Energy conservation, Kinetic Energy,  Work and Power of Rotational Motion Questions in Hindi

(B) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
यहाँ $I = 2.4 \ kg \cdot m^2$ और $K_r = 750 \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$750 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times \omega^2$
$750 = 1.2 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{750}{1.2} = 625$
$\omega = \sqrt{625} = 25 \ rad/s$.
मान लीजिए कि पिंड विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
कोणीय गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$25 = 0 + 5 \times t$
$t = \frac{25}{5} = 5 \ s$.

(D) घूर्णन करती डिस्क को रोकने के लिए किया गया कार्य उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 1\ kg$,त्रिज्या $R = 40\ cm = 0.4\ m$,आवृत्ति $f = 10\ rev/s$.
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.4)^2 = 0.08\ kg\cdot m^2$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi\ rad/s$ है।
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times 0.08 \times (20\pi)^2$ है।
$K_i = 0.04 \times 400\pi^2 = 16\pi^2$.
$\pi^2 \approx 9.87$ लेने पर,$K_i = 16 \times 9.87 = 157.92\ J \approx 158\ J$.
चूंकि अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए डिस्क को रोकने के लिए किया गया कार्य $W = K_f - K_i = 0 - 158 = -158\ J$ है।
किए गए कार्य का परिमाण $158\ J$ है।

(D) किसी वस्तु पर कार्य करने वाले बल $F$ द्वारा किया गया कार्य,बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है।
$R$ त्रिज्या वाली डिस्क के किनारे पर लगाए गए स्पर्शरेखीय बल $F$ के लिए,$\theta$ (रेडियन में) कोणीय विक्षेपण के लिए चाप के अनुदिश विस्थापन $s = R\theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $F$ हमेशा डिस्क के स्पर्शरेखीय होता है,इसलिए यह चाप के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन के समानांतर रहता है।
अतः,किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = F \times s$
$W = F \times (R\theta)$
$W = FR\theta$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 10 \ kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय गति $N_1 = 10 \ rpm$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2 \pi N_1}{60} = \frac{2 \pi \times 10}{60} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 5 \omega_1 = 5 \times \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3} \ rad/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times 10 \times \left[ (\frac{5 \pi}{3})^2 - (\frac{\pi}{3})^2 \right]$.
$W = 5 \times \left( \frac{25 \pi^2}{9} - \frac{\pi^2}{9} \right) = 5 \times \frac{24 \pi^2}{9} = 5 \times \frac{8 \pi^2}{3} = \frac{40 \pi^2}{3}$.
$\pi^2 \approx 9.8696$ का उपयोग करने पर,$W = \frac{40 \times 9.8696}{3} \approx 131.59 \ J$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $131.4 \ J$ है।

(C) घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = 200 \ J$ है।
यहाँ $I = 4 \ kg \cdot m^2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2} \times 4 \times \omega_i^2 = 200$,जिसे हल करने पर $2 \omega_i^2 = 200$,अर्थात $\omega_i^2 = 100$ और $\omega_i = 10 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
विरोधी टॉर्क $T$ द्वारा फ्लाईव्हील को रोकने के लिए किया गया कार्य उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर होता है: $W = T \theta = K.E.$
यहाँ $T = 5 \ N \cdot m$ और $K.E. = 200 \ J$ है।
अतः,$5 \times \theta = 200$,जिससे $\theta = 40 \ radians$ प्राप्त होता है।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{40}{2 \pi} = \frac{20}{\pi}$ होगी।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$n \approx 6.366 \approx 6.4$ चक्कर प्राप्त होते हैं।

(C) माना प्रारंभिक आवृत्ति $n$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 2\pi n$ है।
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = \frac{1}{2} I (2\pi n)^2 = 2 I \pi^2 n^2$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $n' = 2n$ हो जाती है।
नया कोणीय वेग $\omega_f = 2\pi (2n) = 4\pi n$ है।
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega_f^2 = \frac{1}{2} I (4\pi n)^2 = 8 I \pi^2 n^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = K_f - K_i = 8 I \pi^2 n^2 - 2 I \pi^2 n^2 = 6 I \pi^2 n^2$.

