Motion of Centre of Mass Questions in Hindi

(B) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की स्थिति स्थिर रहती है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र है: $X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$।
यहाँ,$M_1 = M$,$x_1 = 0$,$M_2 = M$,और $x_2 = 10\, m$ है।
$X_{cm} = \frac{M(0) + M(10)}{M + M} = \frac{10M}{2M} = 5\, m$।
जैसे ही आदमी रस्सी खींचता है,दोनों एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं और द्रव्यमान केंद्र की स्थिति पर मिलते हैं,जो $x = 5\, m$ है।

(A) एटवुड मशीन में प्रत्येक द्रव्यमान के त्वरण का परिमाण $a = \left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)g$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $m_1$ के लिए नीचे की दिशा धनात्मक है और $m_2$ के लिए ऊपर की दिशा धनात्मक है। तब त्वरण सदिश $\vec{a_1} = a \hat{j}$ और $\vec{a_2} = -a \hat{j}$ होंगे।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(A_{cm})$ इस प्रकार है:
$A_{cm} = \frac{m_1 \vec{a_1} + m_2 \vec{a_2}}{m_1 + m_2}$
$A_{cm} = \frac{m_1 (a) - m_2 (a)}{m_1 + m_2} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) a$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$A_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \times \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
$A_{cm} = {\left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)^2}g$

(A) जब एक बम को फेंका जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के कारण परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है। जब हवा में विस्फोट होता है,तो विस्फोट से उत्पन्न आंतरिक बलों के कारण टुकड़े अलग-अलग दिशाओं में गति करते हैं।
चूंकि आंतरिक बल द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ की गति को नहीं बदल सकते हैं,इसलिए $COM$ उसी मूल परवलयाकार पथ पर गति करना जारी रखता है जैसे कि विस्फोट हुआ ही न हो।
$COM$ की गति केवल बाहरी बलों द्वारा निर्धारित होती है,जो इस मामले में केवल गुरुत्वाकर्षण बल है।

(D) यह निकाय दो कणों से बना है और इस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल शून्य है,तो निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ स्थिर रहता है।
चूंकि कुल बाहरी बल $0$ है,इसलिए कणों के आंतरिक सापेक्ष वेग में परिवर्तन होने के बावजूद द्रव्यमान केंद्र का वेग नहीं बदलता है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $0.5\ m/s$ है,इसलिए जब दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $3\ m/s$ हो जाता है तब भी यह $0.5\ m/s$ ही रहेगा।

(C) माना कि प्रत्येक समान कण का द्रव्यमान $M$ है।
पहले कण का वेग $v_1 = 2v$ है और दूसरे कण का वेग $v_2 = v$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $(V_{COM})$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$V_{COM} = \frac{M_1 v_1 + M_2 v_2}{M_1 + M_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V_{COM} = \frac{M(2v) + M(v)}{M + M}$
$V_{COM} = \frac{3Mv}{2M}$
$V_{COM} = \frac{3v}{2}$

(B) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले बाह्य बलों द्वारा निर्धारित होती है।
इस स्थिति में,निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण है,जो पूरे निकाय के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है।
चूँकि आंतरिक बल (जो पिंड को तोड़ने का कारण बनते हैं) द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं करते हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र मूल पिंड $A$ के समान पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।
अतः,$B$ और $C$ के संयुक्त निकाय का द्रव्यमान केंद्र $A$ के पथ के सापेक्ष विस्थापित नहीं होता है।

(C) प्रक्षेप्य का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ परास $R = 100 \ m$ पर गिरता।
चूंकि विस्फोट एक आंतरिक बल है,$COM$ मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।
मान लीजिए कि तीन टुकड़ों का द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m_3 = m$ है।
मान लीजिए कि जमीन पर उतरते समय उनकी स्थिति $x_1, x_2, x_3$ है।
दिया गया है: $x_1 = 0$ (प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आता है),$x_2 = R/2 = 50 \ m$ (उच्चतम बिंदु पर स्थिर हो जाता है,इसलिए यह सीधे नीचे गिरता है),और $x_{COM} = R = 100 \ m$।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{COM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $100 = \frac{m(0) + m(50) + m(x_3)}{3m}$।
$300 = 50 + x_3$।
$x_3 = 300 - 50 = 250 \ m$.

