Centre of mass (Point Mass) Questions in Hindi

(B) दो कणों की प्रणाली के लिए द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $(R_{cm})$ सूत्र $R_{cm} = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m$ और $M$ के लिए,द्रव्यमान केंद्र उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।
विशेष रूप से,द्रव्यमान $M$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $r_M = \frac{m \cdot d}{M + m}$ है और द्रव्यमान $m$ से दूरी $r_m = \frac{M \cdot d}{M + m}$ है।
चूंकि $M > m$ है,इसलिए $r_M < r_m$ होता है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र हमेशा भारी द्रव्यमान यानी $M$ के अधिक निकट स्थित होता है।

(C) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 200 \ gm = 0.2 \ kg$ और $m_2 = 500 \ gm = 0.5 \ kg$ हैं।
वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m/s$ और $\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m/s$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{0.2(10 \hat{i}) + 0.5(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{0.2 + 0.5}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{2 \hat{i} + 1.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}}{0.7}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{3.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}}{0.7}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{3.5}{0.7} \hat{i} + \frac{2.5}{0.7} \hat{j}$
$\vec{v}_{cm} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \ m/s$.

(B) मान लीजिए कि द्रव्यमान समांतर चतुर्भुज के शीर्षों पर रखे गए हैं। मान लीजिए $m$ द्रव्यमान $(0, 0)$ पर है। चूँकि भुजा की लंबाई $a$ है और एक कोण $60^o$ है,$4m$ द्रव्यमान $(a, 0)$ पर है। $2m$ द्रव्यमान $(a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (a/2, \sqrt{3}a/2)$ पर है। $3m$ द्रव्यमान $(a + a/2, \sqrt{3}a/2) = (3a/2, \sqrt{3}a/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $x_{cm} = \frac{m(0) + 4m(a) + 2m(a/2) + 3m(3a/2)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{0 + 4ma + ma + 4.5ma}{10m} = \frac{9.5ma}{10m} = 0.95a$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = \frac{m(0) + 4m(0) + 2m(\sqrt{3}a/2) + 3m(\sqrt{3}a/2)}{10m} = \frac{5\sqrt{3}ma/2}{10m} = \frac{\sqrt{3}a}{4}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(0.95a, \frac{\sqrt{3}}{4}a)$ पर स्थित है।

(C) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार दिए जाते हैं:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
यहाँ $m_1 = m_2 = m_3 = m$ और स्थिति $(x_1, y_1) = (1, 1), (x_2, y_2) = (2, 2), (x_3, y_3) = (3, 3)$ दी गई है।
$X_{cm} = \frac{m(1) + m(2) + m(3)}{m + m + m} = \frac{6m}{3m} = 2$
$Y_{cm} = \frac{m(1) + m(2) + m(3)}{m + m + m} = \frac{6m}{3m} = 2$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(2, 2)$ पर स्थित है।

(A) चारों गोलों के निर्देशांक $(1, 1)$,$(-1, 1)$,$(-1, -1)$,और $(1, -1)$ हैं।
चूंकि सभी गोलों का द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार होंगे:
$X_{cm} = \frac{m(1) + m(-1) + m(-1) + m(1)}{m + m + m + m} = \frac{0}{4m} = 0$
$Y_{cm} = \frac{m(1) + m(1) + m(-1) + m(-1)}{m + m + m + m} = \frac{0}{4m} = 0$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(0, 0)$ पर स्थित है।

(C) मान लीजिए कि द्रव्यमान $m$ की स्थिति मूल बिंदु $(x_1 = 0)$ पर है और द्रव्यमान $M$ की स्थिति $x$-अक्ष पर $(x_2 = L)$ पर है।
दो कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$X_{cm} = \frac{m(0) + M(L)}{m + M}$
$X_{cm} = \frac{ML}{m + M} = L\left( \frac{M}{m + M} \right)$
अतः,$m$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $L\left( \frac{M}{m + M} \right)$ है।

(B) मान लीजिए प्रत्येक गोले की त्रिज्या $r$ है। चूंकि गोले समान हैं और एक-दूसरे को स्पर्श कर रहे हैं,इसलिए निकटवर्ती गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $2r$ है।
मान लीजिए केंद्रों की स्थिति $x_K = 0$,$x_L = 2r$ और $x_M = 4r$ है।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm} = \frac{m x_K + m x_L + m x_M}{m + m + m} = \frac{0 + 2r + 4r}{3} = \frac{6r}{3} = 2r$ है।
चूंकि $KL = 2r$ और $KM = 4r$ है,इसलिए $X_{cm} = KL = \frac{KM}{2}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\frac{KL + KM}{3} = \frac{2r + 4r}{3} = 2r$ है।
अतः,$K$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{KL + KM}{3}$ है।

