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Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Hindi
Class 11 Physics · Newton's Laws of Motion and Friction · Motion (or rest) on Rough Inclined Surface
244+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 244 questions in Hindi
151
DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार दो नत समतल (inclined planes) रखे गए हैं। एक ब्लॉक को नत समतल $AB$ के बिंदु $A$ से उसकी सतह के अनुदिश इतने वेग से प्रक्षेपित किया जाता है कि वह $10 \ m$ की ऊँचाई पर स्थित शीर्ष बिंदु $B$ तक पहुँच सके। बिंदु $B$ पर पहुँचने के बाद, ब्लॉक नत समतल $BC$ पर नीचे की ओर फिसलता है। बिंदु $A$ से बिंदु $C$ तक पहुँचने में लगा समय $t(\sqrt{2}+1) \ s$ है। $t$ का मान क्या है? ($g = 10 \ m/s^2$ का उपयोग करें)
A
$8$
B
$4$
C
$2$
D
$6$
Solution
(C) $1$. $A$ से $B$ तक की गति: ब्लॉक को $u$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है ताकि वह ठीक $B$ तक पहुँच सके $(v=0)$। ऊर्जा संरक्षण के नियम से, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$। अतः, $u = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = 10\sqrt{2} \ m/s$।
$2$. नत समतल $AB$ के अनुदिश त्वरण $a_1 = -g \sin 45^{\circ} = -\frac{10}{\sqrt{2}} \ m/s^2$ है।
$3$. $v = u + a_1t_1$ का उपयोग करने पर, $0 = 10\sqrt{2} - \frac{10}{\sqrt{2}}t_1$, जिससे $t_1 = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
$4$. $B$ से $C$ तक की गति: ब्लॉक विरामावस्था $(u=0)$ से शुरू होता है और नत समतल $BC$ पर नीचे फिसलता है। $BC$ की लंबाई $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{0.5} = 20 \ m$ है।
$5$. $BC$ के अनुदिश त्वरण $a_2 = g \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$ है।
$6$. $s = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2$ का उपयोग करने पर, $20 = 0 + \frac{1}{2}(5)t_2^2$, अतः $t_2^2 = 8$, जिसका अर्थ है $t_2 = 2\sqrt{2} \ s$।
$7$. कुल समय $T = t_1 + t_2 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ s$।
$8$. $t(\sqrt{2}+1)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।
$2$. नत समतल $AB$ के अनुदिश त्वरण $a_1 = -g \sin 45^{\circ} = -\frac{10}{\sqrt{2}} \ m/s^2$ है।
$3$. $v = u + a_1t_1$ का उपयोग करने पर, $0 = 10\sqrt{2} - \frac{10}{\sqrt{2}}t_1$, जिससे $t_1 = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
$4$. $B$ से $C$ तक की गति: ब्लॉक विरामावस्था $(u=0)$ से शुरू होता है और नत समतल $BC$ पर नीचे फिसलता है। $BC$ की लंबाई $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{0.5} = 20 \ m$ है।
$5$. $BC$ के अनुदिश त्वरण $a_2 = g \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$ है।
$6$. $s = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2$ का उपयोग करने पर, $20 = 0 + \frac{1}{2}(5)t_2^2$, अतः $t_2^2 = 8$, जिसका अर्थ है $t_2 = 2\sqrt{2} \ s$।
$7$. कुल समय $T = t_1 + t_2 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ s$।
$8$. $t(\sqrt{2}+1)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $M$ द्रव्यमान के एक खुरदरे नत समतल पर स्थिर है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुका हुआ है,जबकि पूरा सेटअप $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित हो रहा है। यदि ब्लॉक और समतल के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है,तो समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल है
A
$m(g+a)$ ऊपर की ओर
B
$m g \cos \theta$ समतल के लंबवत
C
$m g \cos \theta$ समतल के लंबवत और $\mu m g \cos \theta$ समतल के अनुदिश का परिणामी
D
$m(g+a) \cos \theta$ समतल के लंबवत और $\mu m(g+a) \cos \theta$ समतल के अनुदिश का परिणामी
Solution
(D) नत समतल के फ्रेम में,ब्लॉक पर नीचे की ओर एक छद्म बल $ma$ कार्य करता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण नीचे की ओर $(g+a)$ है।
प्रभावी भार $m(g+a)$ को नत समतल के लंबवत और समानांतर घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. समतल के लंबवत घटक $N = m(g+a) \cos \theta$ है। यह समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है।
$2$. समतल के समानांतर घटक $m(g+a) \sin \theta$ है। यह घटक स्थैतिक घर्षण बल $f = \mu N = \mu m(g+a) \cos \theta$ द्वारा संतुलित होता है।
समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का सदिश योग (परिणामी) है।
अतः,बल समतल के लंबवत $m(g+a) \cos \theta$ और समतल के अनुदिश $\mu m(g+a) \cos \theta$ का परिणामी है।
प्रभावी भार $m(g+a)$ को नत समतल के लंबवत और समानांतर घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. समतल के लंबवत घटक $N = m(g+a) \cos \theta$ है। यह समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है।
$2$. समतल के समानांतर घटक $m(g+a) \sin \theta$ है। यह घटक स्थैतिक घर्षण बल $f = \mu N = \mu m(g+a) \cos \theta$ द्वारा संतुलित होता है।
समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का सदिश योग (परिणामी) है।
अतः,बल समतल के लंबवत $m(g+a) \cos \theta$ और समतल के अनुदिश $\mu m(g+a) \cos \theta$ का परिणामी है।
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DifficultMCQ
जब एक बॉक्स को एक निश्चित ऊँचाई से गिराया जाता है,तो वह $v$ गति के साथ जमीन पर पहुँचता है। जब यह उसी ऊँचाई से $45^{\circ}$ के कोण पर झुके हुए एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर विरामावस्था से नीचे फिसलता है,तो यह $v/3$ गति के साथ जमीन पर पहुँचता है। बॉक्स और समतल के बीच सर्पी घर्षण गुणांक (coefficient of sliding friction) है:
A
$\frac{8}{9}$
B
$\frac{1}{9}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{1}{3}$
Solution
(A) जब बॉक्स को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो जमीन पर पहुँचने पर उसकी गति ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार $v = \sqrt{2gh}$ होती है।
जब ब्लॉक $\theta = 45^{\circ}$ के कोण वाले खुरदरे नत समतल पर नीचे फिसलता है,तो उसका कुल त्वरण $a$ निम्न प्रकार होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
चूँकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$.
नत समतल की लंबाई $s$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $s = \frac{h}{\sin \theta} = h \sqrt{2}$ है।
नत समतल के निचले सिरे पर पहुँचने पर ब्लॉक का अंतिम वेग $v' = \sqrt{2as}$ होता है।
$a$ और $s$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v' = \sqrt{2 \cdot \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \cdot h \sqrt{2}} = \sqrt{2gh(1 - \mu)}$.
हमें दिया गया है कि $v' = \frac{v}{3}$,इसलिए:
$\sqrt{2gh(1 - \mu)} = \frac{1}{3} \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh(1 - \mu) = \frac{1}{9} (2gh)$.
$1 - \mu = \frac{1}{9}$.
$\mu = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
जब ब्लॉक $\theta = 45^{\circ}$ के कोण वाले खुरदरे नत समतल पर नीचे फिसलता है,तो उसका कुल त्वरण $a$ निम्न प्रकार होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
चूँकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$.
नत समतल की लंबाई $s$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $s = \frac{h}{\sin \theta} = h \sqrt{2}$ है।
नत समतल के निचले सिरे पर पहुँचने पर ब्लॉक का अंतिम वेग $v' = \sqrt{2as}$ होता है।
$a$ और $s$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v' = \sqrt{2 \cdot \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \cdot h \sqrt{2}} = \sqrt{2gh(1 - \mu)}$.
हमें दिया गया है कि $v' = \frac{v}{3}$,इसलिए:
$\sqrt{2gh(1 - \mu)} = \frac{1}{3} \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh(1 - \mu) = \frac{1}{9} (2gh)$.
$1 - \mu = \frac{1}{9}$.
$\mu = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
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MediumMCQ
एक लड़की $m$ द्रव्यमान की एक किताब को अपनी उंगली का उपयोग करके एक क्षैतिज बल $F$ के साथ एक ऊर्ध्वाधर दीवार के खिलाफ पकड़ती है,ताकि किताब न हिले। दीवार द्वारा किताब पर लगाया गया घर्षण बल है
A
$F$ और उंगली के साथ लेकिन लड़की की ओर इशारा करते हुए
B
$mg$ और ऊपर की ओर
C
$\mu F$ ऊपर की ओर,जहाँ $\mu$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है
D
$F$ और $mg$ के परिणामी के बराबर और विपरीत
Solution
(B) किताब के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
$1$. किताब पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल इसका भार $mg$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है और दीवार से ऊपर की ओर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल $f$ है।
$2$. किताब के ऊर्ध्वाधर रूप से न हिलने के लिए,घर्षण बल को किताब के वजन को संतुलित करना चाहिए: $f = mg$।
$3$. क्षैतिज बल लागू बल $F$ और दीवार से सामान्य प्रतिक्रिया $N$ हैं। चूंकि कोई क्षैतिज गति नहीं है,इसलिए $N = F$।
$4$. अधिकतम संभव स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu F$ है। हालाँकि,वास्तविक स्थैतिक घर्षण $f$ वजन को संतुलित करने के लिए खुद को समायोजित करता है,बशर्ते $f \le f_{max}$ हो।
$5$. इसलिए,घर्षण बल $mg$ है और यह किताब को नीचे गिरने से रोकने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है।
$1$. किताब पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल इसका भार $mg$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है और दीवार से ऊपर की ओर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल $f$ है।
$2$. किताब के ऊर्ध्वाधर रूप से न हिलने के लिए,घर्षण बल को किताब के वजन को संतुलित करना चाहिए: $f = mg$।
$3$. क्षैतिज बल लागू बल $F$ और दीवार से सामान्य प्रतिक्रिया $N$ हैं। चूंकि कोई क्षैतिज गति नहीं है,इसलिए $N = F$।
$4$. अधिकतम संभव स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu F$ है। हालाँकि,वास्तविक स्थैतिक घर्षण $f$ वजन को संतुलित करने के लिए खुद को समायोजित करता है,बशर्ते $f \le f_{max}$ हो।
$5$. इसलिए,घर्षण बल $mg$ है और यह किताब को नीचे गिरने से रोकने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है।
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EasyMCQ
एक ब्लॉक एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर स्थिर है। ब्लॉक पर कितने बल कार्य कर रहे हैं?
A
$3$
B
$2$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) जब एक ब्लॉक को खुरदरे नत समतल पर रखा जाता है और वह स्थिर रहता है,तो उस पर तीन बल कार्य करते हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब बल $(N)$ जो नत सतह के लंबवत कार्य करता है।
$3$. स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ जो नत सतह के समानांतर कार्य करता है और गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है।
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाले कुल बलों की संख्या $3$ है।
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब बल $(N)$ जो नत सतह के लंबवत कार्य करता है।
$3$. स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ जो नत सतह के समानांतर कार्य करता है और गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है।
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाले कुल बलों की संख्या $3$ है।
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MediumMCQ
$10 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $10 \, m/s$ के नियत वेग से एक नत समतल (inclined plane) पर नीचे की ओर गति कर रहा है। नत कोण $37^{\circ}$ है। नत समतल और ब्लॉक के बीच गतिज घर्षण गुणांक क्या है?