(D) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $(V_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
दिया गया है:
$m_1 = 2 \ kg$,$v_1 = 3 \ m/s$
$m_2 = 3 \ kg$,$v_2 = 2 \ m/s$
मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_{cm} = \frac{(2 \ kg)(3 \ m/s) + (3 \ kg)(2 \ m/s)}{2 \ kg + 3 \ kg}$
$V_{cm} = \frac{6 + 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \ m/s$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग $2.4 \ m/s$ है।

(A) दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_1 = 2 \ m/s$,$u_2 = 5 \ m/s$.
स्थिति $1$: दोनों कण एक ही दिशा में गति करते हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(5)}{2 + 1} = \frac{4 + 5}{3} = 3 \ m/s$. अतः,$v_1 = 3 \ m/s$.
स्थिति $2$: दोनों कण विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
मान लीजिए $u_1 = 2 \ m/s$ और $u_2 = -5 \ m/s$.
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-5)}{2 + 1} = \frac{4 - 5}{3} = -1/3 \ m/s$.
गति वेग का परिमाण है,इसलिए $v_2 = |-1/3| = 1/3 \ m/s$.

(C) यह निकाय दो व्यक्तियों और नाव से मिलकर बना है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है (पानी के प्रतिरोध को नगण्य माना गया है और नाव स्थिर पानी में है),इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $0 \ m$ होगा।

(C) द्रव्यमान-केंद्र का वेग $(v_{cm})$ ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
चूंकि कणों का द्रव्यमान समान है,मान लीजिए $m_1 = m_2 = m$ है।
पहले कण की दिशा को धनात्मक लेने पर,पहले कण का वेग $v_1 = 2v$ और दूसरे कण का वेग $v_2 = -v$ होगा (क्योंकि वे एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{cm} = \frac{m(2v) + m(-v)}{m + m}$
$v_{cm} = \frac{2mv - mv}{2m}$
$v_{cm} = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$

(D) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति केवल उस पर कार्य करने वाले बाह्य बलों पर निर्भर करती है।
इस स्थिति में,पिंड $A$ (और बाद में भागों $B$ और $C$ के निकाय) पर कार्य करने वाला एकमात्र बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो नीचे की ओर $g$ के बराबर त्वरण उत्पन्न करता है।
चूंकि टूटने की प्रक्रिया के दौरान बाह्य बल अपरिवर्तित रहता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $g$ ही रहता है।
अतः,भागों $B$ और $C$ से बने निकाय के द्रव्यमान केंद्र का प्रक्षेप पथ मूल पिंड $A$ के पथ का ही अनुसरण करता है।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र मूल पिंड $A$ के पथ के सापेक्ष विस्थापित नहीं होता है।

(D) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थान पर बनाए रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta R_{cm} = 0$।
इसलिए,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$।
माना कि पहले कण $(m_1)$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta r_1 = d$।
माना कि दूसरे कण $(m_2)$ को विपरीत दिशा में $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta r_2 = -x$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $m_1 d + m_2 (-x) = 0$।
$m_1 d = m_2 x$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{m_1}{m_2} d$ प्राप्त होता है।

(D) एटवुड मशीन में प्रत्येक पिंड का त्वरण $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,$m_1$ द्रव्यमान का त्वरण $\vec{a}_1 = a \hat{j}$ और $m_2$ द्रव्यमान का त्वरण $\vec{a}_2 = -a \hat{j}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 (a) + m_2 (-a)}{m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - m_2) a}{m_1 + m_2}$ प्राप्त होता है।
अब,$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\vec{a}_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \right) = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$।

(A) चूंकि निकाय (ट्रॉली + पिस्तौल + गोली) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि ट्रॉली का विस्थापन $\Delta x_1$ है और जमीन के सापेक्ष गोली का विस्थापन $\Delta x_2$ है।
द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $\Delta x_{cm} = \frac{M \Delta x_1 + m \Delta x_2}{M + m} = 0$ होता है।
यहाँ,गोली ट्रॉली के सापेक्ष $L$ दूरी तय करती है। यदि ट्रॉली $\Delta x_1$ दूरी तय करती है (बाईं ओर,इसलिए $\Delta x_1$ ऋणात्मक है),तो जमीन के सापेक्ष गोली का विस्थापन $\Delta x_2 = L + \Delta x_1$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $M \Delta x_1 + m(L + \Delta x_1) = 0$.
$M \Delta x_1 + mL + m \Delta x_1 = 0$.
$(M + m) \Delta x_1 = -mL$.
$\Delta x_1 = -\frac{m}{M+m} L$.
नोट: दिया गया विकल्प $A$,$-\frac{m}{M} L$ है,जो $m \ll M$ की धारणा के तहत एक अनुमानित मान है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $A$ सही माना गया है।

(A) यह निकाय दो कणों से बना है जो अपने आपसी आंतरिक आकर्षण के प्रभाव में गति कर रहे हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण स्थिर हैं,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{CM, initial} = 0$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग किसी भी क्षण $0$ ही रहेगा।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति $0$ होगी।

