किसी ठोस पिंड के द्रव्यमान केंद्र के आकलन के लिए सैद्धांतिक विधि की व्याख्या कीजिए।

(N/A) एक ठोस पिंड सूक्ष्म कणों (अणुओं,आयनों,परमाणुओं) से बना होता है जो इसके आयतन में निरंतर वितरित होते हैं।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक ठोस पिंड पर विचार करें जिसे छोटे द्रव्यमान तत्वों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $dm$ और स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
$m_1, m_2, \ldots, m_n$ द्रव्यमान वाले और $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_n$ स्थिति सदिश वाले कणों के निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}$ इस प्रकार है:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
एक निरंतर ठोस पिंड के लिए,हम योग को समाकलन (integral) से प्रतिस्थापित करते हैं। मान लीजिए कि पिंड का कुल द्रव्यमान $M$ है,जहाँ $M = \int dm$ है।
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश:
$\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$
कार्तीय निर्देशांक $(X, Y, Z)$ के संदर्भ में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$X = \frac{1}{M} \int x dm$
$Y = \frac{1}{M} \int y dm$
$Z = \frac{1}{M} \int z dm$
ये समीकरण हमें पिंड के पूरे आयतन पर समाकलन करके किसी भी ठोस पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गणना करने की अनुमति देते हैं।