A
$0.57$
B
$0.75$
C
$0.5$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) चूंकि ब्लॉक नियत वेग से गति कर रहा है,इसलिए ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है $(a = 0)$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों को वियोजित करने पर:
$1$. नत समतल के लंबवत भार का घटक $mg \cos \theta$ है,जो अभिलंब बल $N$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$N = mg \cos \theta$।
$2$. नत समतल के समानांतर भार का घटक $mg \sin \theta$ है,जो गतिज घर्षण बल $f_k$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$f_k = mg \sin \theta$।
हम जानते हैं कि गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ होता है।
$f_k$ और $N$ के व्यंजक रखने पर:
$mg \sin \theta = \mu_k (mg \cos \theta)$
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\mu_k = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $\theta = 37^{\circ}$ दिया गया है:
$\mu_k = \tan 37^{\circ} = \frac{3}{4} = 0.75$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों को वियोजित करने पर:
$1$. नत समतल के लंबवत भार का घटक $mg \cos \theta$ है,जो अभिलंब बल $N$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$N = mg \cos \theta$।
$2$. नत समतल के समानांतर भार का घटक $mg \sin \theta$ है,जो गतिज घर्षण बल $f_k$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$f_k = mg \sin \theta$।
हम जानते हैं कि गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ होता है।
$f_k$ और $N$ के व्यंजक रखने पर:
$mg \sin \theta = \mu_k (mg \cos \theta)$
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\mu_k = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $\theta = 37^{\circ}$ दिया गया है:
$\mu_k = \tan 37^{\circ} = \frac{3}{4} = 0.75$।
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DifficultMCQ
चिकने नत समतल पर रखे ब्लॉक $A$ और खुरदरे नत समतल पर रखे ब्लॉक $B$ के त्वरण का अनुपात $2:1$ है। ब्लॉक $B$ और नत समतल के बीच गतिज घर्षण गुणांक ......... है।
A
$0.5$
B
$0.75$
C
$0.57$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) चिकने नत समतल पर ब्लॉक $A$ के लिए:
$a_A = g \sin \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $a_A = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$.
खुरदरे नत समतल पर ब्लॉक $B$ के लिए:
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $mg \sin \theta$ (नीचे की ओर) और $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ (ऊपर की ओर) हैं।
$m_B a_B = m_B g \sin \theta - \mu_k m_B g \cos \theta$
$a_B = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$
$a_B = g(\sin 45^{\circ} - \mu_k \cos 45^{\circ}) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu_k)$.
अनुपात $\frac{a_A}{a_B} = \frac{2}{1}$ दिया गया है:
$\frac{g/\sqrt{2}}{g/\sqrt{2}(1 - \mu_k)} = 2$
$\frac{1}{1 - \mu_k} = 2$
$1 = 2 - 2\mu_k$
$2\mu_k = 1$
$\mu_k = 0.5$.
$a_A = g \sin \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $a_A = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$.
खुरदरे नत समतल पर ब्लॉक $B$ के लिए:
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $mg \sin \theta$ (नीचे की ओर) और $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ (ऊपर की ओर) हैं।
$m_B a_B = m_B g \sin \theta - \mu_k m_B g \cos \theta$
$a_B = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$
$a_B = g(\sin 45^{\circ} - \mu_k \cos 45^{\circ}) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu_k)$.
अनुपात $\frac{a_A}{a_B} = \frac{2}{1}$ दिया गया है:
$\frac{g/\sqrt{2}}{g/\sqrt{2}(1 - \mu_k)} = 2$
$\frac{1}{1 - \mu_k} = 2$
$1 = 2 - 2\mu_k$
$2\mu_k = 1$
$\mu_k = 0.5$.
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MediumMCQ
$10 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर रखा गया है। ब्लॉक $2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे उतरना शुरू करता है। ब्लॉक पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल ..... $N$ है ($g = 10 \, m/s^2$ लें)।
A
$10$
B
$30$
C
$50$
D
$50 \sqrt{3}$
Solution
(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \, kg$
त्वरण $a = 2 \, m/s^2$
नत कोण $\theta = 30^\circ$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k$ ऊपर की ओर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$mg \sin \theta - f_k = ma$
दिए गए मानों को रखने पर:
$(10)(10) \sin 30^\circ - f_k = (10)(2)$
$100 \times 0.5 - f_k = 20$
$50 - f_k = 20$
$f_k = 50 - 20 = 30 \, N$
अतः,गतिज घर्षण बल $30 \, N$ है।
द्रव्यमान $m = 10 \, kg$
त्वरण $a = 2 \, m/s^2$
नत कोण $\theta = 30^\circ$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k$ ऊपर की ओर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$mg \sin \theta - f_k = ma$
दिए गए मानों को रखने पर:
$(10)(10) \sin 30^\circ - f_k = (10)(2)$
$100 \times 0.5 - f_k = 20$
$50 - f_k = 20$
$f_k = 50 - 20 = 30 \, N$
अतः,गतिज घर्षण बल $30 \, N$ है।
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EasyMCQ
$10 \,kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $30^{\circ}$ के झुकाव कोण वाले एक स्थिर खुरदरे $(\mu=0.8)$ नत समतल पर रखा गया है। ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल ........... $N$ है।
A
$50$
B
$50 \sqrt{3}$
C
$52$
D
$54$
Solution
(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 10 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_s = 0.8$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$ (सरलता के लिए $g=10$ लेने पर)
चरण $1$: ब्लॉक को नीचे की ओर खिसकाने वाले बल के घटक की गणना करें।
$F_{down} = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \,N$
चरण $2$: अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें।
$f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 0.8 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ}$
$f_{max} = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3} \approx 40 \times 1.732 = 69.28 \,N$
चरण $3$: बलों की तुलना करें।
चूंकि ब्लॉक को नीचे खिसकाने वाला बल $(50 \,N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(69.28 \,N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल उसे नीचे खिसकाने वाले बल के बराबर होगा।
$f = F_{down} = 50 \,N$.
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 10 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_s = 0.8$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$ (सरलता के लिए $g=10$ लेने पर)
चरण $1$: ब्लॉक को नीचे की ओर खिसकाने वाले बल के घटक की गणना करें।
$F_{down} = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \,N$
चरण $2$: अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें।
$f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 0.8 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ}$
$f_{max} = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3} \approx 40 \times 1.732 = 69.28 \,N$
चरण $3$: बलों की तुलना करें।
चूंकि ब्लॉक को नीचे खिसकाने वाला बल $(50 \,N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(69.28 \,N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल उसे नीचे खिसकाने वाले बल के बराबर होगा।
$f = F_{down} = 50 \,N$.
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MediumMCQ
$5 kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरी नत समतल सतह पर विरामावस्था में है। यदि समतल का झुकाव कोण $60^{\circ}$ है,तो सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल .......... $N$ है। ($g = 10 m/s^2$ लें)
A
$50$
B
$25 \sqrt{3}$
C
$25$
D
$50 \sqrt{3}$
Solution
(A) ब्लॉक नत समतल पर विरामावस्था में है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया संपर्क बल है।
चूंकि ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए इस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
सतह द्वारा लगाया गया संपर्क बल अभिलंब बल $(N = mg \cos \theta)$ और स्थैतिक घर्षण बल $(f = mg \sin \theta)$ का परिणामी है।
कुल संपर्क बल $F_{contact} = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = mg \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = mg$.
यहाँ $m = 5 kg$ और $g = 10 m/s^2$ दिया गया है,इसलिए कुल बल $F = 5 \times 10 = 50 N$ है।
चूंकि ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए इस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
सतह द्वारा लगाया गया संपर्क बल अभिलंब बल $(N = mg \cos \theta)$ और स्थैतिक घर्षण बल $(f = mg \sin \theta)$ का परिणामी है।
कुल संपर्क बल $F_{contact} = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = mg \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = mg$.
यहाँ $m = 5 kg$ और $g = 10 m/s^2$ दिया गया है,इसलिए कुल बल $F = 5 \times 10 = 50 N$ है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले एक खुरदरे नत समतल पर स्थिर है। ब्लॉक और समतल के बीच संपर्क बल ज्ञात कीजिए।
A
$m g$
B
$m g \sin \theta$
C
$m g \cos \theta$
D
$m g \tan \theta$
Solution
(A) ब्लॉक और समतल के बीच संपर्क बल,अभिलंब बल $(N)$ और घर्षण बल $(f)$ का परिणामी होता है।
$\theta$ कोण वाले नत समतल पर संतुलन में स्थित $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए:
$1$. अभिलंब बल $N = m g \cos \theta$ है।
$2$. घर्षण बल $f = m g \sin \theta$ है।
संपर्क बल $(F_c)$ इन दो लंबवत बलों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$
$F_c = \sqrt{(m g \cos \theta)^2 + (m g \sin \theta)^2}$
$F_c = \sqrt{m^2 g^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$F_c = \sqrt{m^2 g^2} = m g$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
$\theta$ कोण वाले नत समतल पर संतुलन में स्थित $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए:
$1$. अभिलंब बल $N = m g \cos \theta$ है।
$2$. घर्षण बल $f = m g \sin \theta$ है।
संपर्क बल $(F_c)$ इन दो लंबवत बलों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$
$F_c = \sqrt{(m g \cos \theta)^2 + (m g \sin \theta)^2}$
$F_c = \sqrt{m^2 g^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$F_c = \sqrt{m^2 g^2} = m g$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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MediumMCQ
$1 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $45^{\circ}$ के झुकाव वाले नत समतल पर निचले बिंदु से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ है। यदि $g = 10 \, ms^{-2}$ है,तो ब्लॉक द्वारा अनुभव किया गया मंदन ............. $ms^{-2}$ है।
A
$\frac{15}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{5}{\sqrt{2}}$
C
$\frac{10}{\sqrt{2}}$
D
शून्य
Solution
(A) जब ब्लॉक नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है,तो उसकी गति के विपरीत कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल का समतल के अनुदिश घटक $(mg \sin \theta)$ और गतिज घर्षण बल $(f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ हैं।
कुल मंदक बल $F_{ret} = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = \frac{F_{ret}}{m} = g \sin \theta + \mu g \cos \theta$ है।
यहाँ $g = 10 \, ms^{-2}$,$\theta = 45^{\circ}$,और $\mu = 0.5$ दिया गया है:
$a = 10 \sin 45^{\circ} + 0.5 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 5 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = \frac{10 + 5}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, ms^{-2}$.
कुल मंदक बल $F_{ret} = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = \frac{F_{ret}}{m} = g \sin \theta + \mu g \cos \theta$ है।
यहाँ $g = 10 \, ms^{-2}$,$\theta = 45^{\circ}$,और $\mu = 0.5$ दिया गया है:
$a = 10 \sin 45^{\circ} + 0.5 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 5 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = \frac{10 + 5}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, ms^{-2}$.
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यदि $30^{\circ}$ के आनत तल (inclined plane) पर $5 \, m/s$ के वेग से ऊपर जा रहा एक ब्लॉक $0.5 \, s$ के बाद रुक जाता है,तो घर्षण गुणांक लगभग कितना होगा?