(C) निकाय नाव और दो व्यक्तियों से मिलकर बना है।
चूंकि नाव स्थिर पानी में है और निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है (व्यक्ति की गति में शामिल बल निकाय के आंतरिक बल हैं),इसलिए निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल शून्य है,तो निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,निकाय का द्रव्यमान केंद्र विस्थापित नहीं होता है।
अतः,विस्थापन $0\, m$ है।

(B) चूँकि व्यक्ति गुरुत्वाकर्षण मुक्त स्थान में है,इसलिए व्यक्ति-पत्थर निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि जब पत्थर फर्श पर पहुँचता है तो व्यक्ति $x$ दूरी ऊपर चला जाता है।
द्रव्यमान केंद्र के सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन शून्य है:
$M_{man} \cdot \Delta x_{man} + M_{stone} \cdot \Delta x_{stone} = 0$
यहाँ,पत्थर नीचे की ओर $10\, m$ चलता है (इसलिए $\Delta x_{stone} = -10\, m$) और व्यक्ति ऊपर की ओर $x$ चलता है (इसलिए $\Delta x_{man} = x$)।
$50 \cdot x + 0.5 \cdot (-10) = 0$
$50x = 5$
$x = \frac{5}{50} = 0.1\, m$
अतः,फर्श से व्यक्ति की अंतिम ऊँचाई $10 + x = 10 + 0.1 = 10.1\, m$ होगी।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ ज्ञात करने का सूत्र: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$ है।
दिया गया है: $m_1 = 200 \ g$,$\vec{v}_1 = 10\hat{i} \ m/s$,$m_2 = 500 \ g$,$\vec{v}_2 = 3\hat{i} + 5\hat{j} \ m/s$.
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{200(10\hat{i}) + 500(3\hat{i} + 5\hat{j})}{200 + 500}$.
$\vec{v}_{cm} = \frac{2000\hat{i} + 1500\hat{i} + 2500\hat{j}}{700}$.
$\vec{v}_{cm} = \frac{3500\hat{i} + 2500\hat{j}}{700}$.
$\vec{v}_{cm} = 5\hat{i} + \frac{25}{7}\hat{j} \ m/s$.

(D) दोनों गोलों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $12R$ है।
संघट्ट तब होता है जब उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर हो जाती है,जो $R + 2R = 3R$ है।
अतः,टकराने के लिए दोनों वस्तुओं द्वारा तय की गई कुल दूरी $12R - 3R = 9R$ है।
चूँकि निकाय मुक्त आकाश में है और केवल आंतरिक गुरुत्वाकर्षण बल कार्य कर रहे हैं,निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना छोटी वस्तु (द्रव्यमान $M$) द्वारा तय की गई दूरी $x$ है और बड़ी वस्तु (द्रव्यमान $5M$) द्वारा तय की गई दूरी $y$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुणधर्म से,$M x = (5M) y$।
हम जानते हैं कि $x + y = 9R$,इसलिए $y = 9R - x$।
समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $M x = 5M (9R - x)$।
$x = 45R - 5x$।
$6x = 45R$।
$x = 7.5R$।

(D) द्रव्यमान केंद्र के वेग का सूत्र है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$।
दिया गया है: $m_1 = 2\ kg$,$v_1 = 3\ m/s$,$m_2 = 3\ kg$,$v_2 = 2\ m/s$।
मान रखने पर: $\vec{v}_{cm} = \frac{2 \times 3 + 3 \times 2}{2 + 3}$।
$\vec{v}_{cm} = \frac{6 + 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4\ m/s$।

(B) दो कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
दिया गया है: $m_1 = 2\ kg$,$v_1 = 2\ m/s$,$m_2 = 4\ kg$,$v_2 = 10\ m/s$.
चूंकि दोनों पिंड एक ही दिशा में गति कर रहे हैं,इसलिए हम उनके वेग को धनात्मक मान सकते हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{(2 \times 2) + (4 \times 10)}{2 + 4} = \frac{4 + 40}{6} = \frac{44}{6} = 7.33\ m/s$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $7.3\ m/s$ प्राप्त होता है।

(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$.
मान लीजिए पहले पिंड का वेग $\vec{v}_1 = 20 \ m/s$ है (धनात्मक दिशा में)।
चूंकि पिंड एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए दूसरे पिंड का वेग $\vec{v}_2 = -10 \ m/s$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{(2 \times 20) + (4 \times -10)}{2 + 4} = \frac{40 - 40}{6} = \frac{0}{6} = 0 \ m/s$.
चूंकि निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बल आपसी गुरुत्वाकर्षण बल (आंतरिक बल) है,इसलिए निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है। अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है। प्रारंभिक संवेग शून्य होने के कारण,द्रव्यमान केंद्र का वेग $0 \ m/s$ होगा।

