Centre of mass (Point Mass) Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि तीनों द्रव्यमानों के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (1, 0)$,और $(x_3, y_3) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ हैं।
सभी द्रव्यमान समान हैं,$m_1 = m_2 = m_3 = 1 \,kg$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(1) + 1(0.5)}{1 + 1 + 1} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \,m$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(0) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + 1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \,m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)$ हैं।

(C) द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड का कुल द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
गुरुत्व केंद्र $(CG)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल (भार) कार्य करता है।
पृथ्वी की सतह पर,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ ऊँचाई के साथ बदलता है। यदि पिंड का आकार पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$ की तुलना में बहुत छोटा है,तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ को पूरे पिंड पर एकसमान माना जा सकता है।
एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,$CM$ और $CG$ संपाती होते हैं।
अतः,पृथ्वी की सतह पर स्थित एक विस्तारित पिंड के लिए,यदि पिंड का आकार पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में नगण्य है,तो $CM$ और $CG$ एक ही बिंदु पर होते हैं।

(B) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति हमेशा भारी द्रव्यमान के करीब होती है,क्योंकि यह स्थिति द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है।
दिए गए चित्र में,विकर्ण के ऊपर के भाग में हवा है,जबकि निचले भाग में रेत है।
चूंकि रेत हवा की तुलना में काफी सघन और भारी है,इसलिए निकाय का कुल द्रव्यमान निचले त्रिकोणीय क्षेत्र में अधिक केंद्रित है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र को रेत वाले क्षेत्र में स्थित होना चाहिए,जो विकर्ण के नीचे है।
दिए गए बिंदुओं में से,बिंदु $D$ रेत वाले क्षेत्र में स्थित है। अतः,$D$ द्रव्यमान केंद्र की संभावित स्थिति है।

(A) शीर्षों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(1, 0)$,और $C(1/2, \sqrt{3}/2)$ हैं।
द्रव्यमान $m_A = 1 \ kg$,$m_B = 2 \ kg$,और $m_C = 3 \ kg$ हैं।
कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1/2)}{6} = \frac{0 + 2 + 1.5}{6} = \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M} = \frac{1(0) + 2(0) + 3(\sqrt{3}/2)}{6} = \frac{3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{7}{12}, \frac{3\sqrt{3}}{12}\right)$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाली एक समरूप अर्धवृत्ताकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ उसके सीधे किनारे के केंद्र $(O)$ से $\frac{4r}{3\pi}$ की दूरी पर सममिति की अक्ष पर स्थित होता है।
अतः,दूरी $OA = \frac{4r}{3\pi}$ है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है जहाँ $A, B, C, D$ चार गोलों के केंद्र हैं जो $a = 20 \,cm$ भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं।
चूंकि चारों गोले समान हैं और उनका द्रव्यमान बराबर है, इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र उनके केंद्रों द्वारा निर्मित वर्ग के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होगा, जिसे बिंदु $O$ द्वारा दर्शाया गया है।
किसी भी गोले के केंद्र (जैसे, केंद्र $A$) से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $AO$ है।
$a = 20 \,cm$ भुजा वाले वर्ग में, विकर्ण $AC$ की लंबाई $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \,cm$ होती है।
वर्ग के केंद्र से किसी भी शीर्ष तक की दूरी विकर्ण की लंबाई की आधी होती है:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \,cm$.