(C) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_1 = 20\ rad/s$.
$t = 4\ s$ पर अंतिम कोणीय गति $\omega_f = 0\ rad/s$.
कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\omega_1 - \omega_f}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5\ rad/s^2$.
$t' = 2\ s$ के बाद कोणीय गति $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t' = 20 - (5 \times 2) = 10\ rad/s$.
टॉर्क द्वारा किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I (\omega_1^2 - \omega_2^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 0.20 \times (20^2 - 10^2)$.
$W = 0.1 \times (400 - 100) = 0.1 \times 300 = 30\ J$.

(A) घूर्णी शक्ति $(P)$,बल आघूर्ण $(\vec{\tau})$ और कोणीय वेग $(\vec{\omega})$ का अदिश गुणनफल (dot product) होती है।
$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$
यहाँ $\vec{\tau} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{\omega} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ दिया गया है।
$P = (1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$P = (1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times 4)$
$P = 2 + 6 + 12$
$P = 20 \ W$

(B) कोणीय विस्थापन $\theta$ के दौरान टॉर्क $\tau$ द्वारा किया गया कार्य $W = \tau \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R$ त्रिज्या की रिंग की रिम पर बल $F$ स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है।
इस बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau = F \times R$ है।
कार्य के सूत्र में टॉर्क का मान रखने पर,हमें $W = (F \times R) \times \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,बल द्वारा किया गया कार्य $W = FR\theta$ है।

(D) $l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} ml^2$ होता है।
छड़ की सबसे निचली स्थिति में उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} ml^2) \omega^2 = \frac{1}{6} ml^2 \omega^2$ होती है।
जैसे-जैसे छड़ दोलन करती है,यह गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र घूर्णन अक्ष से $l/2$ की दूरी पर होता है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$mgh = \frac{1}{6} ml^2 \omega^2$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए छड़ की लंबाई $\ell$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है। छड़ जमीन पर स्थिर सिरे के परितः घूमती है।
प्रारंभ में,छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ जमीन से $h = \frac{\ell}{2}$ की ऊंचाई पर है।
जब छड़ जमीन से टकराती है,तो छड़ द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mg \Delta h = mg \frac{\ell}{2}$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$I = \frac{m\ell^2}{3}$.
दोनों को बराबर करने पर: $mg \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{m\ell^2}{3} \right) \omega^2$.
सरल करने पर,$g\ell = \frac{\ell^2}{3} \omega^2$,इसलिए $\omega^2 = \frac{3g}{\ell}$,जिससे $\omega = \sqrt{\frac{3g}{\ell}}$ प्राप्त होता है।
ऊपरी सिरे का वेग $v = \omega \ell$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{3g}{\ell}} \times \ell = \sqrt{3g\ell}$ प्राप्त होता है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
मान लीजिए कि प्रत्येक कण $A$,$B$ और $C$ का द्रव्यमान $m$ है। धुरी से $A$,$B$ और $C$ की दूरियाँ क्रमशः $\frac{\ell}{3}$,$\frac{2\ell}{3}$ और $\ell$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mg(\frac{\ell}{3}) + mg(\frac{2\ell}{3}) + mg(\ell) = mg\ell(1/3 + 2/3 + 1) = 2mg\ell$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I = m(\frac{\ell}{3})^2 + m(\frac{2\ell}{3})^2 + m(\ell)^2 = m\ell^2(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1) = m\ell^2(\frac{14}{9})$.
दोनों को बराबर करने पर: $2mg\ell = \frac{1}{2} (m\ell^2 \frac{14}{9}) \omega^2$.
$2g = \frac{7}{9} \ell \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{18g}{7\ell} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{18g}{7\ell}}$.
द्रव्यमान $B$ का वेग $v_B = \omega r_B = \omega (\frac{2\ell}{3})$ है।
$v_B = \frac{2\ell}{3} \sqrt{\frac{18g}{7\ell}} = \sqrt{\frac{4\ell^2}{9} \cdot \frac{18g}{7\ell}} = \sqrt{\frac{8g\ell}{7}}$.

