System of particles momentum and Energy Questions in Hindi

(D) कथन $1$: रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि प्रत्येक कण का वेग शून्य है। उदाहरण के लिए,विपरीत दिशाओं में समान संवेग के साथ गति करने वाले दो कणों के निकाय में,कुल संवेग शून्य होता है,लेकिन गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ शून्य नहीं होती है।
कथन $2$: गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$ है। चूंकि द्रव्यमान $m_i > 0$ और $v_i^2 \ge 0$ है,इसलिए योग के शून्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि प्रत्येक $v_i = 0$ हो। यदि सभी वेग शून्य हैं,तो कुल रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i (0) = 0$ होगा।
अतः,$1$,$2$ को सूचित नहीं करता है,लेकिन $2$,$1$ को सूचित करता है।

(C) कणों के निकाय की गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ द्वारा दी जाती है। यदि $K = 0$ है,तो प्रत्येक कण का वेग $v_i = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि निकाय स्थिर है। यदि निकाय स्थिर है,तो कुल रैखिक संवेग $P = \sum m_i v_i = 0$ होगा। अतः,$B$,$A$ को सूचित करता है।
हालाँकि,यदि रैखिक संवेग $P = 0$ है,तो कण विपरीत दिशाओं में गति कर सकते हैं ताकि उनका सदिश योग शून्य हो (उदाहरण के लिए,समान द्रव्यमान के दो कण $v$ और $-v$ वेग से गति कर रहे हों)। इस स्थिति में,गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(-v)^2 = mv^2 \neq 0$ होगी। अतः,$A$,$B$ को सूचित नहीं करता है।

(C) एक निकाय का कुल संवेग व्यक्तिगत कणों के संवेग का सदिश योग होता है: $\vec{P}_{total} = \sum \vec{p}_i = 0$ (क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है)।
हालाँकि,संवेग के परिमाणों का योग $S = \sum |\vec{p}_i|$ द्वारा दिया जाता है।
भले ही सदिश योग शून्य हो,कणों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक बलों के कारण व्यक्तिगत संवेग $\vec{p}_i$ समय के साथ बदल सकते हैं।
चूँकि व्यक्तिगत संवेग बदलते हैं,उनके परिमाण $|\vec{p}_i|$ भी बदलते हैं,और परिणामस्वरूप,उनका योग $S$ सामान्यतः गैर-शून्य होता है और आवश्यक रूप से स्थिर नहीं होता है।

(A) मान लीजिए तख्ते का द्रव्यमान $M = 40 \ kg$,$A$ का द्रव्यमान $m_A = 40 \ kg$,और $B$ का द्रव्यमान $m_B = 60 \ kg$ है।
तख्ते की लंबाई $L = 120 \ cm$ है।
शुरुआत में,$A$ स्थिति $x = 0$ पर है और $B$ स्थिति $x = 60 \ cm$ (मध्य) पर है।
चूंकि सतह चिकनी है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए तख्ते का विस्थापन $S_P$ है और जमीन के सापेक्ष $A$ का विस्थापन $S_A$ है।
चूंकि $B$ जमीन के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए इसका विस्थापन $S_B = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र का समीकरण: $m_A S_A + m_B S_B + M S_P = 0$.
मान रखने पर: $40 S_A + 60(0) + 40 S_P = 0$,जो सरल होकर $S_A = -S_P$ हो जाता है।
$A$,$B$ की ओर चलता है,इसलिए $A$ तख्ते के सापेक्ष $60 \ cm$ की दूरी तय करता है। मान लीजिए $x$ जमीन के सापेक्ष $A$ द्वारा तय की गई दूरी है। तो $x = 60 + S_P$ (क्योंकि तख्ता बाईं ओर $|S_P|$ खिसकता है)।
साथ ही,$S_A = x = 60 + S_P$.
$S_A = -S_P$ रखने पर: $-S_P = 60 + S_P \implies 2S_P = -60 \implies S_P = -30 \ cm$.
अतः,$S_A = 30 \ cm$.
$A$,$B$ से तख्ते के मूल बाएं सिरे से $30 \ cm$ की दूरी पर मिलता है,जो तख्ते का मध्य है।