(B) प्रत्येक गोले का व्यास $D = 2\sqrt{3} \text{ m}$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \sqrt{3} \text{ m}$ है।
तीनों गोलों के केंद्र $a = 2R = 2\sqrt{3} \text{ m}$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
मान लीजिए केंद्रों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(2\sqrt{3}, 0)$,और $C(\sqrt{3}, 3)$ हैं।
तीन समान गोलों के द्रव्यमान केंद्र $(X_{CM}, Y_{CM})$ के लिए:
$X_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3}) + m(\sqrt{3})}{3m} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y_{CM} = \frac{m(0) + m(0) + m(3)}{3m} = \frac{3}{3} = 1 \text{ m}$
अतः,प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $C_{CM} = (\sqrt{3}, 1)$ है।
यदि गोले $C$ को हटा दिया जाए,तो शेष दो गोलों $A$ और $B$ का नया द्रव्यमान केंद्र $(X'_{CM}, Y'_{CM})$ होगा:
$X'_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3})}{2m} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y'_{CM} = \frac{m(0) + m(0)}{2m} = 0 \text{ m}$
अतः,नया द्रव्यमान केंद्र $C'_{CM} = (\sqrt{3}, 0)$ है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 + (1 - 0)^2} = 1 \text{ m}$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(C) मान लीजिए कि तीन डिस्क की त्रिज्याएँ $r_1 = r$, $r_2 = 2r$, और $r_3 = 3r$ हैं। चूंकि वे समान सामग्री से बनी हैं और उनकी मोटाई समान है, इसलिए उनका द्रव्यमान उनके क्षेत्रफल के समानुपाती होता है: $m \propto \pi r^2$.
अतः, $m_1 = k(\pi r^2) = m$, $m_2 = k(\pi (2r)^2) = 4m$, और $m_3 = k(\pi (3r)^2) = 9m$.
मान लीजिए कि छोटी डिस्क $(m_1)$ का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
बीच वाली डिस्क $(m_2)$ पहली डिस्क को स्पर्श करती है, इसलिए इसका केंद्र $x_2 = r + 2r = 3r$ पर है।
तीसरी डिस्क $(m_3)$ बीच वाली डिस्क को स्पर्श करती है, इसलिए इसका केंद्र $x_3 = x_2 + 2r + 3r = 3r + 5r = 8r$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$X_{cm} = \frac{m(0) + 4m(3r) + 9m(8r)}{m + 4m + 9m} = \frac{12mr + 72mr}{14m} = \frac{84mr}{14m} = 6r$.
छोटी डिस्क के केंद्र से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $6r$ है।

(A) मान लीजिए कि $5 \,g$ के कण की स्थिति $x_1 = 0 \,cm$ पर है और $3 \,g$ के कण की स्थिति $x_2 = 40 \,cm$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$x_{cm} = \frac{5 \times 0 + 3 \times 40}{5 + 3}$
$x_{cm} = \frac{120}{8} = 15 \,cm$
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र $5 \,g$ के कण से $15 \,cm$ की दूरी पर और $3 \,g$ के कण से $40 - 15 = 25 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $5 \,g$ के कण से $15 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।

(D) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र $(R_{cm})$ की स्थिति $R_{cm} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$ द्वारा दी जाती है।
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के लिए,द्रव्यमान केंद्र भारी द्रव्यमान के करीब होता है।
विशेष रूप से,$m_1$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} d$ है और $m_2$ से दूरी $d_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} d$ है,जहाँ $d$ उनके बीच की दूरी है।
यदि $m_1 > m_2$ है,तो $d_1 < d_2$ होगा,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र बड़े द्रव्यमान के करीब है।
इसलिए,कथन $(d)$ गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि द्रव्यमान केंद्र कम द्रव्यमान वाले कण के करीब होता है।

(A) $x=N$ स्थिति पर द्रव्यमान $m_N = m \left(\frac{1}{3}\right)^N \frac{1}{N}$ द्वारा दिया गया है।
$X$-अक्ष पर द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{\sum m_N x_N}{\sum m_N} = \frac{\sum_{N=2}^{\infty} \left[ m \left(\frac{1}{3}\right)^N \frac{1}{N} \right] \times N}{M}$
$X_{cm} = \frac{m}{M} \sum_{N=2}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^N$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$X_{cm} = \frac{m}{M} \left[ \frac{1/9}{1 - 1/3} \right] = \frac{m}{M} \left[ \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{m}{M} \left[ \frac{1}{9} \times \frac{3}{2} \right] = \frac{m}{6M}$.

