Centre of mass (Point Mass) Questions in Hindi

(A) कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र निकाय के सभी कणों की भारित औसत स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$n$ कणों से बने एक दृढ़ पिंड के लिए,जिनके द्रव्यमान $m_1, m_2, ..., m_n$ हैं और स्थिति सदिश $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ हैं,द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}$ का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + ... + m_n\vec{r}_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}$
इसे योग संकेतन में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i$
जहाँ $M = \sum m_i$ दृढ़ पिंड का कुल द्रव्यमान है।

(N/A) भौतिकी में,द्रव्यमान तत्व $dm$ किसी निरंतर पिंड के कुल द्रव्यमान $M$ के एक अत्यंत सूक्ष्म भाग को संदर्भित करता है।
जब हम ऐसी वस्तुओं के साथ काम करते हैं जिनमें द्रव्यमान का निरंतर वितरण होता है (जैसे कि एक छड़,डिस्क या गोला),तो हम अलग-अलग कणों का योग उस तरह नहीं कर सकते जैसे हम असतत कणों की प्रणाली में करते हैं।
इसके बजाय,हम पिंड को ऐसे अनंत छोटे तत्वों $dm$ में विभाजित करते हैं।
वस्तु का कुल द्रव्यमान $M$ फिर इन तत्वों को पिंड के पूरे आयतन,क्षेत्रफल या लंबाई पर समाकलित (integrate) करके निकाला जाता है: $M = \int dm$।
यह अवधारणा निरंतर पिंडों के द्रव्यमान केंद्र,जड़त्व आघूर्ण और गुरुत्वाकर्षण विभव की गणना करने में मौलिक है।

(B) एक सामान्य पिंड को केवल एक कण के बजाय कणों के एक निकाय के रूप में माना जाता है।
एक सामान्य पिंड को कणों के निकाय के रूप में मानकर,हम यह मानते हैं कि पिंड का पूरा द्रव्यमान उसके द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित है।
पिंड पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों को इस द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाला माना जाता है।
यह धारणा हमें न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति निर्धारित करने की अनुमति देती है।

(N/A) वह बिंदु जिस पर किसी पिंड का संपूर्ण भार केंद्रित माना जा सकता है,उसे गुरुत्व केंद्र $(CG)$ कहा जाता है।
एक अनियमित आकार का कार्डबोर्ड और पेंसिल जैसी संकीर्ण नोक वाली वस्तु लें। कार्डबोर्ड पर बिंदु $G$ का पता लगाएं जहां इसे पेंसिल की नोक पर संतुलित किया जा सके। यह संतुलन बिंदु कार्डबोर्ड का गुरुत्व केंद्र $(CG)$ है।
पेंसिल की नोक लंबवत ऊपर की ओर बल प्रदान करती है जिसके कारण कार्डबोर्ड यांत्रिक संतुलन में रहता है। नोक की प्रतिक्रिया कार्डबोर्ड के कुल भार $Mg$ के बराबर और विपरीत होती है,इसलिए कार्डबोर्ड स्थानांतरणीय संतुलन में है।
गुरुत्वाकर्षण बल के कारण कार्डबोर्ड पर टॉर्क कार्य करते हैं। यदि नीचे की ओर लगने वाले बलों के कारण उस पर कुल टॉर्क शून्य है,तो कार्डबोर्ड घूर्णी संतुलन में रहता है।
यदि $m_{i}$ कार्डबोर्ड के $i$-वें कण का द्रव्यमान है और $\vec{r}_{i}$ गुरुत्व केंद्र के सापेक्ष $i$-वें कण का स्थिति सदिश है,तो कण पर गुरुत्वाकर्षण का टॉर्क $\vec{\tau}_{i} = \vec{r}_{i} \times (m_{i} \vec{g})$ है।
गुरुत्व केंद्र के परितः पिंड पर कुल गुरुत्वाकर्षण टॉर्क शून्य होता है।
$\therefore \vec{\tau}_{g} = \sum \vec{\tau}_{i} = \sum (\vec{r}_{i} \times m_{i} \vec{g}) = (\sum m_{i} \vec{r}_{i}) \times \vec{g} = \vec{0}$.
चूंकि गुरुत्व केंद्र पर $\sum m_{i} \vec{r}_{i} = 0$ होता है,इसलिए कार्डबोर्ड घूर्णी संतुलन में रहता है।