(A) मान लीजिए $m_{i}$ द्रव्यमान है और $v_{i}$ $i^{th}$ कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष वेग $v_{i}^{\prime} = v_{i} - V$ है,अतः $v_{i} = v_{i}^{\prime} + V$। कुल संवेग $p = \sum m_{i} v_{i} = \sum m_{i}(v_{i}^{\prime} + V) = \sum m_{i} v_{i}^{\prime} + V \sum m_{i} = \sum p_{i}^{\prime} + MV$। चूंकि $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,अवकलन करने पर $\sum m_{i} v_{i}^{\prime} = \sum p_{i}^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
$(b)$ $K = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \sum \frac{1}{2} m_{i} (v_{i}^{\prime} + V) \cdot (v_{i}^{\prime} + V) = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{\prime 2} + \sum m_{i} v_{i}^{\prime} \cdot V + \sum \frac{1}{2} m_{i} V^{2} = K^{\prime} + V \cdot (\sum p_{i}^{\prime}) + \frac{1}{2} M V^{2}$। चूंकि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$,इसलिए $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$।
$(c)$ $L = \sum r_{i} \times p_{i} = \sum (R + r_{i}^{\prime}) \times m_{i} (V + v_{i}^{\prime}) = \sum (R \times m_{i} V + R \times m_{i} v_{i}^{\prime} + r_{i}^{\prime} \times m_{i} V + r_{i}^{\prime} \times m_{i} v_{i}^{\prime}) = R \times MV + R \times (\sum p_{i}^{\prime}) + (\sum m_{i} r_{i}^{\prime}) \times V + L^{\prime}$। चूंकि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ और $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,इसलिए $L = L^{\prime} + R \times MV$।
$(d)$ $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum (r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) = \sum (v_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) + \sum (r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t})$। चूंकि $v_{i}^{\prime} \times (m_{i} v_{i}^{\prime}) = 0$,इसलिए $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times F_{i}^{\prime} = \tau_{ext}^{\prime}$।

(C) $n$ कणों के निकाय का कुल संवेग $P$,निकाय के सभी कणों के व्यक्तिगत संवेगों के सदिश योग के रूप में परिभाषित है: $P = \sum_{i=1}^{n} p_i = \sum_{i=1}^{n} m_i v_i$.
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,किसी निकाय का कुल संवेग,निकाय के कुल द्रव्यमान $M$ और द्रव्यमान केंद्र के वेग $V_{cm}$ के गुणनफल के बराबर भी होता है:
$P = M V_{cm}$,जहाँ $M = \sum m_i$ और $V_{cm} = \frac{\sum m_i v_i}{M}$.
अतः,व्यक्तिगत संवेगों का योग और कुल द्रव्यमान तथा द्रव्यमान केंद्र के वेग का गुणनफल,दोनों ही निकाय के कुल संवेग को दर्शाते हैं।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,टक्कर से पहले निकाय का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
टक्कर से पहले,$m$ द्रव्यमान के कण का वेग $v$ है और $M$ द्रव्यमान की छड़ विराम अवस्था में है। अतः,प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$ है।
टक्कर के बाद,कण विराम अवस्था में आ जाता है और छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र के वेग $V_{cm}$ के साथ गति करती है। अतः,अंतिम संवेग $P_f = MV_{cm}$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mv = MV_{cm}$।
$V_{cm}$ के लिए हल करने पर: $V_{cm} = mv/M$।

(B) निकाय (छड़ + कण) के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$mv + 0 = 0 + Mv_{cm}$
यहाँ,टक्कर के बाद कण विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए इसका अंतिम वेग $0$ है।
छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र के लिए $v_{cm}$ वेग प्राप्त करती है।
इसलिए,$mv = Mv_{cm}$
$v_{cm} = \frac{mv}{M}$

(A) कथन $I$ परिभाषा के अनुसार सत्य है: कणों के एक निकाय की कुल गतिज ऊर्जा व्यक्तिगत कणों की गतिज ऊर्जाओं का अदिश योग होती है,$K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$.
कथन $II$ भी कणों के निकाय के लिए गतिज ऊर्जा के प्रमेय के अनुसार सत्य है। यदि $\vec{v}_i$ मूल बिंदु के सापेक्ष $i$-वें कण का वेग है,$\vec{V}_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है,और $\vec{v}_i'$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष $i$-वें कण का वेग है,तो $\vec{v}_i = \vec{V}_{cm} + \vec{v}_i'$.
कुल गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2} m_i (\vec{V}_{cm} + \vec{v}_i')^2 = \frac{1}{2} M V_{cm}^2 + \sum \frac{1}{2} m_i (v_i')^2$ होती है,जहाँ $M = \sum m_i$.
अतः,कुल गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गतिज ऊर्जा का योग है।