(A) द्रव्यमान केंद्र $X_{CM}$ की स्थिति $X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{M}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$X_{CM} = \frac{m(1) + (1/2)(m/2)(2) + (1/2)^2(m/3)(3) + \dots + (1/2)^{N-1}(m/N)(N) + \dots}{M}$
$X_{CM} = \frac{m + (1/2)m + (1/2)^2m + \dots + (1/2)^{N-1}m + \dots}{M}$
$X_{CM} = \frac{m}{M} [1 + 1/2 + (1/2)^2 + \dots + (1/2)^{N-1} + \dots]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है।
अनंत $G$.$P$. का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$ होता है।
अतः,$X_{CM} = \frac{m}{M} \times 2 = \frac{2m}{M}$.
चूंकि द्रव्यमान केवल $X$-अक्ष पर रखे गए हैं,इसलिए $Y_{CM} = 0$ और $Z_{CM} = 0$ होगा।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र $(\frac{2m}{M}, 0, 0)$ है।

(B) परिभाषा के अनुसार,$n$ कणों वाले एक निकाय का द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm}$,जहाँ कणों का द्रव्यमान $m_i$ और स्थिति $\vec{r}_i$ है,इस प्रकार दिया जाता है: $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$
यदि हम द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु (origin) मानते हैं,तो $\vec{R}_{cm} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\sum m_i \vec{r}_i = 0$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः किसी कण का आघूर्ण उसके द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष उसकी स्थिति सदिश का गुणनफल होता है,जिसे $m_i \vec{r}_i$ द्वारा दर्शाया जाता है।
निकाय के सभी कणों के लिए इन आघूर्णों का योग $\sum m_i \vec{r}_i$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा से $\sum m_i \vec{r}_i = 0$ होता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र के परितः सभी कणों के आघूर्णों का योग हमेशा शून्य होता है।

(C) दिया गया है:
कार्बन परमाणु का द्रव्यमान,$m_C = 12 amu$
ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान,$m_O = 16 amu$
उनके बीच की दूरी,$r = 1.1 Å$
मान लीजिए कि $x$ कार्बन परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
दो-कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए,कार्बन परमाणु से दूरी $x$ इस प्रकार दी जाती है:
$x = \frac{m_O \cdot r}{m_C + m_O}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{16 \cdot 1.1}{12 + 16}$
$x = \frac{17.6}{28}$
$x = 0.62857 Å \approx 0.63 Å$
अतः,द्रव्यमान केंद्र कार्बन परमाणु से $0.63 Å$ की दूरी पर स्थित है।

(C) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले और $r_1$ तथा $r_2$ स्थितियों पर स्थित दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(R_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R_{CM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
चूंकि दोनों परमाणु ऑक्सीजन के हैं,इसलिए उनके द्रव्यमान समान हैं,अर्थात $m_1 = m_2 = m$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$R_{CM} = \frac{m r_1 + m r_2}{m + m}$
$R_{CM} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m}$
$R_{CM} = \frac{r_1 + r_2}{2}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र दोनों परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर स्थित है।

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $R_1, R_2, R_3$ हैं और चौथी छड़ $R_4$ है।
$R_1$ धनात्मक $X$-अक्ष पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$।
$R_2$ धनात्मक $Y$-अक्ष पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(0, L/2)$।
$R_3$ $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(L/2 \cos 45^\circ, L/2 \sin 45^\circ) = (L/2\sqrt{2}, L/2\sqrt{2})$।
$R_4$ का द्रव्यमान $3m$ और लंबाई $L_4$ है। इसे तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ पर रखा गया है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(-L_4/2 \cos 45^\circ, -L_4/2 \sin 45^\circ) = (-L_4/2\sqrt{2}, -L_4/2\sqrt{2})$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र के मूल बिंदु $(0,0)$ पर होने के लिए,आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए: $\sum m_i x_i = 0$ और $\sum m_i y_i = 0$।
$X$-निर्देशांक के लिए: $m(L/2) + m(0) + m(L/2\sqrt{2}) + 3m(-L_4/2\sqrt{2}) = 0$।
$L/2 + L/2\sqrt{2} = 3L_4/2\sqrt{2}$।
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $L\sqrt{2} + L = 3L_4$।
$L(\sqrt{2}+1) = 3L_4$।
$L_4 = \frac{L(\sqrt{2}+1)}{3}$।

(A) निश्चित बिंदु से द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$

(C) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_1 = 20 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ है।
माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 3 \,kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_2 = 10 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{i}) + 3(10 \hat{j})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{i} + 30 \hat{j}}{5} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \,m \,s^{-1}$।
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$।