(A) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $m$ है और इसकी लंबाई $l = 2L$ है।
छड़ जमीन के संपर्क वाले सिरे के परितः घूमती है। इस सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{3} = \frac{m(2L)^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक ऊँचाई $h = \frac{l}{2} \sin \alpha = L \sin \alpha$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mgh = mg(L \sin \alpha)$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{4mL^2}{3} \right) \omega^2 = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$।
दोनों को बराबर करने पर: $mgL \sin \alpha = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{2L} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{2L}}$।

(A) किसी वस्तु को विराम अवस्था में लाने के लिए आवश्यक कार्य उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि सभी वस्तुओं के लिए कोणीय चाल $\omega$ समान है,इसलिए किया गया कार्य जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) के सीधे आनुपातिक है: $W \propto I$.
उनकी सममिति अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं:
$1$. ठोस गोला $(A)$: $I_A = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. पतली वृत्ताकार डिस्क $(B)$: $I_B = \frac{1}{2} MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. वृत्ताकार वलय $(C)$: $I_C = MR^2 = 1.0 MR^2$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $I_C > I_B > I_A$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक कार्य के लिए संबंध $W_C > W_B > W_A$ होगा।

(D) जब कोई वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,तो उसमें स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों होती हैं।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
कुल गतिज ऊर्जा $K$ इन दोनों ऊर्जाओं का योग है:
$K = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) इस प्रक्रिया में,छड़ की स्थितिज ऊर्जा घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U = mg \left( \frac{l}{2} \right)$,क्योंकि छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके मध्य बिंदु पर स्थित होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
यहाँ,$I$ स्थिर सिरे $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
माना कि जब छड़ जमीन से टकराती है तो उसका कोणीय वेग $\omega$ है।
जब सिरा $B$ जमीन से टकराता है तो उसका वेग $v_B = \omega l$ होता है,इसलिए $\omega = \frac{v_B}{l}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
$mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \left( \frac{v_B}{l} \right)^2$
$mg \frac{l}{2} = \frac{1}{6} m v_B^2$
$v_B^2 = 3gl$
$v_B = \sqrt{3gl} = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \ m/s$।
अतः,वेग लगभग $5.4 \ m/s$ है।

(A) किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} I (\omega_f^2 - \omega_i^2)$.
यहाँ $I = \frac{9.8}{\pi^2} \ kg \ m^2$,$n_i = 600 \ rpm = 10 \ rev/s$,और $n_f = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$ दिया गया है।
चूँकि $\omega = 2\pi n$,इसलिए $\omega_i = 20\pi \ rad/s$ और $\omega_f = 10\pi \ rad/s$ होगा।
$W = \frac{1}{2} \times \frac{9.8}{\pi^2} \times ((10\pi)^2 - (20\pi)^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times \frac{9.8}{\pi^2} \times (100\pi^2 - 400\pi^2) = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (-300) = 4.9 \times (-300) = -1470 \ J$.
अतः,किए गए कार्य का परिमाण $1470 \ J$ है (क्योंकि निकाय ऊर्जा खोता है)।

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा $KE = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
जब व्यक्ति अपने हाथ मोड़ता है, तो द्रव्यमान का वितरण इस प्रकार बदल जाता है कि जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
जैसे-जैसे $I$ घटता है, घूर्णी गतिज ऊर्जा $KE$ बढ़ती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE = KE_f - KE_i)$ के बराबर होता है।
चूंकि अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से अधिक है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।

(C) मान लीजिए छड़ का केंद्र मूल बिंदु $c$ है। $c$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{bar} = \frac{(8m)(6l)^2}{12} = 24ml^2$ है।
टक्कर के बाद,द्रव्यमान $m$ और $2m$ क्रमशः केंद्र से $2l$ और $l$ दूरी पर छड़ से चिपक जाते हैं।
$c$ के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{bar} + m(2l)^2 + (2m)(l)^2 = 24ml^2 + 4ml^2 + 2ml^2 = 30ml^2$ है।
टक्कर से पहले $c$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग $L = (2m)(v)(l) + (m)(2v)(2l) = 2mvl + 4mvl = 6mvl$ है।
चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L = I\omega$.
$6mvl = (30ml^2)\omega \Rightarrow \omega = \frac{6mvl}{30ml^2} = \frac{v}{5l}$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः कुल ऊर्जा घूर्णन गतिज ऊर्जा है: $E = \frac{1}{2}I\omega^2$.
$E = \frac{1}{2}(30ml^2)\left(\frac{v}{5l}\right)^2 = 15ml^2 \times \frac{v^2}{25l^2} = \frac{15}{25}mv^2 = \frac{3mv^2}{5}$.

