लिए,छड़ को सिरे $A$ के परितः तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र के रूप में घूमना चाहिए।
बिंदु $B$ का वेग $v_B = 3 \ m/s$ छड़ के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर दिया गया है।
छड़ के लंबवत $B$ के वेग का घटक $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ}$ है।
चूंकि छड़ $A$ के परितः घूम रही है,इसलिए छड़ के लंबवत $B$ का वेग $v_{B\perp} = \omega L$ द्वारा भी दिया जाता है,जहां $L = 0.5 \ m$ छड़ की लंबाई है।
$v_{B\perp}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\omega L = v_B \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times 0.5$
$\omega = 3 \ rad/s$.
चूंकि $3 \ rad/s$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) जब छड़ को छोड़ा जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बिंदु $P$ के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U = mg(\frac{l}{2})$ है,क्योंकि गुरुत्व केंद्र $P$ से $\frac{l}{2}$ दूरी पर है।
छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ है,जहाँ $I$ बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा:
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}I\omega^2$
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{ml^2}{3})\omega^2$
$g = \frac{l}{3}\omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$
छड़ के ऊपरी सिरे का रेखीय वेग $v = \omega l$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{3g}{l}} \times l = \sqrt{3gl}$