(D) मान लीजिए ऊपरी प्रिज्म का द्रव्यमान $m$ है और निचले प्रिज्म का द्रव्यमान $3m$ है।
चूंकि क्षैतिज तल चिकना है और दोनों प्रिज्मों के निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए निचला प्रिज्म बाईं ओर $k$ दूरी तय करता है। तो द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को बनाए रखने के लिए ऊपरी प्रिज्म को जमीन के सापेक्ष दाईं ओर $(a-b-k)$ दूरी तय करनी होगी।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$3m \cdot k = m \cdot (a - b - k)$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$3k = a - b - k$
$4k = a - b$
$k = \frac{a - b}{4}$
अतः,निचले प्रिज्म द्वारा तय की गई दूरी $\frac{a - b}{4}$ है।

(A) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 20 \ g$,$m_2 = 30 \ g$,$m_3 = 50 \ g$ हैं।
वेग $v_1 = 10 \hat{i} \ m/s$,$v_2 = 10 \hat{j} \ m/s$,$v_3 = 10 \hat{k} \ m/s$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ ज्ञात करने का सूत्र:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$v_{cm} = \frac{20 \times 10 \hat{i} + 30 \times 10 \hat{j} + 50 \times 10 \hat{k}}{20 + 30 + 50}$
$v_{cm} = \frac{200 \hat{i} + 300 \hat{j} + 500 \hat{k}}{100}$
$v_{cm} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(A) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर प्लेट $1$ है और क्षैतिज प्लेट $2$ है। दोनों का क्षेत्रफल $A = L \times a$ है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए:
ऊर्ध्वाधर प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_1 = L/2$ पर है।
क्षैतिज प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_2 = L + a/2$ पर है।
सतह से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई:
$y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(L/2) + (La)(L + a/2)}{2La} = \frac{L/2 + L + a/2}{2} = \frac{3L + a}{4}$.
जब अक्षर को लंबवत रूप से उल्टा किया जाता है,तो क्षैतिज प्लेट अब नीचे होती है:
नई क्षैतिज प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_1' = a/2$ पर है।
नई ऊर्ध्वाधर प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_2' = a + L/2$ पर है।
सतह से द्रव्यमान केंद्र की नई ऊँचाई:
$y_{cm}' = \frac{A_1 y_1' + A_2 y_2'}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(a/2) + (La)(a + L/2)}{2La} = \frac{a/2 + a + L/2}{2} = \frac{3a + L}{4}$.
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन:
$\Delta y_{cm} = y_{cm} - y_{cm}' = \frac{3L + a}{4} - \frac{3a + L}{4} = \frac{2L - 2a}{4} = \frac{L - a}{2}$.

(C) मान लीजिए गोले का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
गोले की त्रिज्या $R_s = 10 \ cm$ है।
गोला बेलन के संपर्क में है,इसलिए बेलन का केंद्र गोले के केंद्र से $R_s + L/2$ की दूरी पर है,जहाँ $L = 40 \ cm$ बेलन की लंबाई है।
गोले के केंद्र से बेलन के केंद्र की दूरी,$x_c = 10 \ cm + 20 \ cm = 30 \ cm$ है।
गोले का द्रव्यमान,$m_s = 0.5 \ kg$ है।
बेलन का द्रव्यमान,$m_c = 2 \ kg$ है।
गोले के केंद्र से निकाय का द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार दिया गया है:
$X_{cm} = \frac{m_s \cdot x_s + m_c \cdot x_c}{m_s + m_c}$
$X_{cm} = \frac{0.5 \cdot 0 + 2 \cdot 30}{0.5 + 2}$
$X_{cm} = \frac{60}{2.5} = 24 \ cm$.