(A) किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र उस पर कार्य करने वाले कुल बाहरी बल के अनुसार गति करता है,जिसे समीकरण $F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$ द्वारा दिया जाता है।
इस निकाय में,कण अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,जो कि एक आंतरिक बल है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ शून्य है।
यह देखते हुए कि कण शुरू में स्थिर थे,द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $(v_{cm})$ शून्य था।
चूंकि $a_{cm} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग किसी भी समय $t$ के लिए अपने प्रारंभिक मान शून्य पर स्थिर रहता है।

(A) द्रव्यमान केंद्र का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
दिया गया है:
$m_1 = 20 \ kg$,$\vec{v}_1 = 2v$
$m_2 = 10 \ kg$,$\vec{v}_2 = v$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{20 \times 2v + 10 \times v}{20 + 10}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{40v + 10v}{30}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{50v}{30} = \frac{5}{3}v$

(D) वस्तु $A$ गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में नीचे गिर रही है,जो निकाय पर कार्य करने वाला एक बाह्य बल है। हालाँकि,वस्तु का दो भागों $B$ और $C$ में टूटना आंतरिक बलों के कारण होता है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,आंतरिक बल निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति या गति में कोई परिवर्तन नहीं करते हैं।
चूँकि बाह्य बल (गुरुत्वाकर्षण) पूरे निकाय पर कार्य करता है,इसलिए भागों $B$ और $C$ का संयुक्त द्रव्यमान केंद्र उसी प्रक्षेप पथ का अनुसरण करेगा जो मूल वस्तु $A$ का था।
अतः,द्रव्यमान केंद्र मूल वस्तु $A$ के पथ के सापेक्ष विस्थापित नहीं होगा।

(A) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि कण प्रारम्भ में विरामावस्था में हैं,निकाय का प्रारम्भिक संवेग $P_{initial} = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल संवेग नियत रहता है।
यहाँ,कण परस्पर आकर्षण (आंतरिक बलों) के कारण गति करते हैं,इसलिए निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है और अपने प्रारम्भिक वेग के बराबर होता है।
चूँकि निकाय विरामावस्था से शुरू हुआ था,इसलिए हर समय $v_{cm} = 0$ होगा।

(B) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $M$ है और तख्ते का द्रव्यमान $m = \frac{M}{3}$ है।
चूंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना तख्ते का जमीन के सापेक्ष विस्थापन $x$ है,जो व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $(L - x)$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M(L - x) = m(x)$।
$m = \frac{M}{3}$ रखने पर:
$M(L - x) = \frac{M}{3} x$
$L - x = \frac{x}{3}$
$L = x + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3}$
$x = \frac{3L}{4}$ (यह तख्ते का विस्थापन है)।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $L - x = L - \frac{3L}{4} = \frac{L}{4}$ है।

(D) दिया गया है,द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m$ है।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 2\hat{i}\,ms^{-1}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{j}\,ms^{-1}$ हैं।
त्वरण $\vec{a}_1 = (3\hat{i} + 3\hat{j})\,ms^{-2}$ और $\vec{a}_2 = 0$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{CM} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(2\hat{i} + 2\hat{j})}{2m} = (\hat{i} + \hat{j})\,ms^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{CM} = \frac{m_1\vec{a}_1 + m_2\vec{a}_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(3\hat{i} + 3\hat{j} + 0)}{2m} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})\,ms^{-2}$ है।
चूंकि प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_{CM} = (\hat{i} + \hat{j})$ और त्वरण सदिश $\vec{a}_{CM} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ एक-दूसरे के समांतर हैं (अर्थात $\vec{a}_{CM} = k\vec{v}_{CM}$ जहाँ $k = 1.5$),इसलिए द्रव्यमान केंद्र एक सरल रेखा में गति करेगा।

(C) निकाय का द्रव्यमान केंद्र मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है क्योंकि विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है।
द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज परास $R$ है,इसलिए यह $x_{com} = R$ पर गिरता है।
पथ का उच्चतम बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से $\frac{R}{2}$ की क्षैतिज दूरी पर है।
माना छोटा द्रव्यमान $m$ स्थिर हो जाता है,जिसका अर्थ है कि इसकी क्षैतिज स्थिति $x_1 = \frac{R}{2}$ है।
माना बड़ा द्रव्यमान $2m$ दूरी $x_2 = x$ पर गिरता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{com} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $R = \frac{m \cdot \frac{R}{2} + 2m \cdot x}{m + 2m}$.
$3mR = \frac{mR}{2} + 2mx$.
$3mR - \frac{mR}{2} = 2mx$.
$\frac{5mR}{2} = 2mx$.
$x = \frac{5R}{4}$.