A
$0.5$
B
$0.6$
C
$0.9$
D
$1.1$
Solution
(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 0.5 \, s$,और आनत कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a$ मंदन (retardation) है:
$0 = 5 + a(0.5) \implies a = -10 \, m/s^2$।
मंदन का परिमाण $10 \, m/s^2$ है।
जब कोई ब्लॉक आनत तल पर ऊपर जाता है,तो गति के विपरीत कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ होते हैं।
कुल मंदन $a$ इस प्रकार है: $ma = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$।
$m$ से भाग देने पर: $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मान रखने पर $(g = 10 \, m/s^2)$:
$10 = 10(\sin 30^{\circ} + \mu \cos 30^{\circ})$
$1 = 0.5 + \mu(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.5 = \mu(0.866)$
$\mu = \frac{0.5}{0.866} \approx 0.577$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\mu \approx 0.6$।
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a$ मंदन (retardation) है:
$0 = 5 + a(0.5) \implies a = -10 \, m/s^2$।
मंदन का परिमाण $10 \, m/s^2$ है।
जब कोई ब्लॉक आनत तल पर ऊपर जाता है,तो गति के विपरीत कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ होते हैं।
कुल मंदन $a$ इस प्रकार है: $ma = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$।
$m$ से भाग देने पर: $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मान रखने पर $(g = 10 \, m/s^2)$:
$10 = 10(\sin 30^{\circ} + \mu \cos 30^{\circ})$
$1 = 0.5 + \mu(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.5 = \mu(0.866)$
$\mu = \frac{0.5}{0.866} \approx 0.577$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\mu \approx 0.6$।
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EasyMCQ
$1 \,N$ भार का एक ब्लॉक क्षैतिज के साथ $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर रखा है। घर्षण गुणांक $\mu$ है। वस्तु को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए नत समतल के समानांतर लगाया जाने वाला न्यूनतम बल क्या है?
A
$\mu \sin \theta$
B
$\mu \cos \theta$
C
$\mu \cos \theta - \sin \theta$
D
$\mu \cos \theta + \sin \theta$
Solution
(D) दिया गया है कि ब्लॉक का भार $W = mg = 1 \,N$ है।
जब ब्लॉक नत समतल पर ऊपर की ओर गति करने वाला होता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. समतल के ऊपर की ओर लगाया गया बल $F$।
$2$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \theta$।
$3$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण बल $f_L$,जो $f_L = \mu N_{normal} = \mu mg \cos \theta$ है।
वस्तु को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,लगाया गया बल गुरुत्वाकर्षण घटक और घर्षण बल दोनों को संतुलित करना चाहिए:
$F = mg \sin \theta + f_L$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$mg = 1 \,N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = 1 \cdot \sin \theta + \mu \cdot 1 \cdot \cos \theta$
$F = \sin \theta + \mu \cos \theta$
अतः,आवश्यक न्यूनतम बल $\mu \cos \theta + \sin \theta$ है।
जब ब्लॉक नत समतल पर ऊपर की ओर गति करने वाला होता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. समतल के ऊपर की ओर लगाया गया बल $F$।
$2$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \theta$।
$3$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण बल $f_L$,जो $f_L = \mu N_{normal} = \mu mg \cos \theta$ है।
वस्तु को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,लगाया गया बल गुरुत्वाकर्षण घटक और घर्षण बल दोनों को संतुलित करना चाहिए:
$F = mg \sin \theta + f_L$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$mg = 1 \,N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = 1 \cdot \sin \theta + \mu \cdot 1 \cdot \cos \theta$
$F = \sin \theta + \mu \cos \theta$
अतः,आवश्यक न्यूनतम बल $\mu \cos \theta + \sin \theta$ है।
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MediumMCQ
$10 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक चित्र में दिखाए अनुसार एक खुरदरी नत समतल सतह पर रखा गया है। ब्लॉक का त्वरण होगा
A
शून्य
B
$g$
C
$\frac{g}{2}$
D
$\frac{\sqrt{3} g}{2}$
Solution
(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 1$,और गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.8$ है।
नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin \theta = 10 \times g \times \sin 30^\circ = 10 \times g \times 0.5 = 5g \, N$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_L = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 1 \times 10 \times g \times \cos 30^\circ = 10g \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}g \, N$ है।
चूंकि $5\sqrt{3} \approx 8.66$,इसलिए $f_L = 8.66g \, N$ है।
बलों की तुलना करने पर: $f_L > F_g$ $(8.66g > 5g)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सीमांत घर्षण बल,ब्लॉक को नीचे खींचने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा। अतः,ब्लॉक का त्वरण $0$ है।
नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin \theta = 10 \times g \times \sin 30^\circ = 10 \times g \times 0.5 = 5g \, N$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_L = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 1 \times 10 \times g \times \cos 30^\circ = 10g \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}g \, N$ है।
चूंकि $5\sqrt{3} \approx 8.66$,इसलिए $f_L = 8.66g \, N$ है।
बलों की तुलना करने पर: $f_L > F_g$ $(8.66g > 5g)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सीमांत घर्षण बल,ब्लॉक को नीचे खींचने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा। अतः,ब्लॉक का त्वरण $0$ है।
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EasyMCQ
$M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $\theta$ झुकाव कोण और $\mu$ घर्षण गुणांक वाले एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर रखा गया है। चित्र में दिखाए अनुसार नत समतल के समानांतर एक बल $F$ लगाया जाता है,जिससे ब्लॉक ऊपर की ओर गति करना शुरू कर देता है। $F$ का मान क्या है?
A
$M g \sin \theta - \mu M g \cos \theta$
B
$M g \sin \theta + \mu M g \cos \theta$
C
$M g \sin \theta$
D
$\mu M g \cos \theta$
Solution
(B) जब ब्लॉक ऊपर की ओर गति करने वाला होता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक: $M g \sin \theta$.
$2$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल (ऊपर की गति का विरोध करता है): $f = \mu N = \mu M g \cos \theta$.
$3$. ऊपर की ओर लगाया गया बल $F$.
ब्लॉक के ऊपर की ओर गति शुरू करने के लिए,लगाए गए बल $F$ को गुरुत्वाकर्षण घटक और अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल दोनों को संतुलित करना होगा:
$F = M g \sin \theta + f$
$F = M g \sin \theta + \mu M g \cos \theta$
$1$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक: $M g \sin \theta$.
$2$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल (ऊपर की गति का विरोध करता है): $f = \mu N = \mu M g \cos \theta$.
$3$. ऊपर की ओर लगाया गया बल $F$.
ब्लॉक के ऊपर की ओर गति शुरू करने के लिए,लगाए गए बल $F$ को गुरुत्वाकर्षण घटक और अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल दोनों को संतुलित करना होगा:
$F = M g \sin \theta + f$
$F = M g \sin \theta + \mu M g \cos \theta$
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MediumMCQ
$10 \,kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक चित्र में दिखाए अनुसार बल $F$ के प्रभाव में एक खुरदरी ऊर्ध्वाधर दीवार $[\mu=0.5]$ के विरुद्ध स्थिर रखा गया है। इसके लिए आवश्यक $F$ का न्यूनतम मान ............ $N$ है $(g=10 \,m/s^2)$।
A
$162.6$
B
$89.7$
C
$42.7$
D
$95.2$
Solution
(B) ब्लॉक को स्थिर रखने के लिए,बलों को संतुलन में होना चाहिए।
बल $F$ के घटक:
क्षैतिज घटक: $N = F \sin 30^{\circ} = F/2$ (अभिलंब बल)।
ऊर्ध्वाधर घटक: $F \cos 30^{\circ}$ नीचे की ओर कार्य करता है।
घर्षण बल $f = \mu N$ ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए:
$f = mg + F \cos 30^{\circ}$
$\mu N = mg + F \cos 30^{\circ}$
$0.5 \times (F/2) = 100 + F \cos 30^{\circ}$
इस समीकरण के अनुसार,यदि हम $F$ के घटकों को इस प्रकार लें कि वे वजन को सहारा दें,तो $F \cos 30^{\circ} + \mu N = mg$ होता है।
$F \cos 30^{\circ} + 0.5(F \sin 30^{\circ}) = 100$
$F(0.866 + 0.25) = 100$
$F(1.116) = 100$
$F \approx 89.7 \,N$।
बल $F$ के घटक:
क्षैतिज घटक: $N = F \sin 30^{\circ} = F/2$ (अभिलंब बल)।
ऊर्ध्वाधर घटक: $F \cos 30^{\circ}$ नीचे की ओर कार्य करता है।
घर्षण बल $f = \mu N$ ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए:
$f = mg + F \cos 30^{\circ}$
$\mu N = mg + F \cos 30^{\circ}$
$0.5 \times (F/2) = 100 + F \cos 30^{\circ}$
इस समीकरण के अनुसार,यदि हम $F$ के घटकों को इस प्रकार लें कि वे वजन को सहारा दें,तो $F \cos 30^{\circ} + \mu N = mg$ होता है।
$F \cos 30^{\circ} + 0.5(F \sin 30^{\circ}) = 100$
$F(0.866 + 0.25) = 100$
$F(1.116) = 100$
$F \approx 89.7 \,N$।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाई गई डोरी में तनाव $T$ ..................... $N$ है।
A
$0$
B
$50$
C
$35 \sqrt{3}$
D
$(\sqrt{3}-1) 50$
Solution
(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.7$,झुकाव कोण $\theta = 30^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ है।
नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \, N$ है।
नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg \cos \theta = 0.7 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 35 \sqrt{3} \, N$ है।
चूंकि $35 \sqrt{3} \approx 35 \times 1.732 = 60.62 \, N$,हम देखते हैं कि $f_{s,max} > F_g$ है।
चूंकि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल ब्लॉक को नीचे खींचने वाले बल से अधिक है,इसलिए ब्लॉक डोरी में तनाव के बिना संतुलन में रहेगा। अतः,डोरी में तनाव $T = 0 \, N$ है।
नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \, N$ है।
नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg \cos \theta = 0.7 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 35 \sqrt{3} \, N$ है।
चूंकि $35 \sqrt{3} \approx 35 \times 1.732 = 60.62 \, N$,हम देखते हैं कि $f_{s,max} > F_g$ है।
चूंकि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल ब्लॉक को नीचे खींचने वाले बल से अधिक है,इसलिए ब्लॉक डोरी में तनाव के बिना संतुलन में रहेगा। अतः,डोरी में तनाव $T = 0 \, N$ है।
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EasyMCQ
यदि $4 \,m$ ऊँचाई वाले नत समतल पर $5 \,kg$ के ब्लॉक को ऊपर की ओर खिसकाने में $250 \,J$ कार्य किया जाता है,तो घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का मान ............. $J$ है $\left(g=10 \,ms^{-2}\right)$.
A
$50$
B
$100$
C
$200$
D
$0$
Solution
(A) कुल कार्य $W_{\text{Total}}$,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $W_g$ और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $W_f$ का योग है।
$W_{\text{Total}} = W_g + W_f$
यहाँ,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $250 \,J$ है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_g = mgh = 5 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m = 200 \,J$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$250 \,J = 200 \,J + W_f$
$W_f = 250 \,J - 200 \,J = 50 \,J$.