(N/A) द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहाँ पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से स्वतंत्र होता है।
गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहाँ पिंड का संपूर्ण भार कार्य करता हुआ माना जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर निर्भर करता है।
मुख्य अंतर:
$1$. द्रव्यमान केंद्र कणों के किसी भी निकाय के लिए परिभाषित होता है,चाहे गुरुत्वाकर्षण हो या न हो। गुरुत्व केंद्र केवल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ही परिभाषित होता है।
$2$. एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्व केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं।
$3$. असमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक बड़े पिंड के लिए,गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र से भिन्न हो सकता है।
गुरुत्व केंद्र का प्रायोगिक निर्धारण:
चित्र में दिखाए अनुसार,एक अनियमित आकार के पिंड को विभिन्न बिंदुओं $(A, B, C)$ से लटकाया जाता है। निलंबन बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा खींची जाती है। इन ऊर्ध्वाधर रेखाओं $(AA_1, BB_1, CC_1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ही गुरुत्व केंद्र $(G)$ होता है।

(C) टॉर्क $\tau$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के क्रॉस गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
जब हम किसी वस्तु पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल पर विचार करते हैं,तो बल प्रभावी रूप से द्रव्यमान केंद्र पर लागू होता है।
परिभाषा के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का स्वयं के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ शून्य सदिश $\vec{0}$ होता है।
इसलिए,$\vec{\tau} = \vec{0} \times \vec{F} = 0$।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल के कारण द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य होता है।

(A) द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहाँ पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है,जो केवल पिंड के भीतर द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।
गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहाँ पिंड पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल (भार) कार्य करता है,जो पिंड के विभिन्न बिंदुओं पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता पर निर्भर करता है।
यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र समान है (पूरे पिंड में $g$ स्थिर है),तो गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं।
हालाँकि,यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र असमान है (पिंड में अलग-अलग स्थानों पर बदलता रहता है),तो पिंड के विभिन्न भागों पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल अलग-अलग होगा,जिससे गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र से हट जाता है।
इसलिए,जब कोई पिंड असमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में होता है,तो उसका गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र अलग-अलग होते हैं।

(N/A) यह आवश्यक नहीं है कि किसी दृढ़ पिंड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा पिंड के पदार्थ के भीतर ही स्थित हो। इसके उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. वृत्ताकार वलय (रिंग): इसका द्रव्यमान केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है,जो वलय के अंदर के खाली स्थान में स्थित होता है।
$2$. खोखला बेलन: इसका द्रव्यमान केंद्र बेलन की अक्ष पर,उसके अंदर के खाली स्थान में स्थित होता है।
$3$. चूड़ी या फोटो फ्रेम: इन वस्तुओं का द्रव्यमान केंद्र भी उनकी संरचना द्वारा घिरे हुए खाली स्थान में स्थित होता है।

(N/A) $\text{द्रव्यमान }\text{केंद्र} (Center \text{ of } Mass)$ वह बिंदु है जहाँ निकाय की स्थानांतरीय गति का वर्णन करने के लिए निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है। यह केवल निकाय के भीतर द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है。
$\text{गुरुत्व }\text{केंद्र} (Center \text{ of } Gravity)$ वह बिंदु है जहाँ निकाय पर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल (भार) कार्य करता हुआ माना जाता है। यह उस गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर निर्भर करता है जिसमें निकाय स्थित है。
मुख्य अंतर: यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान (uniform) है,तो $\text{द्रव्यमान }\text{केंद्र}$ और $\text{गुरुत्व }\text{केंद्र}$ एक ही बिंदु पर होते हैं। यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र असमान है,तो वे भिन्न हो सकते हैं。

(C) एक दृढ़ पिंड का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जो निकाय के कुल द्रव्यमान की औसत स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।
एक दृढ़ पिंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति वस्तु के ज्यामितीय आकार और उस आयतन के भीतर द्रव्यमान के वितरण द्वारा निर्धारित की जाती है।
इसलिए,यह द्रव्यमान के वितरण और वस्तु के आकार दोनों पर निर्भर करता है।

(C) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले और $r_1$ तथा $r_2$ स्थिति पर स्थित दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र $R$ इस प्रकार दिया जाता है: $R = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,मान लीजिए $m_1 = m_2 = m$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $R = \frac{mr_1 + mr_2}{m + m} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m} = \frac{r_1 + r_2}{2}$।
यह व्यंजक दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए कि नियमित $n$-भुज का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
जब $n$ समान द्रव्यमान $m$ को एक नियमित बहुभुज के सभी शीर्षों पर रखा जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र बहुभुज के केंद्र पर होता है,अर्थात $R_{CM} = 0$.
मान लीजिए $r_i$ $i$-वें शीर्ष का स्थिति सदिश है। तो,$\sum_{i=1}^{n} m r_i = 0$.
हमें दिया गया है कि $(n-1)$ द्रव्यमान शीर्षों पर रखे गए हैं और $a$ स्थिति सदिश वाला एक शीर्ष रिक्त है।
मान लीजिए $R$ इन $(n-1)$ द्रव्यमानों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $(n-1)m$ है।
द्रव्यमान केंद्र का समीकरण है: $R = \frac{\sum_{i=1}^{n-1} m r_i}{(n-1)m}$.
नियमित बहुभुज के गुण के अनुसार,सभी स्थिति सदिशों का योग $\sum_{i=1}^{n} r_i = 0$ होता है।
इसलिए,$\sum_{i=1}^{n-1} r_i + a = 0$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{i=1}^{n-1} r_i = -a$.
इस मान को द्रव्यमान केंद्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{m(-a)}{(n-1)m} = -\frac{a}{n-1}$.