(C) मान लीजिए $m_1 = 80\, kg$ (आदमी का द्रव्यमान) और $m_2 = 200\, kg$ (नाव का द्रव्यमान)।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है: $\Delta x_{cm} = 0$.
मान लीजिए $x$ नाव का किनारे से दूर विस्थापन है। किनारे के सापेक्ष आदमी का विस्थापन $(8 - x)$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$80(8 - x) + 200(-x) = 0$.
$640 - 80x - 200x = 0$.
$280x = 640$.
$x = \frac{640}{280} \approx 2.286\, m$.
किनारे से आदमी की प्रारंभिक दूरी $20\, m$ थी। किनारे की ओर $8\, m$ चलने और नाव के किनारे से $x$ दूर खिसकने के बाद,उसकी नई दूरी $20 - 8 + x = 12 + 2.286 = 14.286\, m \approx 14.3\, m$ है।

(B) मान लीजिए नाव का द्रव्यमान $M = 60 \, kg$,लंबाई $L = 4 \, m$ है,और दोनों व्यक्तियों के द्रव्यमान $m_1 = 60 \, kg$ और $m_2 = 80 \, kg$ हैं।
चूंकि निकाय (नाव + व्यक्ति) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए नाव का विस्थापन $x$ है। जब व्यक्ति अपना स्थान बदलते हैं,तो जमीन के सापेक्ष व्यक्तियों का विस्थापन क्रमशः $(L - x)$ और $(-L - x)$ होता है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M(x) + m_1(x - L) + m_2(x + L) = 0$.
मान रखने पर: $60x + 60(x - 4) + 80(x + 4) = 0$.
$60x + 60x - 240 + 80x + 320 = 0$.
$200x + 80 = 0$.
$200x = -80$.
$x = -80 / 200 = -0.4 \, m$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि नाव भारी व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में $0.4 \, m$ विस्थापित होती है।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $M_m = M$ है और डोरी का द्रव्यमान $M_s = M$ है। डोरी की लंबाई $L$ है।
चूंकि तल चिकना है,इसलिए निकाय (व्यक्ति + डोरी) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। इसलिए,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि व्यक्ति की प्रारंभिक स्थिति $x_m = 0$ है और डोरी के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_s = L/2$ है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थिति:
$X_{cm} = \frac{M_m x_m + M_s x_s}{M_m + M_s} = \frac{M(0) + M(L/2)}{M + M} = \frac{ML/2}{2M} = L/4$.
जब व्यक्ति पूरी डोरी को इकट्ठा कर लेता है,तो व्यक्ति और डोरी $2M$ द्रव्यमान का एक एकल निकाय बन जाते हैं जो व्यक्ति की अंतिम स्थिति $x_f$ पर स्थित होता है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र की अंतिम स्थिति $X'_{cm} = x_f$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र स्थानांतरित नहीं होता है,$X_{cm} = X'_{cm}$,इसलिए $x_f = L/4$.
व्यक्ति का विस्थापन $\Delta x = |x_f - x_m| = |L/4 - 0| = L/4$ है।

(C) केवल डिब्बे को निकाय के रूप में लेने पर,यात्री डिब्बे पर आंतरिक बल लगाते हैं जो डिब्बे के लिए बाह्य बल के रूप में कार्य करते हैं। चूंकि पटरी घर्षण रहित है,इसलिए इन बलों के कारण डिब्बा गति कर सकता है,अतः $C_1$ जमीन के सापेक्ष गति करेगा।
'डिब्बा और यात्री' निकाय के लिए,यात्रियों द्वारा डिब्बे पर और डिब्बे द्वारा यात्रियों पर लगाए गए बल आंतरिक बल हैं। चूंकि इस संयुक्त निकाय पर कोई बाह्य क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र $C_2$ जमीन के सापेक्ष स्थिर रहेगा।

(A) माना ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $m$ है और गेंद $B$ का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि निकाय (ब्लॉक + गेंद) एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति क्षैतिज दिशा में अपरिवर्तित रहती है।
माना जब गेंद $B$ साम्यावस्था में पहुँचती है,तो ब्लॉक $A$ का बाईं ओर विस्थापन $x$ है।
इस प्रक्रिया में,गेंद $B$ जमीन के सापेक्ष दाईं ओर $(L \sin \theta - x)$ की क्षैतिज दूरी तय करती है।
क्षैतिज दिशा में द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B = 0$
बाईं दिशा को ऋणात्मक और दाईं दिशा को धनात्मक लेने पर:
$m(-x) + m(L \sin \theta - x) = 0$
$-mx + mL \sin \theta - mx = 0$
$2mx = mL \sin \theta$
$x = \frac{L \sin \theta}{2}$