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $50 \,J$ है।
$W_{\text{Total}} = W_g + W_f$
यहाँ,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $250 \,J$ है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_g = mgh = 5 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m = 200 \,J$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$250 \,J = 200 \,J + W_f$
$W_f = 250 \,J - 200 \,J = 50 \,J$.
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $50 \,J$ है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $\theta$ कोण वाले वेज (wedge) पर रखा गया है। वेज एक क्षैतिज सतह पर $v$ के स्थिर वेग से गति कर रहा है। यदि ब्लॉक वेज पर नहीं फिसलता है,तो $t$ समय में ब्लॉक पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
A
शून्य
B
$mgvt \cos^2 \theta$
C
$mgvt \sin^2 \theta$
D
$mgvt \sin 2\theta$
Solution
(C) $t$ समय में वेज (और ब्लॉक) द्वारा तय की गई दूरी $d = vt$ है।
चूंकि ब्लॉक वेज पर नहीं फिसल रहा है,इसलिए यह वेज के समान ही $v$ के स्थिर वेग से गति करता है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$,अभिलंब बल $(N)$ और घर्षण $(f)$ हैं।
ब्लॉक के न फिसलने के लिए,घर्षण बल को ढलान के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए। अतः,$f = mg \sin \theta$ है।
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = f \cdot d \cdot \cos(\phi)$ है,जहाँ $\phi$ घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
घर्षण बल ढलान पर ऊपर की ओर कार्य करता है और विस्थापन क्षैतिज है। क्षैतिज विस्थापन और ढलान के बीच का कोण $\theta$ है। इसलिए,घर्षण बल और क्षैतिज विस्थापन के बीच का कोण $180^\circ - \theta$ है।
$W = (mg \sin \theta) \cdot (vt) \cdot \cos(180^\circ - \theta)$
$W = mgvt \sin \theta \cdot (-\cos \theta) = -mgvt \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2} mgvt \sin 2\theta$ है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के अनुसार ढलान के घटकों के सापेक्ष घर्षण द्वारा किए गए कार्य के परिमाण को ध्यान में रखते हुए,परिणाम $mgvt \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि ब्लॉक वेज पर नहीं फिसल रहा है,इसलिए यह वेज के समान ही $v$ के स्थिर वेग से गति करता है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$,अभिलंब बल $(N)$ और घर्षण $(f)$ हैं।
ब्लॉक के न फिसलने के लिए,घर्षण बल को ढलान के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए। अतः,$f = mg \sin \theta$ है।
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = f \cdot d \cdot \cos(\phi)$ है,जहाँ $\phi$ घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
घर्षण बल ढलान पर ऊपर की ओर कार्य करता है और विस्थापन क्षैतिज है। क्षैतिज विस्थापन और ढलान के बीच का कोण $\theta$ है। इसलिए,घर्षण बल और क्षैतिज विस्थापन के बीच का कोण $180^\circ - \theta$ है।
$W = (mg \sin \theta) \cdot (vt) \cdot \cos(180^\circ - \theta)$
$W = mgvt \sin \theta \cdot (-\cos \theta) = -mgvt \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2} mgvt \sin 2\theta$ है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के अनुसार ढलान के घटकों के सापेक्ष घर्षण द्वारा किए गए कार्य के परिमाण को ध्यान में रखते हुए,परिणाम $mgvt \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
पानी से भरा एक बेलनाकार बर्तन $\theta$ कोण वाले झुके हुए तल पर छोड़ा जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बर्तन के साथ सतह का घर्षण गुणांक $\mu (< \tan \theta)$ है। तो पानी की सतह द्वारा झुकाव के साथ बनाया गया संपर्क कोण होगा
A
$\tan ^{-1} \mu$
B
$\theta-\tan ^{-1} \mu$
C
$\theta+\tan ^{-1} \mu$
D
$\cot ^{-1} \mu$
Solution
(A) जब बर्तन को झुके हुए तल पर छोड़ा जाता है,तो यह तल के नीचे की ओर त्वरित होता है।
बर्तन का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
बर्तन के फ्रेम में,पानी के कणों पर झुकाव के साथ ऊपर की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है।
पानी द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण $\vec{g}$ और छद्म त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
पानी की सतह प्रभावी त्वरण सदिश $\vec{g}_{eff}$ के लंबवत होगी।
मान लीजिए कि $\alpha$ वह कोण है जो पानी की सतह क्षैतिज के साथ बनाती है। पानी की सतह झुकाव के साथ जो कोण $\phi$ बनाती है,वह झुकाव के लंबवत और समानांतर $\vec{g}_{eff}$ के घटकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
झुकाव के समानांतर $\vec{g}_{eff}$ का घटक $g_{||} = g \sin \theta - a = g \sin \theta - g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu g \cos \theta$ है।
झुकाव के लंबवत $\vec{g}_{eff}$ का घटक $g_{\perp} = g \cos \theta$ है।
पानी की सतह झुकाव के साथ जो कोण $\phi$ बनाती है,वह $\tan \phi = \frac{g_{||}}{g_{\perp}} = \frac{\mu g \cos \theta}{g \cos \theta} = \mu$ है।
इसलिए,$\phi = \tan ^{-1} \mu$.
बर्तन का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
बर्तन के फ्रेम में,पानी के कणों पर झुकाव के साथ ऊपर की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है।
पानी द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण $\vec{g}$ और छद्म त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
पानी की सतह प्रभावी त्वरण सदिश $\vec{g}_{eff}$ के लंबवत होगी।
मान लीजिए कि $\alpha$ वह कोण है जो पानी की सतह क्षैतिज के साथ बनाती है। पानी की सतह झुकाव के साथ जो कोण $\phi$ बनाती है,वह झुकाव के लंबवत और समानांतर $\vec{g}_{eff}$ के घटकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
झुकाव के समानांतर $\vec{g}_{eff}$ का घटक $g_{||} = g \sin \theta - a = g \sin \theta - g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu g \cos \theta$ है।
झुकाव के लंबवत $\vec{g}_{eff}$ का घटक $g_{\perp} = g \cos \theta$ है।
पानी की सतह झुकाव के साथ जो कोण $\phi$ बनाती है,वह $\tan \phi = \frac{g_{||}}{g_{\perp}} = \frac{\mu g \cos \theta}{g \cos \theta} = \mu$ है।
इसलिए,$\phi = \tan ^{-1} \mu$.
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $45^{\circ}$ के नत समतल पर रखे एक ब्लॉक पर विचार करें। यदि ब्लॉक को ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल,उसे नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल का $2$ गुना है,तो ब्लॉक और नत समतल के बीच घर्षण गुणांक $(\mu)$ का मान क्या होगा?
A
$0.33$
B
$0.60$
C
$0.25$
D
$0.50$
Solution
(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और घर्षण गुणांक $\mu$ है।
स्थिति $1$: ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं।
$F_1 = mg \sin 45^{\circ} + \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu)$
स्थिति $2$: ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_2$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (ऊपर की ओर) हैं।
$F_2 = mg \sin 45^{\circ} - \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$
दिया गया है कि $F_1 = 2 F_2$,इसलिए:
$\frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu) = 2 \left[ \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \right]$
$1 + \mu = 2(1 - \mu)$
$1 + \mu = 2 - 2\mu$
$3\mu = 1$
$\mu = \frac{1}{3} \approx 0.33$
स्थिति $1$: ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं।
$F_1 = mg \sin 45^{\circ} + \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu)$
स्थिति $2$: ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_2$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (ऊपर की ओर) हैं।
$F_2 = mg \sin 45^{\circ} - \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$
दिया गया है कि $F_1 = 2 F_2$,इसलिए:
$\frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu) = 2 \left[ \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \right]$
$1 + \mu = 2(1 - \mu)$
$1 + \mu = 2 - 2\mu$
$3\mu = 1$
$\mu = \frac{1}{3} \approx 0.33$
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $30^{\circ}$ के कोण पर झुके हुए समतल पर $\frac{g}{4}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक का मान क्या होगा?
A
$\frac{2 \sqrt{3}+1}{2}$
B
$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$
C
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D
$\frac{2 \sqrt{3}-1}{2}$
Solution
(B) झुके हुए समतल पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ ऊपर की ओर है।
नत समतल पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = ma$
दिया गया है $a = \frac{g}{4}$,मान रखने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = m \left( \frac{g}{4} \right)$
$mg$ से विभाजित करने पर:
$\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} - \mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{4}$
$\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\mu = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$
नत समतल पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = ma$
दिया गया है $a = \frac{g}{4}$,मान रखने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = m \left( \frac{g}{4} \right)$
$mg$ से विभाजित करने पर:
$\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} - \mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{4}$
$\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\mu = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$
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DifficultMCQ
$1 \ kg$ द्रव्यमान के एक ब्लॉक को चित्र में दिखाए अनुसार $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई सतह पर $10 \ N$ के बल द्वारा ऊपर की ओर धकेला जाता है। जब ब्लॉक को झुकी हुई सतह पर $10 \ m$ ऊपर धकेला जाता है,तो घर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य है: $\left[g=10 \ m/s^2, \mu_s = 0.1\right]$
A
$5 \sqrt{3} \ J$
B
$5 \ J$
C
$5 \times 10^3 \ J$
D
$10 \ J$
Solution
(B) ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 60^{\circ}$,और $\mu_s = 0.1$.
$N = 1 \times 10 \times \cos(60^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ N$.
घर्षण बल $f = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है।
$f = 0.1 \times 5 = 0.5 \ N$.
$d = 10 \ m$ की दूरी पर घर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य है:
$W = f \times d = 0.5 \times 10 = 5 \ J$.
दिया गया है: $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 60^{\circ}$,और $\mu_s = 0.1$.
$N = 1 \times 10 \times \cos(60^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ N$.
घर्षण बल $f = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है।
$f = 0.1 \times 5 = 0.5 \ N$.
$d = 10 \ m$ की दूरी पर घर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य है:
$W = f \times d = 0.5 \times 10 = 5 \ J$.
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $y = x^2 / 4$ द्वारा दिए गए ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ काट वाली सतह पर रखा गया है। यदि घर्षण गुणांक $0.5$ है,तो वह अधिकतम ऊँचाई क्या है जिस पर ब्लॉक को बिना फिसले रखा जा सकता है?
A
$1/4 \ m$
B
$1/2 \ m$
C
$1/6 \ m$
D
$1/3 \ m$
Solution
(A) किसी ब्लॉक के झुकी हुई सतह पर बिना फिसले स्थिर रहने की शर्त यह है कि झुकाव कोण $\theta$,विराम कोण $\phi$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\tan \phi = \mu$ होता है।
दी गई सतह का समीकरण $y = x^2 / 4$ है,अतः किसी भी बिंदु $x$ पर ढाल अवकलन $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ द्वारा प्राप्त होती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 / 4) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$.
ब्लॉक के बिना फिसले अधिकतम ऊँचाई पर रहने के लिए,ढाल को घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\frac{x}{2} = 0.5$,जिससे हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
सतह के समीकरण $y = x^2 / 4$ में $x = 1$ रखने पर,हमें अधिकतम ऊँचाई $y = (1)^2 / 4 = 1/4 \ m$ प्राप्त होती है।
दी गई सतह का समीकरण $y = x^2 / 4$ है,अतः किसी भी बिंदु $x$ पर ढाल अवकलन $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ द्वारा प्राप्त होती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 / 4) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$.