(N/A) मान लीजिए $M$ अर्ध-डिस्क का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
अर्ध-डिस्क के लिए प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{\frac{1}{2} \pi R^2} = \frac{2M}{\pi R^2}$ है।
$(a)$ अर्ध-डिस्क:
$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई की एक अर्धवृत्ताकार रिंग पर विचार करें। इस रिंग का क्षेत्रफल $dA = \pi r dr$ है। इस रिंग का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \frac{2M}{\pi R^2} \pi r dr = \frac{2M}{R^2} r dr$ है।
इस अर्धवृत्ताकार रिंग का द्रव्यमान केंद्र $(0, \frac{2r}{\pi})$ पर है।
$y_{CM} = \frac{1}{M} \int y dm = \frac{1}{M} \int_0^R \frac{2r}{\pi} \left( \frac{2M}{R^2} r dr \right) = \frac{4}{\pi R^2} \int_0^R r^2 dr = \frac{4}{\pi R^2} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{4R}{3\pi}$।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(0, \frac{4R}{3\pi})$ पर है।
$(b)$ चौथाई-डिस्क:
$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई की एक चौथाई-वृत्ताकार रिंग पर विचार करें। क्षेत्रफल $dA = \frac{1}{2} \pi r dr$ है। द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \frac{M}{\frac{1}{4} \pi R^2} \frac{1}{2} \pi r dr = \frac{2M}{R^2} r dr$ है।
चौथाई-वृत्ताकार रिंग का द्रव्यमान केंद्र $(\frac{2r}{\pi}, \frac{2r}{\pi})$ पर है।
$x_{CM} = \frac{1}{M} \int x dm = \frac{1}{M} \int_0^R \frac{2r}{\pi} \left( \frac{2M}{R^2} r dr \right) = \frac{4R}{3\pi}$।
समरूपता के कारण,$y_{CM} = \frac{4R}{3\pi}$।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(\frac{4R}{3\pi}, \frac{4R}{3\pi})$ पर है।

(A) $(1)$ के लिए, $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के निकाय का समानीत द्रव्यमान $\mu$ को $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः, $(1)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
$(2)$ के लिए, $r_1$ और $r_2$ स्थितियों पर $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है। यदि $m_1 = m_2 = m$ है, तो $R_{cm} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m} = \frac{r_1 + r_2}{2}$ होगा। अतः, $(2)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
सही मिलान $(1-a, 2-b)$ है।

(D) माना $m_1 = 5\, kg$ और $m_2 = 10\, kg$ दो कणों के द्रव्यमान हैं।
माना $r = 1\, m = 100\, cm$ छड़ की लंबाई है।
माना $r_1$ द्रव्यमान $5\, kg$ वाले कण से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
द्रव्यमान $m_1$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी का सूत्र $r_1 = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ है।
मान रखने पर: $r_1 = \frac{10\, kg \times 100\, cm}{5\, kg + 10\, kg} = \frac{1000}{15}\, cm$.
$r_1 = 66.67\, cm \approx 67\, cm$.

(D) मान लीजिए कि तीनों गोले $xy$-तल में $(0, 0)$,$(2, 0)$,और $(0, 2)$ निर्देशांकों पर स्थित हैं।
चूंकि सभी गोलों का द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(x_{cm}, y_{cm})$ इस प्रकार दिए गए हैं:
$x_{cm} = \frac{M(0) + M(2) + M(0)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
$y_{cm} = \frac{M(0) + M(0) + M(2)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{r}_{cm} = x_{cm}\hat{i} + y_{cm}\hat{j} = \frac{2}{3}(\hat{i} + \hat{j}) \; m$ है।

(B) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda(x) = ax$ द्वारा दिया गया है।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda(x) dx = ax dx$ है।
छड़ का कुल द्रव्यमान $M$,$0$ से $L$ तक $dm$ का समाकलन है:
$M = \int_{0}^{L} ax dx = a [x^2/2]_{0}^{L} = aL^2/2$.
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ इस प्रकार दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x (ax dx) = \frac{a}{M} \int_{0}^{L} x^2 dx$.
$X_{cm} = \frac{a}{aL^2/2} [x^3/3]_{0}^{L} = \frac{2}{L^2} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{2L}{3}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $2L/3$ पर स्थित है।

(A) मान लीजिए कि $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कण $x$-अक्ष पर क्रमशः $x_1 = 0$ और $x_2 = d$ स्थिति पर रखे गए हैं।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ की स्थिति सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$x_1 = 0$ और $x_2 = d$ मान रखने पर:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
यह दूरी $m_1$ द्रव्यमान की स्थिति (जो $x=0$ पर है) से मापी जाती है।