(B) मान लीजिए कि क्षैतिज सतह $x$-अक्ष के लिए संदर्भ रेखा है। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज दिशा में स्थानांतरित नहीं होता है।
मान लीजिए $x_A$ और $x_B$ ब्लॉक $A$ और गेंद $B$ की क्षैतिज स्थितियाँ हैं। द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज स्थिति $X_{cm} = \frac{m x_A + m x_B}{m + m} = \frac{x_A + x_B}{2}$ है।
प्रारंभ में,मान लीजिए $x_A = 0$ और $x_B = L \sin \theta$ है। अतः,$X_{cm, initial} = \frac{0 + L \sin \theta}{2} = \frac{L \sin \theta}{2}$।
जब डोरी ऊर्ध्वाधर हो जाती है,तो ब्लॉक $A$ और गेंद $B$ एक ही क्षैतिज स्थिति $x'$ पर होंगे। अतः,$X_{cm, final} = \frac{x' + x'}{2} = x'$।
चूंकि बाहरी क्षैतिज बल शून्य है,$X_{cm, initial} = X_{cm, final}$,इसलिए $x' = \frac{L \sin \theta}{2}$।
क्षैतिज दिशा में द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन शून्य है।
अब,ऊर्ध्वाधर दिशा पर विचार करें। द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर स्थिति $Y_{cm} = \frac{m y_A + m y_B}{m + m} = \frac{y_A + y_B}{2}$ है।
प्रारंभ में,$y_A = 0$ और $y_B = -L \cos \theta$ है। अतः,$Y_{cm, initial} = \frac{0 - L \cos \theta}{2} = -\frac{L \cos \theta}{2}$।
अंत में,$y_A = 0$ और $y_B = -L$ है। अतः,$Y_{cm, final} = \frac{0 - L}{2} = -\frac{L}{2}$।
द्रव्यमान केंद्र का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $\Delta Y_{cm} = Y_{cm, final} - Y_{cm, initial} = -\frac{L}{2} - (-\frac{L \cos \theta}{2}) = -\frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन का परिमाण नीचे की दिशा में $\frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ है।

(D) निकाय $m$ द्रव्यमान के व्यक्ति और $M$ द्रव्यमान की ट्रॉली से बना है।
चूंकि ट्रॉली एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखी है,इसलिए निकाय (व्यक्ति $+$ ट्रॉली) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है $(a_{cm} = 0)$।
प्रारंभ में,निकाय विराम अवस्था में है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य है $(v_{cm} = 0)$।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है और इसका प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए गति के दौरान निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।

(A) चूँकि निकाय (व्यक्ति + ट्रॉली) एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
माना व्यक्ति का विस्थापन $x_m$ है और जमीन के सापेक्ष ट्रॉली का विस्थापन $x_t$ है।
माना ट्रॉली बाईं ओर $x$ दूरी तय करती है,इसलिए $x_t = -x$ है।
व्यक्ति ट्रॉली के सापेक्ष दाईं ओर $L$ दूरी तय करता है।
अतः,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $x_m = L - x$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के विस्थापन सूत्र का उपयोग करने पर: $m x_m + M x_t = 0$।
मान रखने पर: $m(L - x) + M(-x) = 0$।
$mL - mx - Mx = 0$।
$mL = (m + M)x$।
$x = \frac{mL}{m + M}$।
इस प्रकार,जमीन के सापेक्ष ट्रॉली द्वारा तय की गई दूरी $\frac{mL}{m + M}$ है।