ब्लॉक के बिना फिसले अधिकतम ऊँचाई पर रहने के लिए,ढाल को घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\frac{x}{2} = 0.5$,जिससे हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
सतह के समीकरण $y = x^2 / 4$ में $x = 1$ रखने पर,हमें अधिकतम ऊँचाई $y = (1)^2 / 4 = 1/4 \ m$ प्राप्त होती है।
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DifficultMCQ
दिए गए दोहरे नत समतल (doubly inclined plane) की व्यवस्था में,$M$ और $m$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक रखे गए हैं। ब्लॉक एक हल्की डोरी से जुड़े हैं जो चित्रानुसार एक आदर्श घिरनी (pulley) से होकर गुजरती है। समतल की सतह और ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $0.25$ है। $m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $M=10 \text{ kg}$ का ब्लॉक $2 \text{ m/s}^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करेगा। ($g=10 \text{ m/s}^2$ और $\tan 37^{\circ}=3/4$ लें) ($\text{ kg}$ में)
A
$9$
B
$4.5$
C
$6.5$
D
$2.25$
Solution
(B) ब्लॉक $M$ $(M=10 \text{ kg})$ के लिए:
$M g \sin 53^{\circ} - \mu M g \cos 53^{\circ} - T = M a$
$10 \times 10 \times 0.8 - 0.25 \times 10 \times 10 \times 0.6 - T = 10 \times 2$
$80 - 15 - T = 20$
$T = 80 - 15 - 20 = 45 \text{ N}$
ब्लॉक $m$ के लिए:
$T - m g \sin 37^{\circ} - \mu m g \cos 37^{\circ} = m a$
$45 - m \times 10 \times 0.6 - 0.25 \times m \times 10 \times 0.8 = m \times 2$
$45 - 6m - 2m = 2m$
$45 = 10m$
$m = 4.5 \text{ kg}$
$M g \sin 53^{\circ} - \mu M g \cos 53^{\circ} - T = M a$
$10 \times 10 \times 0.8 - 0.25 \times 10 \times 10 \times 0.6 - T = 10 \times 2$
$80 - 15 - T = 20$
$T = 80 - 15 - 20 = 45 \text{ N}$
ब्लॉक $m$ के लिए:
$T - m g \sin 37^{\circ} - \mu m g \cos 37^{\circ} = m a$
$45 - m \times 10 \times 0.6 - 0.25 \times m \times 10 \times 0.8 = m \times 2$
$45 - 6m - 2m = 2m$
$45 = 10m$
$m = 4.5 \text{ kg}$
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DifficultMCQ
$5 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक चित्र में दिखाए अनुसार एक खुरदरी नत समतल सतह पर रखा गया है। यदि $\vec{F}_1$ ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए आवश्यक बल है और $\vec{F}_2$ ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल है,तो $|\vec{F}_1|-|\vec{F}_2|$ का मान क्या होगा? [$g=10 \text{ m/s}^2$ का उपयोग करें]
A
$25 \sqrt{3} \text{ N}$
B
$5 \sqrt{3} \text{ N}$
C
$\frac{5 \sqrt{3}}{2} \text{ N}$
D
$10 \text{ N}$
Solution
(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \text{ kg}$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$,झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
$f = 0.1 \times 5 \times 10 \times \cos 30^\circ = 0.5 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
ब्लॉक को समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,बल $F_1$ को गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर कार्य करने वाले घटक और नीचे की ओर कार्य करने वाले घर्षण बल दोनों को पार करना होगा:
$F_1 = mg \sin \theta + f = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ + 1.25 \sqrt{3} = 50 \times 0.5 + 1.25 \sqrt{3} = 25 + 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,बल $F_2$ घर्षण के साथ मिलकर समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जो गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर कार्य करने वाले घटक को संतुलित करता है:
$F_2 + f = mg \sin \theta \implies F_2 = mg \sin \theta - f = 25 - 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
अब,अंतर की गणना करने पर:
$|F_1| - |F_2| = (25 + 1.25 \sqrt{3}) - (25 - 1.25 \sqrt{3}) = 2.5 \sqrt{3} \text{ N}$.
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
$f = 0.1 \times 5 \times 10 \times \cos 30^\circ = 0.5 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
ब्लॉक को समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,बल $F_1$ को गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर कार्य करने वाले घटक और नीचे की ओर कार्य करने वाले घर्षण बल दोनों को पार करना होगा:
$F_1 = mg \sin \theta + f = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ + 1.25 \sqrt{3} = 50 \times 0.5 + 1.25 \sqrt{3} = 25 + 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,बल $F_2$ घर्षण के साथ मिलकर समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जो गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर कार्य करने वाले घटक को संतुलित करता है:
$F_2 + f = mg \sin \theta \implies F_2 = mg \sin \theta - f = 25 - 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
अब,अंतर की गणना करने पर:
$|F_1| - |F_2| = (25 + 1.25 \sqrt{3}) - (25 - 1.25 \sqrt{3}) = 2.5 \sqrt{3} \text{ N}$.
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DifficultMCQ
$2 \ kg$ की एक ईंट एक ऐसी सतह पर फिसलना शुरू करती है जो क्षैतिज अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। उनकी सतहों के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक है:
A
$1$
B
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
C
$0.5$
D
$1.7$
Solution
(A) जब कोई वस्तु झुके हुए तल पर फिसलने की स्थिति में होती है,तो झुकाव के कोण को विश्राम कोण $(\theta)$ कहा जाता है।
इस स्थिति में,तल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक सीमांत घर्षण बल $(f_L)$ द्वारा संतुलित होता है:
$mg \sin \theta = f_L$
साथ ही,अभिलंब बल $(N)$ गुरुत्वाकर्षण के लंबवत घटक द्वारा संतुलित होता है:
$N = mg \cos \theta$
चूंकि $f_L = \mu_s N$,जहां $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है:
$mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$
$\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\mu_s = \tan 45^{\circ} = 1$
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $1$ है।
इस स्थिति में,तल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक सीमांत घर्षण बल $(f_L)$ द्वारा संतुलित होता है:
$mg \sin \theta = f_L$
साथ ही,अभिलंब बल $(N)$ गुरुत्वाकर्षण के लंबवत घटक द्वारा संतुलित होता है:
$N = mg \cos \theta$
चूंकि $f_L = \mu_s N$,जहां $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है:
$mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$
$\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\mu_s = \tan 45^{\circ} = 1$
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $1$ है।
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DifficultMCQ
एक वस्तु को $45^{\circ}$ के खुरदरे आनत तल (inclined plane) पर नीचे फिसलने में,समान $45^{\circ}$ के पूर्णतः चिकने आनत तल पर फिसलने में लगे समय का $n$ गुना समय लगता है। वस्तु और आनत तल की सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक क्या है?
A
$1-\frac{1}{n^2}$
B
$1-n^2$
C
$\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$
D
$\sqrt{1-n^2}$
Solution
(A) माना आनत तल की लंबाई $\ell$ है और $\theta = 45^{\circ}$ है।
स्थिति-$1$: चिकना आनत तल (घर्षण रहित)।
त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$u=0$ के साथ,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta) t_1^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$।
स्थिति-$2$: खुरदरा आनत तल (घर्षण सहित)।
त्वरण $a_2 = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$ है।
इसी प्रकार,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta - \mu g \cos \theta) t_2^2$।
अतः,$t_2 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = \frac{n^2}{\sin \theta}$।
$\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$।
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$।
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}$।
स्थिति-$1$: चिकना आनत तल (घर्षण रहित)।
त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$u=0$ के साथ,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta) t_1^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$।
स्थिति-$2$: खुरदरा आनत तल (घर्षण सहित)।
त्वरण $a_2 = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$ है।
इसी प्रकार,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta - \mu g \cos \theta) t_2^2$।
अतः,$t_2 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = \frac{n^2}{\sin \theta}$।
$\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$।
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$।
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}$।
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DifficultMCQ
$STATEMENT-1$: $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर $v$ वेग से चलना शुरू करता है। ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण के कारण कुछ दूरी तय करने के बाद यह रुक जाता है। अब सतह को क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर झुकाया जाता है और उसी ब्लॉक को समान प्रारंभिक वेग $v$ के साथ सतह पर ऊपर की ओर भेजा जाता है। दूसरी स्थिति में यांत्रिक ऊर्जा में कमी पहली स्थिति की तुलना में कम है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण गुणांक झुकाव कोण के बढ़ने के साथ घटता है।
$STATEMENT-2$: ब्लॉक और सतह के बीच घर्षण गुणांक झुकाव कोण के बढ़ने के साथ घटता है।
A
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या है।
B
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ सत्य है; $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$Statement-1$ सत्य है,$Statement-2$ असत्य है।
D
$Statement-1$ असत्य है,$Statement-2$ सत्य है।
Solution
(C) पहले मामले में (क्षैतिज सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_1 = -f_k d_1 = -\mu mg d_1$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg d_1$,इसलिए $d_1 = \frac{v^2}{2\mu g}$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी $\Delta E_1 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दूसरे मामले में (झुकी हुई सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_2 = -f_k d_2 = -\mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2 + mg d_2 \sin(30^{\circ})$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी घर्षण द्वारा किया गया कार्य है,$\Delta E_2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$। चूंकि $\cos(30^{\circ}) < 1$,घर्षण बल छोटा है। हालांकि,घर्षण गुणांक $\mu$ सामग्री का एक गुण है और यह झुकाव के कोण के साथ नहीं बदलता है। इसलिए,$Statement-2$ असत्य है। चूंकि घर्षण द्वारा नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = \int f_k dx$ है,और $f_k = \mu N$,जहां $N = mg \cos(\theta)$,इसलिए दूसरे मामले में ऊर्जा की हानि वास्तव में कम है। अतः,$Statement-1$ सत्य है।
दूसरे मामले में (झुकी हुई सतह),घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_2 = -f_k d_2 = -\mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$ है। ब्लॉक तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा समाप्त हो जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2 + mg d_2 \sin(30^{\circ})$। यांत्रिक ऊर्जा में कमी घर्षण द्वारा किया गया कार्य है,$\Delta E_2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$। चूंकि $\cos(30^{\circ}) < 1$,घर्षण बल छोटा है। हालांकि,घर्षण गुणांक $\mu$ सामग्री का एक गुण है और यह झुकाव के कोण के साथ नहीं बदलता है। इसलिए,$Statement-2$ असत्य है। चूंकि घर्षण द्वारा नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = \int f_k dx$ है,और $f_k = \mu N$,जहां $N = mg \cos(\theta)$,इसलिए दूसरे मामले में ऊर्जा की हानि वास्तव में कम है। अतः,$Statement-1$ सत्य है।
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DifficultMCQ
$10 \ cm \times 10 \ cm$ के आधार और $15 \ cm$ ऊंचाई वाला एक ब्लॉक एक नत समतल पर रखा गया है। उनके बीच घर्षण गुणांक $\sqrt{3}$ है। इस नत समतल का क्षैतिज तल से झुकाव $\theta$,$0^{\circ}$ से धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। तब
A
$\theta=30^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा
B
ब्लॉक एक निश्चित $\theta$ तक समतल पर स्थिर रहेगा और फिर वह पलट जाएगा
C
$\theta=60^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा और अधिक कोणों पर ऐसा करना जारी रखेगा
D
$\theta=60^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा और $\theta$ को और बढ़ाने पर,यह एक निश्चित $\theta$ पर पलट जाएगा
Solution
(B) फिसलने की शर्त $\theta > \phi$ है,जहाँ $\phi$ विराम कोण (angle of repose) है। दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$,इसलिए विराम कोण $\phi = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$ है।
पलटने (toppling) की शर्त यह है कि भार की क्रिया रेखा को ब्लॉक के आधार के बाहर से गुजरना चाहिए। यह तब होता है जब $\tan \theta > \frac{b}{h}$,जहाँ $b$ आधार की चौड़ाई है और $h$ ऊंचाई है।
दिए गए ब्लॉक के लिए,$b = 10 \ cm$ और $h = 15 \ cm$ है। जिस कोण पर पलटना शुरू होता है वह $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ है।
चूंकि $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ विराम कोण $\phi = 60^{\circ}$ से कम है,इसलिए ब्लॉक फिसलना शुरू करने से पहले ही पलट जाएगा। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ को $0^{\circ}$ से बढ़ाया जाता है,ब्लॉक $\theta \approx 33.7^{\circ}$ तक स्थिर रहेगा,और उस बिंदु पर यह पलट जाएगा।
पलटने (toppling) की शर्त यह है कि भार की क्रिया रेखा को ब्लॉक के आधार के बाहर से गुजरना चाहिए। यह तब होता है जब $\tan \theta > \frac{b}{h}$,जहाँ $b$ आधार की चौड़ाई है और $h$ ऊंचाई है।
दिए गए ब्लॉक के लिए,$b = 10 \ cm$ और $h = 15 \ cm$ है। जिस कोण पर पलटना शुरू होता है वह $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ है।
चूंकि $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ विराम कोण $\phi = 60^{\circ}$ से कम है,इसलिए ब्लॉक फिसलना शुरू करने से पहले ही पलट जाएगा। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ को $0^{\circ}$ से बढ़ाया जाता है,ब्लॉक $\theta \approx 33.7^{\circ}$ तक स्थिर रहेगा,और उस बिंदु पर यह पलट जाएगा।
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AdvancedMCQ
एक ब्लॉक क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाले एक नत समतल (inclined plane) पर गति कर रहा है और घर्षण गुणांक $\mu$ है। ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल,उसे नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल का $3$ गुना है। यदि हम $N=10 \mu$ परिभाषित करते हैं,तो $N$ का मान क्या है?