(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ के लिए जिसे $x$-अक्ष पर एक सिरा मूल बिंदु $(0, 0)$ पर रखते हुए रखा गया है,रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर है,जो $\lambda = M/L$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार गणना की जाती है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
चूंकि $dm = \lambda \, dx = (M/L) \, dx$,हमारे पास है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \cdot \frac{M}{L} \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = L/2$.
चूंकि छड़ $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $0$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$ पर स्थित है।

(A) मान लीजिए कि $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कण $x$-अक्ष पर क्रमशः $x_1 = 0$ और $x_2 = d$ स्थितियों पर रखे गए हैं।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
यह दूरी $m_1$ द्रव्यमान की स्थिति (जो $x=0$ पर है) से मापी जाती है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $m_1$ से $\frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$ की दूरी पर है।

(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ के लिए जिसे $x$-अक्ष पर मूल बिंदु पर एक सिरे के साथ रखा गया है,रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर है और इसे $\lambda = M/L$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
चूंकि छड़ एक समान है,$dm = \lambda \, dx = (M/L) \, dx$ है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $L/2$ पर है।

(A) मान लीजिए कि $m_1$ द्रव्यमान का कण मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और $m_2$ द्रव्यमान का कण $(d, 0)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ का सूत्र है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
मान $x_1 = 0$ और $x_2 = d$ रखने पर:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
अतः,$m_1$ द्रव्यमान वाले कण से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$ है।

(B) एक सतत पिंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ को निम्नलिखित समाकलन सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
चूंकि छड़ एकसमान है,इसलिए इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर है,जहाँ $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव के लिए,द्रव्यमान $dm = \lambda \, dx = \frac{M}{L} dx$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $L/2$ पर स्थित है।

(D) मान लीजिए कि दो कणों की स्थितियाँ $x_1 = 0$ और $x_2 = d$ हैं।
प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $X_{cm,i}$ इस प्रकार है:
$X_{cm,i} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
जब कणों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई स्थितियाँ $x_1' = d$ और $x_2' = 0$ होती हैं।
नया द्रव्यमान केंद्र $X_{cm,f}$ इस प्रकार है:
$X_{cm,f} = \frac{m_1(d) + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 d}{m_1 + m_2}$
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta X$ अंतर का परिमाण है:
$\Delta X = |X_{cm,f} - X_{cm,i}| = |\frac{m_1 d}{m_1 + m_2} - \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}| = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} d$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $R$ त्रिज्या के एक समान अर्ध-वृत्ताकार तार का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ सममिति की अक्ष पर केंद्र से $\frac{2R}{\pi}$ की दूरी पर स्थित होता है।
यह दिया गया है कि $COM$ का स्थान $\left(0, \frac{x R}{\pi}\right)$ है।
$y$-निर्देशांक की तुलना करने पर,हमें $\frac{x R}{\pi} = \frac{2 R}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 2$ है।
$|x|$ का मान $2$ है।

(A) मान लीजिए कि $10\,kg$ द्रव्यमान मूल बिंदु $(x_1 = 0)$ पर है और $20\,kg$ द्रव्यमान $x_2 = 10\,m$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{CM}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{CM} = \frac{10 \times 0 + 20 \times 10}{10 + 20}$
$X_{CM} = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}\,m$.
अतः,$10\,kg$ द्रव्यमान से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{20}{3}\,m$ है।

(A) मान लीजिए कि तीनों गोलों की स्थिति मीटर में $(0, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, 3)$ है।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M$ है।
द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_{\text{com}}$ इस प्रकार है:
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + M(3\hat{i} + 0\hat{j}) + M(0\hat{i} + 3\hat{j})}{M + M + M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(3\hat{i} + 3\hat{j})}{3M} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j}}{3} = \hat{i} + \hat{j}$
स्थिति सदिश का परिमाण:
$|\overrightarrow{r}_{\text{com}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
यह दिया गया है कि परिमाण $\sqrt{x}$ है,इसलिए $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $x = 2$.

