Effect of Internal and External Force on Centre of Mass Questions in Hindi

(B) प्रारंभ में निकाय स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{CM} = 0$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि बंदर जमीन के सापेक्ष $d_1$ दूरी तय करता है और गुब्बारा जमीन के सापेक्ष $d_2$ दूरी तय करता है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के नियम से: $m d_1 = M d_2$।
चूंकि बंदर गुब्बारे के सापेक्ष $L$ दूरी चढ़ता है,इसलिए जमीन के सापेक्ष बंदर द्वारा तय की गई कुल दूरी $d_1 = L - d_2$ है।
इस मान को संरक्षण समीकरण में रखने पर: $m(L - d_2) = M d_2$।
$mL - m d_2 = M d_2$।
$mL = (m + M) d_2$।
अतः,गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = \frac{mL}{m + M}$ है।

(A) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$.
इस प्रश्न में,दो गोले अपने आपसी गुरुत्वाकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं।
यह गुरुत्वाकर्षण बल दो गोलों से बने निकाय का एक आंतरिक बल है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होना चाहिए।
अतः,$a_{cm} = 0\,m/s^2$।

(D) निकाय में ट्रॉली और दो व्यक्ति शामिल हैं। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी क्षैतिज बल शून्य है $(F_{ext, x} = 0)$।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है। चूंकि निकाय शुरू में स्थिर था,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग शून्य रहता है।
मान लीजिए $m_1$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का क्षैतिज वेग बाईं ओर $v$ है और $m_2$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का वेग दाईं ओर $v$ है। मान लीजिए ट्रॉली का वेग दाईं ओर $V$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण लागू करने पर:
$m_1(-v) + m_2(v) + MV = 0$
$MV = m_1v - m_2v$
$V = \frac{(m_1 - m_2)v}{M}$
यदि $m_1 > m_2$ है,तो $V > 0$,जिसका अर्थ है कि ट्रॉली दाईं ओर ($B$ सिरे की ओर) चलती है।
यदि $m_2 > m_1$ है,तो $V < 0$,जिसका अर्थ है कि ट्रॉली बाईं ओर ($A$ सिरे की ओर) चलती है।
इस प्रकार,ट्रॉली उस सिरे की ओर बढ़ती है जहाँ कम द्रव्यमान वाला व्यक्ति खड़ा था,जिसका अर्थ है कि यह अधिक द्रव्यमान वाले व्यक्ति से दूर जाती है। इसलिए,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(B) न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,आंतरिक बल हमेशा क्रिया-प्रतिक्रिया युग्मों में मौजूद होते हैं।
चूंकि ये बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए उनका सदिश योग हमेशा शून्य होता है।
अतः,निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,आंतरिक बल निकाय के व्यक्तिगत कणों पर कार्य कर सकते हैं,जिससे निकाय की कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन हो सकता है।

(D) कणों के निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल और द्रव्यमान केंद्र का त्वरण इस समीकरण द्वारा संबंधित हैं: $\vec{F}_{ext} = M \vec{a}_{CM}$।
इसका अर्थ है कि त्वरण सदिश $\vec{a}_{CM}$ को बाह्य बल सदिश $\vec{F}_{ext}$ की दिशा में ही होना चाहिए।
यहाँ $\vec{F}_{ext} = 10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 25 \hat{k} = 5(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k})$ है।
और $\vec{a}_{CM} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ दिया गया है।
घटकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि बल का $z$-घटक धनात्मक $(+25 \hat{k})$ है,जबकि त्वरण का $z$-घटक ऋणात्मक $(-5 \hat{k})$ है।
चूंकि सदिश एक ही दिशा में नहीं हैं,इसलिए दी गई जानकारी भौतिक रूप से असंगत है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति $y_B = 0$ है और आदमी की स्थिति $y_m = -l$ है। चूंकि प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र ऊर्ध्वाधर स्थिति में नहीं बदलेगा।
प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $Y_{cm} = \frac{M(0) + m(-l)}{M + m} = \frac{-ml}{M + m}$ है।
आदमी के ऊपर चढ़ने के बाद,गुब्बारा $h$ ऊँचाई नीचे उतर जाता है। गुब्बारे की नई स्थिति $y'_B = -h$ है और आदमी की स्थिति $y'_m = -h$ है।
नया द्रव्यमान केंद्र $Y'_{cm} = \frac{M(-h) + m(-h)}{M + m} = -h$ है।
$Y_{cm} = Y'_{cm}$ को बराबर करने पर,हमें $\frac{-ml}{M + m} = -h$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ml = h(M + m) = Mh + mh$,इसलिए $Mh = m(l - h)$ है।
आदमी की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE_m = mg(y'_m - y_m) = mg(-h - (-l)) = mg(l - h)$ है।