(C) मान लीजिए कि कार्बन परमाणु मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और ऑक्सीजन परमाणु $x$-अक्ष पर $(1.1, 0)$ पर स्थित है।
दिया गया है: $m_1 = 12 \ a.m.u.$ (कार्बन),$m_2 = 16 \ a.m.u.$ (ऑक्सीजन)।
स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = 0\hat{i}$ और $\vec{r}_2 = 1.1\hat{i}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $R_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
$R_{cm} = \frac{12(0) + 16(1.1)}{12 + 16}$
$R_{cm} = \frac{17.6}{28} \ \mathring{A}$
$R_{cm} \approx 0.63 \ \mathring{A}$ कार्बन परमाणु से।

(B) माना वर्ग $ABCD$ का कोना $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। $8\,kg$ द्रव्यमान $A$ पर रखा गया है। वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2} = 80\,cm$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
$a = \frac{80}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2}\,cm$.
द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $m_A = 8\,kg$,$m_B = 2\,kg$,$m_C = 4\,kg$,$m_D = 2\,kg$.
कोनों के निर्देशांक हैं: $A(0,0)$,$B(a,0)$,$C(a,a)$,$D(0,a)$.
द्रव्यमान केंद्र $(X_{CM}, Y_{CM})$ के निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं:
$X_{CM} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(a) + 4(a) + 2(0)}{8 + 2 + 4 + 2} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$Y_{CM} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(a) + 2(a)}{8 + 2 + 4 + 2} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$a = 40\sqrt{2}\,cm$ का मान रखने पर:
$X_{CM} = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2}\,cm$.
$Y_{CM} = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2}\,cm$.
$A(0,0)$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d = \sqrt{X_{CM}^2 + Y_{CM}^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30\,cm$.

(C) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 7 \, g$,$m_2 = 4 \, g$ और $m_3 = 10 \, g$ हैं।
उनके स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = (1\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \, cm$,$\vec{r}_2 = (2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \, cm$ और $\vec{r}_3 = (3\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \, cm$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\vec{R}_{cm} = \frac{7(1\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) + 4(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 10(3\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k})}{7 + 4 + 10}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(7\hat{i} + 35\hat{j} - 21\hat{k}) + (8\hat{i} + 20\hat{j} + 28\hat{k}) + (30\hat{i} + 30\hat{j} - 10\hat{k})}{21}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(7+8+30)\hat{i} + (35+20+30)\hat{j} + (-21+28-10)\hat{k}}{21}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{45\hat{i} + 85\hat{j} - 3\hat{k}}{21} = \frac{45}{21}\hat{i} + \frac{85}{21}\hat{j} - \frac{3}{21}\hat{k}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{15}{7}\hat{i} + \frac{85}{21}\hat{j} - \frac{1}{7}\hat{k}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{15}{7}, \frac{85}{21}, -\frac{1}{7} \right) \, cm$ हैं।

(C) निकाय तब संतुलन में होता है जब उसे उसके द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ पर सहारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $m_i = i$ (ग्राम में) हैं और उनकी स्थितियाँ $x_i = i$ (सेमी में) हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, 100$ है।
द्रव्यमान केंद्र का सूत्र है:
$COM = \frac{\sum_{i=1}^{100} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{100} m_i} = \frac{\sum_{i=1}^{100} i^2}{\sum_{i=1}^{100} i}$
योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n = 100$ के लिए:
$COM = \frac{\frac{100(101)(201)}{6}}{\frac{100(101)}{2}} = \frac{201}{3} = 67\,cm$.
अतः,निकाय को $67\,cm$ के निशान पर सहारा दिया जाना चाहिए।

(B) परमाणुओं के द्रव्यमान $m_1 = 1 \ amu$ ($H$ के लिए) और $m_2 = 35.5 \ amu$ ($Cl$ के लिए) हैं। अंतर-परमाण्विक दूरी $L = 1 \ \mathring A = 10^{-10} \ m$ है।
माना $H$ की द्रव्यमान केंद्र ($C$.$M$.) से दूरी $x$ है। तो $Cl$ की $C$.$M$. से दूरी $(L - x)$ होगी।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $m_1 x = m_2 (L - x) \Rightarrow 1 \cdot x = 35.5 \cdot (1 - x)$.
$x = 35.5 - 35.5x \Rightarrow 36.5x = 35.5 \Rightarrow x = \frac{35.5}{36.5} \ \mathring A \approx 0.9726 \ \mathring A$.
$Cl$ की $C$.$M$. से दूरी $(L - x) = 1 - 0.9726 = 0.0274 \ \mathring A$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$1 \ amu = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ का उपयोग करते हुए:
$I = (1 \times 1.67 \times 10^{-27}) \times (0.9726 \times 10^{-10})^2 + (35.5 \times 1.67 \times 10^{-27}) \times (0.0274 \times 10^{-10})^2$.
$I = 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{-20} \times [0.9726^2 + 35.5 \times 0.0274^2]$.
$I = 1.67 \times 10^{-47} \times [0.946 + 35.5 \times 0.00075] \approx 1.67 \times 10^{-47} \times [0.946 + 0.0266] \approx 1.67 \times 10^{-47} \times 0.9726 \approx 1.62 \times 10^{-47} \ kg \ m^2$.
यह लगभग $1.61 \times 10^{-47} \ kg \ m^2$ है।