(A) बेलन की प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega_0^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2$ है।
जब बेलन $\theta = 2\pi$ कोण से घूमता है,तो बेलन के चारों ओर लिपटी डोरी की लंबाई $x = R \theta = R(2\pi) = 2\pi R$ होती है।
जब डोरी $x$ लंबाई तक खिंचती है तो उसमें संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} K (2\pi R)^2 = \frac{1}{2} K (4\pi^2 R^2) = 2\pi^2 K R^2$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा उस बिंदु पर डोरी में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए जहाँ बेलन क्षणिक रूप से रुक जाता है ($\theta = 2\pi$ पर):
$\frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2 = 2\pi^2 K R^2$.
$\omega_0$ के लिए हल करने पर:
$\omega_0^2 = \frac{2 \pi^2 K R^2 \times 4}{M R^2} = \frac{8 \pi^2 K}{M}$.
अतः,$\omega_0 = \sqrt{\frac{8 \pi^2 K}{M}}$।

(C) छड़ अपने एक सिरे के परितः दोलन करती है। एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर घूर्णी गतिज ऊर्जा,अधिकतम ऊँचाई $h$ पर द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
$I$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \omega^2 = mgh$
$\frac{1}{6} ml^2 \omega^2 = mgh$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 \, kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = 1500 \, J$,कोणीय त्वरण $\alpha = 25 \, rad/s^2$।
चरण $1$: घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करके अंतिम कोणीय वेग $\omega$ की गणना करें:
$K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$
$1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$
$1500 = 0.6 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$
$\omega = \sqrt{2500} = 50 \, rad/s$।
चरण $2$: गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करके आवश्यक समय $t$ की गणना करें:
$50 = 0 + 25 \times t$
$t = \frac{50}{25} = 2 \, s$।

(D) माना छड़ की लंबाई $l$ और द्रव्यमान $m$ है।
जब छड़ क्षैतिज होती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य मानी जाती है।
जब छड़ क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो छड़ का द्रव्यमान केंद्र ($N$ से $l/2$ दूरी पर) ऊर्ध्वाधर दिशा में $h = (l/2) \sin \alpha$ नीचे उतरता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$I$ स्थिर सिरे $N$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}}$
सिरे $M$ की रैखिक चाल $v = \omega l$ द्वारा दी जाती है:
$v = l \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}} = \sqrt{3gl \sin \alpha}$
अतः,चाल $v$,$\sqrt{\sin \alpha}$ के समानुपाती है।

(C) छड़ का द्रव्यमान उसके द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित होता है। जब छड़ क्षैतिज स्थिति में होती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र सबसे निचले बिंदु से $h = \frac{l}{2}$ की ऊंचाई पर होता है। जब यह ऊर्ध्वाधर स्थिति में पहुंचती है,तो द्रव्यमान केंद्र सबसे निचले बिंदु पर होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
स्थितिज ऊर्जा में हानि $(PE)$ = घूर्णी गतिज ऊर्जा में वृद्धि $(KE_{rot})$
$mg \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$I$ एक सिरे पर कब्जे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
$I$ का मान रखने पर:
$mg \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{ml^2}{3}\right) \omega^2$
$mg \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$g = \frac{l}{3} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$

(D) बिना फिसले लुढ़कते हुए ठोस गोले की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$
जब गोला स्प्रिंग को अधिकतम दूरी $x_m$ तक दबाता है,तो पूरी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $(U = \frac{1}{2} kx_m^2)$ में परिवर्तित हो जाती है।
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} kx_m^2 = \frac{7}{10} Mv^2$
$x_m^2 = \frac{14}{10} \frac{Mv^2}{k} = \frac{7Mv^2}{5k}$
$x_m = v \sqrt{\frac{7M}{5k}}$

(B) जब छड़ $\theta$ कोण से घूमती है,तो गुरुत्व केंद्र का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h$ ज्यामिति द्वारा प्राप्त होता है।
चित्र से,धुरी $B$ से गुरुत्व केंद्र की दूरी $L/2$ है। घूर्णन के बाद इस दूरी का ऊर्ध्वाधर घटक $(L/2) \cos \theta$ है।
गुरुत्व केंद्र का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = L/2 - (L/2) \cos \theta = \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $= Mgh = Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I = \frac{ML^2}{3}$ सिरे $B$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
दोनों को बराबर करने पर: $Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^2}{3} \right) \omega^2$.
$Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$Mg \frac{L}{2} \cdot 2 \sin^2(\theta/2) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
$MgL \sin^2(\theta/2) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{6g}{L} \sin^2(\theta/2)$.
$\omega = \sqrt{\frac{6g}{L}} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$.