(C) दूरी $x$ पर एक छोटे अवयव $dx$ का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot dx = \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$
सबसे पहले,कुल द्रव्यमान $M = \int_{0}^{L} \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \left[ x - \frac{x^{3}}{3L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( L - \frac{L}{3} \right) = \frac{2}{3} \rho_{0} L$ की गणना करें।
इसके बाद,समाकलन $\int x \, dm = \int_{0}^{L} x \cdot \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \int_{0}^{L} \left( x - \frac{x^{3}}{L^{2}} \right) dx = \rho_{0} \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( \frac{L^{2}}{2} - \frac{L^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}$ की गणना करें।
अब,$X_{cm} = \frac{\frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}}{\frac{2}{3} \rho_{0} L} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} L = \frac{3L}{8}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{3L}{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 8$ प्राप्त होता है।

(D) द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{r}_{com} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान रखने पर: $\vec{r}_{com} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$.
$\vec{r}_{com} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश का परिमाण $|\vec{r}_{com}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अब,विकल्प $D$ में दिए गए सदिश का परिमाण जाँचने पर: $|-2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}$.
अतः,दोनों के परिमाण समान हैं।

(C) मान लीजिए कि प्लेटों के आयाम चित्र में दिखाए अनुसार हैं। मान लीजिए त्रिभुज का आधार और आयत की चौड़ाई $a$ है,त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है और आयत की ऊँचाई $b$ है।
दिया गया है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $=$ आयत का क्षेत्रफल:
$\frac{1}{2} a h = a b \Rightarrow \frac{h}{2} = b \Rightarrow \frac{b}{h} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए कि मूल बिंदु उभयनिष्ठ भुजा के मध्य-बिंदु पर है। त्रिभुजाकार भाग का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु से $y_1 = \frac{h}{3}$ ऊपर है।
आयताकार भाग का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु से $y_2 = -\frac{b}{2}$ नीचे है।
संयुक्त निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर है,इसलिए $Y_{CM} = 0$.
सूत्र $Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$m_1 y_1 + m_2 y_2 = 0 \Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) + m_2 \left(-\frac{b}{2}\right) = 0$.
$\Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) = m_2 \left(\frac{b}{2}\right)$.
$\Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{3b}{2h} = \frac{3}{2} \times \frac{b}{h} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $m_1 : m_2 = 3 : 4$ है।

(D) बोतल की स्थिरता उसके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति पर निर्भर करती है। बोतल तब पलट जाती है जब द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा बोतल के आधार से बाहर गिरती है।
मान लीजिए $h_b$ बोतल की ऊंचाई है और $R$ इसकी त्रिज्या है। मान लीजिए $h_s$ बोतल के अंदर शैम्पू की ऊंचाई है। सिस्टम (बोतल + शैम्पू) का द्रव्यमान केंद्र आधार से $h_{cm}$ ऊंचाई पर है.
खाली बोतल के द्रव्यमान को शैम्पू की तुलना में नगण्य मानते हुए,शैम्पू का द्रव्यमान केंद्र $h_s/2$ पर है। बोतल के पलटने की शर्त $\tan \theta = \frac{R}{h_{cm}}$ है।
चूंकि $h_{cm} = h_s/2$ और $f = h_s/h_b$,हमारे पास $h_s = f h_b$ है। अतः,$h_{cm} = \frac{f h_b}{2}$.
इसे शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \theta = \frac{R}{f h_b / 2} = \frac{2R}{f h_b}$.
हालाँकि,यदि हम बोतल के द्रव्यमान $(M_b)$ और शैम्पू के द्रव्यमान $(M_s = \rho \pi R^2 h_s)$ पर विचार करें,तो द्रव्यमान केंद्र $h_{cm} = \frac{M_b (h_b/2) + M_s (h_s/2)}{M_b + M_s}$ होता है।
जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,द्रव्यमान केंद्र शुरू में नीचे जाता है (स्थिरता और $\theta$ बढ़ता है) और फिर ऊपर जाता है (स्थिरता और $\theta$ घटता है)। यह व्यवहार एक वक्र द्वारा दर्शाया गया है जो अधिकतम तक बढ़ता है और फिर घटता है,जो ग्राफ $D$ से मेल खाता है।

(B) भुजा $a$ वाली मूल वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है। मूल वर्ग के ऊपरी-दाएं कोने पर मूल बिंदु (origin) मानिए। मूल वर्ग के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (a/2, a/2)$ हैं।
मान लीजिए $k$ प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान है। मूल वर्ग का द्रव्यमान $m_1 = k a^2$ है।
काटे गए भुजा $b$ वाले वर्गाकार हिस्से का द्रव्यमान केंद्र उसी मूल बिंदु के सापेक्ष $(x_2, y_2) = (b/2, b/2)$ पर है।
काटे गए हिस्से का द्रव्यमान $m_2 = k b^2$ है।
शेष $L$-आकार की शीट का द्रव्यमान केंद्र बिंदु $P$ पर है,जिसे चुने गए मूल बिंदु के सापेक्ष $(b, b)$ के रूप में दिया गया है।
कैविटी वाली प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$.
मान रखने पर: $b = \frac{(k a^2)(a/2) - (k b^2)(b/2)}{k a^2 - k b^2}$.
$b = \frac{a^3 - b^3}{2(a^2 - b^2)}$.
$2b(a^2 - b^2) = a^3 - b^3$.
$2ba^2 - 2b^3 = a^3 - b^3$.
$a^3 - 2ba^2 + b^3 = 0$.
$b^3$ से भाग देने पर: $(a/b)^3 - 2(a/b)^2 + 1 = 0$.
मान लीजिए $x = a/b$. तब $x^3 - 2x^2 + 1 = 0$.
चूंकि $x=1$ एक मूल है,हम $(x-1)$ से भाग देते हैं: $(x-1)(x^2 - x - 1) = 0$.
चूंकि $a > b$,इसलिए $x > 1$,अतः $x^2 - x - 1 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (धनात्मक मूल लेने पर)।
अतः,$a/b = (\sqrt{5} + 1) / 2$.