(B) चूंकि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
वे अपने द्रव्यमान केंद्र पर टकराएंगे।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm} = \frac{M x_A + m x_B}{M + m}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $M > m$,द्रव्यमान केंद्र भारी द्रव्यमान $A$ के करीब होगा।
इसलिए,वे $A$ के निकट टकराएंगे।

(C) मान लीजिए कि वर्गाकार प्लेट $XY$-समतल में है और इसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
मान लीजिए कि चार कोने $(a, a), (-a, a), (-a, -a),$ और $(a, -a)$ पर स्थित हैं।
मान लीजिए कि वर्ग $1, 2, 3,$ और $4$ क्रमशः इन कोनों पर हैं।
जब वर्ग $1$ और $3$ (विकर्णतः विपरीत) को हटा दिया जाता है,तो शेष प्रणाली वर्ग $2$ और $4$ के केंद्रों से गुजरने वाली रेखा के सापेक्ष सममित (symmetric) रहती है।
यह रेखा विकर्ण $Y = -X$ के अनुरूप है (या निर्देशांक अभिविन्यास के आधार पर $OX'$ अक्ष)।
इस विकर्ण के सापेक्ष शेष द्रव्यमान वितरण की समरूपता के कारण,द्रव्यमान केंद्र को इस समरूपता की रेखा पर स्थित होना चाहिए।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र $OX'$ अक्ष पर स्थित होगा।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{V}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{V}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
यहाँ,$m_1 = 200 \ g$,$m_2 = 500 \ g$,$\vec{v}_1 = 10 \ \hat{i} \ m/s$,$\vec{v}_2 = 3 \ \hat{i} + 5 \ \hat{j} \ m/s$ है।
मान रखने पर:
$\vec{V}_{cm} = \frac{200(10 \ \hat{i}) + 500(3 \ \hat{i} + 5 \ \hat{j})}{200 + 500}$
$\vec{V}_{cm} = \frac{2000 \ \hat{i} + 1500 \ \hat{i} + 2500 \ \hat{j}}{700}$
$\vec{V}_{cm} = \frac{3500 \ \hat{i} + 2500 \ \hat{j}}{700}$
$\vec{V}_{cm} = 5 \ \hat{i} + \frac{25}{7} \ \hat{j} \ m/s$.

(B) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 1 \, g, m_2 = 2 \, g, m_3 = 3 \, g$ और $m_4 = 4 \, g$ हैं।
चूंकि पहले तीन कणों का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर है,उनका संयुक्त स्थिति सदिश $\vec{R}_{123} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3} = (0, 0, 0)$ है,जिसका अर्थ है $m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3 = 0$.
चौथे कण का स्थिति सदिश $\vec{r}_4 = \alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ है।
नए निकाय का द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm} = (1, 2, 3)$ है।
द्रव्यमान केंद्र का सूत्र $\vec{R}_{cm} = \frac{(m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3) + m_4\vec{r}_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$ है।
ज्ञात मान रखने पर: $(1, 2, 3) = \frac{0 + 4\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{4\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})}{10}$.
$x$-घटकों की तुलना करने पर: $1 = \frac{4\alpha}{10} \implies 10 = 4\alpha \implies \alpha = \frac{10}{4} = 2.5 = 5/2$.
इसी प्रकार,$y$-घटकों के लिए: $2 = \frac{8\alpha}{10} \implies 20 = 8\alpha \implies \alpha = 2.5 = 5/2$.
अतः,$\alpha$ का मान $5/2$ है।

(B) माना शीर्ष $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। वर्ग की भुजा की लंबाई $s$ और विकर्ण $d = 80 \, cm$ के बीच संबंध $s = d / \sqrt{2} = 80 / \sqrt{2} = 40\sqrt{2} \, cm$ है।
शीर्षों के निर्देशांक: $A(0, 0)$,$B(40\sqrt{2}, 0)$,$C(40\sqrt{2}, 40\sqrt{2})$,और $D(0, 40\sqrt{2})$ हैं।
द्रव्यमान: $m_A = 8 \, kg, m_B = 2 \, kg, m_C = 4 \, kg, m_D = 2 \, kg$. कुल द्रव्यमान $M = 8 + 2 + 4 + 2 = 16 \, kg$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $X_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{M} = \frac{8(0) + 2(40\sqrt{2}) + 4(40\sqrt{2}) + 2(0)}{16} = \frac{240\sqrt{2}}{16} = 15\sqrt{2} \, cm$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{M} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(40\sqrt{2}) + 2(40\sqrt{2})}{16} = \frac{240\sqrt{2}}{16} = 15\sqrt{2} \, cm$.
$A(0, 0)$ से दूरी $R = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30 \, cm$.

(A) द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश का सूत्र $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ है।
यहाँ $m_1 = 1 \ kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $m_2 = 3 \ kg$,$\vec{r}_2 = -3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\vec{r}_{cm} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.