(A) चूंकि निकाय (व्यक्ति + ट्रॉली) एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए इस पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $x_m$ है और ट्रॉली का विस्थापन $x_t$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र गति नहीं करता है,इसलिए $m x_m + M x_t = 0$। परिमाण लेने पर,$m |x_m| = M |x_t|$,अतः $|x_t| = \frac{m}{M} |x_m|$।
ट्रॉली के सापेक्ष व्यक्ति का सापेक्ष विस्थापन ट्रॉली की लंबाई के बराबर है,$L = |x_m| + |x_t|$।
$|x_t|$ का मान रखने पर,$L = |x_m| + \frac{m}{M} |x_m| = |x_m| (1 + \frac{m}{M}) = |x_m| (\frac{M + m}{M})$।
$|x_m|$ के लिए हल करने पर,हमें $|x_m| = \frac{ML}{m + M}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि निकाय (व्यक्ति + ट्रॉली) एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए इस पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र विराम अवस्था में रहता है।
मान लीजिए $x_m$ और $x_t$ क्रमशः जमीन के सापेक्ष व्यक्ति और ट्रॉली के विस्थापन हैं। चूंकि द्रव्यमान केंद्र स्थिर है,$m x_m + M x_t = 0$।
व्यक्ति ट्रॉली के सापेक्ष $L$ दूरी तय करता है,इसलिए $x_m - x_t = L$,या $x_m = L + x_t$।
इसे द्रव्यमान केंद्र के समीकरण में रखने पर: $m(L + x_t) + M x_t = 0 \implies x_t(m + M) = -mL \implies x_t = -\frac{mL}{m+M}$।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि ट्रॉली पीछे की ओर चलती है (व्यक्ति की गति के विपरीत),इसलिए विकल्प $A$ सही है।
ट्रॉली का विस्थापन $x_t = \frac{mL}{m+M}$ केवल द्रव्यमान और लंबाई $L$ पर निर्भर करता है,व्यक्ति की गति पर नहीं,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
चूंकि $x_t = \frac{m}{m+M} L$,और $\frac{m}{m+M} < 1$,ट्रॉली द्वारा तय की गई दूरी हमेशा $L$ से कम होती है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(B) निकाय ट्रॉली और दो व्यक्तियों से बना है। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,निकाय स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
जब पहला व्यक्ति ($m$ द्रव्यमान) बाईं ओर $u_{rel}$ सापेक्ष वेग के साथ कूदता है,तो ट्रॉली ($M+m$ द्रव्यमान) दाईं ओर $v_1 = \frac{m u_{rel}}{M+m}$ वेग के साथ चलती है।
जब दूसरा व्यक्ति ($m$ द्रव्यमान) दाईं ओर $u_{rel}$ सापेक्ष वेग के साथ कूदता है,तो ट्रॉली ($M$ द्रव्यमान) बाईं ओर $v_2 = \frac{m u_{rel}}{M}$ वेग के साथ चलती है।
ट्रॉली का अंतिम वेग इन वेगों का सदिश योग है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि बाहरी बल शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि ट्रॉली का अंतिम वेग द्रव्यमान और कूदने की दिशा पर निर्भर करता है,और यह आवश्यक नहीं है कि यह पहले व्यक्ति की दिशा में ही हो।
विकल्प $C$ भी गलत है क्योंकि अंतिम वेग का व्यंजक $\left( {\frac{{m{u_{rel}}}}{{M + m}} - \frac{{m{u_{rel}}}}{{M + 2m}}} \right)$ नहीं है।

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र अपनी प्रारंभिक क्षैतिज स्थिति में ही रहता है।
माना छड़ की लंबाई $L = 5 \ m$ है। दो समान द्रव्यमान $m$ का द्रव्यमान केंद्र छड़ के मध्य बिंदु पर है,अर्थात दोनों सिरों से $L/2 = 2.5 \ m$ की दूरी पर है।
प्रारंभ में,छड़ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र मध्य बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष से $0$ क्षैतिज दूरी पर है।
जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 37^o$ का कोण बनाती है,तो प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर अक्ष से द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज दूरी $0$ ही रहती है।
माना निचले द्रव्यमान का क्षैतिज विस्थापन $x_1$ है और ऊपरी द्रव्यमान का क्षैतिज विस्थापन $x_2$ है।
निकाय की समरूपता के कारण,द्रव्यमान केंद्र हमेशा मध्य बिंदु पर होता है। मध्य बिंदु की क्षैतिज स्थिति $x_{cm} = (x_1 + x_2) / 2 = 0$ है।
इसका अर्थ है $x_1 = -x_2$। दो द्रव्यमानों के बीच की दूरी $L = 5 \ m$ है। छड़ का क्षैतिज प्रक्षेप $L \sin(37^o) = 5 \cdot (3/5) = 3 \ m$ है।
अतः,$|x_1| + |x_2| = 3 \ m$। चूंकि $|x_1| = |x_2|$,हमें $2|x_1| = 3 \ m$ प्राप्त होता है,जिससे $|x_1| = 1.5 \ m$ मिलता है।

(A) मान लीजिए कि सिरे $A$ की स्थिति $(x, 0)$ है और सिरे $P$ की स्थिति $(0, y)$ है। सीढ़ी की लंबाई $L = 5\, m$ है,इसलिए $x^2 + y^2 = L^2 = 25$ है।
दिया गया है $x = 3\, m$,तो $y = \sqrt{25 - 3^2} = 4\, m$ होगा।
$x^2 + y^2 = 25$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $dx/dt = -2\, m/s$ (दीवार से दूर जा रहा है),इसलिए $2(3)(-2) + 2(4)(dy/dt) = 0$,जिससे $dy/dt = 1.5\, m/s$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $x_{cm} = x/2$ और $y_{cm} = y/2$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र के वेग के घटक $v_{x,cm} = (1/2)(dx/dt) = (1/2)(-2) = -1\, m/s$ और $v_{y,cm} = (1/2)(dy/dt) = (1/2)(1.5) = 0.75\, m/s$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण $V_{cm} = \sqrt{v_{x,cm}^2 + v_{y,cm}^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0.75)^2} = \sqrt{1 + 0.5625} = \sqrt{1.5625} = 1.25\, m/s$ है।