(D) माना मूल बिंदु वर्ग के केंद्र पर है। चार कणों का प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $(CM_1)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
जब कोने $C$ पर स्थित $m$ द्रव्यमान के एक कण को हटा दिया जाता है,तो शेष प्रणाली में कोनों $A, B,$ और $D$ पर $m$ द्रव्यमान के तीन कण बचते हैं।
नया द्रव्यमान केंद्र $(CM_2)$ शेष तीन कणों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक की ओर स्थानांतरित हो जाएगा।
वर्ग के केंद्र से किसी भी कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
शेष प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_{CM} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$.
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta R = \frac{|m_C \cdot r_C|}{M_{remaining}} = \frac{m \cdot (a/\sqrt{2})}{3m} = \frac{a}{3\sqrt{2}}$ होगा।

(A) $R = 1 \ m$ त्रिज्या वाले वृत्त पर व्यवस्थित द्रव्यमानों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$M$ के निर्देशांक $(1, 0)$
$2M$ के निर्देशांक $(0, 1)$
$3M$ के निर्देशांक $(-1, 0)$
$4M$ के निर्देशांक $(0, -1)$
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $(X_{cm})$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{M(1) + 2M(0) + 3M(-1) + 4M(0)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{M - 3M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $(Y_{cm})$ इस प्रकार है:
$Y_{cm} = \frac{M(0) + 2M(1) + 3M(0) + 4M(-1)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{2M - 4M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $-\frac{1}{5} \hat{i} - \frac{1}{5} \hat{j}$ है।

(A) दिए गए द्रव्यमान: $m_1 = 50 \ g$,$m_2 = 100 \ g$,$m_3 = 150 \ g$।
शीर्षों के निर्देशांक:
$A = (0, 0)$
$B = (1, 0)$
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,$C$ का $x$-निर्देशांक $AB$ का मध्य बिंदु होगा,अर्थात $x_3 = 0.5 \ m$।
$C$ का $y$-निर्देशांक $h = \sqrt{1^2 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m$ है।
अतः,$C = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12} \ m$।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{50 + 100 + 150} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ m$।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{7}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \ m$ है।

(D) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ का स्थिति सदिश इस प्रकार दिया जाता है:
$r_{COM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 + m_4 r_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
दिए गए द्रव्यमान और स्थितियाँ:
$m_1 = 1 \ kg, r_1 = (a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_2 = 2 \ kg, r_2 = (-a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_3 = 3 \ kg, r_3 = (-a \hat{i} - a \hat{j})$
$m_4 = 4 \ kg, r_4 = (a \hat{i} - a \hat{j})$
कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \ kg$
$r_{COM} = \frac{1(a \hat{i} + a \hat{j}) + 2(-a \hat{i} + a \hat{j}) + 3(-a \hat{i} - a \hat{j}) + 4(a \hat{i} - a \hat{j})}{10}$
$r_{COM} = \frac{(a - 2a - 3a + 4a) \hat{i} + (a + 2a - 3a - 4a) \hat{j}}{10}$
$r_{COM} = \frac{0 \hat{i} - 4a \hat{j}}{10} = -0.4 a \hat{j}$

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg, m_3 = 3 \ kg$ हैं और उनका द्रव्यमान केंद्र $R_{CM} = (2, 2, 2)$ है।
पहले तीन द्रव्यमानों के आघूर्णों का योग $M_{123} = m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3$ है।
पहले तीन कणों का कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ है।
सूत्र $R_{CM} = \frac{M_{123}}{M}$ का उपयोग करने पर,हमें $M_{123} = M \times R_{CM} = 6 \times (2, 2, 2) = (12, 12, 12)$ प्राप्त होता है।
अब,हम $m_4 = 4 \ kg$ का चौथा द्रव्यमान $r_4 = (x_4, y_4, z_4)$ स्थान पर जोड़ते हैं ताकि नया द्रव्यमान केंद्र $R'_{CM} = (0, 0, 0)$ हो जाए।
नया कुल द्रव्यमान $M' = 6 + 4 = 10 \ kg$ है।
नए द्रव्यमान केंद्र का सूत्र $R'_{CM} = \frac{M_{123} + m_4 r_4}{M'}$ है।
मान रखने पर: $(0, 0, 0) = \frac{(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4)}{10}$।
इसका अर्थ है कि $(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4) = (0, 0, 0)$।
$4x_4 = -12 \implies x_4 = -3$।
$4y_4 = -12 \implies y_4 = -3$।
$4z_4 = -12 \implies z_4 = -3$।
अतः,चौथे द्रव्यमान का स्थान $(-3, -3, -3)$ है।

(C) दिया गया है: $m_1 = 200 \text{ g}$,$m_2 = 500 \text{ g}$.
वेग: $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ m/s}$,$\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m/s}$.
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{CM}$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{CM} = \frac{200(10 \hat{i}) + 500(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{200 + 500}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2000 \hat{i} + 1500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{3500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \text{ m/s}$.