(B) मान लीजिए कि दोनों कण $x$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए द्रव्यमान $m_1$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और द्रव्यमान $m_2$ बिंदु $(L, 0)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{CM}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$x_1 = 0$ और $x_2 = L$ मान रखने पर:
$x_{CM} = \frac{m_1(0) + m_2(L)}{m_1 + m_2}$
$x_{CM} = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$
चूंकि कण $x$-अक्ष पर हैं,इसलिए $y_{CM} = 0$ और $z_{CM} = 0$ होगा।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है।
चूंकि गोले समान हैं और $X$-अक्ष के अनुदिश व्यवस्थित हैं,इसलिए उनके द्रव्यमान केंद्रों की स्थिति $P = 0$,$Q = PQ$ और $R = PR$ होगी।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$x_{cm} = \frac{(1 \times 0) + (1 \times PQ) + (1 \times PR)}{1 + 1 + 1}$
$x_{cm} = \frac{PQ + PR}{3}$

(A) मान लीजिए कि तीन समान द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m_3 = m$ हैं।
निर्देशांक $(x_1, y_1) = (0,0)$,$(x_2, y_2) = (a,0)$,और $(x_3, y_3) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + m(a) + m(\frac{a}{2})}{m + m + m} = \frac{m(a + \frac{a}{2})}{3m} = \frac{\frac{3a}{2}}{3} = \frac{a}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y_{CM} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + m(0) + m(\frac{a\sqrt{3}}{2})}{m + m + m} = \frac{m(\frac{a\sqrt{3}}{2})}{3m} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)$ हैं।

(D) मीटर छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है,जो कीलक (pivot) से $L/2 = 0.5 \ m$ की दूरी पर है।
जब छड़ को $\theta = 60^o$ के कोण से विस्थापित किया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र जितनी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ तक ऊपर उठता है,वह इस प्रकार है:
$h = \frac{L}{2} - \frac{L}{2} \cos \theta$
यहाँ $L = 1 \ m$ और $\theta = 60^o$ दिया गया है:
$h = 0.5 - 0.5 \cos 60^o = 0.5 - 0.5 \times 0.5 = 0.5 - 0.25 = 0.25 \ m$
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U$ इस प्रकार है:
$\Delta U = mgh$
द्रव्यमान $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 0.25 = 4 \times 0.25 = 1 \ J$.

(A) विस्फोट से पहले,कण $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए $y$-दिशा में उसका प्रारंभिक वेग घटक शून्य है $(v_{y,i} = 0)$।
चूंकि $y$-दिशा में कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $(y_{cm})$ स्थिर यानी $0$ बनी रहेगी (मानते हुए कि प्रारंभिक $y$-निर्देशांक $0$ था)।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$.
यहाँ $m_1 = m/4$,$y_1 = 15 \ cm$,$m_2 = 3m/4$ और $y_{cm} = 0$ दिया गया है।
$0 = \frac{(m/4)(15) + (3m/4)(y_2)}{m/4 + 3m/4}$.
$0 = \frac{m}{4} (15 + 3y_2) / m$.
$15 + 3y_2 = 0$.
$3y_2 = -15$.
$y_2 = -5 \ cm$.

(D) चूंकि तीनों गोले समान हैं और उनके केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए यह निकाय त्रिभुज के केंद्रक से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णी सममिति (rotational symmetry) रखता है।
समान कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र उस विन्यास के ज्यामितीय केंद्र (केंद्रक) पर स्थित होता है।
अतः,तीन गोलों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र उनके केंद्रों द्वारा निर्मित समबाहु त्रिभुज के केंद्रक पर स्थित होगा।

(A) मान लीजिए कि केंद्र $P$ की स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
चूंकि गोले समान हैं और एक-दूसरे को स्पर्श कर रहे हैं,इसलिए आसन्न गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी गोले के व्यास $d$ के बराबर है।
अतः,केंद्रों के निर्देशांक हैं:
$P = (0, 0)$
$Q = (d, 0)$
$R = (2d, 0)$
यहाँ $PQ = d$ और $PR = 2d$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $(x_{cm})$ इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_P x_P + m_Q x_Q + m_R x_R}{m_P + m_Q + m_R}$
चूंकि $m_P = m_Q = m_R = 1 \ kg$ है:
$x_{cm} = \frac{1(0) + 1(d) + 1(2d)}{1 + 1 + 1} = \frac{3d}{3} = d$
चूंकि $PQ = d$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की $P$ से दूरी $PQ$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र के लिए सही व्यंजक है:
$x_{cm} = \frac{0 + PQ + PR}{3} = \frac{PQ + PR}{3}$.

(A) पहले द्रव्यमान $m_1$ से द्रव्यमान केंद्र $x$ की दूरी का सूत्र है: $x = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$.
यहाँ,$m_1 = 1.5 \ g$,$m_2 = 2.5 \ g$,और $d = 16 \ cm$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2.5 \times 16}{1.5 + 2.5}$
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10 \ cm$.