(B) द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $(V_{cm})$ इस प्रकार है:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 4 + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{4}{3}\, m/s$ (ऊपर की ओर)।
चूंकि दोनों गेंदें गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हैं,इसलिए प्रत्येक गेंद का त्वरण $g$ नीचे की ओर है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ इस प्रकार है:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times (-g) + 2 \times (-g)}{1 + 2} = -g$ (नीचे की ओर)।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग ऊपर की ओर है और त्वरण नीचे की ओर स्थिर है,इसलिए यह पहले ऊपर जाएगा,अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचेगा और फिर नीचे आएगा।

(B) चूंकि निकाय (नाव + लड़का) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना $M = 90\ kg$ नाव का द्रव्यमान है और $m = 30\ kg$ लड़के का द्रव्यमान है।
नाव की लंबाई $L = 3\ m$ है।
माना नाव लड़के की विपरीत दिशा में $d$ दूरी तय करती है।
जब लड़का नाव के सापेक्ष $L$ दूरी चलता है,तो पानी के सापेक्ष उसका विस्थापन $(L - d)$ होता है।
पानी के सापेक्ष नाव का विस्थापन $-d$ है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m(L - d) + M(-d) = 0$.
$30(3 - d) - 90d = 0$.
$90 - 30d - 90d = 0$.
$90 = 120d$.
$d = \frac{90}{120} = 0.75\ m$.

(B) यह निकाय एक सिरे पर जुड़ी दो समान छड़ों से बना है,जिन्हें एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
निकाय पर कार्य करने वाले एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण बल (नीचे की ओर) और सतह से अभिलंब प्रतिक्रिया (ऊपर की ओर) हैं।
ये दोनों बल ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करते हैं।
द्रव्यमान केंद्र के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{ext, x} = M a_{cm, x}$।
चूंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है $(F_{ext, x} = 0)$,इसलिए क्षैतिज दिशा में द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है $(a_{cm, x} = 0)$।
प्रारंभ में निकाय स्थिर है,इसलिए क्षैतिज दिशा में द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य है $(v_{cm, x} = 0)$।
चूंकि क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग और त्वरण दोनों शून्य हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज रूप से गति नहीं करेगा।
अतः,द्रव्यमान केंद्र केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करेगा।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र का प्रक्षेप पथ एक सीधी ऊर्ध्वाधर रेखा है।

(B) मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष तख्ते का विस्थापन बाईं दिशा में $x$ है। चूंकि प्रणाली एक चिकनी सतह पर है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = M$,व्यक्ति का द्रव्यमान $m_2 = 2M$,और तख्ते का द्रव्यमान $m_3 = 2M$ है। प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + 2M + 2M = 5M$ है।
द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन शून्य है: $\Delta X_{cm} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + m_3 \Delta x_3}{M_{total}} = 0$.
मान लीजिए कि तख्ते का विस्थापन बाईं ओर $x$ $(-x)$ है।
व्यक्ति तख्ते पर है,इसलिए उसका विस्थापन भी $-x$ है।
ब्लॉक शुरू में घिरनी से $3 \ m$ दूर है। जब यह घिरनी तक पहुँचता है,तो यह तख्ते के सापेक्ष दाईं ओर $3 \ m$ चलता है। जमीन के सापेक्ष इसका विस्थापन $\Delta x_1 = (3 - x)$ दाईं ओर है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M(3 - x) + 2M(-x) + 2M(-x) = 0$.
$3M - Mx - 2Mx - 2Mx = 0$.
$3M = 5Mx$.
$x = \frac{3}{5} = 0.6 \ m$.

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार है:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{20 \times 6 + 10 \times (-3)}{20 + 10} = \frac{120 - 30}{30} = \frac{90}{30} = 3 \, m/s$ (दाईं ओर)।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
अधिकतम विस्तार या अधिकतम संकुचन के समय,ब्लॉकों का सापेक्ष वेग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि दोनों ब्लॉक द्रव्यमान केंद्र के वेग ($v_{cm} = 3 \, m/s$ दाईं ओर) के बराबर समान वेग से चलते हैं।
इसलिए,इन क्षणों पर $10 \, kg$ और $20 \, kg$ दोनों ब्लॉकों का वेग $3 \, m/s$ (दाईं ओर) होता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर:
विकल्प $(B)$ कहता है कि $20 \, kg$ ब्लॉक का वेग $3 \, m/s$ (दाईं ओर) है,जो सही है।
विकल्प $(C)$ कहता है कि $10 \, kg$ ब्लॉक का वेग $3 \, m/s$ (बाईं ओर) है,जो गलत है।
चूंकि प्रश्न में गलत विकल्प चुनने के लिए कहा गया है,इसलिए $(C)$ गलत कथन है।