A
$9$
B
$6$
C
$2$
D
$5$
Solution
(D) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और $\theta = 45^{\circ}$ है।
ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $F_1 = 3 F_2$,इसलिए:
$mg(\sin 45^{\circ} + \mu \cos 45^{\circ}) = 3 mg(\sin 45^{\circ} - \mu \cos 45^{\circ})$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हम दोनों पक्षों से $mg$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ को काट सकते हैं:
$1 + \mu = 3(1 - \mu)$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$1 + \mu = 3 - 3 \mu$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \mu = 2$.
$\mu = 0.5$.
चूंकि $N = 10 \mu$ दिया गया है,हम गणना करते हैं:
$N = 10 \times 0.5 = 5$.
ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $F_1 = 3 F_2$,इसलिए:
$mg(\sin 45^{\circ} + \mu \cos 45^{\circ}) = 3 mg(\sin 45^{\circ} - \mu \cos 45^{\circ})$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हम दोनों पक्षों से $mg$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ को काट सकते हैं:
$1 + \mu = 3(1 - \mu)$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$1 + \mu = 3 - 3 \mu$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \mu = 2$.
$\mu = 0.5$.
चूंकि $N = 10 \mu$ दिया गया है,हम गणना करते हैं:
$N = 10 \times 0.5 = 5$.
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AdvancedMCQ
$m_1=1 \ kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक और $m_2=2 \ kg$ द्रव्यमान का दूसरा ब्लॉक एक नत समतल पर एक साथ रखे गए हैं (चित्र देखें),जिसका झुकाव कोण $\theta$ है। List $I$ में $\theta$ के विभिन्न मान दिए गए हैं। ब्लॉक $m_1$ और समतल के बीच घर्षण गुणांक हमेशा शून्य है। ब्लॉक $m_2$ और समतल के बीच स्थैतिक और गतिक घर्षण गुणांक $\mu=0.3$ है। List $II$ में ब्लॉक $m_2$ पर घर्षण के लिए व्यंजक दिए गए हैं। List $II$ में घर्षण के सही व्यंजक को List $I$ में दिए गए कोणों के साथ मिलाएं और सही विकल्प चुनें। गुरुत्वीय त्वरण को $g$ द्वारा दर्शाया गया है। [उपयोगी जानकारी: $\tan(5.5^{\circ}) \approx 0.1; \tan(11.5^{\circ}) \approx 0.2; \tan(16.5^{\circ}) \approx 0.3$]
| List $I$ | List $II$ |
| $P. \theta=5^{\circ}$ | $1. m_2 g \sin \theta$ |
| $Q. \theta=10^{\circ}$ | $2. (m_1+m_2) g \sin \theta$ |
| $R. \theta=15^{\circ}$ | $3. \mu m_2 g \cos \theta$ |
| $S. \theta=20^{\circ}$ | $4. \mu(m_1+m_2) g \cos \theta$ |
A
$P-1, Q-1, R-1, S-3$
B
$P-2, Q-2, R-2, S-3$
C
$P-2, Q-2, R-2, S-4$
D
$P-2, Q-2, R-3, S-3$
Solution
(D) दो ब्लॉकों की प्रणाली संतुलन में रहेगी (फिसलेगी नहीं) यदि नत समतल के अनुदिश कुल गुरुत्वाकर्षण बल का घटक ब्लॉक $m_2$ पर कार्य करने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर हो।
$(m_1+m_2) g \sin \theta \leq \mu m_2 g \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1+2) g \sin \theta \leq (0.3)(2) g \cos \theta$
$3 \sin \theta \leq 0.6 \cos \theta$
$\tan \theta \leq 0.2$
चूंकि $\tan(11.5^{\circ}) \approx 0.2$,इसलिए $\theta \leq 11.5^{\circ}$ के लिए ब्लॉक स्थिर रहेंगे।
$\theta \leq 11.5^{\circ}$ के लिए (अर्थात $P$ और $Q$),घर्षण स्थैतिक है और यह कुल भार घटक को संतुलित करता है: $f = (m_1+m_2) g \sin \theta$.
$\theta > 11.5^{\circ}$ के लिए (अर्थात $R$ और $S$),ब्लॉक फिसलेंगे और घर्षण गतिक होगा: $f = \mu m_2 g \cos \theta$.
मिलान: $P-2, Q-2, R-3, S-3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
$(m_1+m_2) g \sin \theta \leq \mu m_2 g \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1+2) g \sin \theta \leq (0.3)(2) g \cos \theta$
$3 \sin \theta \leq 0.6 \cos \theta$
$\tan \theta \leq 0.2$
चूंकि $\tan(11.5^{\circ}) \approx 0.2$,इसलिए $\theta \leq 11.5^{\circ}$ के लिए ब्लॉक स्थिर रहेंगे।
$\theta \leq 11.5^{\circ}$ के लिए (अर्थात $P$ और $Q$),घर्षण स्थैतिक है और यह कुल भार घटक को संतुलित करता है: $f = (m_1+m_2) g \sin \theta$.
$\theta > 11.5^{\circ}$ के लिए (अर्थात $R$ और $S$),ब्लॉक फिसलेंगे और घर्षण गतिक होगा: $f = \mu m_2 g \cos \theta$.
मिलान: $P-2, Q-2, R-3, S-3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक घनाकार ब्लॉक $60^{\circ}$ के आनत तल पर $\frac{g}{2}$ के त्वरण के साथ नीचे फिसल रहा है। गतिज घर्षण गुणांक का मान क्या होगा?
A
$\sqrt{3}-1$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D
$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Solution
(A) आनत तल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 60^{\circ}$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg \cos 60^{\circ}$ ऊपर की ओर हैं।
आनत तल के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} = ma$
यहाँ $a = \frac{g}{2}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = \frac{g}{2}$
$g$ से भाग देने पर:
$\sin 60^{\circ} - \mu \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu}{2} = \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3} - \mu = 1$
$\mu = \sqrt{3} - 1$
आनत तल के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} = ma$
यहाँ $a = \frac{g}{2}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = \frac{g}{2}$
$g$ से भाग देने पर:
$\sin 60^{\circ} - \mu \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu}{2} = \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3} - \mu = 1$
$\mu = \sqrt{3} - 1$
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DifficultMCQ
क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के समान झुकाव कोण और समान लंबाई $(L)$ वाली दो नत सतहें हैं। उनमें से एक खुरदरी है और दूसरी पूरी तरह से चिकनी है। एक वस्तु को खुरदरी सतह पर नीचे फिसलने में चिकनी सतह की तुलना में $2$ गुना समय लगता है। वस्तु और खुरदरी सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक $(\mu_k)$ का मान किसके करीब है?
A
$0.25$
B
$0.40$
C
$0.5$
D
$0.75$
Solution
(D) विराम अवस्था से $L$ लंबाई के नत समतल पर नीचे फिसलने वाली वस्तु के लिए,लिया गया समय $L = \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण है।
चिकनी सतह के लिए,त्वरण $a_S = g \sin \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_S^2$.
खुरदरी सतह के लिए,त्वरण $a_R = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta) t_R^2$.
चूंकि दोनों के लिए $L$ समान है,$\frac{1}{2} a_S t_S^2 = \frac{1}{2} a_R t_R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{t_R}\right)^2$.
दिया गया है कि $t_R = 2 t_S$,इसलिए $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{2 t_S}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
त्वरण के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}{g \sin \theta} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu_k \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{4}$.
$1 - \mu_k = \frac{1}{4} \Rightarrow \mu_k = 1 - 0.25 = 0.75$.
चिकनी सतह के लिए,त्वरण $a_S = g \sin \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_S^2$.
खुरदरी सतह के लिए,त्वरण $a_R = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta) t_R^2$.
चूंकि दोनों के लिए $L$ समान है,$\frac{1}{2} a_S t_S^2 = \frac{1}{2} a_R t_R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{t_R}\right)^2$.
दिया गया है कि $t_R = 2 t_S$,इसलिए $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{2 t_S}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
त्वरण के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}{g \sin \theta} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu_k \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{4}$.
$1 - \mu_k = \frac{1}{4} \Rightarrow \mu_k = 1 - 0.25 = 0.75$.
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DifficultMCQ
$20 \ kg$ द्रव्यमान और $5 \ m$ लंबाई की एक समान छड़ एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाते हुए टिकी हुई है। दूसरा सिरा एक खुरदरे क्षैतिज फर्श पर टिका है। फर्श द्वारा छड़ पर लगाया गया घर्षण बल क्या है? ($g=10 \ m/s^2$ लें)
A
$100 \ N$
B
$100 \sqrt{3} \ N$
C
$200 \ N$
D
$200 \sqrt{3} \ N$
Solution
(B) मान लीजिए छड़ $AB$ है,जहाँ $A$ दीवार के साथ संपर्क बिंदु है और $B$ फर्श के साथ संपर्क बिंदु है। छड़ ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए यह क्षैतिज फर्श के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
ऊर्ध्वाधर बल: $N_2 = mg = 20 \times 10 = 200 \ N$.