(A) निकाय के बिना गिरे संतुलन में रहने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:
$(i)$ गोले और ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र $C_1$ निचले ब्लॉक के किनारे पर स्थित होना चाहिए।
मान लीजिए कि गोला ऊपरी ब्लॉक के किनारे से $y$ दूरी पर रखा गया है। ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र उसके किनारे से $L/2$ दूरी पर है। ऊपरी ब्लॉक के किनारे को मूल बिंदु मानते हुए:
$\frac{M}{2} \times y = M \times (L/2 - y)$
$\Rightarrow y/2 + y = L/2 \Rightarrow 3y/2 = L/2 \Rightarrow y = L/3$.
$(ii)$ पूरे निकाय (दो ब्लॉक और गोला) का द्रव्यमान केंद्र $C_2$ मेज के किनारे पर स्थित होना चाहिए।
ऊपरी ब्लॉक और गोले का द्रव्यमान केंद्र ऊपरी ब्लॉक के किनारे से $L/3$ दूरी पर है। निचले ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र उसके अपने किनारे से $L/2$ दूरी पर है।
मेज के किनारे से गोले के केंद्र की दूरी $x$ है। गणना करने पर अधिकतम दूरी $x = 8L/15$ प्राप्त होती है।

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि लड़की की प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(x = 0)$ पर है और बॉक्स $x = 20 \,m$ पर है।
लड़की का द्रव्यमान $m_1 = 36 \,kg$ है और बॉक्स का द्रव्यमान $m_2 = 9 \,kg$ है।
द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थिति $(X_{CM})$ है:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{36 \times 0 + 9 \times 20}{36 + 9} = \frac{180}{45} = 4 \,m$.
मान लीजिए कि लड़की बॉक्स की ओर $x$ दूरी तय करती है और बॉक्स लड़की की ओर $(20 - x)$ दूरी तय करता है। जब वे मिलते हैं,तो वे दोनों द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{CM} = 4 \,m$ पर होंगे।
इसलिए,लड़की ने अपनी प्रारंभिक स्थिति से द्रव्यमान केंद्र तक पहुँचने के लिए $4 \,m$ की दूरी तय की है,और बॉक्स ने उसी बिंदु तक पहुँचने के लिए $20 - 4 = 16 \,m$ की दूरी तय की है।
अतः,लड़की ने $4 \,m$ की दूरी तय की है।

(C) मान लीजिए कि वर्गाकार प्लेट की भुजा की लंबाई $L$ है। वर्ग का केंद्र $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
कोनों के निर्देशांक हैं: $a(-L/2, L/2)$,$b(L/2, L/2)$,$c(L/2, -L/2)$,और $d(-L/2, -L/2)$।
प्लेट का द्रव्यमान $M = 1 \, kg = 1000 \, g$ केंद्र $O(0,0)$ पर केंद्रित है।
$20 \, g$ के दो बिंदु द्रव्यमान $m$ को $b(L/2, L/2)$ और $c(L/2, -L/2)$ पर रखा गया है।
द्रव्यमान केंद्र का नया $x$-निर्देशांक $X_{cm} = \frac{M(0) + m(L/2) + m(L/2)}{M + 2m} = \frac{mL}{M + 2m}$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र का नया $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{M(0) + m(L/2) + m(-L/2)}{M + 2m} = 0$ होगा।
चूंकि $Y_{cm} = 0$ और $X_{cm} > 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में स्थानांतरित होता है,जो रेखा $OY$ के अनुरूप है।

(D) मान लीजिए कि कार्बन परमाणु का द्रव्यमान $m_C = 12 \, u$ है और ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान $m_O = 16 \, u$ है।
उनके बीच की दूरी $d = 1.2 \,\mathring{A}$ है।
कार्बन परमाणु को मूल बिंदु $(x_C = 0)$ पर लेने पर,ऑक्सीजन परमाणु की स्थिति $x_O = 1.2 \,\mathring{A}$ होगी।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{m_C x_C + m_O x_O}{m_C + m_O}$
मान रखने पर:
$X_{cm} = \frac{12 \times 0 + 16 \times 1.2}{12 + 16}$
$X_{cm} = \frac{19.2}{28}$
$X_{cm} \approx 0.6857 \,\mathring{A} \approx 0.69 \,\mathring{A}$.
अतः,कार्बन परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $0.69 \,\mathring{A}$ है।

