यदि $3\, m$ लम्बे छड़ का रेखीय घनत्व $x$ के समानुपाती हो। जहां $x$ छड़ के एक सिरे से किसी बिन्दु की दूरी है, इस सिरे से छड़ के गुरूत्व-केन्द्र की दूरी का मान होगा

$HCl$ अणु में दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच पृथकन लगभग $1.27 \;\mathring A\left(1\; \mathring A=10^{-10} \;m \right)$ है । इस अणु के द्रव्यमान केंद्र की लगभग अवस्थिति ज्ञात कीजिए । यह ज्ञात है कि क्लोरीन का परमाणु हाइड्रोजन के परमाणु की तुलना में $35.5$ गुना भारी होता है तथा किसी परमाणु का समस्त द्रव्यमान उसके नाभिक पर केंद्रित होता है ।

माना द्रव्यमानों ${m_1}$ तथा ${m_2}$ के दो कणों का एक निकाय है। यदि द्रव्यमान ${m_1}$ को निकाय के द्रव्यमान केन्द्र की ओर $d$ दूरी तक धकेला जाता है, तो द्रव्यमान ${m_2}$ को कितनी दूरी तक विस्थापित करना पड़ेगा, जिससे कणों के निकाय का द्रव्यमान केन्द्र पूर्ववत रहे

$50\, g , 100 \,g$ तथा $150 \,g$ के तीन कणों को चित्रानुसार $1\, m$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के कोनों पर रखा है। इस निकाय के द्रव्यमान केन्द्र ( $x$ तथा $y$ ) के निर्देशांक होंगे।

$(1)$ किसी वस्तु का गुरुत्व केन्द्र वह बिन्दु होता है जिस पर वस्तु का भार कार्य करता है।

$(2)$ द्रव्यमान केन्द्र, गुरुत्वीय केन्द्र के संपाती होगा यदि पृथ्वी की त्रिज्या को अनंत रूप से बड़ा माना जाए।

$(3)$ किसी बाहरी बिन्दु पर किसी पिण्ड के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता का आकलन करने के लिए, पिण्ड के सम्पूर्ण द्रव्यमान को इसके गुरुत्वीय केन्द्र पर संकेंद्रित माना जा सकता है।

$(4)$ किसी अक्ष के परितः घूमने वाले किसी पिण्ड की घूर्णन त्रिज्या, उस पिण्ड के गुरुत्व केन्द्र से अक्ष पर डाले गए लम्ब की लंबाई होती है।

निम्न में से कथनों का कौन-सा युग्म सही है?

एक समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई a है। $m, 2\, m, 3\, m$ एवं $4\, m$ द्रव्यमान के चार कण समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों पर स्थित हैं। चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं के बीच कोण $60^o$ है। यह चतुर्भुज $x-y$ तल में स्थित है, एवं m मूल बिन्दु पर एवं $4 \,m \,x-$अक्ष पर स्थित हैं। इस निकाय के द्रव्यमान केन्द्र के निर्देशांक है