(A) शक्ति $P$ को $P = \tau \cdot \omega$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
चूंकि $\tau = I \alpha$ और $\alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}$,इसलिए $P = I \omega \frac{d\omega}{d\theta} \cdot \omega = I \omega^2 \frac{d\omega}{d\theta}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega^2 d\omega = \frac{P}{I} d\theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \omega^2 d\omega = \int \frac{P}{I} d\theta$,जिससे $\frac{\omega^3}{3} = \frac{P}{I} \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega^3 \propto \theta$,या $\omega \propto \theta^{1/3}$।
चूंकि घूर्णनों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi}$ है,इसलिए $\theta \propto n$ होता है।
अतः,$\omega \propto n^{1/3}$।

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,छड़ की प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर स्थिति में स्थितिज ऊर्जा,फर्श से टकराते समय घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = Mg \frac{L}{2}$.
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ फर्श पर स्थित सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,$I = \frac{ML^2}{3}$.
$U_i = K_f$ को बराबर करने पर:
$Mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{3}) \omega^2$.
सरल करने पर,$gL = \frac{L^2}{3} \omega^2$,जिससे $\omega^2 = \frac{3g}{L}$ प्राप्त होता है,अतः $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.
दूसरे सिरे का रैखिक वेग $v = L \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर,$v = L \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3gL}$.

(A) रोटर की कोणीय गति $\omega = 200 \; rad \; s^{-1}$ है।
इस गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = 180 \; N \; m$ है।
कोणीय वेग $\omega$ पर टॉर्क $\tau$ प्रदान करने वाले इंजन द्वारा उत्पन्न शक्ति $P$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \tau \times \omega$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = 180 \; N \; m \times 200 \; rad \; s^{-1}$
$P = 36000 \; W$
किलोवाट में बदलने पर:
$P = 36 \; kW$
अतः,इंजन द्वारा आवश्यक शक्ति $36 \; kW$ है।

(N/A) घूर्णी गति में, कोणीय वेग $(\omega)$ के साथ घूम रहे पिंड पर टॉर्क $(\tau)$ द्वारा प्रदान की गई शक्ति $(P)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$P = \tau \cdot \omega$
जहाँ:
$P$ शक्ति है जिसका मात्रक वाट $(W)$ है,
$\tau$ टॉर्क है जिसका मात्रक न्यूटन-मीटर $(N \cdot m)$ है,
$\omega$ कोणीय वेग है जिसका मात्रक रेडियन प्रति सेकंड $(rad/s)$ है।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के साथ एक निश्चित अक्ष के परितः घूम रहे दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग $(L)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = I \cdot \omega$
जहाँ:
$L$ कोणीय संवेग है जिसका मात्रक किलोग्राम-मीटर वर्ग प्रति सेकंड $(kg \cdot m^2/s)$ है,
$I$ जड़त्व आघूर्ण है जिसका मात्रक किलोग्राम-मीटर वर्ग $(kg \cdot m^2)$ है,
$\omega$ कोणीय वेग है जिसका मात्रक रेडियन प्रति सेकंड $(rad/s)$ है।

(N/A) मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूम रहा है,जिसे $Z$-अक्ष माना गया है। यह अक्ष $X^{\prime} Y^{\prime}$ तल के लंबवत है।
मान लीजिए कि बल $\overrightarrow{F}_{1}$ पिंड के एक कण पर बिंदु $P_{1}$ पर कार्य करता है और यह अक्ष पर केंद्र $C$ के साथ $r_{1}$ त्रिज्या के वृत्त पर घूमता है,जहाँ $CP_{1} = r_{1}$ है।
$\Delta t$ समय अंतराल में,कण $P_{1}$ से $P_{1}^{\prime}$ स्थिति पर चला जाता है। कण का विस्थापन $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ है,जो $P_{1}$ पर स्पर्शरेखीय दिशा में है।
यहाँ,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ कण का कोणीय विस्थापन है।
बल $\overrightarrow{F}_{1}$ द्वारा कण पर किया गया कार्य इस प्रकार है:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1} = F_{1} dS_{1} \cos \phi_{1}$
चूंकि $dS_{1} = r_{1} d\theta$ और $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$ (जहाँ $\alpha_{1}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और त्रिज्या सदिश $\overrightarrow{r}_{1}$ के बीच का कोण है),इसलिए:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} d\theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1}) = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} d\theta$
चूंकि टॉर्क $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ है,इसलिए किया गया कार्य:
$dW_{1} = \tau_{1} d\theta$
दृढ़ पिंड पर किया गया कुल कार्य सभी कणों पर किए गए कार्य का योग है:
$dW = \sum dW_{1} = \sum \tau_{1} d\theta = \tau d\theta$
जहाँ $\tau$ घूर्णन अक्ष के परितः पिंड पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क है।