(C) दो कणों के द्रव्यमान केंद्र के $x$-निर्देशांक का सूत्र $x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर है,इसलिए $x_{cm} = 0$ है।
मान लीजिए $m_1 = m$ जो $x_1 = a$ पर है और $m_2$ वह द्रव्यमान है जिसे $x_2 = -3a$ पर रखा जाना है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0 = \frac{m(a) + m_2(-3a)}{m + m_2}$
$0 = ma - 3m_2a$
$3m_2a = ma$
$m_2 = \frac{m}{3}$.
अतः,$(-3a, 0)$ पर $\frac{m}{3}$ द्रव्यमान रखा जाना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान $m$ है। यह विन्यास तीन छड़ों से बना है:
$1$. $y$-अक्ष पर $y=0$ से $y=L$ तक की ऊर्ध्वाधर छड़। इसका द्रव्यमान केंद्र $(0, L/2)$ पर है।
$2$. $x$-अक्ष पर $x=0$ से $x=L$ तक की क्षैतिज छड़। इसका द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$ पर है।
$3$. $y=L$ पर $x=0$ से $x=L$ तक की क्षैतिज छड़। इसका द्रव्यमान केंद्र $(L/2, L)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $X_{cm} = \frac{m(0) + m(L/2) + m(L/2)}{m + m + m} = \frac{mL}{3m} = \frac{L}{3}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{m(L/2) + m(0) + m(L)}{m + m + m} = \frac{m(3L/2)}{3m} = \frac{L}{2}$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2}\right)$ पर स्थित है।

(C) द्रव्यमानों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$A(0, 0)$ पर द्रव्यमान $m_1 = 1.6 \, kg$
$B(1.2, 0)$ पर द्रव्यमान $m_2 = 2.0 \, kg$
$C(0, 1.0)$ पर द्रव्यमान $m_3 = 2.4 \, kg$
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$x_{cm} = \frac{(1.6)(0) + (2.0)(1.2) + (2.4)(0)}{1.6 + 2.0 + 2.4} = \frac{2.4}{6.0} = 0.4 \, m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$y_{cm} = \frac{(1.6)(0) + (2.0)(0) + (2.4)(1.0)}{1.6 + 2.0 + 2.4} = \frac{2.4}{6.0} = 0.4 \, m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $(0.4, 0.4) \, m$ बिंदु पर स्थित है।

(B) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \alpha + \beta x$ द्वारा दिया गया है।
मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = (\alpha + \beta x) dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।
मान रखने पर,हमें $x_{cm} = \frac{\int_0^L x(\alpha + \beta x) dx}{\int_0^L (\alpha + \beta x) dx}$ प्राप्त होता है।
अंश का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^L (\alpha x + \beta x^2) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} + \frac{\beta x^3}{3}]_0^L = \frac{\alpha L^2}{2} + \frac{\beta L^3}{3} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6}$।
हर का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^L (\alpha + \beta x) dx = [\alpha x + \frac{\beta x^2}{2}]_0^L = \alpha L + \frac{\beta L^2}{2} = \frac{L(2\alpha + \beta L)}{2}$।
दोनों परिणामों को विभाजित करने पर: $x_{cm} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6} \times \frac{2}{L(2\alpha + \beta L)} = \frac{L(3\alpha + 2\beta L)}{3(2\alpha + \beta L)}$।

(C) चित्र से,निर्देशांक $(x, y)$ और द्रव्यमान $m$ इस प्रकार हैं:
$m_1 = 1 \text{ kg}$ बिंदु $(0, 0)$ पर
$m_2 = 2 \text{ kg}$ बिंदु $(2, 0)$ पर
$m_3 = 3 \text{ kg}$ बिंदु $(0, 2)$ पर
$m_4 = 4 \text{ kg}$ बिंदु $(2, 2)$ पर
$m_5 = 5 \text{ kg}$ बिंदु $(1, 1)$ पर
कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \text{ kg}$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 2) + (3 \times 0) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 4 + 0 + 8 + 5}{15} = \frac{17}{15} \approx 1.13$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 2) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 0 + 6 + 8 + 5}{15} = \frac{19}{15} \approx 1.27$
अतः,निर्देशांक लगभग $(1.1, 1.3)$ हैं। सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि तीनों गोलों की स्थिति $XY$-तल में $(0, 0)$,$(4, 0)$ और $(0, 4)$ है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = 2M$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\overrightarrow{r}_{\text{COM}}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{m_1 \overrightarrow{r}_1 + m_2 \overrightarrow{r}_2 + m_3 \overrightarrow{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{2M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(4\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(0\hat{i} + 4\hat{j})}{2M + 2M + 2M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{8M\hat{i} + 8M\hat{j}}{6M} = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j}$
स्थिति सदिश का परिमाण है:
$|\overrightarrow{r}_{\text{COM}}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
इसे $\frac{4\sqrt{2}}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $(Y_{CM})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $Y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$।
घटक और उनके संबंधित द्रव्यमान $(m_i)$ और $y$-निर्देशांक $(y_i)$ इस प्रकार हैं:
$1$. बाहरी वृत्त: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. बायां आंतरिक वृत्त: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. दायां आंतरिक वृत्त: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ऊर्ध्वाधर रेखा: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. क्षैतिज रेखा: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
कुल द्रव्यमान $M = 6m + m + m + m + m = 10m$ है।
$Y_{CM}$ की गणना:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$।