(D) छड़ का घनत्व $\rho = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ के अनुसार बदलता है।
सिरे $x=0$ से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई की एक छोटी डिस्क (elemental disc) पर विचार करें।
इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot (\alpha dx) = \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \right) \alpha dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}{\int_0^L \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^3 dx}{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^2 dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^4/4]_0^L}{[x^3/3]_0^L} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{3}{4} L$.

(A) मान लीजिए कि पहली प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \,kg$ है और इसका $C.M.$ $R_1 = (1, 2, 3)$ पर है।
मान लीजिए कि दूसरी प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_2 = 3 + 2 = 5 \,kg$ है और इसका $C.M.$ $R_2 = (-1, 3, -2)$ पर है।
हम $M_3 = 5 \,kg$ द्रव्यमान का एक तीसरा कण $R_3 = (x, y, z)$ स्थिति पर जोड़ते हैं।
पूरी प्रणाली का $C.M.$ $R_{cm} = (1, 2, 3)$ दिया गया है।
संयुक्त प्रणाली के $C.M.$ के लिए सूत्र $R_{cm} = \frac{M_1 R_1 + M_2 R_2 + M_3 R_3}{M_1 + M_2 + M_3}$ है।
मान रखने पर: $(1, 2, 3) = \frac{6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z)}{6 + 5 + 5}$.
कुल द्रव्यमान $M = 16 \,kg$ है। इसलिए,$16(1, 2, 3) = (6, 12, 18) + (-5, 15, -10) + (5x, 5y, 5z)$.
$(16, 32, 48) = (1, 27, 8) + (5x, 5y, 5z)$.
$x$-निर्देशांक के लिए: $16 = 1 + 5x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $32 = 27 + 5y \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$.
$z$-निर्देशांक के लिए: $48 = 8 + 5z \Rightarrow 5z = 40 \Rightarrow z = 8$.
अतः,स्थिति $(3, 1, 8)$ है।

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_{1}$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है और द्रव्यमान $m_{2}$ x-अक्ष पर $R$ दूरी पर $(R, 0)$ पर स्थित है।
द्रव्यमान केंद्र के x-निर्देशांक का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
मान $x_{1} = 0$ और $x_{2} = R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{m_{1} \times 0 + m_{2} \times R}{m_{1} + m_{2}}$
$X_{cm} = \frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$
अतः,$m_{1}$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$ है।

(B) मान लीजिए कि कणों की स्थिति सदिशों $\vec{r}_i$ द्वारा दर्शाई गई है,जहाँ सभी $i = 1, 2, ..., n$ के लिए $|\vec{r}_i| = R$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ द्वारा दी जाती है।
सदिशों के लिए त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,द्रव्यमान केंद्र का परिमाण $|\vec{R}_{cm}| = \frac{|\sum m_i \vec{r}_i|}{\sum m_i} \le \frac{\sum m_i |\vec{r}_i|}{\sum m_i}$ होता है।
चूँकि सभी कणों के लिए $|\vec{r}_i| = R$ है,इसलिए $|\vec{R}_{cm}| \le \frac{\sum m_i R}{\sum m_i} = R$ प्राप्त होता है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र की मूल बिंदु से दूरी हमेशा $R$ के बराबर या उससे कम होती है।

(A) मान लीजिए कि मध्य बिंदु $p$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। $2 \text{ kg}$ और $3 \text{ kg}$ द्रव्यमानों के बीच की दूरी $d = 2 \times 10 \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m}$ है।
अतः,$2 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(-5\sqrt{3}, 0)$ पर और $3 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(5\sqrt{3}, 0)$ पर है।
$15 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(0, 10 \cos(60^\circ)) = (0, 5)$ पर है।
$X_{cm} = \frac{2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3}) + 15(0)}{2 + 3 + 15} = \frac{5\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{2(0) + 3(0) + 15(5)}{2 + 3 + 15} = \frac{75}{20} = 3.75$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x$-निर्देशांक $\frac{\sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $A$ सही है।