(A) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस निकाय में,दोनों गोले अपने आपसी गुरुत्वाकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल दोनों गोलों से बने निकाय के लिए एक आंतरिक बल है,इसलिए निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है $(F_{ext} = 0)$।
इसलिए,निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = 0/M_{total} = 0 \ m/s^2$ होगा।

(A) न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,आंतरिक बल हमेशा समान और विपरीत जोड़े में मौजूद होते हैं।
चूंकि एक निकाय में आंतरिक बलों का योग हमेशा शून्य होता है,इसलिए आंतरिक बलों के कारण निकाय पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}$। चूंकि $\vec{F}_{int} = 0$ है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग $\vec{p}$ स्थिर रहता है।
हालाँकि,आंतरिक बल निकाय के कणों पर कार्य कर सकते हैं,जो आंतरिक ऊर्जा या व्यक्तिगत कणों की गतिज ऊर्जा को बदल देते हैं।
इसलिए,आंतरिक बल निकाय के कुल रैखिक संवेग को बदले बिना उसकी गतिज ऊर्जा को बदल सकते हैं।

(C) द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $F_{\text{ext}} = M a_{CM}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि कुल बाह्य बल $F_{\text{ext}} = 0$ है,तो $a_{CM} = 0$ होता है। इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{CM}$ स्थिर रहता है। यदि निकाय प्रारंभ में स्थिर है,तो वह स्थिर रहेगा। यदि यह गति में है,तो यह एक समान वेग से गति करना जारी रखेगा। अतः,यह कथन कि द्रव्यमान केंद्र किसी भी दिशा में गति नहीं करेगा,केवल तभी सत्य है यदि प्रारंभिक वेग शून्य हो।
$Reason$ कहता है कि यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो रैखिक संवेग बदल जाता है। यह गलत है क्योंकि न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार $\frac{dP}{dt} = F_{\text{ext}}$ होता है। यदि $F_{\text{ext}} = 0$ है,तो $\frac{dP}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि रैखिक संवेग $P$ संरक्षित (स्थिर) रहता है,बदलता नहीं है।
अतः,$Assertion$ सही है (स्थिर निकाय के संदर्भ में) लेकिन $Reason$ स्पष्ट रूप से गलत है।

$n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_{1} \vec{r}_{1} + m_{2} \vec{r}_{2} + \dots + m_{n} \vec{r}_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r}_{i}$
जहाँ $M = \sum m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
बल ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन करके वेग प्राप्त करते हैं:
$\vec{V}_{cm} = \frac{d\vec{R}_{cm}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}$
$M \vec{V}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i} \quad (1)$
समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर त्वरण प्राप्त होता है:
$M \frac{d\vec{V}_{cm}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d\vec{v}_{i}}{dt}$
$M \vec{A}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
चूंकि $i$-वें कण पर बल $\vec{F}_{i} = m_{i} \vec{a}_{i}$ है,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल $\vec{F}_{ext}$ सभी व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\vec{F}_{ext} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
अतः,$M \vec{A}_{cm} = \vec{F}_{ext}$।
यह दर्शाता है कि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल,निकाय के कुल द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है।

(C) कणों के निकाय पर दो प्रकार के बल कार्य कर सकते हैं:
$1$. आंतरिक बल: ये वे बल हैं जो निकाय के एक कण द्वारा उसी निकाय के दूसरे कण पर लगाए जाते हैं। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,ये बल क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म में होते हैं और इनका सदिश योग हमेशा शून्य होता है।
$2$. बाह्य बल: ये वे बल हैं जो निकाय के बाहर के कारकों द्वारा निकाय के कणों पर लगाए जाते हैं। ये बल निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होते हैं।

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,आंतरिक बल हमेशा क्रिया-प्रतिक्रिया युग्मों में मौजूद होते हैं,जिसका अर्थ है कि निकाय के एक भाग द्वारा दूसरे भाग पर लगाए गए प्रत्येक बल के लिए,एक समान और विपरीत बल वापस कार्य करता है।
गणितीय रूप से,यदि $\vec{F}_{ij}$ कण $j$ द्वारा कण $i$ पर लगाया गया बल है,तो $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$ होता है।
कुल आंतरिक बल $\vec{F}_{int}$ ऐसे सभी युग्मों का सदिश योग है: $\vec{F}_{int} = \sum \vec{F}_{ij} = 0$।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{\vec{F}_{ext} + \vec{F}_{int}}{M}$ द्वारा दिया जाता है,और $\vec{F}_{int} = 0$ है,इसलिए आंतरिक बलों का द्रव्यमान केंद्र की गति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए,उनकी उपेक्षा की जाती है।

(A) कणों के निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल $F_{ext}$,निकाय के कुल द्रव्यमान $M$ और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण $a_{cm}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F_{ext} = M \cdot a_{cm}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,कुल द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का गुणनफल निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल को दर्शाता है।