(C) मान लीजिए कि सबसे निचली पुस्तक (पुस्तक $1$) का बायां किनारा $x = 0$ पर है। प्रत्येक पुस्तक की लंबाई $L$ है।
पुस्तक $1$ के लिए,द्रव्यमान केंद्र $x_1 = L/2$ पर है।
पुस्तक $2$ के लिए,बायां किनारा $x = L/4$ पर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र $x_2 = L/4 + L/2 = 3L/4$ पर है।
पुस्तक $3$ के लिए,बायां किनारा $x = L/4 + L/4 = L/2$ पर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र $x_3 = L/2 + L/2 = L$ पर है।
पुस्तक $4$ के लिए,बायां किनारा $x = L/4 + L/4 + L/4 = 3L/4$ पर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र $x_4 = 3L/4 + L/2 = 5L/4$ पर है।
चूंकि सभी पुस्तकों का द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक होगा:
$x_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)}{4m} = \frac{L/2 + 3L/4 + L + 5L/4}{4}$
$x_{cm} = \frac{(2L + 3L + 4L + 5L)/4}{4} = \frac{14L/4}{4} = \frac{14L}{16} = \frac{7L}{8} = 0.875\ L$.

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $OA$,$OB$ और $AB$ हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ और लंबाई $a$ है।
$1$. छड़ $OA$ (x-अक्ष पर $(0,0)$ से $(a,0)$ तक) का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ $(a/2, 0)$ पर है।
$2$. छड़ $OB$ (y-अक्ष पर $(0,0)$ से $(0,a)$ तक) का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ $(0, a/2)$ पर है।
$3$. छड़ $AB$ ($(a,0)$ और $(0,a)$ को जोड़ने वाली) का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ रेखाखंड के मध्य बिंदु $(a/2, a/2)$ पर है।
अब,निकाय के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांकों की गणना करें:
$X_{cm} = \frac{m(a/2) + m(0) + m(a/2)}{m + m + m} = \frac{ma}{3m} = \frac{a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(0) + m(a/2) + m(a/2)}{m + m + m} = \frac{ma}{3m} = \frac{a}{3}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(a/3, a/3)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि छड़ को $x$-अक्ष पर रखा गया है,जिसका एक सिरा मूल बिंदु पर है। चूंकि छड़ $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र के $y$ और $z$ निर्देशांक शून्य होंगे,अर्थात $y_{CM} = 0$ और $z_{CM} = 0$।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए। इस छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = (A + Bx)dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार दिया जाता है:
$x_{CM} = \frac{\int_{0}^{L} x dm}{\int_{0}^{L} dm} = \frac{\int_{0}^{L} x(A + Bx) dx}{\int_{0}^{L} (A + Bx) dx}$
समाकलन करने पर:
अंश: $\int_{0}^{L} (Ax + Bx^2) dx = [\frac{Ax^2}{2} + \frac{Bx^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{AL^2}{2} + \frac{BL^3}{3} = \frac{3AL^2 + 2BL^3}{6} = \frac{L^2(3A + 2BL)}{6}$
हर: $\int_{0}^{L} (A + Bx) dx = [Ax + \frac{Bx^2}{2}]_{0}^{L} = AL + \frac{BL^2}{2} = \frac{2AL + BL^2}{2} = \frac{L(2A + BL)}{2}$
अतः,$x_{CM} = \frac{L^2(3A + 2BL)}{6} \times \frac{2}{L(2A + BL)} = \frac{L(3A + 2BL)}{3(2A + BL)}$।

(A) किसी वस्तु के बिना घूर्णन के शुद्ध रेखीय गति करने के लिए,बाहरी बल को उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ पर लगाया जाना चाहिए।
माना $l$ लंबाई की छड़ $AB$ का द्रव्यमान $m$ है। तब $2l$ लंबाई की छड़ $CD$ का द्रव्यमान $2m$ होगा।
छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र बिंदु $D$ ($AB$ का मध्य बिंदु) पर है और छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर है,जो $D$ से $l$ दूरी पर और $C$ से $l$ दूरी पर है।
माना बिंदु $C$ मूल बिंदु $(0,0)$ है।
छड़ $CD$ के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(m_1 = 2m)$: $(0, l)$।
छड़ $AB$ के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(m_2 = m)$: $(0, 2l)$।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$Y_{cm} = \frac{(2m)(l) + (m)(2l)}{2m + m}$
$Y_{cm} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4}{3}l$
अतः,बल को बिंदु $C$ से $\frac{4}{3}l$ की दूरी पर लगाया जाना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि वर्ग $XY$-समतल में है,जहाँ $P(0, a), Q(a, a), R(a, 0)$ और $S(0, 0)$ हैं।
द्रव्यमान $m_P = 1 \ kg, m_Q = 1 \ kg, m_R = 2 \ kg, m_S = 2 \ kg$ हैं।
$P$ और $S$ का द्रव्यमान केंद्र $PS$ भुजा पर $O_1$ बिंदु पर है,जो $S$ से $y_1 = \frac{m_P \cdot a + m_S \cdot 0}{m_P + m_S} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{a}{3}$ की दूरी पर है।
$Q$ और $R$ का द्रव्यमान केंद्र $QR$ भुजा पर $O_2$ बिंदु पर है,जो $R$ से $y_2 = \frac{m_Q \cdot a + m_R \cdot 0}{m_Q + m_R} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{a}{3}$ की दूरी पर है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 \ kg$ है।
पूरे निकाय का द्रव्यमान केंद्र $O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाली रेखा पर $Y$-अक्ष से $x_{cm} = \frac{(m_P+m_S) \cdot 0 + (m_Q+m_R) \cdot a}{M} = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot a}{6} = \frac{a}{2}$ की दूरी पर स्थित है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{a}{3})$ पर है।
कोनों से दूरी की तुलना करने पर: द्रव्यमान केंद्र $R$ और $S$ के सबसे निकट है और $P$ और $Q$ से सबसे दूर है।