(N/A) मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूम रहा है,जिसे $Z$-अक्ष के रूप में लिया गया है। यह अक्ष $X^{\prime} Y^{\prime}$ तल के लंबवत है।
मान लीजिए कि बल $\overrightarrow{F}_{1}$ पिंड के एक कण पर बिंदु $P_{1}$ पर कार्य करता है और यह अक्ष पर केंद्र $C$ के साथ $r_{1}$ त्रिज्या के वृत्त पर घूमता है,जहाँ $CP_{1} = r_{1}$ है।
$\Delta t$ समय में,बिंदु $P_{1}$ से $P_{1}^{\prime}$ तक जाता है। कण का विस्थापन $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ है और यह $P_{1}$ पर स्पर्शरेखा की दिशा में है।
यहाँ,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ कण का कोणीय विस्थापन है। बल $\overrightarrow{F}_{1}$ द्वारा कण पर किया गया कार्य इस प्रकार है:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1}$
$dW_{1} = F_{1} \Delta S_{1} \cos \phi_{1}$
चूंकि $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ और $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$,जहाँ $\alpha_{1}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और त्रिज्या सदिश $\overrightarrow{r}_{1}$ के बीच का कोण है,इसलिए:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} \Delta \theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1})$
$dW_{1} = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} \Delta \theta$
चूंकि टॉर्क $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ है,इसलिए किया गया कार्य:
$dW_{1} = \tau_{1} \Delta \theta$
पूरे पिंड के लिए,कुल कार्य सभी कणों पर किए गए कार्य का योग है:
$dW = \sum dW_{i} = \sum \tau_{i} \Delta \theta = \tau \Delta \theta$
जहाँ $\tau$ पिंड पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क है।

(N/A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन करते हुए एक दृढ़ पिंड के लिए,कोणीय विस्थापन $d\theta$ के दौरान बल आघूर्ण $\tau$ द्वारा किया गया कार्य,कोणीय विस्थापन पर बल आघूर्ण का समाकलन होता है।
अति सूक्ष्म कार्य $dW = \tau \cdot d\theta$ है।
$\theta_1$ से $\theta_2$ तक के निश्चित कोणीय विस्थापन के लिए,कुल कार्य:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$ है।
यदि बल आघूर्ण $\tau$ नियत है,तो सूत्र इस प्रकार सरल हो जाता है:
$W = \tau (\theta_2 - \theta_1) = \tau \Delta \theta$।

(N/A) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे दृढ़ पिंड के लिए,बल आघूर्ण (torque) $\tau$ द्वारा दी गई शक्ति $P$,बल आघूर्ण और पिंड के कोणीय वेग $\omega$ के गुणनफल के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,सूत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$P = \tau \omega$
जहाँ:
$P$ तात्क्षणिक शक्ति है,
$\tau$ पिंड पर लगाया गया बल आघूर्ण है,
$\omega$ पिंड का कोणीय वेग है।