(B) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है।
कणों के निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{ext} = M A_{cm}$,जहाँ $F_{ext}$ सभी बाह्य बलों का योग है,$M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है,और $A_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है।
न्यूटन के तीसरे नियम के कारण आंतरिक बल एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं और द्रव्यमान केंद्र के त्वरण में कोई योगदान नहीं देते हैं।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र केवल बाह्य बलों के प्रभाव में ही गति करता है।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति $F_{ext} = M a_{cm}$ समीकरण द्वारा निर्धारित होती है,जहाँ $F_{ext}$ निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल है और $M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
आंतरिक बल वे बल हैं जो निकाय के कण एक-दूसरे पर लगाते हैं। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,ये बल समान और विपरीत जोड़ों में होते हैं,इसलिए उनका सदिश योग हमेशा शून्य होता है।
इसलिए,आंतरिक बल निकाय के द्रव्यमान केंद्र के त्वरण या गति को प्रभावित नहीं करते हैं।
बम विस्फोट के मामले में,विस्फोट आंतरिक रासायनिक बलों के कारण होता है। ये बल द्रव्यमान केंद्र के प्रक्षेप पथ को नहीं बदलते हैं,जो गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्धारित मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।

(N/A) कणों के निकाय के लिए,न्यूटन का गति का दूसरा नियम बताता है कि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल निकाय के कुल रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{P}}{dt}$,जहाँ $\vec{F}_{ext}$ निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का योग है और $\vec{P}$ निकाय का कुल रैखिक संवेग है।
चूंकि कुल रैखिक संवेग $\vec{P}$,$M\vec{v}_{cm}$ के बराबर होता है (जहाँ $M$ कुल द्रव्यमान है और $\vec{v}_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है),इसलिए इस नियम को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$,जहाँ $\vec{a}_{cm}$ निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है।

(A) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M}$,जहाँ $F_{ext}$ निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल है और $M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि कुल बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है,इसलिए $a_{cm} = \frac{0}{M} = 0$ होगा।
चूंकि त्वरण $a_{cm} = \frac{dv_{cm}}{dt} = 0$ है,इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm}$ समय के साथ नियत रहना चाहिए।
अतः,यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है और इसका वेग नियत रहता है।

(A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय के कणों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक बल हमेशा समान परिमाण और विपरीत दिशा के जोड़ों में होते हैं।
चूंकि इन आंतरिक बलों का सदिश योग शून्य होता है,इसलिए वे निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल में योगदान नहीं देते हैं।
परिणामस्वरूप,निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण केवल कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होता है,जिसे $F_{ext} = M a_{cm}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय के रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के बराबर होती है: $\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
चूंकि आंतरिक बल हमेशा क्रिया-प्रतिक्रिया युग्मों में होते हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है। अतः,आंतरिक बल किसी निकाय के कुल रैखिक संवेग को परिवर्तित नहीं कर सकते हैं।
हालाँकि,आंतरिक बल निकाय के कणों पर कार्य कर सकते हैं,जो निकाय के आंतरिक विन्यास या कणों के सापेक्ष वेग को बदल सकते हैं,जिससे निकाय की कुल गतिज ऊर्जा परिवर्तित हो जाती है।
इस प्रकार,आंतरिक बल निकाय की गतिज ऊर्जा को बदल सकते हैं,लेकिन रैखिक संवेग को नहीं।

(C) कथन $(A)$ असत्य है। द्रव्यमान केंद्र के परितः बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति का अर्थ है कि पिंड का कोणीय संवेग नियत रहता है,न कि द्रव्यमान केंद्र का वेग। द्रव्यमान केंद्र का वेग केवल तभी नियत रहता है जब पिंड पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य हो।
कारण $(R)$ सत्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय (जहाँ कुल बाह्य बल शून्य हो) का रैखिक संवेग नियत रहता है।
चूंकि कथन असत्य है और कारण सत्य है,इसलिए सही विकल्प $(C)$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय के रैखिक संवेग में परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के बराबर होती है $(F_{ext} = dp/dt)$। इसलिए,आंतरिक बल किसी निकाय के कुल रैखिक संवेग को नहीं बदल सकते हैं।
हालाँकि,आंतरिक बल किसी निकाय के कणों पर कार्य कर सकते हैं,जो निकाय की आंतरिक विन्यास या कणों के सापेक्ष वेग को बदल सकते हैं,जिससे निकाय की कुल गतिज ऊर्जा बदल सकती है।

(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र की स्थिति निकाय का एक भौतिक गुण है और यह निर्देशांक प्रणाली के चयन से स्वतंत्र है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र की गति निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है,अर्थात $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि आंतरिक बल हमेशा क्रिया-प्रतिक्रिया युग्मों में होते हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि वे द्रव्यमान केंद्र के वेग या त्वरण को नहीं बदल सकते हैं।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि आंतरिक बल द्रव्यमान केंद्र की अवस्था को नहीं बदल सकते हैं।
अतः,कथन $(A)$ और $(D)$ गलत हैं।