क्षैतिज बल: $f_s = N_1$,जहाँ $N_1$ दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
बिंदु $B$ (फर्श के साथ संपर्क बिंदु) के परितः टॉर्क को शून्य लेने पर:
$\tau_B = 0 \implies N_1 \times L \cos(30^{\circ}) - mg \times \frac{L}{2} \cos(60^{\circ}) = 0$.
$N_1 \times L \times \frac{\sqrt{3}}{2} = mg \times \frac{L}{2} \times \frac{1}{2}$.
$N_1 \times \sqrt{3} = mg \times \frac{1}{2} = 200 \times 0.5 = 100$.
$N_1 = \frac{100}{\sqrt{3}} \ N$.
यदि कोण $60^{\circ}$ फर्श के साथ लिया जाए,तो $f_s = 100\sqrt{3} \ N$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $100\sqrt{3} \ N$ है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
ऊर्ध्वाधर बल: $N_2 = mg = 20 \times 10 = 200 \ N$.
क्षैतिज बल: $f_s = N_1$,जहाँ $N_1$ दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
बिंदु $B$ (फर्श के साथ संपर्क बिंदु) के परितः टॉर्क को शून्य लेने पर:
$\tau_B = 0 \implies N_1 \times L \cos(30^{\circ}) - mg \times \frac{L}{2} \cos(60^{\circ}) = 0$.
$N_1 \times L \times \frac{\sqrt{3}}{2} = mg \times \frac{L}{2} \times \frac{1}{2}$.
$N_1 \times \sqrt{3} = mg \times \frac{1}{2} = 200 \times 0.5 = 100$.
$N_1 = \frac{100}{\sqrt{3}} \ N$.
यदि कोण $60^{\circ}$ फर्श के साथ लिया जाए,तो $f_s = 100\sqrt{3} \ N$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $100\sqrt{3} \ N$ है।
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई की एक समान जंजीर आंशिक रूप से एक मेज से लटकी हुई है और घर्षण द्वारा संतुलन में रखी गई है। यदि बिना फिसले लटकने वाली अधिकतम लंबाई $\ell$ है,तो मेज और जंजीर के बीच घर्षण गुणांक क्या है?
A
$\frac{\ell}{L}$
B
$\frac{\ell}{L+\ell}$
C
$\frac{\ell}{L-\ell}$
D
$\frac{L}{L-\ell}$
Solution
(C) मान लीजिए जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और मेज से लटकने वाली लंबाई $\ell$ है। मेज पर रखी जंजीर की लंबाई $(L - \ell)$ होगी।
जंजीर के संतुलन में रहने के लिए,घर्षण बल को लटकते हुए भाग के भार को संतुलित करना चाहिए।
लटकते हुए भाग का भार $W = \lambda \ell g$ है,जहाँ $\lambda$ जंजीर का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मेज द्वारा जंजीर पर लगाया गया अभिलंब बल $N = \lambda (L - \ell) g$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu \lambda (L - \ell) g$ है।
सीमांत स्थिति के लिए बलों को बराबर करने पर: $\lambda \ell g = \mu \lambda (L - \ell) g$.
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{\ell}{L - \ell}$.
जंजीर के संतुलन में रहने के लिए,घर्षण बल को लटकते हुए भाग के भार को संतुलित करना चाहिए।
लटकते हुए भाग का भार $W = \lambda \ell g$ है,जहाँ $\lambda$ जंजीर का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मेज द्वारा जंजीर पर लगाया गया अभिलंब बल $N = \lambda (L - \ell) g$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu \lambda (L - \ell) g$ है।
सीमांत स्थिति के लिए बलों को बराबर करने पर: $\lambda \ell g = \mu \lambda (L - \ell) g$.
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{\ell}{L - \ell}$.
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $8 \ kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर विरामावस्था में है। सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए कुल बल का परिमाण $..... \ N$ होगा। ($g = 10 \ m/s^2$ लें)
A
$0$
B
$48$
C
$64$
D
$80$
Solution
(D) ब्लॉक नत समतल पर संतुलन में है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$,सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$,और नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ हैं।
संतुलन के लिए,ब्लॉक पर कुल बल शून्य है।
अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
स्थैतिक घर्षण बल $f_s = mg \sin \theta$ है।
सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल और घर्षण बल का परिणामी है,जो $F_{net} = \sqrt{N^2 + f_s^2}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $F_{net} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$.
यहाँ $m = 8 \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए कुल बल $F_{net} = 8 \times 10 = 80 \ N$ होगा।
संतुलन के लिए,ब्लॉक पर कुल बल शून्य है।
अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
स्थैतिक घर्षण बल $f_s = mg \sin \theta$ है।
सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल और घर्षण बल का परिणामी है,जो $F_{net} = \sqrt{N^2 + f_s^2}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $F_{net} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$.
यहाँ $m = 8 \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए कुल बल $F_{net} = 8 \times 10 = 80 \ N$ होगा।
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View Solution189
MediumMCQ
$30^{\circ}$ के कोण वाले नत समतल (inclined plane) पर बर्फ का एक टुकड़ा रखा गया है। ब्लॉक और नत समतल के बीच गतिज घर्षण गुणांक $(1 / \sqrt{3})$ है। ब्लॉक का त्वरण क्या है? $...... \ m / s ^2$
A
$0$
B
$2$
C
$1$
D
$5$
Solution
(A) नत समतल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ और ऊपर की ओर गतिज घर्षण बल $f_k$ हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = ma$ है।
गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = mg \cos \theta$ अभिलंब बल है।
मान रखने पर: $\theta = 30^{\circ}$ और $\mu_k = 1 / \sqrt{3}$।
$mg \sin 30^{\circ} - (1 / \sqrt{3}) mg \cos 30^{\circ} = ma$
$mg (1/2) - (1 / \sqrt{3}) mg (\sqrt{3} / 2) = ma$
$mg / 2 - mg / 2 = ma$
$0 = ma$
अतः,त्वरण $a = 0 \ m / s^2$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = ma$ है।
गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = mg \cos \theta$ अभिलंब बल है।
मान रखने पर: $\theta = 30^{\circ}$ और $\mu_k = 1 / \sqrt{3}$।
$mg \sin 30^{\circ} - (1 / \sqrt{3}) mg \cos 30^{\circ} = ma$
$mg (1/2) - (1 / \sqrt{3}) mg (\sqrt{3} / 2) = ma$
$mg / 2 - mg / 2 = ma$
$0 = ma$
अतः,त्वरण $a = 0 \ m / s^2$ है।
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DifficultMCQ
$20 \ kg$ वजन वाली एक वस्तु $5$ में $12$ की ऊंचाई वाले एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर नीचे की ओर फिसलती है। घर्षण गुणांक क्या है?
A
$0.46$
B
$4.6$
C
$0.52$
D
$0.12$
Solution
(A) नत समतल $12$ की लंबाई पर $5$ की ऊंचाई पर उठता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{5}{12}$.
चूंकि वस्तु बस नीचे फिसलना शुरू करती है,इसलिए झुकाव का कोण $\theta$ विश्राम कोण (angle of repose) के बराबर है।
घर्षण गुणांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
अतः,$\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5/12}{\sqrt{119}/12} = \frac{5}{\sqrt{119}}$.
मान की गणना करने पर,$\sqrt{119} \approx 10.9087$.
$\mu = \frac{5}{10.9087} \approx 0.4583 \approx 0.46$.
चूंकि वस्तु बस नीचे फिसलना शुरू करती है,इसलिए झुकाव का कोण $\theta$ विश्राम कोण (angle of repose) के बराबर है।
घर्षण गुणांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
अतः,$\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5/12}{\sqrt{119}/12} = \frac{5}{\sqrt{119}}$.
मान की गणना करने पर,$\sqrt{119} \approx 10.9087$.
$\mu = \frac{5}{10.9087} \approx 0.4583 \approx 0.46$.
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MediumMCQ
एक पिंड $45^{\circ}$ के खुरदरे नत समतल (incline) पर नीचे फिसलने में,$45^{\circ}$ के चिकने नत समतल पर फिसलने की तुलना में $n$ गुना समय लेता है। पिंड और नत समतल के बीच घर्षण गुणांक होगा
A
$\frac{1}{1-n^{2}}$
B
$1-\frac{1}{n^{2}}$
C
$\sqrt{\frac{1}{1-n^{2}}}$
D
$\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}$
Solution
(B) माना नत समतल की लंबाई $L$ है और झुकाव कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = n$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{t_2^2}{t_1^2} = n^2$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$.
इसलिए,$\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.
चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = n$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{t_2^2}{t_1^2} = n^2$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$.
इसलिए,$\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.
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MediumMCQ
$45^{\circ}$ के झुकाव वाले एक खुरदरे नत समतल पर एक पिंड को ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। घर्षण गुणांक $0.5$ है। तो ब्लॉक का मंदन क्या होगा?
A
$\frac{g}{2 \sqrt{2}}$
B
$\frac{g}{2}$
C
$\frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$
D
$\frac{g}{\sqrt{2}}$
Solution
(C) जब किसी पिंड को नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण का घटक और घर्षण बल दोनों गति की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
मंदन $a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$a = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 + 0.5)$
$a = \frac{1.5 g}{\sqrt{2}} = \frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$.
मंदन $a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$a = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 + 0.5)$
$a = \frac{1.5 g}{\sqrt{2}} = \frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$.
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MediumMCQ
एक भार $W$ को एक खुरदरे नत समतल पर एक बल $F$ द्वारा संतुलित किया जा सकता है,जो या तो समतल के अनुदिश कार्य करता है या क्षैतिज रूप से। यदि $\theta$ घर्षण कोण है,तो $F / W$ है
A
$\tan \theta$
B
$\sec \theta$
C
$\sin \theta$
D
$\cos \theta$
Solution
(A) माना $\alpha$ समतल का झुकाव कोण है।
स्थिति $1$: बल $F$ समतल के अनुदिश कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F = W \sin \alpha - f_s$,जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण है। गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu W \cos \alpha = W \tan \theta \cos \alpha$.
अतः,$F = W \sin \alpha - W \tan \theta \cos \alpha = W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta}$.
स्थिति $2$: बल $F$ क्षैतिज रूप से कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F \cos \alpha = W \sin \alpha + f_s$. गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu (W \cos \alpha + F \sin \alpha) = \tan \theta (W \cos \alpha + F \sin \alpha)$.
$F$ के लिए हल करने पर,हमें $F = W \tan(\alpha + \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि भार को दोनों स्थितियों में समान बल $F$ द्वारा संतुलित किया जा सकता है,हम $F$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta} = W \tan(\alpha + \theta)$.
यह त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने पर $F/W = \tan \theta$ की स्थिति प्राप्त होती है।
स्थिति $1$: बल $F$ समतल के अनुदिश कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F = W \sin \alpha - f_s$,जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण है। गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu W \cos \alpha = W \tan \theta \cos \alpha$.
अतः,$F = W \sin \alpha - W \tan \theta \cos \alpha = W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta}$.
स्थिति $2$: बल $F$ क्षैतिज रूप से कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F \cos \alpha = W \sin \alpha + f_s$. गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu (W \cos \alpha + F \sin \alpha) = \tan \theta (W \cos \alpha + F \sin \alpha)$.