(C) रैखिक गति में,कार्य का सूत्र $W = F \Delta x$ है। बल $F$ का घूर्णी अनुरूप टॉर्क $\tau$ है और विस्थापन $\Delta x$ का अनुरूप कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ है। अतः,घूर्णी कार्य $W = \tau \Delta \theta$ होता है। यह $(1-b)$ के अनुरूप है।
रैखिक गति में,शक्ति का सूत्र $P = Fv$ है। बल $F$ का घूर्णी अनुरूप टॉर्क $\tau$ है और वेग $v$ का अनुरूप कोणीय वेग $\omega$ है। अतः,घूर्णी शक्ति $P = \tau \omega$ होती है। यह $(2-a)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-a)$ है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,छड़ की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र धुरी से $L/2$ की दूरी पर होता है।
जब छड़ क्षैतिज स्थिति से ऊर्ध्वाधर स्थिति में जाती है,तो द्रव्यमान केंद्र $h = L/2$ की ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे गिरता है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = $Mgh = Mg(L/2) = MgL/2$.
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = ML^2/3$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (ML^2/3) \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{6}$.
दोनों को बराबर करने पर: $MgL/2 = \frac{ML^2 \omega^2}{6}$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{6gL}{2L^2} = \frac{3g}{L}$.
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(C) माना $m$ डिस्क और कण का द्रव्यमान है। अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} mR^2$ है। $R$ दूरी पर स्थित कण का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{particle}} = mR^2$ है। कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{disc}} + I_{\text{particle}} = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,कण की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
कण उच्चतम बिंदु से सबसे निचले बिंदु तक $2R$ की ऊर्ध्वाधर दूरी तय करता है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $= mg(2R) = 2mgR$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि $= \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} mR^2 \right) \omega^2 = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $2mgR = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{8g}{3R}$.
दिया गया है $\omega = 4 \sqrt{\frac{x}{3R}}$,इसलिए $\omega^2 = 16 \left( \frac{x}{3R} \right) = \frac{16x}{3R}$.
$\omega^2$ के व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{16x}{3R} = \frac{8g}{3R} \implies 16x = 8g$.
$g = 10 \text{ m s}^{-2}$ रखने पर: $16x = 8(10) = 80$.
$x = \frac{80}{16} = 5$.

(A) वेग $\vec{v}$ से गतिमान कण पर कार्य करने वाले बल $\vec{F}$ द्वारा दी गई शक्ति $P$,$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन करती हुई वस्तु के लिए,घूर्णन अक्ष के सापेक्ष $\vec{r}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु का वेग $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ होता है।
इसे शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $P = \vec{F} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r})$ प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) के गुणधर्म $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$P = (\vec{F} \times \vec{\omega}) \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot (\vec{F} \times \vec{\omega})$।
वैकल्पिक रूप से,अदिश त्रिक गुणन के चक्रीय गुणधर्म $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$ का उपयोग करते हुए:
$P = \vec{F} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r}) = [\vec{F} \vec{\omega} \vec{r}] = [\vec{\omega} \vec{r} \vec{F}] = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \vec{F})$।
चूंकि टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ होता है,इसलिए शक्ति $P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = (\vec{r} \times \vec{F}) \cdot \vec{\omega}$ है।

(A) कोणीय स्थिति $\theta(t) = 5t^2 - 8t$ द्वारा दी गई है।
कोणीय वेग $\omega$ समय के सापेक्ष कोणीय स्थिति का अवकलन है: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 10t - 8$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग का अवकलन है: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ rad/s}^2$.
एक वृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
लगाया गया टॉर्क $\tau = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(10) = 5MR^2$ है।
टॉर्क द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \tau \omega$ है।
$t = 2$ सेकंड पर,$\omega = 10(2) - 8 = 12 \text{ rad/s}$.
अतः,$P = (5MR^2)(12) = 60 MR^2$ $W$.

(A) दिया गया है: पहिये का द्रव्यमान $M = 10 \ kg$,त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,बल $F = 20 \ N$,विस्थापन $d = 1 \ m$ है।
चूंकि पहिया नगण्य द्रव्यमान वाले स्पोक्स द्वारा समर्थित है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2 = 10 \times (0.1)^2 = 0.1 \ kg \ m^2$ है।
बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W = F \times d = 20 \times 1 = 20 \ J$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $20 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2$ है।
$20 = 0.05 \times \omega^2$ है।
$\omega^2 = \frac{20}{0.05} = 400$ है।
$\omega = \sqrt{400} = 20 \ rad/s$ है।

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 \ kg \cdot m^2$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = 1500 \ J$,कोणीय त्वरण $\alpha = 25 \ rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega = \sqrt{2500} = 50 \ rad/s$.
घूर्णन के गतिज समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \ s$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ में हुई हानि,घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
जब छड़ ऊर्ध्वाधर स्थिति से जमीन पर गिरती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र $h = \frac{l}{2}$ की ऊँचाई तक नीचे गिरता है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = $mgh = mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{mgl}{2}$.
कब्जेदार सिरे $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \omega^2 = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
स्थितिज ऊर्जा में हानि को घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर रखने पर:
$\frac{mgl}{2} = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{mgl}{2} \times \frac{6}{ml^2} = \frac{3g}{l}$.
अतः,कोणीय वेग $\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$ है।