(B) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{dm}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $dm = \lambda \, dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm}$ निम्न प्रकार से दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$
$\lambda = 2 + x$ और $0$ से $3$ की सीमाएं रखने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
समाकलन करने पर:
अंश: $[x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) = 9 + 9 = 18$
हर: $[2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$
$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$

(D) माना कि $l$ लंबाई के तार का द्रव्यमान $m$ है।
$AB$ भाग के लिए (लंबाई $l$): द्रव्यमान $m_1 = m$,द्रव्यमान-केंद्र $\vec{r}_1 = \left( \frac{l}{2}, 0 \right)$.
$BC$ भाग के लिए (लंबाई $2l$): द्रव्यमान $m_2 = 2m$,द्रव्यमान-केंद्र $\vec{r}_2 = (0, l)$.
$CD$ भाग के लिए (लंबाई $l$): द्रव्यमान $m_3 = m$,द्रव्यमान-केंद्र $\vec{r}_3 = \left( \frac{l}{2}, 2l \right)$.
द्रव्यमान-केंद्र के निर्देशांक $(X_{cm}, Y_{cm})$ इस प्रकार हैं:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(\frac{l}{2}) + 2m(0) + m(\frac{l}{2})}{m + 2m + m} = \frac{m(l)}{4m} = \frac{l}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + 2m(l) + m(2l)}{m + 2m + m} = \frac{4ml}{4m} = l$.
अतः,द्रव्यमान-केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{l}{4}, l \right)$ हैं।

(D) द्रव्यमान-केंद्र $x_{cm}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x \cdot k(x/L)^n dx}{\int_{0}^{L} k(x/L)^n dx} = \frac{\int_{0}^{L} x^{n+1} dx}{\int_{0}^{L} x^n dx}$
समाकलन करने पर:
$x_{cm} = \frac{L^{n+2} / (n+2)}{L^{n+1} / (n+1)} = L \left( \frac{n+1}{n+2} \right)$
व्यवहार का विश्लेषण:
$1$. जब $n = 0$ होता है,तो $x_{cm} = L(1/2) = L/2$.
$2$. जैसे-जैसे $n \to \infty$ होता है,$x_{cm} = L \left( \frac{1 + 1/n}{1 + 2/n} \right) \to L$.
$3$. अवकलन $\frac{dx_{cm}}{dn} = L \left( \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} \right) = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,जिसका अर्थ है कि $x_{cm}$,$n$ का एक वर्धमान फलन है।
अतः,ग्राफ $n=0$ के लिए $L/2$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,यह अनंतस्पर्शी रूप से $L$ के करीब पहुंचता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

(D) माना कणों की स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$m$ कण $(0, 0)$ पर
$2m$ कण $(a, 0)$ पर
$3m$ कण $(a, a)$ पर
$4m$ कण $(0, a)$ पर
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$X_{CM} = \frac{m(0) + 2m(a) + 3m(a) + 4m(0)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{5ma}{10m} = \frac{a}{2}$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$Y_{CM} = \frac{m(0) + 2m(0) + 3m(a) + 4m(a)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{7ma}{10m} = \frac{7}{10}a$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{a}{2}, \frac{7}{10}a \right)$ हैं।

(A) मान लीजिए कि दी गई वस्तुओं का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$ है।
वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $m_1 = \sigma l^2$ है।
वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $m_2 = \sigma \pi \left( \frac{l}{2} \right)^2 = \sigma l^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$ है।
यहाँ,$m_1 > m_2$ होने के कारण (चूँकि $\pi/4 \approx 0.785 < 1$),निकाय का द्रव्यमान केंद्र भारी वस्तु यानी वर्गाकार प्लेट के करीब होगा। इसलिए,द्रव्यमान केंद्र वर्गाकार प्लेट के अंदर स्थित होगा।