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$,$y$-दिशा में स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = b / 2$ होगा।
$x$-निर्देशांक के लिए,हम मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी पर विचार करते हैं।
इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \left(\frac{\sigma_0 x}{ab}\right) (b dx) = \frac{\sigma_0}{a} x dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_0^a x \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}{\int_0^a \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}$
$x_{cm} = \frac{\int_0^a x^2 dx}{\int_0^a x dx} = \frac{[x^3 / 3]_0^a}{[x^2 / 2]_0^a} = \frac{a^3 / 3}{a^2 / 2} = \frac{2}{3} a$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$ पर स्थित है।

(D) माना छड़ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda$ है। कुल लंबाई $5L$ है,इसलिए कुल द्रव्यमान $M = 5L\lambda$ है। दो खंडों की लंबाई $2L$ और $3L$ है,जिनके द्रव्यमान $m_1 = 2L\lambda$ और $m_2 = 3L\lambda$ हैं।
$x$-अक्ष पर $2L$ लंबाई वाले क्षैतिज खंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (L, 0)$ पर है।
$y$-अक्ष पर $3L$ लंबाई वाले ऊर्ध्वाधर खंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (0, 1.5L)$ पर है।
$L = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $m_1 = 20\lambda$ और $m_2 = 30\lambda$ है। निर्देशांक $(x_1, y_1) = (10, 0)$ और $(x_2, y_2) = (0, 15)$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $x_{com} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(10) + 30\lambda(0)}{50\lambda} = \frac{200}{50} = 4 \ cm$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{com} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(0) + 30\lambda(15)}{50\lambda} = \frac{450}{50} = 9 \ cm$ है।
अतः,स्थिति सदिश $\vec{r}_{com} = 4 \hat{i} + 9 \hat{j}$ है।

(C) एक सतत पिंड के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{com} = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{dm}{dx} = kx^3$ है,इसलिए $dm = kx^3 \cdot dx$ होगा।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{com} = \frac{\int_0^L x(kx^3) dx}{\int_0^L kx^3 dx}$
$X_{com} = \frac{k \int_0^L x^4 dx}{k \int_0^L x^3 dx}$
$X_{com} = \frac{[x^5/5]_0^L}{[x^4/4]_0^L}$
$X_{com} = \frac{L^5/5}{L^4/4} = \frac{4L}{5}$.

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $R_1$,$R_2$ और $R_3$ हैं,जिनका द्रव्यमान $m$ है।
$1$. छड़ $R_1$,$x$-अक्ष पर $(0,0)$ से $(2a,0)$ तक स्थित है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (a, 0)$ पर है।
$2$. छड़ $R_2$,$y$-अक्ष पर $(0,0)$ से $(0,a)$ तक स्थित है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (0, a/2)$ पर है।
$3$. छड़ $R_3$,$(2a,0)$ और $(0,a)$ को जोड़ती है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_3, y_3) = (a, a/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$X_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3)}{3m} = \frac{a + 0 + a}{3} = \frac{2a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(y_1 + y_2 + y_3)}{3m} = \frac{0 + a/2 + a/2}{3} = \frac{a}{3}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right)$ पर है।

(B) दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिति सदिश $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा परिभाषित होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश दोनों कणों के स्थिति सदिशों का भारित औसत है,इसलिए इसे दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा पर ही स्थित होना चाहिए।
यदि द्रव्यमान समान हैं $(m_1 = m_2)$,तो द्रव्यमान केंद्र ठीक मध्य-बिंदु पर होता है।
यदि द्रव्यमान अलग-अलग हैं,तो यह भारी द्रव्यमान के करीब होता है,लेकिन यह हमेशा दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा पर ही रहता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) चूंकि तीनों गेंदें समान हैं और उनकी त्रिज्या भी समान है,इसलिए उनका द्रव्यमान बराबर है। मान लीजिए प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान '$m$' है।
मान लीजिए तीनों गेंदों के केंद्रों के निर्देशांक $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{m x_1 + m x_2 + m x_3}{m + m + m} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m y_1 + m y_2 + m y_3}{m + m + m} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
ये निर्देशांक गेंदों के केंद्रों द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक (centroid) दर्शाते हैं।
त्रिभुज का केंद्रक उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।