$(1)$ किसी वस्तु का गुरुत्व केन्द्र वह बिन्दु होता है जिस पर वस्तु का भार कार्य करता है।

$(2)$ द्रव्यमान केन्द्र, गुरुत्वीय केन्द्र के संपाती होगा यदि पृथ्वी की त्रिज्या को अनंत रूप से बड़ा माना जाए।

$(3)$ किसी बाहरी बिन्दु पर किसी पिण्ड के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता का आकलन करने के लिए, पिण्ड के सम्पूर्ण द्रव्यमान को इसके गुरुत्वीय केन्द्र पर संकेंद्रित माना जा सकता है।

$(4)$ किसी अक्ष के परितः घूमने वाले किसी पिण्ड की घूर्णन त्रिज्या, उस पिण्ड के गुरुत्व केन्द्र से अक्ष पर डाले गए लम्ब की लंबाई होती है।

निम्न में से कथनों का कौन-सा युग्म सही है?

चित्र में दिखाये गये झण्डे के आकार के $4\, kg$ द्रव्यमान वाले एक समतल एकसमान प्लेट के संहति केन्द्र के निर्देशक बिन्दु होंगे :

$\theta$ कोणीय आकार के एक समान ठोस समतल वृत्त खंड जिसकी त्रिज्या $R$ है, के शीर्ष एवं गुरुत्वीय केंद्र के बीच की दूरी क्या होगी?

दिखाये गये चित्रानुसार जब $R$ त्रिज्या के एक एकसमान गोले में (गोले का केन्द्र $C$ पर है) $1$ त्रिज्या की एक गुहिका (cavity) बनाई जाती है (गुहिका का केन्द्र $O$ पर है) तो बचे हुए हिस्से (छायादित) का द्रव्यमान केन्द्र $C$ बिन्दु (जो कि गुहिका की सतह पर है) है। ऐसे में $R$ का मान निम्न में से कौन सी समीकरण द्वारा ज्ञात किया जा सकता है ?

आरेख में दर्शाए अनुसार त्रिज्या, $'a'$ की किसी वत्ताकार डिस्क में से त्रिज्या, $\left(\frac{ a }{2}\right)$ का कोई छिद्र काट कर बाहर निकाला गया है। बिन्दु $'O'$ के सापेक्ष शेष बचे वत्ताकार भाग का केन्द्रक किस दूरी पर होगा ?