(C) एक समान द्रव्यमान वाले त्रिभुजाकार लैमिना के लिए,द्रव्यमान-केंद्र त्रिभुज के केंद्रक (centroid) पर स्थित होता है।
यदि समकोण त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(b, 0)$ और $(0, h)$ पर हैं,तो द्रव्यमान-केंद्र $(x_{cm}, y_{cm})$ के निर्देशांक शीर्षों के निर्देशांकों के औसत द्वारा दिए जाते हैं:
$x_{cm} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 + b + 0}{3} = \frac{b}{3}$
$y_{cm} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{0 + 0 + h}{3} = \frac{h}{3}$
अतः,द्रव्यमान-केंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{b}{3}, \frac{h}{3} \right)$ हैं।

(B) माना कि प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = kx$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
छड़ के $x=0$ सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म खंड लें।
इस खंड का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = kx dx$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ ज्ञात करने का सूत्र:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_0^3 x (kx dx)}{\int_0^3 kx dx} = \frac{\int_0^3 x^2 dx}{\int_0^3 x dx}$
समाकलन करने पर:
$x_{cm} = \frac{[x^3/3]_0^3}{[x^2/2]_0^3} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2 \ m$.

(B) छड़ की लंबाई दोनों द्रव्यमानों के बीच की दूरी है:
$L = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \ m$
द्रव्यमान केंद्र $\vec{r}_{CM}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{r}_{CM} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2} = \frac{3(2 \hat{i} + 5 \hat{j}) + 2(4 \hat{i} + 2 \hat{j})}{3 + 2}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{(6 \hat{i} + 15 \hat{j}) + (8 \hat{i} + 4 \hat{j})}{5} = \frac{14 \hat{i} + 19 \hat{j}}{5} = \left( \frac{14}{5} \hat{i} + \frac{19}{5} \hat{j} \right) \ m$.

(C) माना $H$ परमाणु का द्रव्यमान $m_1 = 1 \ \text{unit}$ है और $Cl$ परमाणु का द्रव्यमान $m_2 = 35.5 \ \text{units}$ है।
$H$ परमाणु को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर रखें। तब $H$ परमाणु की स्थिति $r_1 = 0$ और $Cl$ परमाणु की स्थिति $r_2 = 1.27 \ \mathring A$ है।
द्रव्यमान केंद्र $R_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$R_{cm} = \frac{(1)(0) + (35.5)(1.27)}{1 + 35.5}$
$R_{cm} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5}$
$R_{cm} \approx 1.24 \ \mathring A$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $H$ परमाणु से $1.24 \ \mathring A$ की दूरी पर स्थित होगा।

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 6m + m + m + m + m = 10m$ है।
विभिन्न भागों के द्रव्यमान केंद्र के $y$-निर्देशांक इस प्रकार हैं:
बाहरी वृत्त: $y_1 = 0$,द्रव्यमान $m_1 = 6m$
बायां आंतरिक वृत्त: $y_2 = a$,द्रव्यमान $m_2 = m$
दायां आंतरिक वृत्त: $y_3 = a$,द्रव्यमान $m_3 = m$
क्षैतिज रेखाखंड: $y_4 = -a$,द्रव्यमान $m_4 = m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{M}$
$Y_{cm} = \frac{(6m)(0) + (m)(a) + (m)(a) + (m)(-a)}{10m}$
$Y_{cm} = \frac{0 + ma + ma - ma}{10m} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$

(B) माना कि पहले तीन कणों का कुल द्रव्यमान $M = 10 + 20 + 30 = 60 \ kg$ है। उनका द्रव्यमान केंद्र $\vec{r}_{cm} = (0, 0, 0)$ पर है।
माना कि चौथे कण का द्रव्यमान $m = 40 \ kg$ है और उसकी स्थिति $\vec{r} = (x, y, z)$ है।
निकाय का नया द्रव्यमान केंद्र $\vec{r}'_{cm} = (3, 3, 3)$ दिया गया है।
द्रव्यमान केंद्र का सूत्र: $\vec{r}'_{cm} = \frac{M\vec{r}_{cm} + m\vec{r}}{M + m}$.
मान रखने पर: $(3, 3, 3) = \frac{60(0, 0, 0) + 40(x, y, z)}{60 + 40}$.
$(3, 3, 3) = \frac{40(x, y, z)}{100} = 0.4(x, y, z)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3 = 0.4x \Rightarrow x = \frac{3}{0.4} = 7.5 \ m$.
इसी प्रकार,$y = 7.5 \ m$ और $z = 7.5 \ m$.
अतः,चौथे कण की स्थिति $(7.5, 7.5, 7.5) \ m$ है।

(A) दिया गया है:
$m_1 = 1 \ kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$m_2 = 3 \ kg$,$\vec{r}_2 = -3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{r}_{CM} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{r}_{CM} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{CM} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

(A) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(X_{CM})$ की मूल बिंदु से दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
दिया गया है:
$m_1 = 300 \, g, x_1 = 0 \, cm$
$m_2 = 500 \, g, x_2 = 40 \, cm$
$m_3 = 400 \, g, x_3 = 70 \, cm$
मान रखने पर:
$X_{CM} = \frac{300 \times 0 + 500 \times 40 + 400 \times 70}{300 + 500 + 400}$
$X_{CM} = \frac{0 + 20000 + 28000}{1200}$
$X_{CM} = \frac{48000}{1200}$
$X_{CM} = 40 \, cm$