(A) छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के परितः दोलन करती है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर अधिकतम घूर्णन गतिज ऊर्जा,द्रव्यमान केंद्र द्वारा उच्चतम बिंदु पर प्राप्त अधिकतम गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$1$. घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ के लिए उसके सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^{2}}{3}$ है।
$3$. द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $U = Mgh$ है,जहाँ $h$ द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है।
$4$. गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा की तुलना करने पर: $Mgh = \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
$5$. $I$ का मान रखने पर: $Mgh = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^{2}}{3} \right) \omega^{2}$.
$6$. समीकरण को सरल करने पर: $Mgh = \frac{ML^{2} \omega^{2}}{6}$.
$7$. $h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{L^{2} \omega^{2}}{6g}$.

(B) दिया गया है: कार्य $W = 12000 \ J$,प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 10 \ Hz$,अंतिम आवृत्ति $f_2 = 20 \ Hz$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 2\pi(10) = 20\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 2\pi(20) = 40\pi \ rad/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I \omega_2^2 - \frac{1}{2} I \omega_1^2 = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
मान रखने पर:
$12000 = \frac{1}{2} I [(40\pi)^2 - (20\pi)^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1600\pi^2 - 400\pi^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1200\pi^2]$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$12000 = \frac{1}{2} I [1200 \times 10]$.
$12000 = I [6000]$.
$I = \frac{12000}{6000} = 2 \ kg \cdot m^2$.

(D) छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूमती है। इस अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ML^2$ है।
सबसे निचले बिंदु (अधिकतम कोणीय चाल) पर छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2)\omega^2 = \frac{1}{6}ML^2\omega^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,छड़ का द्रव्यमान केंद्र $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है। छड़ द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $U = Mgh$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,नीचे घूर्णन गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{6}ML^2\omega^2 = Mgh$.
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{L^2\omega^2}{6g}$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर घूर्णी गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} I \omega^2 = Mgh$
$\therefore h = \frac{I \omega^2}{2Mg} \dots (i)$
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,छड़ के सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2}{3} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$h = \frac{(\frac{ML^2}{3}) \omega^2}{2Mg} = \frac{ML^2 \omega^2}{6Mg} = \frac{L^2 \omega^2}{6g}$

(A) चंद्रमा की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा (कक्षीय गति के कारण) और उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा (अपनी धुरी पर घूमने के कारण) का योग है।
$KE_{total} = KE_{translational} + KE_{rotational}$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ कक्षीय गति $v = R \omega$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
चंद्रमा का जड़त्व आघूर्ण (इसे एक ठोस गोला मानते हुए) $I = \frac{2}{5} M r^2$ है।
इन मानों को रखने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M (R \omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M r^2) \omega^2$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 \omega^2 + \frac{1}{5} M r^2 \omega^2$
$\omega^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2}$ रखने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2}) + \frac{1}{5} M r^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2})$
$KE_{total} = \frac{2 M \pi^2 R^2}{T^2} + \frac{4 M r^2 \pi^2}{5 T^2}$

(B) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यहाँ $M = \frac{10}{\pi^2} \,kg$ और $R = 2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{1}{2} \times \frac{10}{\pi^2} \times (2)^2 = \frac{20}{\pi^2} \,kg \cdot m^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_1 = 90 \,rev/min = 90 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 3\pi \,rad/s$ है।
अंतिम कोणीय गति $\omega_2 = 120 \,rev/min = 120 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 4\pi \,rad/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}I(\omega_2^2 - \omega_1^2)$।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times \frac{20}{\pi^2} \times ((4\pi)^2 - (3\pi)^2) = \frac{10}{\pi^2} \times (16\pi^2 - 9\pi^2) = \frac{10}{\pi^2} \times 7\pi^2 = 70 \,J$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,छड़ द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा उसके द्वारा प्राप्त घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा (द्रव्यमान केंद्र को $L/2$ ऊंचाई पर लेते हुए) $U_i = mg(L/2)$ है।
जब छड़ जमीन से टकराती है तो अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
यहाँ,$I$ कब्जेदार सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{mL^2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$.
समीकरण को सरल करने पर: $g = \frac{L}{3} \omega^2$,जिससे $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$ प्राप्त होता है।
दी गई मानों $g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $L = 1 \ m$ को रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{3 \times 10}{1}} = \sqrt{30} \ rad \ s^{-1}$।