$F$ के लिए हल करने पर,हमें $F = W \tan(\alpha + \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि भार को दोनों स्थितियों में समान बल $F$ द्वारा संतुलित किया जा सकता है,हम $F$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta} = W \tan(\alpha + \theta)$.
यह त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने पर $F/W = \tan \theta$ की स्थिति प्राप्त होती है।
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EasyMCQ
$5.60 \ m$ लंबाई का एक आनत समतल जो क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,$100 \ V \ m^{-1}$ के एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा गया है। $1 \ kg$ द्रव्यमान और $10^{-2} \ C$ आवेश वाले एक कण को ढलान की अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से नीचे फिसलने दिया जाता है। यदि घर्षण गुणांक $0.1$ है,तो कण को नीचे तक पहुँचने में लगा समय . . . . . . है।
A
$1 \ s$
B
$1.41 \ s$
C
$2 \ s$
D
इनमें से कोई नहीं।
Solution
(B) दिया गया है: $\theta = 45^{\circ}$,$d = 5.60 \ m$,$E = 100 \ V \ m^{-1}$,$m = 1 \ kg$,$\mu = 0.1$,$q = 10^{-2} \ C$,$v_0 = 0$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,अभिलंब बल $N$:
$N = mg \cos 45^{\circ} + qE \sin 45^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}})$
$N = \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \approx 7.778 \ N$
ढलान पर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F$:
$F = mg \sin 45^{\circ} - qE \cos 45^{\circ} - \mu N$
$F = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0.1 \times 7.778)$
$F = \frac{10}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.7778 = \frac{9}{\sqrt{2}} - 0.7778 \approx 6.364 - 0.778 = 5.586 \ N$
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5.586}{1} = 5.586 \ m \ s^{-2}$.
$d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$5.60 = 0 + \frac{1}{2} \times 5.586 \times t^2$
$t^2 = \frac{2 \times 5.60}{5.586} \approx 2$
$t = \sqrt{2} \approx 1.41 \ s$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,अभिलंब बल $N$:
$N = mg \cos 45^{\circ} + qE \sin 45^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}})$
$N = \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \approx 7.778 \ N$
ढलान पर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F$:
$F = mg \sin 45^{\circ} - qE \cos 45^{\circ} - \mu N$
$F = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0.1 \times 7.778)$
$F = \frac{10}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.7778 = \frac{9}{\sqrt{2}} - 0.7778 \approx 6.364 - 0.778 = 5.586 \ N$
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5.586}{1} = 5.586 \ m \ s^{-2}$.
$d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$5.60 = 0 + \frac{1}{2} \times 5.586 \times t^2$
$t^2 = \frac{2 \times 5.60}{5.586} \approx 2$
$t = \sqrt{2} \approx 1.41 \ s$.
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MediumMCQ
एक निश्चित द्रव्यमान का ब्लॉक एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर रखा गया है। समतल और क्षैतिज के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। ब्लॉक और नत समतल के बीच स्थैतिक और गतिज घर्षण गुणांक क्रमशः $0.6$ और $0.5$ हैं। तब,ब्लॉक के त्वरण का परिमाण क्या होगा? [$g = 10 \ ms^{-2}$ लें]
A
$2 \ ms^{-2}$
B
शून्य
C
$0.196 \ ms^{-2}$
D
$0.67 \ ms^{-2}$
Solution
(B) ब्लॉक को नत समतल पर नीचे की ओर खींचने वाला बल $F = mg \sin 30^{\circ} = mg \times 0.5 = 0.5 mg$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमान्त घर्षण) $f_{s,max} = \mu_s R = \mu_s mg \cos 30^{\circ}$ है।
यहाँ $\mu_s = 0.6$ दिया गया है,इसलिए $f_{s,max} = 0.6 \times mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.3 \times 1.732 \times mg = 0.5196 mg$ प्राप्त होता है।
चूंकि खींचने वाला बल $F = 0.5 mg$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = 0.5196 mg$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
अतः,ब्लॉक का त्वरण शून्य है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमान्त घर्षण) $f_{s,max} = \mu_s R = \mu_s mg \cos 30^{\circ}$ है।
यहाँ $\mu_s = 0.6$ दिया गया है,इसलिए $f_{s,max} = 0.6 \times mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.3 \times 1.732 \times mg = 0.5196 mg$ प्राप्त होता है।
चूंकि खींचने वाला बल $F = 0.5 mg$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = 0.5196 mg$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
अतः,ब्लॉक का त्वरण शून्य है।
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View Solution196
DifficultMCQ
एक ब्लॉक क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाले एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर स्थित है। ब्लॉक और समतल के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक $0.8$ है। यदि ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल $10 \text{ N}$ है, तो ब्लॉक का द्रव्यमान क्या होगा ($\text{ kg}$ में)? $\left(g=10 \text{ ms}^{-2}\right)$
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) दिया गया है, स्थैतिक घर्षण गुणांक, $\mu = 0.8$; घर्षण बल, $f = 10 \text{ N}$.
चूंकि ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है, इसलिए स्थैतिक घर्षण बल नत समतल की दिशा में नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है।
$f = mg \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \text{ kg}$.
अतः, ब्लॉक का द्रव्यमान $2 \text{ kg}$ है।
चूंकि ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है, इसलिए स्थैतिक घर्षण बल नत समतल की दिशा में नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है।
$f = mg \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \text{ kg}$.
अतः, ब्लॉक का द्रव्यमान $2 \text{ kg}$ है।
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View Solution197
MediumMCQ
एक खुरदरी सतह पर रखा एक ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब सतह का क्षैतिज के साथ झुकाव $\theta$ होता है। ब्लॉक और सतह के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक है
A
$\sec \theta$
B
$\sin \theta$
C
$\tan \theta$
D
$\cos \theta$
Solution
(C) जब किसी ब्लॉक को नत समतल (inclined plane) पर रखा जाता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब बल $N$ (सतह के लंबवत) और स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ (ढलान के ऊपर की ओर) हैं।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,$N = mg \cos \theta$ और $f_s = mg \sin \theta$ होता है।
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब स्थैतिक घर्षण अपने सीमांत मान तक पहुँच जाता है,यानी $f_s = \mu_s N$।
$f_s$ और $N$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,$N = mg \cos \theta$ और $f_s = mg \sin \theta$ होता है।
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब स्थैतिक घर्षण अपने सीमांत मान तक पहुँच जाता है,यानी $f_s = \mu_s N$।
$f_s$ और $N$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।
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View Solution198
MediumMCQ
$2 \ kg$ द्रव्यमान का एक बॉक्स $30^{\circ}$ के झुकाव वाले समतल पर रखा गया है। बॉक्स और झुके हुए समतल के बीच घर्षण गुणांक $0.2$ है। बॉक्स को नीचे फिसलने से रोकने के लिए झुकाव के लंबवत एक बल $F$ लगाया जाता है। $F$ का न्यूनतम मान क्या है ($N$ में)? (गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \ ms^{-2}$)
A
$28.6$
B
$22.8$
C
$32.7$
D
$44.6$
Solution
(C) ब्लॉक में नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति होती है,इसलिए घर्षण बल $f$ झुकाव के अनुदिश ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
बॉक्स को फिसलने से रोकने के लिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण को झुकाव के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाले भार के घटक को संतुलित करना चाहिए।
$f_{max} \geq mg \sin \theta$
यहाँ $f_{max} = \mu N$,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
बल $F$ झुकाव के लंबवत लगाया जाता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ है:
$N = mg \cos \theta + F$
घर्षण समीकरण में $N$ का मान रखने पर:
$\mu(mg \cos \theta + F) \geq mg \sin \theta$
$\mu mg \cos \theta + \mu F \geq mg \sin \theta$
$\mu F \geq mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
$F \geq \frac{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)}{\mu}$
दिया गया है: $m = 2 \ kg$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$\theta = 30^{\circ}$,$\mu = 0.2$.
$F \geq \frac{2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} - 0.2 \times \cos 30^{\circ})}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.1732)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times 0.3268}{0.2}$
$F \geq 100 \times 0.3268 = 32.68 \ N$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$F$ का न्यूनतम मान $32.7 \ N$ है।
बॉक्स को फिसलने से रोकने के लिए,अधिकतम स्थैतिक घर्षण को झुकाव के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाले भार के घटक को संतुलित करना चाहिए।
$f_{max} \geq mg \sin \theta$
यहाँ $f_{max} = \mu N$,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
बल $F$ झुकाव के लंबवत लगाया जाता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ है:
$N = mg \cos \theta + F$
घर्षण समीकरण में $N$ का मान रखने पर:
$\mu(mg \cos \theta + F) \geq mg \sin \theta$
$\mu mg \cos \theta + \mu F \geq mg \sin \theta$
$\mu F \geq mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
$F \geq \frac{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)}{\mu}$
दिया गया है: $m = 2 \ kg$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$\theta = 30^{\circ}$,$\mu = 0.2$.
$F \geq \frac{2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} - 0.2 \times \cos 30^{\circ})}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.1732)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times 0.3268}{0.2}$
$F \geq 100 \times 0.3268 = 32.68 \ N$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$F$ का न्यूनतम मान $32.7 \ N$ है।
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View Solution199
MediumMCQ
$R$ त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में एक कीड़ा रेंग रहा है। यदि कीड़े और कटोरे के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है,तो वह अधिकतम ऊँचाई क्या है जहाँ तक कीड़ा कटोरे में रेंग सकता है?
A
$R\left[1-\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right]$
B
$R\left[1+\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right]$
C
$R\left[\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right]$
D
$R\left[\frac{1}{\sqrt{1-\mu^2}}\right]$
Solution
(A) अधिकतम ऊँचाई पर,कीड़ा फिसलने की स्थिति में होता है। कीड़े पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर),और सीमांत घर्षण $f = \mu N$ (स्पर्शरेखा की दिशा में ऊपर की ओर) हैं।
भार $mg$ को घटकों में वियोजित करने पर,हमें अभिलंब दिशा में $mg \cos \theta$ और स्पर्शरेखा दिशा में $mg \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अभिलंब दिशा में संतुलन के लिए: $N = mg \cos \theta$.
स्पर्शरेखा दिशा में संतुलन के लिए: $f = mg \sin \theta$.
चूंकि $f = \mu N$,इसलिए $\mu N = mg \sin \theta$ है।
$N = mg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\tan \theta = \mu$ हो जाता है।
कटोरे के तल से कीड़े की ऊँचाई $H = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करते हुए और $\tan \theta = \mu$ रखने पर,हमें $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई $H = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)$ है।
भार $mg$ को घटकों में वियोजित करने पर,हमें अभिलंब दिशा में $mg \cos \theta$ और स्पर्शरेखा दिशा में $mg \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अभिलंब दिशा में संतुलन के लिए: $N = mg \cos \theta$.
स्पर्शरेखा दिशा में संतुलन के लिए: $f = mg \sin \theta$.
चूंकि $f = \mu N$,इसलिए $\mu N = mg \sin \theta$ है।
$N = mg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\tan \theta = \mu$ हो जाता है।
कटोरे के तल से कीड़े की ऊँचाई $H = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करते हुए और $\tan \theta = \mu$ रखने पर,हमें $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई $H = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)$ है।
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