(B) दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है। द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m$ और $M$ के लिए,यदि हम $M$ को मूल बिंदु $(0,0)$ पर और $m$ को $(d,0)$ पर रखें,तो द्रव्यमान केंद्र $x = \frac{M(0) + m(d)}{M + m} = \frac{md}{M + m}$ पर होगा।
चूंकि $M > m$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र भारी द्रव्यमान $M$ के अधिक निकट होगा। अतः,द्रव्यमान केंद्र $M$ की ओर स्थित होता है।

(C) माना हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_1 = 1$ है और क्लोरीन परमाणु का द्रव्यमान $m_2 = 35.5$ है।
हाइड्रोजन परमाणु को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर रखने पर,इसकी स्थिति $\vec{r}_1 = 0$ है।
क्लोरीन परमाणु हाइड्रोजन परमाणु से $x$-अक्ष पर $1.27 \mathring{A}$ की दूरी पर है,इसलिए इसकी स्थिति $\vec{r}_2 = 1.27 \hat{i} \mathring{A}$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{R}_{cm} = \frac{1 \times 0 + 35.5 \times 1.27 \hat{i}}{1 + 35.5}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \hat{i}$
$\vec{R}_{cm} \approx 0.9726 \times 1.27 \hat{i} \approx 1.235 \hat{i} \mathring{A}$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,स्थिति हाइड्रोजन परमाणु से लगभग $1.24 \mathring{A}$ है।

(C) माना कार्बन परमाणु मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है। कार्बन परमाणु की स्थिति $x_1 = 0$ है और द्रव्यमान $m_1 = 12 \, a.m.u.$ है।
ऑक्सीजन परमाणु की स्थिति $x_2 = 1.1 \, \mathring A$ है और द्रव्यमान $m_2 = 16 \, a.m.u.$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{12 \times 0 + 16 \times 1.1}{12 + 16}$
$X_{cm} = \frac{17.6}{28} \, \mathring A$
$X_{cm} \approx 0.6285 \, \mathring A \approx 0.63 \, \mathring A$
अतः,द्रव्यमान केंद्र कार्बन परमाणु से $0.63 \, \mathring A$ की दूरी पर स्थित है।

(A) द्रव्यमान-केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
दिया गया है: $m_1 = 20 \, g$,$m_2 = 30 \, g$,$m_3 = 50 \, g$ और $\vec{v}_1 = 10 \, \hat{i} \, cm/s$,$\vec{v}_2 = 10 \, \hat{j} \, cm/s$,$\vec{v}_3 = 10 \, \hat{k} \, cm/s$.
कुल द्रव्यमान $M = 20 + 30 + 50 = 100 \, g$.
मान रखने पर: $\vec{v}_{cm} = \frac{20(10 \, \hat{i}) + 30(10 \, \hat{j}) + 50(10 \, \hat{k})}{100}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{200 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j} + 500 \, \hat{k}}{100}$
$\vec{v}_{cm} = 2 \, \hat{i} + 3 \, \hat{j} + 5 \, \hat{k}$

(B) माना शीर्षों पर द्रव्यमान $m_1 = m, m_2 = 2m, m_3 = 3m, m_4 = 4m$ हैं।
$x-y$ तल में समचतुर्भुज की ज्यामिति के आधार पर:
$r_1 = (0, 0)$
$r_2 = (a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$
$r_3 = (a + a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (3a/2, a\sqrt{3}/2)$
$r_4 = (a, 0)$
द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + m_4x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{m(0) + 2m(a/2) + 3m(3a/2) + 4m(a)}{10m} = \frac{9.5am}{10m} = 0.95a$
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 + m_4y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{m(0) + 2m(a\sqrt{3}/2) + 3m(a\sqrt{3}/2) + 4m(0)}{10m} = \frac{2.5a\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{4}a$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(0.95a, \frac{\sqrt{3}}{4}a)$ हैं।

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। विकर्ण $d = a\sqrt{2} = 80 \ cm$,इसलिए $a = 40\sqrt{2} \ cm$ है।
$A$ को $(0, 0)$ पर,$B$ को $(a, 0)$ पर,$C$ को $(a, a)$ पर और $D$ को $(0, a)$ पर रखें।
द्रव्यमान $m_A = 8 \ kg, m_B = 2 \ kg, m_C = 4 \ kg, m_D = 2 \ kg$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(X, Y)$ के निर्देशांक:
$X = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(a) + 4(a) + 2(0)}{16} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$Y = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{16} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(a) + 2(a)}{16} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$a = 40\sqrt{2} \ cm$ रखने पर:
$X = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2} \ cm$ और $Y = 15\sqrt{2} \ cm$ है।
$A(0, 0)$ से दूरी $r = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30 \ cm$ है।